Deutschsprachige Aufsätze | Darij Grinberg

Bemerkung für Lehrer: Ich kann meine Notizen kaum für den Schulgebrauch empfehlen, die Darstellung ist sehr trocken und wenig ansprechend. Wenn Sie aber doch eine Möglichkeit gefunden haben, Teile meiner Texte irgendwo einzusetzen, so können Sie dies unbeschwert tun - die Texte sind Public Domain, dürfen also frei kopiert und verbreitet werden, falls das jemand tun will.

Hinweise, Verbesserungen, Bemerkungen und Kritik sind willkommen - meine Emailadresse ist A=gmail.com , wobei der Buchstabe A durch darijgrinberg ersetzt werden sollte und das Zeichen = durch das Zeichen @. (Dies soll gegen Spam schützen.)

Alle Figuren wurden mit Roland Mechlings Sharewareprogramm "Euklid DynaGeo" für dynamische Geometrie gezeichnet.


Darij Grinberg, Die Zahlen 1/n ∑d | n φ(d) qn/d und ihr Gefolge. (PDF-Datei)

Im Aufbau; momentan sind nur Abschnitte 1-4 und der Anfang von 5 fertig.
Vermutlich enthält der Text eine Menge Fehler und Typos. Jegliche Kommentare und Fehlermeldungen sind willkommen!
(an A@B.com, wobei A=darijgrinberg und B=gmail)

Sei n positiv ganz und q ganz. Warum ist die Summe von φ(d) qn/d (wobei φ die Eulersche Phi-Funktion ist) über alle (positiven) Teiler d von n durch n teilbar? Oder, anders gefragt, warum ist die Summe von qggT(i, n) über i = 1, 2, ..., n durch n teilbar? Eine Reihe von teilweise recht kurzen Beweisen für diese Teilbarkeit sind bekannt, doch die dahinter stehenden Verallgemeinerungen, kombinatorischen Interpretationen und Konzepte sind um einiges interessanter als die Teilbarkeit selber. Das Ziel dieser Arbeit ist es, unterschiedliche Beweisansätze zusammenzutragen, und möglichst viele Analoga und Verallgemeinerungen aus ihnen herauszuholen.

Im Moment sind nur die ersten 4 Abschnitte fertiggestellt.
In Abschnitt 1 wird die bereits erwähnte Teilbarkeit detaillierter vorgestellt.
Abschnitt 2 verallgemeinert diese und beweist die Verallgemeinerung. Als Hilfsmittel werden die Dirichlet-Faltung und die Möbiusfunktion erklärt und einige ihrer Eigenschaften bewiesen.
In Abschnitt 3 werden formale Potenzreihen eingeführt und damit ein alternativer Zugang zu einem Teil von Abschnitt 2 gegeben.
Abschnitt 4 widmet sich einem Analogon der Teilbarkeit. Dieses Analogon wird mithilfe der Verallgemeinerung aus Abschnitt 2 bewiesen.
Abschnitt 5 bietet eine kombinatorische Interpretation von 1/n * (Summe von qggT(i, n) über i = 1, 2, ..., n), woraus natürlich die Ganzzahligkeit und damit die eingangs formulierte Teilbarkeit folgt - allerdings nur für nichtnegative q.
Planung:
Als Verallgemeinerung wird das Pólya-Burnsidesche Abzählverfahren diskutiert.
Abschnitt 6 "flickt" den kombinatorischen Beweis aus Abschnitt 5, damit er auch für negatives q funktioniert und damit einen vollwertigen Beweis für die Teilbarkeit ergibt.
Abschnitt 7 erweitert noch ein wenig das Resultat von Abschnitt 2 und fügt einige kombinatorische Aspekte hinzu.
Abschnitt 8 handelt von der Anzahl aller irreduziblen Polynome n-ten Grades über dem Körper mit q Elementen. Diese stellt sich als 1/n * (μ(d) q^(n/d) über alle (positiven) Teiler d von n) heraus (wobei μ die Möbiusfunktion ist).
[...]


