$SPAD/src/input danzwill2.input

Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

Problems from the MIT Integration Bee

Contents

2

— * —

)spool danzwill2.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
)set break resume
--S 1 of 50
i1:= integrate(e^(1991*x),x)
--R
--R
--R          1991x log(e)
--R        %e
--R   (1)  --------------
--R          1991log(e)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 1
--S 2 of 50
i2:= integrate((sin(x)-cos(x))^2,x)
--R
--R
--R              2
--R   (2)  cos(x)  + x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 2
--S 3 of 50
i3:= integrate(log(x),x)
--R
--R
--R   (3)  x log(x) - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 3
--S 4 of 50
i4:= integrate(1/(%pi*x),x)
--R
--R
--R        log(x)
--R   (4)  ------
--R          %pi
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 4
--S 5 of 50
i5:= integrate(%e^(sin(x)^2)*%e^(cos(x)^2),x)
--R

--R
--R   (5)  x %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 5
--S 6 of 50
i6:= integrate(1/(x*log(x)),x)
--R
--R
--R   (6)  log(log(x))
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 6
--S 7 of 50
i7:= integrate(x/(x^4+1),x)
--R
--R
--R              2
--R        atan(x )
--R   (7)  --------
--R            2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 7
--S 8 of 50
i8:= integrate((x+1)/(x^2+2*x+2)^(1/3),x)
--R
--R
--R          +-----------+2
--R         3| 2
--R        3\|x  + 2x + 2
--R   (8)  ----------------
--R                4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 8
--S 9 of 50
i9:= integrate(x*%e^x*sin(x),x)
--R
--R
--R            x                          x
--R        x %e sin(x) + (- x + 1)cos(x)%e
--R   (9)  --------------------------------
--R                        2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 9
--S 10 of 50
i10:= integrate(%e^(%e^x+x),x)
--R

--R
--R             x
--R           %e  + x
--R         %e
--R   (10)  ---------
--R              x
--R            %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 10
--S 11 of 50
i11:= integrate(1/(sec(x)+tan(x)*sin(x)),x)
--R
--R
--R               (2cos(x) + 3)sin(x)             sin(x)
--R   (11)  atan(---------------------) - atan(-----------)
--R                    2                       2cos(x) + 2
--R              cos(x)  + 2cos(x) + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 11
--S 12 of 50
i12:= integrate((%e^(5*x)+%e^(7*x))/(%e^x+%e^(-x)),x)
--R
--R
--R            x 6
--R         (%e )
--R   (12)  ------
--R            6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 12
--S 13 of 50
i13:= integrate(sqrt(-1+2/(1+3*x)),x)
--R
--R
--R                  +--------+             +--------+
--R                  |- 3x + 1              |- 3x + 1
--R         - 2atan( |-------- ) + (3x + 1) |--------
--R                 \| 3x + 1              \| 3x + 1
--R   (13)  ------------------------------------------
--R                              3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 13
--S 14 of 50
i14:= integrate(sinh(x)-cosh(x),x)
--R
--R
--R                 1

--R   (14)  -----------------
--R         sinh(x) + cosh(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 14
--S 15 of 50
i15:= integrate((sin(x)*%e^sec(x))/cos(x)^2,x)
--R
--R
--R              1
--R           ------
--R           cos(x)
--R   (15)  %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 15
--S 16 of 50
i16:= integrate((x^2+1)/(x^4-x^2+1),x)
--R
--R
--R               3
--R   (16)  atan(x ) + atan(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 16
--S 17 of 50
i17:= integrate(1/(%pi*x^2+atan(x)+x^2*atan(x)+%pi),x)
--R
--R
--R                    2x   2               2x          2
--R         log(atan(------)  - 4%pi atan(------) + 4%pi )
--R                   2                    2
--R                  x  - 1               x  - 1
--R   (17)  ----------------------------------------------
--R                                2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 17
--S 18 of 50
i18:= integrate(sec(x)^3,x)
--R
--R
--R   (18)
--R         2    sin(x) + cos(x) + 1          2    sin(x) - cos(x) - 1
--R   cos(x) log(-------------------) - cos(x) log(-------------------) + sin(x)
--R                   cos(x) + 1                        cos(x) + 1
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                           2
--R                                    2cos(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E 18
--S 19 of 50
i19:= integrate(1/(x^2-10*x+26),x)
--R
--R
--R   (19)  atan(x - 5)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 19
--S 20 of 50
i20:= integrate(1/(x^2-11*x-26),x)
--R
--R
--R         - log(x + 2) + log(x - 13)
--R   (20)  --------------------------
--R                     15
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 20
--S 21 of 50
i21:= integrate(1/(12+13*cos(x)),x)
--R
--R
--R             sin(x) + 5cos(x) + 5        sin(x) - 5cos(x) - 5
--R         log(--------------------) - log(--------------------)
--R                  cos(x) + 1                  cos(x) + 1
--R   (21)  -----------------------------------------------------
--R                                   5
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 21
--S 22 of 50
i22:= integrate((x^3+1)/(x+1),x)
--R
--R
--R           3     2
--R         2x  - 3x  + 6x
--R   (22)  --------------
--R                6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 22
--S 23 of 50
i23:= integrate((1-4*x^4)^(-1/2)/(4*x)^(-1),x)
--R
--R
--R                  +---------+
--R                  |    4
--R                 \|- 4x  + 1  - 1

