$SPAD/src/input calculus2.input

Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

———-

— * —

)set break resume
)spool calculus2.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
-- Input for page FormalDerivativePage
--S 1 of 112
differentiate(f, x)
--R
--R
--R   (1)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 1
--S 2 of 112
f := operator f
--R
--R
--R   (2)  f
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 2
--S 3 of 112
x := operator x
--R
--R
--R   (3)  x
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 3
--S 4 of 112
y := operator y
--R
--R
--R   (4)  y
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 4

--S 5 of 112
a := f(x z, y z, z**2) + x y(z+1)
--R
--R
--R                                   2
--R   (5)  x(y(z + 1)) + f(x(z),y(z),z )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 5
--S 6 of 112
dadz := differentiate(a, z)
--R
--R
--R   (6)
--R                      2     ,                  2     ,                  2
--R     2zf  (x(z),y(z),z ) + y (z)f  (x(z),y(z),z ) + x (z)f  (x(z),y(z),z )
--R        ,3                       ,2                       ,1
--R   +
--R      ,           ,
--R     x (y(z + 1))y (z + 1)
--R
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 6
--S 7 of 112
eval(eval(dadz, 'x, z +-> exp z), 'y, z +-> log(z+1))
--R
--R
--R   (7)
--R          2            z             2          z             2
--R       (2z  + 2z)f  (%e ,log(z + 1),z ) + f  (%e ,log(z + 1),z )
--R                  ,3                       ,2
--R     +
--R                z      z             2
--R       (z + 1)%e f  (%e ,log(z + 1),z ) + z + 1
--R                  ,1
--R  /
--R     z + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 7
--S 8 of 112
eval(eval(a, 'x, z +-> exp z), 'y, z +-> log(z+1))
--R
--R
--R            z             2
--R   (8)  f(%e ,log(z + 1),z ) + z + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 8

--S 9 of 112
differentiate(%, z)
--R
--R
--R   (9)
--R          2            z             2          z             2
--R       (2z  + 2z)f  (%e ,log(z + 1),z ) + f  (%e ,log(z + 1),z )
--R                  ,3                       ,2
--R     +
--R                z      z             2
--R       (z + 1)%e f  (%e ,log(z + 1),z ) + z + 1
--R                  ,1
--R  /
--R     z + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 9
-- Input for page SeriesArithmeticPage
)clear all
--S 10 of 112
x := series x
--R
--R
--R   (1)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 10
--S 11 of 112
num := 3 + x
--R
--R
--R   (2)  3 + x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 11
--S 12 of 112
den := 1 + 7 * x
--R
--R
--R   (3)  1 + 7x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 12
--S 13 of 112
num / den
--R
--R
--R   (4)
--R                   2       3        4         5          6           7

--R     3 - 20x + 140x  - 980x  + 6860x  - 48020x  + 336140x  - 2352980x
--R   +
--R              8             9             10      11
--R     16470860x  - 115296020x  + 807072140x   + O(x  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 13
--S 14 of 112
base := 1 / (1 - x)
--R
--R
--R                 2    3    4    5    6    7    8    9    10      11
--R   (5)  1 + x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x   + O(x  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 14
--S 15 of 112
expon := x * base
--R
--R
--R             2    3    4    5    6    7    8    9    10    11      12
--R   (6)  x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x   + x   + O(x  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 15
--S 16 of 112
base ** expon
--R
--R
--R   (7)
--R          2   3  3   7  4   43  5   649  6   241  7   3706  8   85763  9
--R     1 + x  + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + ----- x
--R              2      3      12      120       30       315       5040
--R   +
--R     245339  10      11
--R     ------ x   + O(x  )
--R      10080
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 16
-- Input for page SeriesConversionPage
)clear all
--S 17 of 112
f := sin(a*x)
--R
--R
--R   (1)  sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 17

