$SPAD/src/input cherry.input

Timothy Daly

December 3, 2016

Abstract

Examples taken from: ”INTEGRATION IN FINITE TERMS WITH SPECIAL FUNCTIONS: THE LOG-

ARITHMIC INTEGRAL”

written by G. W. CHERRY published in SIAM J. COMPUT. Vol. 15, No. 1, February 1986

Contents

2

— * —

)set break resume
)sys rm -f cherry.output
)spool cherry.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
-- Page 1
-- Example 1.1
--S 1 of 61
i := x/log(x)^2
--R
--R
--R           x
--R   (1)  -------
--R              2
--R        log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 1
--S 2 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R                              2
--R        2log(x)Ei(2log(x)) - x
--R   (2)  -----------------------
--R                 log(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 2

———-

When written using li: (See bug 7241)

             2           2
        2li(x )log(x) - x
        ------------------
              log(x)

— * —

--S 3 of 61
Ic := 2*li(x^2) - x^2/log(x)

--R
--R
--R             2           2
--R        2li(x )log(x) - x
--R   (3)  ------------------
--R              log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 3
--S 4 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R                              2             2
--R        (- 2x log(x) + x)log(x ) + 4x log(x)
--R   (4)  -------------------------------------
--R                          2     2
--R                    log(x) log(x )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 4
-- Page 16
-- Example 5.1
--S 5 of 61
i := x^3 / log(x^2-1)
--R
--R
--R              3
--R             x
--R   (5)  -----------
--R             2
--R        log(x  - 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 5
--S 6 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R           x        3
--R         ++       %I
--R   (6)   |   ------------ d%I
--R        ++         2
--R             log(%I  - 1)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 6

———- But could be integrated. See bug 7241

            4     2            2
        li(x  - 2x  + 1) + li(x  - 1)
        -----------------------------
                      2

— * —

--S 7 of 61
Ic := li(x^4-2*x^2+1)/2 + li(x^2-1)/2
--R
--R
--R            4     2            2
--R        li(x  - 2x  + 1) + li(x  - 1)
--R   (7)  -----------------------------
--R                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 7
--S 8 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R               4     2           3           2
--R        x log(x  - 2x  + 1) + (2x  - 2x)log(x  - 1)
--R   (8)  -------------------------------------------
--R                     2          4     2
--R                log(x  - 1)log(x  - 2x  + 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 8
-- Example 5.2
--S 9 of 61
i := x^2 / log(x^2-1)
--R
--R
--R              2
--R             x
--R   (9)  -----------
--R             2
--R        log(x  - 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 9
--S 10 of 61
I := integrate(i, x)

--R
--R
--R            x        2
--R          ++       %I
--R   (10)   |   ------------ d%I
--R         ++         2
--R              log(%I  - 1)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 10
-- No closed form
-- Page 17
-- Example 5.3
--S 11 of 61
i := (2*x+3)/(3*log(x)+2*x) * exp(log(x)/2+x) + 1/(x+1)*(exp(log(x)/2+x))^2
--R
--R
--R                          log(x) + 2x 2                   log(x) + 2x
--R                          -----------                     -----------
--R                               2             2                 2
--R         (3log(x) + 2x)(%e           )  + (2x  + 5x + 3)%e
--R   (11)  ------------------------------------------------------------
--R                                              2
--R                           (3x + 3)log(x) + 2x  + 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 11
--S 12 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R   (12)
--R   INTSIGN
--R  ,
--R      x
--R  ,
--R                         log(%I) + 2%I 2                     log(%I) + 2%I
--R                         -------------                       -------------
--R                               2               2                   2
--R      (3log(%I) + 2%I)(%e             )  + (2%I  + 5%I + 3)%e
--R      -------------------------------------------------------------------- d%I
--R                                                2
--R                          (3%I + 3)log(%I) + 2%I  + 2%I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 12
-- Example 5.3a
--S 13 of 61

