弦論簡介
台大物理系 賀培銘 教授
根據現今普遍被接受的物理理論，宇宙中的物質是由一些所謂的「基本粒子」所組成。例如原子是由電子及原子核所組成，原子核是由質子與中子所組成，而質子與中子又分別是由夸克以不同的方式組成。其中只有電子與夸克被認為是基本粒子，在實驗上並沒有找到任何證據顯示，他們是由更小的粒子所組成。除了電子與夸克，還有其他許多種基本粒子，共同組成宇宙中所有的已知物質。根據現有的理論，基本粒子不但說明了物質的組成，也解釋了物質之間的交互作用。例如電子與電子間之電磁作用力，可以解釋為電子間交換光子所造成的效果。因此，宇宙中一切物理現象的規則，原則上可以化約成描述基本粒子的物理定律。因此，研究最基本的物理定律的領域，一般被稱作「粒子物理」。另一方面，要研究更基本的物理定律時，通常意味著要研究更小尺度下的物理；而根據海森堡的測不準原理，要探測更小尺度範圍內的現象，需要更大的能量。因此，我們需要建造更大的粒子對撞機或加速器來研究更基本的物理定律；而研究最基本的物理定律的領域，也被稱作「高能物理」。
現在普遍被接受的描述基本粒子的理論，稱作「標準模型」。標準模型的數學架構，是所謂的「量子場，或簡稱「場論」。原則上，數學上可能的量子場論模型有無限多個，可以容許任意多種不同性質的基本粒子，但自然界選擇了標準模型，以及其中所有基本粒子的物理性質，例如電子的質量及電荷等等。高能物理的研究，大致可分為兩類。一類是「現象學」，一類是「場論」。前者是以標準模型為基礎，研究實驗結果與模型間的關係。後者是研究場論的一般性質，並不侷限在描述自然現象的模型中。當然，這兩者之間並沒有清楚的界線。
弦論的出發點是，如果我們有更高精密度的實驗，也許會發現基本粒子其實是條線。這條線或許是一個線段，稱作「開弦」（open string），或是一個迴圈，稱作「閉弦」（closed string）。不論如何，弦可以振動，而不同的振動態會在精密度不佳時被誤認為不同的粒子。各個振動態的性質，對應到不同粒子的性質。例如，弦的不同振動能量，會被誤認為不同粒子的質量。
弦論特殊的地方之一，是弦的量子場論可能只有一個。也就是說，當我們考慮弦而非粒子的量子場論時，數學上可能的模型只有一個。（這件事尚未被完全證實，但至今所有已知的弦論都是等價的。）這表示，弦論中所有的物理性質，都是理論本身決定的。如果弦論是對的，電子的質量及電荷等等，都是理論可以告訴我們的。可惜（幸運？）的是，弦論是一個還在被研究發展的理論，我們對它的瞭解還不足以讓我們可以計算出電子的質量及電荷等等。所以，弦論還不是一個完整的理論，當然也沒有被實驗證實。另一方面，有許多原因，讓研究弦論的人相信，這是一個找尋更基本理論的正確方向。
前一段所述弦論的唯一性，是一個非常重要的特質。如果宇宙萬物都要永遠遵守同一個物理定律，這個物理定律應該是獨特的，而不是任意的。（雖然標準模型或量子場論中還有許多（（如電子質量等））參數是「任意的」，但其任意的程度已經比牛頓力學小得多。）一個萬有理論（Theory of Everything, TOE）必須是唯一的，否則它就不是萬有的，因為它不能解釋它為何是這樣而不是那樣。萬有理論中應該沒有任何自由參數；而弦論即滿足此一性質。
弦論的另一個優點是它不需要量子場論所需要的「重整化」。量子場論的計算中，總是出現一些無限大的量。本來一個合理的物理定律不應該預測任何無限大的量，但是我們相信，這些無限大的量之所以出現，是因為量子場論不是最基本的理論，而是精確度較差的等效理論。這樣的認識，告訴我們如何從這些無限大的量中找到有限值的物理量，而其方法，被稱作重整化。反之，一個基本的理論，不應該有無限大的量，也不需要重整化。如果追溯量子場論中出現無限大的原因，則發現與它假設了粒子是不具大小的點有關。弦論中即沒有這種無限大的問題。
可能更重要的一個弦論特質是它自動包含了量子重力場。愛因斯坦的廣義相對論，是重力作用的古典理論，其量子化長久以來是個令人頭痛的問題，也是理論物理裡最主要的問題之一。如果以量子場論為架構來描述傳遞重力的基本粒子「重力子」，會發現計算中將出現的一些無限大並無法用重整化的方法解決。（因此標準模型並不包含對重力的描述。）相反地，一旦假設了弦的存在，便不可避免地在理論上導致了重力作用，原因是弦總是有一個振動態對應到重力子的性質。愛因斯坦的廣義相對論已經可以從弦論中被推導出來。
弦論最早被提出時是想要描述強作用力。當時夸克模型與量子色動力學還未被普遍地接受為描述強作用力的理論。依據現在的認識，介子是夸克與反夸克因強作用力組成的，但在弦論中被描述為一根開弦；弦的兩端即對應到夸克與反夸克，而弦本身則對應到強作用力在兩者之間形成的拉力。弦論因無法解釋許多強作用力的現象，而量子色動力學卻相對地相當成功，因此在弦論的第一次革命之前，有一段時間弦論被大多數的物理學家所遺棄。