--S 18 of 112
series(f,x = 0)
--R
--R
--R               3        5        7          9            11
--R              a   3    a   5    a    7     a     9      a      11      12
--R   (2)  a x - -- x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R               6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 18
--S 19 of 112
g := y / (exp(y) - 1)
--R
--R
--R           y
--R   (3)  -------
--R          y
--R        %e  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 19
--S 20 of 112
series(g)
--R
--R
--R   (4)
--R       1      1  2    1   4     1    6      1     8       1     10      11
--R   1 - - y + -- y  - --- y  + ----- y  - ------- y  + -------- y   + O(y  )
--R       2     12      720      30240      1209600      47900160
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),y,0)
--E 20
--S 21 of 112
h := sin(3*x)
--R
--R
--R   (5)  sin(3x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 21
--S 22 of 112
series(h,x,x = %pi/12)
--R
--R
--R   (6)
--R                %pi               %pi 2              %pi 3               %pi 4
--R     sin(3)(x - ---) + sin(6)(x - ---)  + sin(9)(x - ---)  + sin(12)(x - ---)
--R                 12                12                 12                  12

--R   +
--R                 %pi 5               %pi 6               %pi 7
--R     sin(15)(x - ---)  + sin(18)(x - ---)  + sin(21)(x - ---)
--R                  12                  12                  12
--R   +
--R                 %pi 8               %pi 9               %pi 10
--R     sin(24)(x - ---)  + sin(27)(x - ---)  + sin(30)(x - ---)
--R                  12                  12                  12
--R   +
--R                 %pi 11          %pi 12
--R     sin(33)(x - ---)   + O((x - ---)  )
--R                  12              12
--R                  Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,%pi/12)
--E 22
--S 23 of 112
series(sqrt(tan(a*x)),x = 0)
--R
--R
--R             1           5             9
--R             -    2 +-+  -      4 +-+  -
--R         +-+ 2   a \|a   2   19a \|a   2      6
--R   (7)  \|a x  + ------ x  + -------- x  + O(x )
--R                    6           360
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 23
--S 24 of 112
series(sec(x) ** 2,x = %pi/2)
--R
--R
--R   (8)
--R          %pi - 2   1    1      %pi 2    2       %pi 4    1       %pi 6
--R     (x - ---)    + - + -- (x - ---)  + --- (x - ---)  + --- (x - ---)
--R           2        3   15       2      189       2      675       2
--R   +
--R       2        %pi 8          %pi 9
--R     ----- (x - ---)  + O((x - ---) )
--R     10395       2              2
--R                   Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,%pi/2)
--E 24
--S 25 of 112
bern := t * exp(t*x) / (exp(t) - 1)
--R
--R
--R            t x
--R        t %e
--R   (9)  -------
--R          t

--R        %e  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 25
--S 26 of 112
series(bern,t = 0)
--R
--R
--R   (10)
--R                      2                 3     2
--R         2x - 1     6x  - 6x + 1  2   2x  - 3x  + x  3
--R     1 + ------ t + ------------ t  + ------------- t
--R            2            12                 12
--R   +
--R        4      3      2            5      4      3
--R     30x  - 60x  + 30x  - 1  4   6x  - 15x  + 10x  - x  5
--R     ---------------------- t  + --------------------- t
--R               720                        720
--R   +
--R        6       5       4      2            7      6      5     3
--R     42x  - 126x  + 105x  - 21x  + 1  6   6x  - 21x  + 21x  - 7x  + x  7
--R     ------------------------------- t  + --------------------------- t
--R                  30240                              30240
--R   +
--R        8       7       6      4      2
--R     30x  - 120x  + 140x  - 70x  + 20x  - 1  8
--R     -------------------------------------- t
--R                     1209600
--R   +
--R        9      8      7      5      3
--R     10x  - 45x  + 60x  - 42x  + 20x  - 3x  9
--R     ------------------------------------- t
--R                    3628800
--R   +
--R        10       9       8       6       4      2
--R     66x   - 330x  + 495x  - 462x  + 330x  - 99x  + 5  10      11
--R     ------------------------------------------------ t   + O(t  )
--R                         239500800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),t,0)
--E 26
-- Input for page SeriesDifferentialEquationPage
)clear all
)set streams calculate 7
--S 27 of 112
y := operator 'y
--R
--R