i := (2*x+3)/(3*log(x)+2*x) * exp(log(x)/2+x)
--R
--R
--R                   log(x) + 2x
--R                   -----------
--R                        2
--R         (2x + 3)%e
--R   (13)  ---------------------
--R              3log(x) + 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 13
--S 14 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R                         log(%I) + 2%I
--R                         -------------
--R            x                  2
--R          ++  (2%I + 3)%e
--R   (14)   |   ------------------------ d%I
--R         ++        3log(%I) + 2%I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 14
--S 15 of 61
Ic := li(x*exp(log(x)/2+x))
--R
--R
--R                log(x) + 2x
--R                -----------
--R                     2
--R   (15)  li(x %e           )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 15
--S 16 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R                   log(x) + 2x
--R                   -----------
--R                        2
--R         (2x + 3)%e
--R   (16)  ---------------------
--R                  log(x) + 2x
--R                  -----------
--R                       2
--R         2log(x %e           )
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 16
-- Example 5.3b
--S 17 of 61
i := 1/(x+1)*(exp(log(x)/2+x))^2
--R
--R
--R            log(x) + 2x 2
--R            -----------
--R                 2
--R         (%e           )
--R   (17)  ----------------
--R               x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 17
--S 18 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R                 log(%I) + 2%I 2
--R                 -------------
--R            x          2
--R          ++  (%e             )
--R   (18)   |   ------------------ d%I
--R         ++         %I + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 18
--S 19 of 61
i := x/(x+1)*exp(2*x)
--R
--R
--R             2x
--R         x %e
--R   (19)  ------
--R          x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 19
--S 20 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x      2%I
--R          ++  %I %e
--R   (20)   |   -------- d%I
--R         ++    %I + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 20

--S 21 of 61
Ic := exp(2*x)/2 - exp(-2)*li(exp(2*x+2))
--R
--R
--R           2  2x
--R         %e %e   - 2Ei(2x + 2)
--R   (21)  ---------------------
--R                     2
--R                  2%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 21
--S 22 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R             2x + 2            2  2x
--R         - %e       + (x + 1)%e %e
--R   (22)  ---------------------------
--R                           2
--R                  (x + 1)%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 22
-- Page 18
-- Example 5.4
--S 23 of 61
i := ((2*x^3-x^2-6*x)/(x^2+3*x+2) + (2*x-3)/(log(x)+1)) * exp(x*log(x)+x)
--R
--R
--R             3    2                 3     2             x log(x) + x
--R         ((2x  - x  - 6x)log(x) + 4x  + 2x  - 11x - 6)%e
--R   (23)  -----------------------------------------------------------
--R                        2                    2
--R                      (x  + 3x + 2)log(x) + x  + 3x + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 23
--S 24 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R   (24)
--R   INTSIGN
--R  ,
--R      x
--R  ,
--R           3     2                    3      2              %I log(%I) + %I

--R      ((2%I  - %I  - 6%I)log(%I) + 4%I  + 2%I  - 11%I - 6)%e
--R      --------------------------------------------------------------------- d%I
--R                         2                       2
--R                      (%I  + 3%I + 2)log(%I) + %I  + 3%I + 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 24
--S 25 of 61
Ic := -3/exp(1)*li(exp(x*log(x)+x+log(x)+1)) + 2/exp(2)*li(exp(x*log(x)+x+2*log(x)+2))
--R
--R
--R                                            2
--R         2%e Ei((x + 2)log(x) + x + 2) - 3%e Ei((x + 1)log(x) + x + 1)
--R   (25)  -------------------------------------------------------------
--R                                          2
--R                                     %e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 25
--S 26 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R   (26)
--R           2                     2               (x + 2)log(x) + x + 2
--R       ((2x  + 2x)%e log(x) + (4x  + 8x + 4)%e)%e
--R     +
--R             2        2              2             2   (x + 1)log(x) + x + 1
--R       ((- 3x  - 6x)%e log(x) + (- 6x  - 15x - 6)%e )%e
--R  /
--R       3     2           2           3     2           2
--R     (x  + 3x  + 2x)%e %e log(x) + (x  + 3x  + 2x)%e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 26
-- Page 19
-- Example 6
--S 27 of 61
i := cos(x)^2 / x^3
--R
--R
--R               2
--R         cos(x)
--R   (27)  -------
--R             3
--R            x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 27

