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Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

———-

— * —

)set break resume
)spool genups.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 40
taylor(n +-> 1/factorial(n),x = 0)      -- expansion of exp(x) at x = 0
--R
--R
--R   (1)
--R             1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7     1    8
--R     1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + ----- x
--R             2      6      24      120      720      5040      40320
--R   +
--R        1    9      1     10      11
--R     ------ x  + ------- x   + O(x  )
--R     362880      3628800
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 1
--S 2 of 40
taylor(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..)   -- expansion of log(x) at x = 1
--R
--R
--R   (2)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7   1        8   1        9    1        10            11
--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - -- (x - 1)   + O((x - 1)  )
--R     7            8            9            10
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 2
--S 3 of 40
taylor(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..6)  -- truncated expansion of log(x)
--R
--R

--R   (3)
--R             1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R   (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R             2            3            4            5            6
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 3
--S 4 of 40
laurent(m +-> m**2,x = 7,-2..)          -- infinite Laurent expansion
--R
--R
--R   (4)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5            6            7            8            9
--R     25(x - 7)  + 36(x - 7)  + 49(x - 7)  + 64(x - 7)  + O((x - 7) )
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 4
--S 5 of 40
laurent(m +-> m**2,x = 7,-2..5)         --   finite Laurent expansion
--R
--R
--R   (5)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5
--R     25(x - 7)
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 5
--S 6 of 40
puiseux(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..,2)  -- sin(x) at x = 0
--R
--R
--R            1  3    1   5     1   7      1    9       1     11      12
--R   (6)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R            6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 6
--S 7 of 40
puiseux(i +-> (-1)**(i/2)/factorial(i),x = 0,0..,2)      -- cos(x) at x = 0
--R
--R
--R            1  2    1  4    1   6     1    8      1     10      11
--R   (7)  1 - - x  + -- x  - --- x  + ----- x  - ------- x   + O(x  )
--R            2      24      720      40320      3628800

--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 7
-- puiseux(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..9,2) -- truncated sin(x)
-- interpretor needs help here
--S 8 of 40
puiseux(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..9/1,2) -- truncated sin(x)
--R
--R
--R            1  3    1   5     1   7      1    9
--R   (8)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x
--R            6      120      5040      362880
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 8
--S 9 of 40
puiseux(j +-> j,x = 8,-4/3..,1/2)
--R
--R
--R   (9)
--R                4              5              1            1            1
--R              - -            - -            - -            -            -
--R     4          3   5          6   1          3   1        6            2
--R   - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)  + O((x - 8) )
--R     3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 9
--S 10 of 40
puiseux(j +-> j,x = 8,-4/3..1/6,1/2)
--R
--R
--R                      4              5              1            1
--R                    - -            - -            - -            -
--R           4          3   5          6   1          3   1        6
--R   (10)  - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)
--R           3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 10

———-

Same computations using expressions instead of functions — * —

--S 11 of 40
taylor(1/factorial(n),n,x = 0)      -- expansion of exp(x) at x = 0
--R
--R
--R   (11)

--R             1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7     1    8
--R     1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + ----- x
--R             2      6      24      120      720      5040      40320
--R   +
--R        1    9      1     10      11
--R     ------ x  + ------- x   + O(x  )
--R     362880      3628800
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 11
--S 12 of 40
taylor((-1)**(n-1)/n,n,x = 1,1..)   -- expansion of log(x) at x = 1
--R
--R
--R   (12)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7   1        8   1        9    1        10            11
--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - -- (x - 1)   + O((x - 1)  )
--R     7            8            9            10
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 12
--S 13 of 40
taylor((-1)**(n-1)/n,n,x = 1,1..6)  -- truncated expansion of log(x)
--R
--R
--R   (13)
--R             1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R   (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R             2            3            4            5            6
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 13
--S 14 of 40
laurent(m**2,m,x = 7,-2..)          -- infinite Laurent expansion
--R
--R
--R   (14)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5            6            7            8            9
--R     25(x - 7)  + 36(x - 7)  + 49(x - 7)  + 64(x - 7)  + O((x - 7) )
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 14
--S 15 of 40