--R   (1)  y
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 27
--S 28 of 112
eq := differentiate(y(x), x, 3) - sin(differentiate(y(x), x, 2))_
      * exp(y(x)) = cos(x)
--R
--R
--R         ,,,        y(x)     ,,
--R   (2)  y   (x) - %e    sin(y  (x))= cos(x)
--R
--R                                          Type: Equation(Expression(Integer))
--E 28
--S 29 of 112
seriesSolve(eq, y, x = 0, [1, 0, 0])
--R
--I   Compiling function %B with type List(UnivariateTaylorSeries(
--R      Expression(Integer),x,0)) -> UnivariateTaylorSeries(Expression(
--R      Integer),x,0)
--R
--R   (3)
--R                          2            3              4      2
--R         1  3   %e  4   %e  - 1  5   %e  - 2%e  6   %e  - 8%e  + 4%e + 1  7
--R     1 + - x  + -- x  + ------- x  + --------- x  + -------------------- x
--R         6      24        120           720                 5040
--R   +
--R        8
--R     O(x )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 29
--S 30 of 112
x := operator 'x
--R
--I   Compiled code for %B has been cleared.
--R
--R   (4)  x
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 30
--S 31 of 112
eq1 := differentiate(x(t), t) = 1 + x(t)**2
--R
--R
--R         ,         2
--R   (5)  x (t)= x(t)  + 1
--R
--R                                          Type: Equation(Expression(Integer))

--E 31
--S 32 of 112
eq2 := differentiate(y(t), t) = x(t) * y(t)
--R
--R
--R         ,
--R   (6)  y (t)= x(t)y(t)
--R
--R                                          Type: Equation(Expression(Integer))
--E 32
--S 33 of 112
seriesSolve([eq2, eq1], [x, y], t = 0, [y(0) = 1, x(0) = 0])
--R
--I   Compiling function %D with type List(UnivariateTaylorSeries(
--R      Expression(Integer),t,0)) -> UnivariateTaylorSeries(Expression(
--R      Integer),t,0)
--I   Compiling function %E with type List(UnivariateTaylorSeries(
--R      Expression(Integer),t,0)) -> UnivariateTaylorSeries(Expression(
--R      Integer),t,0)
--R
--R             1  3    2  5    17  7      8      1  2    5  4    61  6      8
--R   (7)  [t + - t  + -- t  + --- t  + O(t ),1 + - t  + -- t  + --- t  + O(t )]
--R             3      15      315                2      24      720
--R                  Type: List(UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),t,0))
--E 33
-- Input for page LaplacePage
)clear all
--S 34 of 112
sin(a*t) * cosh(a*t) - cos(a*t) * sinh(a*t)
--R
--R
--R   (1)  - cos(a t)sinh(a t) + cosh(a t)sin(a t)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 34
--S 35 of 112
laplace(%, t, s)
--R
--R
--R             3
--R           4a
--R   (2)  --------
--R         4     4
--R        s  + 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 35

--S 36 of 112
laplace((exp(a*t) - exp(b*t))/t, t, s)
--R
--R
--R   (3)  - log(s - a) + log(s - b)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 36
--S 37 of 112
laplace(2/t * (1 - cos(a*t)), t, s)
--R
--R
--R             2    2
--R   (4)  log(s  + a ) - 2log(s)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 37
--S 38 of 112
laplace(exp(-a*t) * sin(b*t) / b**2, t, s)
--R
--R
--R                    1
--R   (5)  ------------------------
--R           2             3    2
--R        b s  + 2a b s + b  + a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 38
--S 39 of 112
laplace((cos(a*t) - cos(b*t))/t, t, s)
--R
--R
--R             2    2         2    2
--R        log(s  + b ) - log(s  + a )
--R   (6)  ---------------------------
--R                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 39
--S 40 of 112
laplace(exp(a*t+b)*Ei(c*t), t, s)
--R
--R          b    s + c - a
--R        %e log(---------)
--R                   c
--R   (7)  -----------------
--R              s - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 40