--R   (23)  - 2atan(----------------)
--R                          2
--R                        2x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 23
--S 24 of 50
i24:= integrate(%e^(1991),x)
--R
--R
--R             1991
--R   (24)  x %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 24
--S 25 of 50
i25:= integrate((log(x)+1)*x^x,x)
--R
--R
--R           x log(x)
--R   (25)  %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 25
--S 26 of 50
i26:= integrate(cos(2*x)*sin(6*x),x)
--R
--R
--R                   4          2
--R         - 2cos(2x)  + cos(2x)
--R   (26)  ----------------------
--R                    4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 26
--S 27 of 50
i27:= integrate(1/(sqrt(x)*(1+sqrt(x))),x)
--R
--R
--R               +-+
--R   (27)  2log(\|x  + 1)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 27
--S 28 of 50
i28:= integrate(e^(1/x)*x^(-3),x)
--R
--R
--R                         log(e)
--R                         ------

--R                            x
--R         (- log(e) + x)%e
--R   (28)  ----------------------
--R                        2
--R                x log(e)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 28
--S 29 of 50
i29:= integrate(sqrt(csc(x)-sin(x)),x)
--R
--R
--R                         +--------------------------------+
--R                         |         - 16cos(x) + 16
--R   (29)  (- cos(x) - 1)  |--------------------------------
--R                        4|      3          2
--R                        \|cos(x)  + 3cos(x)  + 3cos(x) + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 29
--S 30 of 50
i30:= integrate((x^2+1)/(x^3-x),x)
--R
--R
--R              2
--R   (30)  log(x  - 1) - log(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 30
--S 31 of 50
i31:= integrate(42^x,x)
--R
--R
--R           x log(42)
--R         %e
--R   (31)  -----------
--R           log(42)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 31
--S 32 of 50
i32:= integrate(x^5*%e^x,x)
--R
--R
--R           5     4      3      2                x
--R   (32)  (x  - 5x  + 20x  - 60x  + 120x - 120)%e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 32
--S 33 of 50

i33:= integrate(x*%e^(x^2),x)
--R
--R
--R            2
--R           x
--R         %e
--R   (33)  ----
--R           2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 33
--S 34 of 50
i34:= integrate(1/(x^2+1)^2,x)
--R
--R
--R           2
--R         (x  + 1)atan(x) + x
--R   (34)  -------------------
--R                 2
--R               2x  + 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 34
--S 35 of 50
i35:= integrate(1/(%e^x+%e^(-x)),x)
--R
--R
--R                x
--R   (35)  atan(%e )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 35
--S 36 of 50
i36:= integrate(tan(x)*log(abs(sec(x))),x)
--R
--R
--R              +-------+ 2
--R              |   1
--R         log( |------- )
--R              |      2
--R             \|cos(x)
--R   (36)  ----------------
--R                 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 36
--S 37 of 50
i37:= integrate(cos(sin(x))*cos(x),x)
--R
--R

