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Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

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— * —

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———-

Some integration of rational functions — * —

--S 1 of 14
x + y/x
--R
--R
--R             2
--R        y + x
--R   (1)  ------
--R           x
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 1
--S 2 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R                     2
--R        2y log(x) + x
--R   (2)  --------------
--R               2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 2

———-

We need not factor the denominator — * —

--S 3 of 14
(x+1)**2/((x+1)**6+1)

--R
--R
--R                       2
--R                      x  + 2x + 1
--R   (3)  --------------------------------------
--R         6     5      4      3      2
--R        x  + 6x  + 15x  + 20x  + 15x  + 6x + 2
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 3
--S 4 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R              3     2
--R        atan(x  + 3x  + 3x + 1)
--R   (4)  -----------------------
--R                   3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 4
--S 5 of 14
(2*x**2+4)**4/(x**2-2)**5
--R
--R
--R            8       6       4       2
--R         16x  + 128x  + 384x  + 512x  + 256
--R   (5)  ------------------------------------
--R         10      8      6      4      2
--R        x   - 10x  + 40x  - 80x  + 80x  - 32
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 5
--S 6 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R   (6)
--R                                                   +-+    2
--R          8      6      4      2       +-+    - 2x\|2  + x  + 2       7      5
--R       (3x  - 24x  + 72x  - 96x  + 48)\|2 log(-----------------) - 20x  - 24x
--R                                                     2
--R                                                    x  - 2
--R     +
--R            3
--R       - 48x  - 160x
--R  /
--R       8      6      4      2
--R     2x  - 16x  + 48x  - 64x  + 32
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E 6
--S 7 of 14
x**5/(x**4+x**2+1)**2
--R
--R
--R                    5
--R                   x
--R   (7)  ------------------------
--R         8     6     4     2
--R        x  + 2x  + 3x  + 2x  + 1
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 7
--S 8 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R                               2      +-+
--R           4     2          (2x  + 1)\|3         2      +-+
--R        (4x  + 4x  + 4)atan(-------------) + (- x  + 1)\|3
--R                                  3
--R   (8)  ---------------------------------------------------
--R                           4     2      +-+
--R                        (6x  + 6x  + 6)\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 8
--S 9 of 14
1/(x**2 + a)
--R
--R
--R           1
--R   (9)  ------
--R         2
--R        x  + a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 9
--S 10 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R                2      +---+
--R              (x  - a)\|- a  + 2a x         +-+
--R          log(---------------------)      x\|a
--R                       2             atan(-----)
--R                      x  + a                a
--R   (10)  [--------------------------,-----------]
--R                      +---+               +-+

--R                    2\|- a               \|a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E 10
--S 11 of 14
x**2/(x**4-a**2)
--R
--R
--R             2
--R            x
--R   (11)  -------
--R          4    2
--R         x  - a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 11
--S 12 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R   (12)
--R          2      +-+                   +-+
--R        (x  + a)\|a  - 2a x          x\|a
--R    log(-------------------) + 2atan(-----)
--R                2                      a
--R               x  - a
--R   [---------------------------------------,
--R                       +-+
--R                     4\|a
--R          2      +---+                   +---+
--R        (x  - a)\|- a  + 2a x          x\|- a
--R    log(---------------------) - 2atan(-------)
--R                 2                        a
--R                x  + a
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                      4\|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E 12
--S 13 of 14
x/(1-x**3)
--R
--R
--R              x
--R   (13)  - ------
--R            3
--R           x  - 1
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 13

--S 14 of 14
integrate(%,x)
--R
--R
--R                                                                +-+
--R          +-+     2              +-+                   (2x + 1)\|3
--R         \|3 log(x  + x + 1) - 2\|3 log(x - 1) - 6atan(------------)
--R                                                             3
--R   (14)  -----------------------------------------------------------
--R                                      +-+
--R                                    6\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 14
)spool
)lisp (bye)

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References^{[1] nothing}

8