--S 41 of 112
laplace(a*Ci(b*t) + c*Si(d*t), t, s)
--R
--R               2    2
--R              s  + b             d
--R        a log(-------) + 2c atan(-)
--R                  2              s
--R                 b
--R   (8)  ---------------------------
--R                     2s
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 41
--S 42 of 112
laplace(sin(a*t) - a*t*cos(a*t) + exp(t**2), t, s)
--R
--R
--R                                    2
--R          4     2 2    4           t           3
--R        (s  + 2a s  + a )laplace(%e  ,t,s) + 2a
--R   (9)  ----------------------------------------
--R                      4     2 2    4
--R                     s  + 2a s  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 42
-- Input for page SeriesCoefficientPage
)clear all
--S 43 of 112
x := series(x)
--R
--R
--R   (1)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 43
--S 44 of 112
y := exp(x) * sin(x)
--R
--R
--R             2   1  3    1  5    1  6    1   7      9
--R   (2)  x + x  + - x  - -- x  - -- x  - --- x  + O(x )
--R                 3      30      90      630
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 44
--S 45 of 112
coefficient(y,6)

--R
--R
--R           1
--R   (3)  - --
--R          90
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 45
--S 46 of 112
coefficient(y,15)
--R
--R
--R               1
--R   (4)  - -----------
--R          10216206000
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 46
--S 47 of 112
y
--R
--R
--R   (5)
--R          2   1  3    1  5    1  6    1   7     1    9      1    10
--R     x + x  + - x  - -- x  - -- x  - --- x  + ----- x  + ------ x
--R              3      30      90      630      22680      113400
--R   +
--R        1     11       1     13       1      14        1       15      16
--R     ------- x   - -------- x   - --------- x   - ----------- x   + O(x  )
--R     1247400       97297200       681080400       10216206000
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 47
-- Input for page SymbolicIntegrationPage
)clear all
--S 48 of 112
f := (x**2+2*x+1) / (x**6+6*x**5+15*x**4+20*x**3+15*x**2+6*x+2)
--R
--R
--R                       2
--R                      x  + 2x + 1
--R   (1)  --------------------------------------
--R         6     5      4      3      2
--R        x  + 6x  + 15x  + 20x  + 15x  + 6x + 2
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 48
--S 49 of 112
integrate(f, x)

--R
--R
--R              3     2
--R        atan(x  + 3x  + 3x + 1)
--R   (2)  -----------------------
--R                   3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 49
--S 50 of 112
g := log(1 + sqrt(a * x + b)) / x
--R
--R
--R             +-------+
--R        log(\|a x + b  + 1)
--R   (3)  -------------------
--R                 x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 50
--S 51 of 112
integrate(g, x)
--R
--R
--R           x      +--------+
--I         ++  log(\|b + %G a  + 1)
--I   (4)   |   -------------------- d%G
--I        ++            %G
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 51
--S 52 of 112
integrate(1/(x**2 - 2),x)
--R
--R
--R              2      +-+
--R            (x  + 2)\|2  - 4x
--R        log(-----------------)
--R                   2
--R                  x  - 2
--R   (5)  ----------------------
--R                   +-+
--R                 2\|2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 52
--S 53 of 112
integrate(1/(x**2 + 2),x)
--R
--R

--R               +-+
--R             x\|2
--R        atan(-----)
--R               2
--R   (6)  -----------
--R             +-+
--R            \|2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 53
--S 54 of 112
h := x**2 / (x**4 - a**2)
--R
--R
--R            2
--R           x
--R   (7)  -------
--R         4    2
--R        x  - a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 54
--S 55 of 112
integrate(h, x)
--R
--R
--R   (8)
--R          2      +-+                   +-+
--R        (x  + a)\|a  - 2a x          x\|a
--R    log(-------------------) + 2atan(-----)
--R                2                      a
--R               x  - a
--R   [---------------------------------------,
--R                       +-+
--R                     4\|a
--R          2      +---+                   +---+
--R        (x  - a)\|- a  + 2a x          x\|- a
--R    log(---------------------) - 2atan(-------)
--R                 2                        a
--R                x  + a
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                      4\|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E 55
--S 56 of 112
complexIntegrate(h, x)
--R
--R