--S 28 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x        2
--R          ++  cos(%I)
--R   (28)   |   -------- d%I
--R         ++        3
--R                 %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 28
--S 29 of 61
Ic := -Ci(2*x) + sin(2*x)/(2*x) - cos(2*x)/(4*x^2) - 1/(4*x^2)
--R
--R
--R                                  2
--R         2x sin(2x) - cos(2x) - 4x Ci(2x) - 1
--R   (29)  ------------------------------------
--R                            2
--R                          4x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 29
--S 30 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R         cos(2x) + 1
--R   (30)  -----------
--R               3
--R             2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 30
-- Appendix
-- Example d1 (same as 1.1)
--S 31 of 61
i := x/log(x)^2
--R
--R
--R            x
--R   (31)  -------
--R               2
--R         log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 31
--S 32 of 61

I := integrate(i, x)
--R
--R
--R                               2
--R         2log(x)Ei(2log(x)) - x
--R   (32)  -----------------------
--R                  log(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 32
-- Example d2
--S 33 of 61
i := 1/(log(x)+3)
--R
--R
--R              1
--R   (33)  ----------
--R         log(x) + 3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 33
--S 34 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x
--R          ++       1
--R   (34)   |   ----------- d%I
--R         ++   log(%I) + 3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 34

———-

But could be integrated. See bug 7241

                3
         li(x %e )
         ---------
              3
            %e

— * —

--S 35 of 61
Ic := exp(-3)*li(exp(3)*x)
--R
--R
--R                3

--R         li(x %e )
--R   (35)  ---------
--R              3
--R            %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 35
--S 36 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R              1
--R   (36)  ----------
--R                 3
--R         log(x %e )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 36
-- Example d3
--S 37 of 61
i := x^2 / log(x+1)
--R
--R
--R              2
--R             x
--R   (37)  ----------
--R         log(x + 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 37
--S 38 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x       2
--R          ++      %I
--R   (38)   |   ----------- d%I
--R         ++   log(%I + 1)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 38

———-

But could be integrated. See bug 7241

             3     2                  2
         li(x  + 3x  + 3x + 1) - 2li(x  + 2x + 1) + li(x + 1)

— * —

--S 39 of 61
Ic := li(x^3+3*x^2+3*x+1) - 2*li(x^2+2*x+1) + li(x+1)
--R
--R
--R             3     2                  2
--R   (39)  li(x  + 3x  + 3x + 1) - 2li(x  + 2x + 1) + li(x + 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 39
--S 40 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R   (40)
--R             2                                       3     2
--R       (log(x  + 2x + 1) + (- 4x - 4)log(x + 1))log(x  + 3x  + 3x + 1)
--R     +
--R          2                         2
--R       (3x  + 6x + 3)log(x + 1)log(x  + 2x + 1)
--R  /
--R                    2               3     2
--R     log(x + 1)log(x  + 2x + 1)log(x  + 3x  + 3x + 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 40
-- Example d4
--S 41 of 61
i := (log(x)^2+3)/(log(x)^2+3*log(x)+2)
--R
--R
--R                    2
--R              log(x)  + 3
--R   (41)  ---------------------
--R               2
--R         log(x)  + 3log(x) + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 41
--S 42 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x              2
--R          ++        log(%I)  + 3
--R   (42)   |   ----------------------- d%I
--R         ++          2
--R              log(%I)  + 3log(%I) + 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E 42

———-

But could be integrated. See bug 7241

                      2       2                  2
         - 7%e li(x %e ) + 4%e li(x %e) + x %e %e
         -----------------------------------------
                                2
                           %e %e