laurent(m**2,m,x = 7,-2..5)         --   finite Laurent expansion
--R
--R
--R   (15)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5
--R     25(x - 7)
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 15
--S 16 of 40
puiseux((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..,2)  -- sin(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9       1     11      12
--R   (16)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R             6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 16
--S 17 of 40
puiseux((-1)**(i/2)/factorial(i),i,x = 0,0..,2)      -- cos(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  2    1  4    1   6     1    8      1     10      11
--R   (17)  1 - - x  + -- x  - --- x  + ----- x  - ------- x   + O(x  )
--R             2      24      720      40320      3628800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 17
-- puiseux((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..9,2) -- truncated sin(x)
-- interpretor needs help here
--S 18 of 40
puiseux((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..9/1,2) -- truncated sin(x)
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9
--R   (18)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x
--R             6      120      5040      362880
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 18
--S 19 of 40
puiseux(j,j,x = 8,-4/3..,1/2)
--R
--R
--R   (19)
--R                4              5              1            1            1

--R              - -            - -            - -            -            -
--R     4          3   5          6   1          3   1        6            2
--R   - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)  + O((x - 8) )
--R     3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 19
--S 20 of 40
puiseux(j,j,x = 8,-4/3..1/6,1/2)
--R
--R
--R                      4              5              1            1
--R                    - -            - -            - -            -
--R           4          3   5          6   1          3   1        6
--R   (20)  - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)
--R           3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 20

———-

All of the above commands should still work when the functions ’taylor’, ’laurent’, and ’puiseux’ are replaced by ’series’:

— * —

--S 21 of 40
series(n +-> 1/factorial(n),x = 0)      -- expansion of exp(x) at x = 0
--R
--R
--R   (21)
--R             1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7     1    8
--R     1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + ----- x
--R             2      6      24      120      720      5040      40320
--R   +
--R        1    9      1     10      11
--R     ------ x  + ------- x   + O(x  )
--R     362880      3628800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 21
--S 22 of 40
series(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..)   -- expansion of log(x) at x = 1
--R
--R
--R   (22)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7   1        8   1        9    1        10    1        11

--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - -- (x - 1)   + -- (x - 1)
--R     7            8            9            10             11
--R   +
--R              12
--R     O((x - 1)  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 22
--S 23 of 40
series(n +-> (-1)**(n-1)/n,x = 1,1..6)  -- truncated expansion of log(x)
--R
--R
--R   (23)
--R             1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R   (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R             2            3            4            5            6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 23
--S 24 of 40
series(m +-> m**2,x = 7,-2..)          -- infinite Laurent expansion
--R
--R
--R   (24)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5            6            7            8            9
--R     25(x - 7)  + 36(x - 7)  + 49(x - 7)  + 64(x - 7)  + O((x - 7) )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 24
--S 25 of 40
series(m +-> m**2,x = 7,-2..5)         --   finite Laurent expansion
--R
--R
--R   (25)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5
--R     25(x - 7)
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 25
--S 26 of 40
series(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..,2)  -- sin(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9       1     11      12

--R   (26)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R             6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 26
--S 27 of 40
series(i +-> (-1)**(i/2)/factorial(i),x = 0,0..,2)      -- cos(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  2    1  4    1   6     1    8      1     10      11
--R   (27)  1 - - x  + -- x  - --- x  + ----- x  - ------- x   + O(x  )
--R             2      24      720      40320      3628800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 27
-- series(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..9,2) -- truncated sin(x)
-- interpretor needs help here
--S 28 of 40
series(i +-> (-1)**((i-1)/2)/factorial(i),x = 0,1..9/1,2) -- truncated sin(x)
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9
--R   (28)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x
--R             6      120      5040      362880
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 28
--S 29 of 40
series(j +-> j,x = 8,-4/3..,1/2)
--R
--R
--R   (29)
--R                4              5              1            1            1
--R              - -            - -            - -            -            -
--R     4          3   5          6   1          3   1        6            2
--R   - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)  + O((x - 8) )
--R     3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 29
--S 30 of 40
series(j +-> j,x = 8,-4/3..1/6,1/2)
--R
--R
--R                      4              5              1            1
--R                    - -            - -            - -            -
--R           4          3   5          6   1          3   1        6
--R   (30)  - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)
--R           3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)