弦論的第一次革命，指的是少數鍥而不捨地繼續研究弦論的物理學家發現，弦論雖然是一個失敗的強作用力理論，卻可能是統一所有已知交互作用與物質的理論。一根弦描述的不是介子，而可能是所有的基本粒子。這個大膽的猜想的基礎，是根據一項理論上的重大進展，亦即物理學家發現弦論中自動包含了重力理論，而且可以有數學上自洽的量子化。如前所述，重力場論的量子化是一個極其困難、長久以來懸而未決的問題，因此不論弦論是否真能解釋所有的物理現象，單是看它可以解決重力場的量子化問題，就值得理論物理學家努力研究。因此，弦論的第一次革命吸引了許多物理學家投入其研究工作。可惜的是，不多久所有可以解決的問題都被解決了，剩下許多技術上無法克服的問題，似乎過於複雜艱澀，不知如何下手。慢慢地，許多物理學家就又離開了此一領域，直到弦論的第二次革命。
第二次革命指的是弦論的一些觀念上及技術上的躍進。這些進展不但突破了過去弦論研究中所遭遇的瓶頸，甚且對其他物理及數學的領域產生了重要的影響。弦論的大師之一維敦（Witten）甚至得過數學界的最高榮譽Fields Medal。但在此讓我們暫且不提弦論對其他領域的影響，先將注意力集中在弦論本身。這些弦論進展的中心觀念之一，是所謂的「對偶性」。對偶性指的是兩個看似不相同的理論，實際上是等價的。所謂等價，意思是即使兩個理論對實驗本身的物理描述可能完全不同，兩個理論對所有可以測量的值都有相等的預測。第二次革命中發現了許多新的對偶性。它的好處是在一個理論中十分困難的問題，可能等價於其對偶理論中一個簡單的問題。因此過去一些不能解決的問題，突然變得可以解決。除此之外，對偶性還有另一個重要的結果。過去研究弦論的人發現了五種不同的弦論，現在卻發現這些看似不同的弦論，其實互為對偶。換句話說，我們只有一個理論，但它有五種不同的表示方法。這個唯一的理論，現在被稱為M理論。M代表mistery、mother或membrane。從第二次革命至今，弦論一直有持續的快速的進展，無疑地已成為高能物理研究的主流之一。
造成第二次革命中對偶性的研究可以突飛猛進的原因之一，是發現了弦論中除了一維的弦之外，還有其他維數的物體。要瞭解這一點，必須先介紹「孤立子」（soliton）的概念。孤立子最早是在水中被發現。水是由水分子所組成，水分子的振動形成水波。大部分的水波生成之後會慢慢消退，但是某些特殊形狀的水波可以維持不變一段很長的時間，這種水波即所謂的孤立子。曾有人跟隨一個渠道中的孤立子行進數英里，而孤立子仍幾乎保持不變。場論中，基本粒子的某些特殊集體振動形式也會形成孤立子。孤立子夠小時，看起來也像一個粒子，但是弦論中有許多種不同的孤立子，各有不同的維數。有趣的是，雖然在一個理論中基本粒子和孤立子截然不同，但是某一理論中的孤立子可能對應到其對偶理論的基本粒子，而基本粒子卻對應到孤立子。因此，弦論中一維物體的獨特角色被淡化了，各種不同維數的物體地位平等地存在於弦論之中。
弦論的預測之一，是時空的維數為十維。雖然我們的經驗告訴我們時空只有四維，但理論物理學家已有許多方案可以解釋為何十維的時空看起來可以像是四維的。可能之一，是多出的六維縮得很小，所以沒被觀測到。另一個可能，是我們其實活在一個四維的孤立子上。有趣的是，時空的維數可以是弦論的預測之一；過去從未有過這樣的理論。但另一方面，有另一個弦論的對偶理論，它的時空是十一維的。（這個理論也是M理論的一種表示方式。）這是因為時空的形狀及維度，要看我們如何定義其測量方法才有意義；不同理論中的時空定義不一定恰好相同。
弦論研究的重要成果之一，是計算出某些（特別簡單的）黑洞的亂度。雖然霍金（Hawking）很久以前就預測出黑洞亂度的公式，但因為缺乏一個量子重力理論，無法真的根據亂度的定義直接算出結果。另一個量子重力理論應有的性質-全像原理（也與霍金的黑洞亂度公式有關），最近也在弦論中得到實現。有關於量子重力學的更基本也更有趣的問題是：時空到底是什麼。在弦論中，時空所有的性質都可以從理論中推導出來。在一些假想的情況中，時空的性質可以和我們的經驗大不相同。事實上，在大爆炸初期，時空的性質很可能的確非常不同。根據量子力學，要探測小尺度時空內的現象，必然伴隨著大的能量不確定性，而根據廣義相對論，這會造成時空結構上大的不確定性。結果是，一般經驗中平滑的、由無線多點構成的有關時空的概念，不可能在接近普朗克尺度（約10^(-37) m）時適用。數學上一般的幾何概念對普朗克尺度下的時空並不適用。數學上所謂的「非交換幾何」，是古典幾何的一種推廣，有可能可以用來描述普朗克尺度下的時空。近來在弦論中已經發現一些假想情況中的時空的確可以用非交換幾何來描述。
雖然弦論的研究至今不能告訴我們為何電子是如此重，或計算出任何當今技術可及之實驗結果，但是因為它要解決的問題是如此複雜困難（例如要了解為何宇宙中有這些物質和交互作用、為何時空是四維的等等），而且因為沒有其他任何一個理論在這個目標上的進展可與之比擬，弦論無疑地仍是值得繼續努力研究的方向。
2001/2/3
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