— * —

--S 43 of 61
Ic := -7*exp(-2)*li(exp(2)*x)+4*exp(-1)*li(exp(1)*x)+x
--R
--R
--R                      2       2                  2
--R         - 7%e li(x %e ) + 4%e li(x %e) + x %e %e
--R   (43)  -----------------------------------------
--R                                2
--R                           %e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 43
--S 44 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R                                2
--R         (log(x %e) + 4)log(x %e ) - 7log(x %e)
--R   (44)  --------------------------------------
--R                                    2
--R                   log(x %e)log(x %e )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 44
-- Example d5, d6, d7
--S 45 of 61
I := li(x*exp(x)/log(x))
--R
--R
--R                 x
--R             x %e
--R   (45)  li(------)
--R            log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 45

--S 46 of 61
i := D(I, x)
--R
--R
--R                  x           x
--R         (x + 1)%e log(x) - %e
--R   (46)  ----------------------
--R                           x
--R                 2     x %e
--R           log(x) log(------)
--R                      log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 46
--S 47 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R                 x
--R             x %e
--R   (47)  li(------)
--R            log(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 47
-- Example d8
--S 48 of 61
i := exp(x)/(x+1)^2
--R
--R
--R               x
--R             %e
--R   (48)  -----------
--R          2
--R         x  + 2x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 48
--S 49 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x        %I
--R          ++       %e
--R   (49)   |   ------------- d%I
--R         ++     2
--R              %I  + 2%I + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 49

--S 50 of 61
Ic := exp(-1)*Ei(x+1) - exp(x)/(x+1)
--R
--R
--R                x
--R         - %e %e  + (x + 1)Ei(x + 1)
--R   (50)  ---------------------------
--R                  (x + 1)%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 50
--S 51 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R                  x + 1          x
--R         (x + 1)%e      - x %e %e
--R   (51)  -------------------------
--R                2
--R              (x  + 2x + 1)%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 51
-- Example d9
--S 52 of 61
i := sin(x)/x
--R
--R
--R         sin(x)
--R   (52)  ------
--R            x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 52
--S 53 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R   (53)  Si(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 53
-- Example d10 (same as 6)
--S 54 of 61
i := cos(x)^2/x^3
--R
--R
--R               2
--R         cos(x)

--R   (54)  -------
--R             3
--R            x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 54
--S 55 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x        2
--R          ++  cos(%I)
--R   (55)   |   -------- d%I
--R         ++        3
--R                 %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 55
-- Example d11
--S 56 of 61
i := (x^2+3)*exp(x)/(x^2+3*x+2)
--R
--R
--R           2       x
--R         (x  + 3)%e
--R   (56)  -----------
--R          2
--R         x  + 3x + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 56
--S 57 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x    2       %I
--R          ++  (%I  + 3)%e
--R   (57)   |   ------------- d%I
--R         ++     2
--R              %I  + 3%I + 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 57
--S 58 of 61
Ic := -7*exp(-2)*Ei(x+2) + 4*exp(-1)*Ei(x+1) + exp(x)
--R
--R
--R              2  x                      2
--R         %e %e %e  - 7%e Ei(x + 2) + 4%e Ei(x + 1)
--R   (58)  -----------------------------------------

--R                                2
--R                           %e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 58
--S 59 of 61
D(Ic, x)
--R
--R
--R                        x + 2             2  x + 1     2               2  x
--R         (- 7x - 7)%e %e      + (4x + 8)%e %e      + (x  + 3x + 2)%e %e %e
--R   (59)  ------------------------------------------------------------------
--R                                   2               2
--R                                 (x  + 3x + 2)%e %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 59
-- Example d12
--S 60 of 61
i := (x^2+1)*exp(x)/(x^2+x+1)
--R
--R
--R           2       x
--R         (x  + 1)%e
--R   (60)  -----------
--R           2
--R          x  + x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 60
--S 61 of 61
I := integrate(i, x)
--R
--R
--R            x    2       %I
--R          ++  (%I  + 1)%e
--R   (61)   |   ------------- d%I
--R         ++      2
--R               %I  + %I + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 61
)spool
)lisp (bye)

———-

References^{[1] nothing}

20