QED-Mathematikolympiade (QEDMO):
Mathematischer Teamwettbewerb innerhalb des QED-Vereins, bislang immer organisiert von Daniel Harrer und mir. Irgendwann (hier stand mal "bald" ;) ) soll eine offizielle QEDMO-Website entstehen; vorläufig jedoch verweise ich für Informationen auf den entsprechenden MathLinks-Thread. Folgende Musterlösungen habe ich geschrieben (jeweils gezippte PDF-Dateien):

1. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 1. QED-Mathematik-Olympiade.
2. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 2. QED-Mathematik-Olympiade.
3. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den Algebraaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den Geometrieaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
4. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den Algebraaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den Geometrieaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
5. QEDMO:
Geometrie kommt irgendwann...
6. QEDMO:
Aufgabe 3: Satz 1 in Konkurrente Kreise durch drei von sechs Punkten. Der Beweis verwendet orientierte Winkel modulo 180° (a. k. a. Kreiswinkel), wie sie in Der Neuberg-Mineurkreis oder Orientierte Winkel modulo 180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa 22 von Wilfried Haag eingeführt sind.
Aufgabe 4: Lösung (nicht korrekturgelesen). Englische Version (viel schlechter lesbar, aber korrekturgelesen).
Aufgabe 11: Satz 4 in Zum Satz von Brianchon. Wer den Satz von Brianchon oder projektive Geometrie nicht kennt, findet auf S. 13-14 einen alternativen Beweis, der Satz 3 aus Über Parallelen zu Dreiecksseiten benutzt (dessen Beweis verwendet nur die Formel (3) aus dem vorherigen Artikel; somit muss man nur deren Beweis lesen und nicht alles davor).


Darij Grinberg, Der Neuberg-Mineurkreis, deutsche Version meines Artikels The Neuberg-Mineur circle (Mathematical Reflections 3/2007). (PDF-Datei)

In der Mathésis von 1931 bewiesen V. Thébault und A. Mineur eine bemerkenswerte Eigenschaft von Vierecken:
Sei ABCD ein beliebiges Viereck, und seien X, Y, Z und W die Punkte auf den Geraden AB, BC, CD bzw. DA, die die Seiten AB, BC, CD bzw. DA jeweils äußerlich im Verhältnis der Quadrate der beiden anliegenden Seiten teilen, d. h. für die gilt:
AX / XB = - DA2 / BC2; BY / YC = - AB2 / CD2; CZ / ZD = - BC2 / DA2; DW / WA = - CD2 / AB2, wobei die Streckenlängen gerichtet sind.
Dann liegen die Punkte X, Y, Z und W auf einem Kreis.
In der obigen Notiz beweise ich dieses Resultat (ob dieser Beweis neu ist, kann ich nicht entscheiden, da ich den Originalartikel nie gesehen habe) sowie einen Zusatzfakt: Ist ABCD ein Sehnenviereck, dann entartet der Kreis durch die Punkte X, Y, Z und W zu einer Geraden. Dieser Zusatzfakt wird auf zwei Arten bewiesen, wobei durch den zweiten Beweis die Gerade als eine Potenzgerade charakterisiert wird.


Darij Grinberg, Schließungssätze in der ebenen Geometrie. (PDF-Datei)
Stand
2004, 26 Seiten

Eine Facharbeit (für Kenner des baden-württembergischen Schulsystems: GFS), die - zumindest im Wesentlichen - auch Schülern zugänglich sein sollte. Es werden zwei sogenannte "Schließungssätze" aus der elementaren euklidischen Geometrie bewiesen und weitergehend untersucht, und anhand einem von ihnen wird das Konzept der projektiven Ebene anschaulich eingeführt. Dabei wird eine formale Definition der projektiven Ebene gegeben, die aber mathematisch gesehen recht unhandlich ist. Schließlich wird ein Satz aus der projektiven Geometrie - der Satz von Pascal - vorgestellt, allerdings ohne Beweis.