--R   (9)
--R          +--+       +--+         +----+       +----+
--R          | 1        | 1          |   1        |   1
--R       -  |-- log(2a |--  + x) +  |- -- log(2a |- --  + x)
--R         \|4a       \|4a         \|  4a       \|  4a
--R     +
--R          +----+         +----+         +--+         +--+
--R          |   1          |   1          | 1          | 1
--R       -  |- -- log(- 2a |- --  + x) +  |-- log(- 2a |--  + x)
--R         \|  4a         \|  4a         \|4a         \|4a
--R  /
--R     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 56
--S 57 of 112
expandLog %
--R
--R
--R   (10)
--R          +--+       +--+         +--+       +--+
--R          | 1        | 1          | 1        | 1
--R       -  |-- log(2a |--  + x) +  |-- log(2a |--  - x)
--R         \|4a       \|4a         \|4a       \|4a
--R     +
--R        +----+       +----+         +----+       +----+                 +--+
--R        |   1        |   1          |   1        |   1                  | 1
--R        |- -- log(2a |- --  + x) -  |- -- log(2a |- --  - x) + log(- 1) |--
--R       \|  4a       \|  4a         \|  4a       \|  4a                 \|4a
--R     +
--R                  +----+
--R                  |   1
--R       - log(- 1) |- --
--R                 \|  4a
--R  /
--R     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 57
--S 58 of 112
rootSimp %
--R
--R
--R   (11)
--R                 +---+                    +-+                    +---+
--R        +-+    x\|- a  + a     +---+    x\|a  + a     +-+    - x\|- a  + a
--R       \|a log(-----------) - \|- a log(---------) - \|a log(-------------)
--R                   +---+                    +-+                   +---+
--R                  \|- a                    \|a                   \|- a
--R     +

--R                     +-+
--R        +---+    - x\|a  + a             +-+            +---+
--R       \|- a log(-----------) - log(- 1)\|a  + log(- 1)\|- a
--R                      +-+
--R                     \|a
--R  /
--R       +---+ +-+
--R     4\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 58
--S 59 of 112
ratForm %
--R
--R   There are no library operations named ratForm
--R      Use HyperDoc Browse or issue
--R                              )what op ratForm
--R      to learn if there is any operation containing " ratForm " in its
--R      name.
--R
--RDaly Bug
--R   Cannot find a definition or applicable library operation named
--R      ratForm with argument type(s)
--R                             Expression(Integer)
--R
--R      Perhaps you should use "@" to indicate the required return type,
--R      or "$" to specify which version of the function you need.
--E 59
-- Input for page DerivativePage
)clear all
--S 60 of 112
f := exp exp x
--R
--R
--R            x
--R          %e
--R   (1)  %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 60
--S 61 of 112
differentiate(f, x)
--R
--R
--R               x
--R          x  %e
--R   (2)  %e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 61
--S 62 of 112
differentiate(f, x, 4)
--R
--R
--R                                              x
--R            x 4       x 3       x 2     x   %e
--R   (3)  ((%e )  + 6(%e )  + 7(%e )  + %e )%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 62
--S 63 of 112
g := sin(x**2 + y)
--R
--R
--R                 2
--R   (4)  sin(y + x )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 63
--S 64 of 112
differentiate(g, y)
--R
--R
--R                 2
--R   (5)  cos(y + x )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 64
--S 65 of 112
differentiate(g, [y, y, x, x])
--R
--R
--R          2         2              2
--R   (6)  4x sin(y + x ) - 2cos(y + x )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 65
-- Input for page SeriesFormulaPage
)clear all
--S 66 of 112
taylor(n +-> 1/factorial(n),x = 0)
--R
--R
--R                1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7      8
--R   (1)  1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + O(x )
--R                2      6      24      120      720      5040
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)