--R   (37)  sin(sin(x))
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 37
--S 38 of 50
i38:= integrate(1/(x^2-9),x)
--R
--R
--R         - log(x + 3) + log(x - 3)
--R   (38)  -------------------------
--R                     6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 38
--S 39 of 50
i39:= integrate(%pi/sqrt(16-%e^2),x)
--R
--R
--R             %pi x
--R   (39)  -------------
--R          +----------+
--R          |    2
--R         \|- %e  + 16
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 39
--S 40 of 50
i40:= integrate(sqrt(tan(x)),x)
--R
--R
--R   (40)
--R          +-+
--R         \|2
--R      *
--R                                                  +------+
--R                  +-+                 +-+      2  |sin(x)
--R         log((- 2\|2 cos(x)sin(x) - 2\|2 cos(x) ) |------  + 4cos(x)sin(x) + 1)
--R                                                 \|cos(x)
--R     +
--R                              +------+
--R                              |sin(x)     +-+                +-+      2    +-+
--R                2cos(x)sin(x) |------  - \|2 cos(x)sin(x) + \|2 cos(x)  - \|2
--R        +-+                  \|cos(x)
--R       \|2 atan(--------------------------------------------------------------)
--R                               +------+
--R                             2 |sin(x)     +-+                +-+      2
--R                      2cos(x)  |------  - \|2 cos(x)sin(x) - \|2 cos(x)
--R                              \|cos(x)
--R     +
--R       -

--R             +-+
--R            \|2
--R         *
--R                             +------+
--R                             |sin(x)      +-+                 +-+      2    +-+
--R               4cos(x)sin(x) |------  - 2\|2 cos(x)sin(x) + 2\|2 cos(x)  - \|2
--R                            \|cos(x)
--R          atan(----------------------------------------------------------------)
--R                           +------+
--R                         2 |sin(x)      +-+                 +-+      2    +-+
--R                  4cos(x)  |------  - 2\|2 cos(x)sin(x) - 2\|2 cos(x)  + \|2
--R                          \|cos(x)
--R     +
--R                                 +------+
--R                                 |sin(x)     +-+                +-+      2
--R                   2cos(x)sin(x) |------  - \|2 cos(x)sin(x) + \|2 cos(x)
--R          +-+                   \|cos(x)
--R       - \|2 atan(---------------------------------------------------------)
--R                           +------+
--R                         2 |sin(x)     +-+                +-+      2    +-+
--R                  2cos(x)  |------  - \|2 cos(x)sin(x) - \|2 cos(x)  + \|2
--R                          \|cos(x)
--R  /
--R     4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 40
--S 41 of 50
i41:= integrate(sin(x)^(-1),x)
--R
--R
--R               sin(x)
--R   (41)  log(----------)
--R             cos(x) + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 41
--S 42 of 50
i42:= integrate((x^2-2*x+2)/(x^2+1),x)
--R
--R
--R                2
--R   (42)  - log(x  + 1) + atan(x) + x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 42
--S 43 of 50
i43:= integrate((sin(x)^2*cos(x)^2)/(1+cos(2*x)),x)
--R
--R

--R         - cos(x)sin(x) + x
--R   (43)  ------------------
--R                  4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 43
--S 44 of 50
i44:= integrate(sqrt(x+x^2*sqrt(x)),x)
--R
--R
--R                       +----------+
--R            +-+     2  | 2 +-+
--R         (4\|x  + 4x )\|x \|x  + x
--R   (44)  --------------------------
--R                     9x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 44
--S 45 of 50
i45:= integrate(cos(4*x)*cos(2*x),x)
--R
--R
--R                  2
--R         (2cos(2x)  + 1)sin(2x)
--R   (45)  ----------------------
--R                    6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 45
--S 46 of 50
i46:= integrate(sqrt(x^3-1)/x,x)
--R
--R
--R                  +------+      +------+
--R                  | 3           | 3
--R         - 2atan(\|x  - 1 ) + 2\|x  - 1
--R   (46)  -------------------------------
--R                        3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 46
--S 47 of 50
i47:= integrate((%e^x*(x-2))/x^3,x)
--R
--R
--R           x
--R         %e
--R   (47)  ---
--R           2
--R          x

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 47
--S 48 of 50
i48:= integrate(cot(x)/log(sin(x)),x)
--R
--R
--R   (48)  log(log(sin(x)))
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 48
--S 49 of 50
i49:= integrate(x*sec(x)^2,x)
--R
--R
--R                          2                      2cos(x)
--R         - cos(x)log(----------) + cos(x)log(- ----------) + x sin(x)
--R                     cos(x) + 1                cos(x) + 1
--R   (49)  ------------------------------------------------------------
--R                                    cos(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 49
--S 50 of 50
i50:= integrate(x*sec(x)*(x*tan(x)+2),x)
--R
--R
--R            2
--R           x
--R   (50)  ------
--R         cos(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 50
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Zwillinger, Daniel, “Handbook of Integration”, Jones and Bartlett, Boston 1992 ISBN 0-86720-293-9 pp28-29