--E 30

———-

Same computations using expressions instead of functions — * —

--S 31 of 40
series(1/factorial(n),n,x = 0)      -- expansion of exp(x) at x = 0
--R
--R
--R   (31)
--R             1  2   1  3    1  4    1   5    1   6     1   7     1    8
--R     1 + x + - x  + - x  + -- x  + --- x  + --- x  + ---- x  + ----- x
--R             2      6      24      120      720      5040      40320
--R   +
--R        1    9      1     10      11
--R     ------ x  + ------- x   + O(x  )
--R     362880      3628800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 31
--S 32 of 40
series((-1)**(n-1)/n,n,x = 1,1..)   -- expansion of log(x) at x = 1
--R
--R
--R   (32)
--R               1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R     (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R               2            3            4            5            6
--R   +
--R     1        7   1        8   1        9    1        10    1        11
--R     - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - -- (x - 1)   + -- (x - 1)
--R     7            8            9            10             11
--R   +
--R              12
--R     O((x - 1)  )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 32
--S 33 of 40
series((-1)**(n-1)/n,n,x = 1,1..6)  -- truncated expansion of log(x)
--R
--R
--R   (33)
--R             1        2   1        3   1        4   1        5   1        6
--R   (x - 1) - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)  + - (x - 1)  - - (x - 1)
--R             2            3            4            5            6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 33

--S 34 of 40
series(m**2,m,x = 7,-2..)          -- infinite Laurent expansion
--R
--R
--R   (34)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5            6            7            8            9
--R     25(x - 7)  + 36(x - 7)  + 49(x - 7)  + 64(x - 7)  + O((x - 7) )
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 34
--S 35 of 40
series(m**2,m,x = 7,-2..5)         --   finite Laurent expansion
--R
--R
--R   (35)
--R             - 2          - 1                     2           3            4
--R     4(x - 7)    + (x - 7)    + (x - 7) + 4(x - 7)  + 9(x - 7)  + 16(x - 7)
--R   +
--R              5
--R     25(x - 7)
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,7)
--E 35
--S 36 of 40
series((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..,2)  -- sin(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9       1     11      12
--R   (36)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R             6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 36
--S 37 of 40
series((-1)**(i/2)/factorial(i),i,x = 0,0..,2)      -- cos(x) at x = 0
--R
--R
--R             1  2    1  4    1   6     1    8      1     10      11
--R   (37)  1 - - x  + -- x  - --- x  + ----- x  - ------- x   + O(x  )
--R             2      24      720      40320      3628800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 37
-- series((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..9,2) -- truncated sin(x)
-- interpretor needs help here
--S 38 of 40

series((-1)**((i-1)/2)/factorial(i),i,x = 0,1..9/1,2) -- truncated sin(x)
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9
--R   (38)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x
--R             6      120      5040      362880
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 38
--S 39 of 40
series(j,j,x = 8,-4/3..,1/2)
--R
--R
--R   (39)
--R                4              5              1            1            1
--R              - -            - -            - -            -            -
--R     4          3   5          6   1          3   1        6            2
--R   - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)  + O((x - 8) )
--R     3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 39
--S 40 of 40
series(j,j,x = 8,-4/3..1/6,1/2)
--R
--R
--R                      4              5              1            1
--R                    - -            - -            - -            -
--R           4          3   5          6   1          3   1        6
--R   (40)  - - (x - 8)    - - (x - 8)    - - (x - 8)    + - (x - 8)
--R           3              6              3              6
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,8)
--E 40
)spool
)lisp (bye)

———-

References^{[1] nothing}

14