重力子的自旋之謎

台大物理系 Listeve

        當我們成功的利用量子場論來描述電磁場(QED), 電弱作用(GSW), 以及強作用之後, 我們發現在這個世界上, 只剩下重力這個特立獨行的傢伙, 還沒加入量子場論的行列, 因此我們很直覺的就會開始期待, 哪一天能夠將重力理論併入量子場論中, 以相同的語言來描述這些作用力, 物理學家這樣夢想著.

 

而在這之前, 我們必須要探討媒介這個作用力的粒子的性質, 而我們將這個媒介重力的粒子叫做重力子(graviton), 以下就是我利用老師所給的一些資料, 以及許多半調子一知半解的知識, 來做的討論.

 

一. 討論spin 0 scalar field是否有機會描述重粒子:

 

 

1. 利用純量場來描述重力的近似理論-牛頓的萬有引力理論:

在Norbert Straumann的文章中, 談到一開始最直接的想法, 就是以純量場來描述.

首先由愛因斯坦的方程式與電磁學作類比:

由相對論, 我們知道必須滿足以下條件:

□

　

定義 Lagrangian: (space like)

weak field:

 其中

當速度很慢的時候, 可以得到

 

因此我們知道’上面的假設可以導致行星的橢圓運動.

看起來使用純量場來描述重粒子似乎有些希望.

 

2. 接下來使用Lagrangian density來描述純量場理論:

 

 (scalar field lagrangian density)

接下來Norbert Straumann可以算出energy-momentum tensor, 雖然我不知道是發生什麼事情:

 

由這個Tensor我們可以算出Total energy

  其中

 

因為 à

 

因此代入Energy的式子中我們可以得到

得到一個”相吸”的結果.

 

文字方塊: 以上兩個推導結果看起來十分不錯, 不過使用純量場來描述重力作用有一個很大的問題, 那就是純量場的描述方式真的很”古典” . 因為由上面的結果看得出來, 我們會預測光不會因為重力而偏折.

 

Norbert Straumann提到電磁場的Energy-Momentum tensor會是零, 因此代入上面所推導出來的式子會發現E=0, 因此重力場不會對光子產生作用. 但是天文學家的觀測告訴我們, 在1913年的日食觀測中發現, 光子的確有受到太陽的重力場而產生偏折的現象(重力透鏡), 因此純量場會造成這個與實驗不符合的結果.

       

        在Ray D’inverno的課本中, 告訴我們Maxwell energy-momentum tensor的形式是這樣的:

                        à

 

至少可以直接看出來, 在只有gaa不為零的情況下, Tr T為零. 在Malcolm Ludvigsen的課本中也提到, 沒有質量的粒子其Tab的Trace為零.

 

另外一個嚴重的問題, 是發生在移動中的粒子的Energy-Momentum tensor. 我們可以推導出, 以spin 0的純量場所描述的移動粒子, 其Energy-Momentum Tensor為:

 

也就是說, 如果一個粒子開始移動, 那麼他所受到的重力場強度會隨著速度而變小. 這可能導致一些不自洽的結果.

 

Norbert Straumann提到一個憶想實驗 , 來論證這個結果是錯誤的. 首先我們拿兩個箱子, 裡面各裝 N個particle, 並且標上數字1和2. 然後用棒子將這兩個箱子連起來., 這兩個箱子會因為重力作用而互相吸引. 我們可以使這些力經過安排之後使得整個系統是靜止的. 如果在2號箱子中有一個粒子的質量完全變為能量, 這時候雖然2號箱子的總質量應該不會改變, 不過由公式中我們會發現真正有作用的大小改變了. 由於純量場的作用只跟Energy-Momentum Tensor的Trace有關係, 而這個變化可能會改變Energy-Momentum Tensor的 Trace大小, 而使得系統開始加速. 這個結果實在太方頭了, 而且不合理.