--E 66
--S 67 of 112
taylor(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..)
--R
--R
--R   (2)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7            8
--R     - (x - 1)  + O((x - 1) )
--R     7
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 67
--S 68 of 112
taylor(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..7)
--R
--R
--R   (3)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7
--R     - (x - 1)
--R     7
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 68
--S 69 of 112
laurent(n +-> (-1)**(n-1)/(n + 2),x = 1,-1..)
--R
--R
--R   (4)
--R            - 1   1   1           1        2   1        3   1        4
--R     (x - 1)    - - + - (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R                  2   3           4            5            6
--R   +
--R     1        5   1        6            7
--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + O((x - 1) )
--R     7            8
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 69
--S 70 of 112
puiseux(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..,2)
--R

--R
--R            1  3    1   5     1   7      9
--R   (5)  x - - x  + --- x  - ---- x  + O(x )
--R            6      120      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 70
--S 71 of 112
puiseux(j +-> j**2,x = 8,-4/3..,1/2)
--R
--R
--R                    4               5              1
--R                  - -             - -            - -
--R        16          3   25          6   1          3            0
--R   (6)  -- (x - 8)    + -- (x - 8)    + - (x - 8)    + O((x - 8) )
--R         9              36              9
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 71
--S 72 of 112
series(n +-> 1/factorial(n),x = 0)
--R
--R
--R                1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7      8
--R   (7)  1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + O(x )
--R                2      6      24      120      720      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 72
--S 73 of 112
series(n +-> (-1)**(n - 1)/(n + 2),x = 1,-1..)
--R
--R
--R   (8)
--R            - 1   1   1           1        2   1        3   1        4
--R     (x - 1)    - - + - (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R                  2   3           4            5            6
--R   +
--R     1        5   1        6            7
--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + O((x - 1) )
--R     7            8
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 73
--S 74 of 112
series(i +-> (-1)**((i - 1)/2)/factorial(i),x = 0,1..,2)
--R
--R
--R            1  3    1   5     1   7      9
--R   (9)  x - - x  + --- x  - ---- x  + O(x )

--R            6      120      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 74
-- Input for page SeriesCreationPage
)clear all
--S 75 of 112
x := series x
--R
--R
--R   (1)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 75
--S 76 of 112
1/(1 - x - x**2)
--R
--R
--R                  2     3     4     5      6      7      8
--R   (2)  1 + x + 2x  + 3x  + 5x  + 8x  + 13x  + 21x  + O(x )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 76
--S 77 of 112
sin(x)
--R
--R
--R            1  3    1   5     1   7      9
--R   (3)  x - - x  + --- x  - ---- x  + O(x )
--R            6      120      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 77
--S 78 of 112
sin(1 + x)
--R
--R
--R   (4)
--R                        sin(1)  2   cos(1)  3   sin(1)  4   cos(1)  5
--R     sin(1) + cos(1)x - ------ x  - ------ x  + ------ x  + ------ x
--R                           2           6          24          120
--R   +
--R       sin(1)  6   cos(1)  7      8
--R     - ------ x  - ------ x  + O(x )
--R         720        5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 78
--S 79 of 112

