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Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

———-

— * —

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)clear all

———-

Some genus 0 integrations — * —

--S 1 of 25
y := sqrt(a * x + b)
--R
--R
--R         +-------+
--R   (1)  \|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 1
--S 2 of 25
integrate(y,x)
--R
--R
--R                    +-------+
--R        (2a x + 2b)\|a x + b
--R   (2)  ---------------------
--R                  3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 2
--S 3 of 25
t1:=x * y
--R
--R
--R          +-------+
--R   (3)  x\|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 3

--S 4 of 25
integrate(t1,x)
--R
--R
--R           2 2              2  +-------+
--R        (6a x  + 2a b x - 4b )\|a x + b
--R   (4)  --------------------------------
--R                         2
--R                      15a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 4
--S 5 of 25
z := sqrt(a**2 - x**2)
--R
--R
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R   (5)  \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 5
--S 6 of 25
t2:=1 / z
--R
--R
--R              1
--R   (6)  ------------
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R        \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 6
--S 7 of 25
integrate(t2,x)
--R
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- x  + a   - a
--R   (7)  - 2atan(----------------)
--R                        x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 7
--S 8 of 25
t3:=x**2 * z
--R
--R

--R           +---------+
--R         2 |   2    2
--R   (8)  x \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 8
--S 9 of 25
integrate(t3,x)
--R
--R
--R   (9)
--R                           +---------+
--R               5 2      7  |   2    2      4 4      6 2      8
--R         ((- 8a x  + 16a )\|- x  + a   - 2a x  + 16a x  - 16a )
--R      *
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a
--R         atan(----------------)
--R                      x
--R     +
--R                                    +---------+
--R        7      2 5      4 3     6   |   2    2        7      3 5      5 3     7
--R     (2x  - 17a x  + 24a x  - 8a x)\|- x  + a   - 8a x  + 28a x  - 28a x  + 8a x
--R  /
--R                     +---------+
--R           2      3  |   2    2      4      2 2      4
--R     (32a x  - 64a )\|- x  + a   + 8x  - 64a x  + 64a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 9
--S 10 of 25
t4:=x**3 / (a+b*x)**(1/3)
--R
--R
--R              3
--R             x
--R   (10)  ----------
--R         3+-------+
--R         \|b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 10
--S 11 of 25
integrate(t4,x)
--R
--R
--R              3 3         2 2       2          3 3+-------+2
--R         (120b x  - 135a b x  + 162a b x - 243a )\|b x + a
--R   (11)  ---------------------------------------------------

--R                                    4
--R                                440b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 11
--S 12 of 25
t5:=1 / (x**3 * (a+b*x)**(1/3))
--R
--R
--R               1
--R   (12)  ------------
--R          3 3+-------+
--R         x  \|b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 12
--S 13 of 25
integrate(t5,x)
--R
--R
--R   (13)
--R           2 2 +-+    3+-+3+-------+2   3+-+2 3+-------+
--R       - 2b x \|3 log(\|a \|b x + a   + \|a   \|b x + a + a)
--R     +
--R         2 2 +-+    3+-+2 3+-------+
--R       4b x \|3 log(\|a   \|b x + a - a)
--R     +
--R                  +-+3+-+2 3+-------+    +-+
--R        2 2     2\|3 \|a   \|b x + a + a\|3                  +-+3+-+3+-------+2
--R     12b x atan(----------------------------) + (12b x - 9a)\|3 \|a \|b x + a
--R                             3a
--R  /
--R        2 2 +-+3+-+
--R     18a x \|3 \|a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 13

———-

Examples of transcendentals over a curve of genus 0 — * —

--S 14 of 25
t6:=x / (y + y**2) + log(y + 1)
--R
--R
--R           +-------+                +-------+
--R         (\|a x + b  + a x + b)log(\|a x + b  + 1) + x
--R   (14)  ---------------------------------------------
--R                       +-------+

--R                      \|a x + b  + a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 14
--S 15 of 25
integrate(t6,x)
--R
--R
--R   (15)
--R          2                            +-------+                 +-------+
--R       (2a x + (2a - 4)b - 2a + 4)log(\|a x + b  + 1) + (2a - 4)\|a x + b
--R     +
--R           2
--R       (- a  + 2a)x
--R  /
--R       2
--R     2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 15
--S 16 of 25
t7:=(2 + 1/sqrt(x)) * cos(x + sqrt x)
--R
--R
--R            +-+          +-+
--R         (2\|x  + 1)cos(\|x  + x)
--R   (16)  ------------------------
--R                    +-+
--R                   \|x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 16
--S 17 of 25
integrate(t7,x)
--R
--R
--R               +-+
--R   (17)  2sin(\|x  + x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 17

———-

One which does not have an elementary integral — * —

--S 18 of 25
t8:=log(1 + y) / x
--R
--R

--R              +-------+
--R         log(\|a x + b  + 1)
--R   (18)  -------------------
--R                  x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 18
--S 19 of 25
integrate(t8,x)
--R
--R
--R            x      +--------+
--I          ++  log(\|b + %K a  + 1)
--I   (19)   |   -------------------- d%K
--I         ++            %K
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 19

———-

Integrals of hyperbolic trigs are returned in terms of hyperb. trigs.

— * —

--S 20 of 25
t9:=(sinh(1+sqrt(x+b))+2*sqrt(x+b))/(sqrt(x+b)*(x+cosh(1+sqrt(x+b))))
--R
--R
--R                   +-----+          +-----+
--R             sinh(\|x + b  + 1) + 2\|x + b
--R   (20)  --------------------------------------
--R          +-----+      +-----+          +-----+
--R         \|x + b cosh(\|x + b  + 1) + x\|x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 20
--S 21 of 25
integrate(t9,x)
--R
--R
--R                              +-----+
--R                     - 2cosh(\|x + b  + 1) - 2x            +-----+
--R   (21)  2log(---------------------------------------) - 2\|x + b
--R                    +-----+              +-----+
--R              sinh(\|x + b  + 1) - cosh(\|x + b  + 1)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 21

———-

Examples of genus 0 functions presented as transcendentals — * —

--S 22 of 25
t10:=tan(atan(x)/2)
--R
--R
--R             atan(x)
--R   (22)  tan(-------)
--R                2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 22
--S 23 of 25
integrate(t10,x)
--R
--R
--R   (23)
--R           +------+          +------+
--R           | 2               | 2
--R       (- \|x  + 1  + x)log(\|x  + 1  - x + 1)
--R     +
--R         +------+          +------+                           +------+
--R         | 2               | 2                                | 2
--R       (\|x  + 1  - x)log(\|x  + 1  - x - 1) + (- log(x) - x)\|x  + 1
--R     +
--R                   2
--R       x log(x) + x  + 1
--R  /
--R      +------+
--R      | 2
--R     \|x  + 1  - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 23
--S 24 of 25
t11:=tan(atan(x)/3)
--R
--R
--R             atan(x)
--R   (24)  tan(-------)
--R                3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 24
--S 25 of 25
integrate(t11,x)
--R
--R
--R                   atan(x) 2             atan(x) 2           atan(x)
--R         8log(3tan(-------)  - 1) - 3tan(-------)  + 18x tan(-------)
--R                      3                     3                   3
--R   (25)  ------------------------------------------------------------

--R                                      18
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 25
)spool
)lisp (bye)

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References^{[1] nothing}

11