Inhaltsverzeichnis
§1.  Einleitung                                     Seite 1
§2.  Der Satz von Thomsen                           Seite 1
§3.  Die Ente im Kreis I                            Seite 6
§4.  Die Ente im Kreis II                           Seite 14
§5.  Etwas projektive Geometrie                     Seite 17
§6.  Der Satz von Pascal                            Seite 22

Literaturhinweise                                   Seite 26

Darij Grinberg, Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie. (gezippte PDF-Datei)
Stand
10.8.2003, 38 Seiten

Dies ist eine Art Einführung in die Dreiecksgeometrie. Am Anfang werden schulische Kenntnisse über merkwürdige Punkte aufgefrischt. Dann führe ich einige weniger bekannte Sätze auf, teils mit Beweisen. Ursprünglich als Skript für einen Vortrag bei einem BWM-Seminar geschrieben.

Inhaltsverzeichnis
Klassische Eigenschaften von Dreiecken
§1.  Einleitung                                     Seite 1
§2.  Was sind merkwürdige Punkte?                   Seite 2
§3.  Der Schwerpunkt                                Seite 2
§4.  Der Inkreismittelpunkt                         Seite 3
§5.  Der Höhenschnittpunkt                          Seite 4
§6.  Der Umkreismittelpunkt                         Seite 5
Vergessene/Neue Eigenschaften von Dreiecken
§7.  Einleitung                                     Seite 6
§8.  Die drei Ankreismittelpunkte                   Seite 6
§9.  Der Schwerpunkt und Flächeninhalte             Seite 8
§10. Der Lamoenkreis                                Seite 9
§11. Einige Besonderheiten der Höhen                Seite 10
§12. Die Eulergerade                                Seite 10
§13. Der Feuerbachkreis                             Seite 12
§14. Der Satz von Feuerbach                         Seite 14
§15. Der Gergonnepunkt                              Seite 15
§16. Die Geraden AX, BY und CZ                      Seite 16
§17. Ein weiterer Satz                              Seite 18
§18. Über Spiegelbilder von Höhen,
     Seitenhalbierenden usw.                        Seite 18
§19. Der Lemoinepunkt                               Seite 19
§20. Die Spiegelbilder der Höhen an den
     Winkelhalbierenden                             Seite 21
§21. Isogonale Punkte                               Seite 22
§22. Spiegelbilder bei Höhen und Mittelsenkrechten  Seite 23
§23. Das Antimedialdreieck und das
     Tangentendreieck                               Seite 26
§24. Eine Eigenschaft des Tangentendreiecks         Seite 31
§25. Das Höhenfußpunktdreieck                       Seite 32
§26. Der Taylorkreis                                Seite 34
§27. Eine Aufgabe von Fred Lang                     Seite 36
§28. Schlußbemerkung                                Seite 37

Literaturhinweise                                   Seite 37

Darij Grinberg, Karl Wilhelm Feuerbach, sein Kreis und die Dreiecksgeometrie. (PDF-Datei)
Stand
4.10.2007, 28 Seiten

Nach einem kurzen Abriss der Biographie des Geometers Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) wende ich mich dem nach ihm benannten Kreis zu und beweise seine wichtigsten Eigenschaften wie den berühmten (und komplizierten) "Satz von Feuerbach". Schließlich stelle ich eine Reihe von Eigenschaften des "Feuerbachberührpunktes" ohne und mit Beweis vor. Ursprünglich als Vortrag beim BWM-Kolloquium 2004 konzipiert.

Inhaltsverzeichnis
§1.  Dreiecksgeometrie                              Seite 1
§2.  Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834)             Seite 1
§3.  "Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte..." Seite 2
§4.  Der "kleine Satz von Feuerbach"                Seite 2
§5.  Der Feuerbachkreis als Neunpunktekreis         Seite 5
§6.  Die Eulergerade                                Seite 6
§7.  Der "große Satz von Feuerbach"                 Seite 9
§8.  Beweis des Satzes                              Seite 10
§9.  Merkwürdige Punkte                             Seite 15
§10. Weitere Eigenschaften des
     Feuerbachberührpunktes                         Seite 15
§11. Das Dreieckszentrum X12                        Seite 22
§12. Ein Kreis durch zwei Feuerbachberührpunkte     Seite 24

Literaturhinweise                                   Seite 28

Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° und eine Lösung der WURZEL -Aufgabe Kappa 22 von Wilfried Haag. (gezippte PDF-Datei)
Stand
17.9.2004, 28 Seiten

In dieser Notiz geht es vorrangig um Anwendungen des Konzeptes von orientierten Winkeln modulo 180° in der Elementargeometrie. Erst wird eine Erklärung dieses Winkeltyps gegeben, dann einige Eigenschaften, teils mit Beweisen, aufgeführt. Anschließend folgt eine Sammlung von 34 Aufgaben mit Lösungen oder Lösungshinweisen.