sin(a * x)
--R
--R
--R               3        5        7
--R              a   3    a   5    a    7      9
--R   (5)  a x - -- x  + --- x  - ---- x  + O(x )
--R               6      120      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 79
--S 80 of 112
series(1/log(y),y = 1)
--R
--R
--R   (6)
--R            - 1   1    1            1        2    19        3    3         4
--R     (y - 1)    + - - -- (y - 1) + -- (y - 1)  - --- (y - 1)  + --- (y - 1)
--R                  2   12           24            720            160
--R   +
--R        863         5    275         6            7
--R     - ----- (y - 1)  + ----- (y - 1)  + O((y - 1) )
--R       60480            24192
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),y,1)
--E 80
--S 81 of 112
f : UTS(FLOAT,z,0) := exp(z)
--R
--R
--R   (7)
--R                    2                            3
--R     1.0 + z + 0.5 z  + 0.1666666666 6666666667 z
--R   +
--R                                4                               5
--R     0.0416666666 6666666666 7 z  + 0.0083333333 3333333333 34 z
--R   +
--R                                 6                               7      8
--R     0.0013888888 8888888888 89 z  + 0.0001984126 9841269841 27 z  + O(z )
--R                                    Type: UnivariateTaylorSeries(Float,z,0.0)
--E 81
--S 82 of 112
series(1/factorial(n),n,w = 0)
--R
--R
--R                1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7      8
--R   (8)  1 + w + - w  + - w  + -- w  + --- w  + --- w  + ---- w  + O(w )
--R                2      6      24      120      720      5040
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),w,0)
--E 82

-- Input for page SeriesFunctionPage
)clear all
--S 83 of 112
x := series x
--R
--R
--R   (1)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 83
--S 84 of 112
rat := x**2 / (1 - 6*x + x**2)
--R
--R
--R   (2)
--R    2     3      4       5        6        7         8          9      10
--R   x  + 6x  + 35x  + 204x  + 1189x  + 6930x  + 40391x  + 235416x  + O(x  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 84
--S 85 of 112
sin(rat)
--R
--R
--R   (3)
--R    2     3      4       5   7133  6        7   80711  8          9      10
--R   x  + 6x  + 35x  + 204x  + ---- x  + 6927x  + ----- x  + 235068x  + O(x  )
--R                               6                  2
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 85
--S 86 of 112
y : UTS(FRAC INT,y,0) := y
--R
--R
--R   (4)  y
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),y,0)
--E 86
--S 87 of 112
exp(y)
--R
--R
--R                1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7      8
--R   (5)  1 + y + - y  + - y  + -- y  + --- y  + --- y  + ---- y  + O(y )
--R                2      6      24      120      720      5040
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),y,0)
--E 87

--S 88 of 112
tan(y**2)
--R
--R
--R         2   1  6      8
--R   (6)  y  + - y  + O(y )
--R             3
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),y,0)
--E 88
--S 89 of 112
cos(y + y**5)
--R
--R
--R            1  2    1  4   721  6      8
--R   (7)  1 - - y  + -- y  - --- y  + O(y )
--R            2      24      720
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),y,0)
--E 89
--S 90 of 112
log(1 + sin(y))
--R
--R
--R            1  2   1  3    1  4    1  5    1  6    61   7      8
--R   (8)  y - - y  + - y  - -- y  + -- y  - -- y  + ---- y  + O(y )
--R            2      6      12      24      45      5040
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),y,0)
--E 90
--S 91 of 112
z : UTS(EXPR INT,z,0) := z
--R
--R
--R   (9)  z
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),z,0)
--E 91
--S 92 of 112
exp(2 + tan(z))
--R
--R
--R   (10)
--R                    2        2         2          2          2           2
--R       2     2    %e   2   %e   3   3%e   4   37%e   5   59%e   6   137%e   7
--R     %e  + %e z + --- z  + --- z  + ---- z  + ----- z  + ----- z  + ------ z
--R                   2        2         8        120        240         720
--R   +
--R        8

--R     O(z )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),z,0)
--E 92
--S 93 of 112
w := taylor w
--R
--R
--R   (11)  w
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),w,0)
--E 93
--S 94 of 112
exp(2 + tan(w))
--R
--R
--R   (12)
--R                    2        2         2          2          2           2
--R       2     2    %e   2   %e   3   3%e   4   37%e   5   59%e   6   137%e   7
--R     %e  + %e w + --- w  + --- w  + ---- w  + ----- w  + ----- w  + ------ w
--R                   2        2         8        120        240         720
--R   +
--R        8
--R     O(w )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),w,0)
--E 94
-- Input for page LimitPage
)clear all
--S 95 of 112
f := sin(a*x) / tan(b*x)
--R
--R
--R        sin(a x)
--R   (1)  --------
--R        tan(b x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 95
--S 96 of 112
limit(f,x=0)
--R
--R
--R        a
--R   (2)  -
--R        b
--R                      Type: Union(OrderedCompletion(Expression(Integer)),...)
--E 96