 

二. spin 1/2 以及其他半整數spin的討論:

 

文字方塊: 如果一個粒子以1/2的粒子來做重力子, 這種重力子會是個費米子, 由於粒子在變動momentum的時候只能以1為單位, 如果這個粒子發出一個費米子, 那麼這個粒子就不能夠只改變Lz, 而必須要改變本身的spin, 而使得內在性質改變, 這樣是會造成大災難的, 而且在實驗中我們也沒有看到一個傢伙跟另一個傢伙作用之後產生內在性質的改變.

 

　　如果我們堅持重力子必須是spin 1/2的粒子的話, 那麼一個粒子就必須要一次發出偶數個重力子才可以, 而在Feynman的討論中, Feynman的結果是不管我們用多少的偶數重力子為單位, 我們都沒有辦法正確的描述廣義相對論. 因此半整數spin就不再討論了.

 

文字方塊: 三. spin 1 以及spin為奇數的重力子的討論:

 

        當我們考慮spin=1的粒子時, 我們直覺的想像這個量子場應該跟電磁場滿像的, 因為光子也是spin 1的粒子. 而光子所代表的電磁作用具有相斥以及相吸兩種作用. 因此我們可能要擔心要如何去掉相斥的結果, 或者是要假設anti-matter的存在?

 

        依照Feynman Lecture on Gravitation前言的說法, 在spin 1, 3, 5等奇數倍spin的粒子來作為重力子, 都會獲得糟糕的結果. 如果一個粒子與另一個相同的粒子, 帶有相同的charge, 如果重力子帶有的spin是奇數倍, 那麼我們就會得到相斥的結果. 然而如果我們是以spin為偶數的粒子來作為重力子, 那麼我們會得到一個有趣的結果 – 不管兩個粒子所帶的charge為相同或不同, 都會得到相吸的結果. 至於詳細的推導, 已經超出我的能力範圍.

 

四. Spin 2 重力子理論:

 

由前面的討論發現, 我們能夠做的選擇只剩下spin 2的重力子了. Spin 2的重力理論是用 這樣的對稱二階張量來描述, 因此我們有10個自由度. 根據Wigner的說法, 在無質量的情況下只有兩個自由度, 因此我們要想辦法讓自由度減少到2個. Norbert Straumann在文章中做了討論, 利用gauge invariant以及trace vanish的關係, 可以得到不錯的結果.

 

而在文章中的討論, 我們可以發現在Newtonian limit的狀況下, Spin 2重立場能夠描述得不錯, 得到 與scalar field所得到的結果滿相似的. Feynman利用與電磁場的相似性, 可以簡單的導出與r平方成反比的energy, 給出正確的描述.

 

Norbert Straumann也在文章中提到spin 2的重力子能夠與電磁場產生couple. 因此光子在重力場中不像是純量場中所描述的不受影響, 而是會受到偏折. 產生重力透鏡的效果.

 

        由於文章中所提到的概念已經超出我所能夠理解的範圍, 因此只能夠這樣做簡單的描述.

 

Summary:

 

1.      重力子為什麼不能是spin 0 ? 因為spin 0所代表的場為純量場, 不會跟光子產生interaction.

 

2.      重力子為什麼不能是spin1/2 或是其他半整數?: 因為spin 1/2以及半整數的重力子是費米子, 任何的粒子沒有辦法單獨放出一個費米子, 如果argue可以放出兩個或是其他偶數倍的費米子, Feynman的結果否決了這些猜測.

 

3.      重力子為什麼不能是 spin 1的或是其他奇數倍的呢?: 因為這種spin為奇數的傢伙可能會造成相斥的力, 如光子就是spin 1, 會產生排斥力(電荷相同時). 而重力只有相吸而沒有相斥.

 

4.      重力子為什麼可以是 spin 2 ? 因為重力子是spin 2可以成功的描述massless的粒子, 並且可以簡單的推導出古典的r平方反比能量. 並且能夠與電磁場couple, 產生interaction.

 

參考資料:

1.      Norbert Straumann, Reflection on Gravity

2.      黃偉彥, 粒子物理導論上課講義.

3.      Feynman, Lecture on Gravitation

 

 


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