Eine stark gekürzte Fassung (ohne Aufgaben) wurde in der WURZEL veröffentlicht:

  • Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil I, WURZEL 8/04, Seiten 170-176.

  • Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil II, WURZEL 9+10/04, Seiten 226-229.

Bemerkung: Bei der Konvertierung des Artikels zur PDF-Datei konnten Fußnoten nicht als solche beibehalten werden; deshalb wurden sie als Text in eckigen Klammern dargestellt.


Darij Grinberg, Einige Eigenschaften der Potenzgeraden. (PDF-Datei)
Stand
3.7.2007, 17 Seiten
Deutsche Version von Radical axes revisited.

Diese Notiz behandelt einige metrische Eigenschaften der Potenzgeraden zweier Kreise. Als Anwendung ergeben sich ein Kriterium für die Koaxialität dreier Kreise (welches eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Stewart darstellt) und eine Eigenschaft des Taylorkreises eines Dreiecks.


Darij Grinberg, Aufgabe: Umkreismittelpunkte und Kreise. (PDF-Datei)
Stand
2005 oder früher

Darij Grinberg, Konkurrente Kreise durch drei von sechs Punkten. (PDF-Datei)
Stand
2005 oder früher

Darij Grinberg, Zum Satz von Brianchon. (PDF-Datei)
Stand
2005 oder früher

Darij Grinberg, Über Parallelen zu Dreiecksseiten. (PDF-Datei)
Stand
2005 oder früher

Darij Grinberg, Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte. (PDF-Datei)
Stand
2005 oder früher


Veröffentlichungen in der WURZEL

Die WURZEL ist eine Zeitschrift für Mathematik aus Jena, die jeden Monat erscheint (zweimal pro Jahr Doppelausgaben = eine dicke Ausgabe statt zwei gewöhnlichen).


Einige kleinere Notizen (Der Satz von Archimedes, Die Eulergerade eines Sehnenvierecks, Neuer Zugang zum Feuerbachkreis, Aufgabe: Inzidenzsatz von Kroll, Neubergsche Kreise, Einige Sätze über isogonale Punkte, Eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Mathematik und der Nagelsche Punkt eines Dreiecks) finden Sie auf http://www.dynageo.de/discus/messages/5/112.html


Der Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) ist eine deutsche Mathematikolympiade, die jährlich stattfindet und aus drei Runden besteht: Die beiden ersten Runden sind "Hausaufgaben"-Wettbewerbe (jeweils vier Aufgaben zur eigenständigen Bearbeitung), die dritte Runde ist ein Kolloquium.

Ich habe von 2000 bis 2006 am Bundeswettbewerb Mathematik teilgenommen. Meine Lösungen seit 2003 sind als gezippte PDF-Dateien zugänglich:

Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis: ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis: ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis: ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis: ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis: ohne Beanstandung, allerdings eine wohl noch untertriebene Bemerkung zur Lösung von Aufgabe 1: "Etwas arg aufwändig")
Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis: ohne Beanstandung, allerdings mit einem analogen Kommentar)
Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis: ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis: ohne Beanstandung)

Eine unvollständige Liste von Lösungen anderer Teilnehmer:

Peter Patzt: [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006

Hanno Becker: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (außer Aufgabe 4 b)) ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006.

Mirko Rösner: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005

Daniel Harrer: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006

Thomas Kremer / Lukas Reck: [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (die eigentliche Seite ist offline, deshalb geht der Link auf www.archive.org)

Thomas Kremer: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004

Dankrad Feist: [Prop] Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003, 2004 und 2005 und mehr

Yasin Zähringer: [Prop] Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003-2006

[Prop] Thread auf dem Matheplaneten über die 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005


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