--S 97 of 112
g := csc(a*x) / csch(b*x)
--R
--R
--R         csc(a x)
--R   (3)  ---------
--R        csch(b x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 97
--S 98 of 112
limit(g,x=0)
--R
--R
--R        b
--R   (4)  -
--R        a
--R                      Type: Union(OrderedCompletion(Expression(Integer)),...)
--E 98
--S 99 of 112
h := (1 + k/x)**x
--R
--R
--R         x + k x
--R   (5)  (-----)
--R           x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 99
--S 100 of 112
limit(h,x=%plusInfinity)
--R
--R
--R          k
--R   (6)  %e
--R                      Type: Union(OrderedCompletion(Expression(Integer)),...)
--E 100
-- Input for page SeriesBernoulliPage
)clear all
--S 101 of 112
reduce(+,[m**4 for m in 1..10])
--R
--R
--R   (1)  25333
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 101

--S 102 of 112
sum4 := sum(m**4, m = 1..k)
--R
--R
--R          5      4      3
--R        6k  + 15k  + 10k  - k
--R   (2)  ---------------------
--R                  30
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 102
--S 103 of 112
eval(sum4, k = 10)
--R
--R
--R   (3)  25333
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 103
--S 104 of 112
f := t*exp(x*t) / (exp(t) - 1)
--R
--R
--R            t x
--R        t %e
--R   (4)  -------
--R          t
--R        %e  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 104
)set streams calculate 5
--S 105 of 112
ff := taylor(f,t = 0)
--R
--R
--R   (5)
--R                      2                 3     2
--R         2x - 1     6x  - 6x + 1  2   2x  - 3x  + x  3
--R     1 + ------ t + ------------ t  + ------------- t
--R            2            12                 12
--R   +
--R        4      3      2            5      4      3
--R     30x  - 60x  + 30x  - 1  4   6x  - 15x  + 10x  - x  5      6
--R     ---------------------- t  + --------------------- t  + O(t )
--R               720                        720
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),t,0)
--E 105

--S 106 of 112
factorial(6) * coefficient(ff,6)
--R
--R
--R           6       5       4      2
--R        42x  - 126x  + 105x  - 21x  + 1
--R   (6)  -------------------------------
--R                       42
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 106
--S 107 of 112
g := eval(f, x = x + 1) - f
--R
--R
--R            t x + t       t x
--R        t %e        - t %e
--R   (7)  ---------------------
--R                 t
--R               %e  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 107
--S 108 of 112
normalize(g)
--R
--R
--R            t x
--R   (8)  t %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 108
--S 109 of 112
taylor(g,t = 0)
--R
--R
--R                    2       3       4
--R               2   x   3   x   4   x   5      6
--R   (9)  t + x t  + -- t  + -- t  + -- t  + O(t )
--R                    2       6      24
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),t,0)
--E 109
--S 110 of 112
B5 := factorial(5) * coefficient(ff,5)
--R
--R
--R           5      4      3
--R         6x  - 15x  + 10x  - x
--R   (10)  ---------------------

--R                   6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 110
--S 111 of 112
1/5 * (eval(B5, x = k + 1) - eval(B5, x = 1))
--R
--R
--R           5      4      3
--R         6k  + 15k  + 10k  - k
--R   (11)  ---------------------
--R                   30
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 111
--S 112 of 112
sum4
--R
--R
--R           5      4      3
--R         6k  + 15k  + 10k  - k
--R   (12)  ---------------------
--R                   30
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 112
)spool
)lisp (bye)

———-

References^{[1] nothing}

31