$SPAD/src/input liska.input

Timothy Daly

December 3, 2016

Abstract

Richard Liska, Ladislav Drska, Jiri Limpouch, Milan Sinor, Michael Wester, Franz Winkler ”Computer Algebra - algorithms, systems and applications” June 2, 1997

kfe.fjfi.cvut.cz/~liska/ca/all.html

Contents

2

— * —

)set break resume
)sys rm -f liska.output
)spool liska.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

———-

1 Number Domains

1.1 Big integers

— * —

)clear all
--S 1 of 94
23^12
--R
--R
--R   (1)  21914624432020321
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 1
--S 2 of 94
factorial 60
--R
--R
--R   (2)
--R  8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000_
--R   000000
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 2
--S 3 of 94
bi:=23^4*37*59*101
--R
--R
--R   (3)  61700183203
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 3
--S 4 of 94
factor bi
--R

--R
--R          4
--R   (4)  23 37 59 101
--R                                                      Type: Factored(Integer)
--E 4
--S 5 of 94
bia:=23*11^6
--R
--R
--R   (5)  40745903
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 5
--S 6 of 94
gcd(bi,bia)
--R
--R
--R   (6)  23
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 6

———-

1.2 Rational numbers

— * —

)clear all
--S 7 of 94
1234567890/98765432
--R
--R
--R        617283945
--R   (1)  ---------
--R         49382716
--R                                                      Type: Fraction(Integer)
--E 7
--S 8 of 94
rn:=1/2+2/15-64/47
--R
--R
--R          1027
--R   (2)  - ----
--R          1410
--R                                                      Type: Fraction(Integer)

--E 8

———-

1.3 Complex numbers

— * —

)clear all
--S 9 of 94
cn:=(2+3*%i)*(15-6*%i)+2/(2-4*%i)
--R
--R
--R        63 + 115%i
--R   (1)  ----------
--R          2 + %i
--R                                             Type: Fraction(Complex(Integer))
--E 9
--S 10 of 94
real(cn)+%i*imag(cn)
--R
--R
--R        63 + 115%i
--R   (2)  ----------
--R          2 + %i
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E 10

———-

1.4 Algebraic numbers

— * —

)clear all
--S 11 of 94
sqrt2:=rootOf(sqrt2^2-2)
--R
--R
--R   (1)  sqrt2
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 11
--S 12 of 94
1/(sqrt2+1)

--R
--R
--R   (2)  sqrt2 - 1
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 12
--S 13 of 94
(x^2+2*sqrt2*x+2)/(x+sqrt2)
--R
--R
--R   (3)  x + sqrt2
--R                                  Type: Fraction(Polynomial(AlgebraicNumber))
--E 13
--S 14 of 94
t1:=(x^3+(sqrt2-2)*x^2-(2*sqrt2+3)*x-3*sqrt2)/(x^2-2)
--R
--R
--R         2
--R        x  - 2x - 3
--R   (4)  -----------
--R         x - sqrt2
--R                                  Type: Fraction(Polynomial(AlgebraicNumber))
--E 14
--S 15 of 94
normalize t1
--R
--R
--R           2
--R        - x  + 2x + 3
--R   (5)  -------------
--R          sqrt2 - x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 15
--S 16 of 94
sqrt(x^2-2*sqrt2*x*y+2*y^2)
--R
--R
--R         +-----------------------+
--R         |                 2    2
--R   (6)  \|- 2x y sqrt2 + 2y  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 16
--S 17 of 94
sqrt5:=rootOf(sqrt5^2-5)
--R
--R

--R   (7)  sqrt5
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 17
--S 18 of 94
cbrt3:=rootOf(cbrt3^3-3)
--R
--R
--R   (8)  cbrt3
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 18
--S 19 of 94
cbrt3^3
--R
--R
--R   (9)  3
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 19
--S 20 of 94
sqrt5^2
--R
--R
--R   (10)  5
--R                                                        Type: AlgebraicNumber
--E 20
--S 21 of 94
cbrt
--R
--R
--R   (11)  cbrt
--R                                                         Type: Variable(cbrt)
--E 21
--S 22 of 94
sqrt(x^2+2*(sqrt5-cbrt3)*x+5-2*sqrt5*cbrt3+cbrt3^2)
--R
--R
--R          +-------------------------------------------------+
--R          |                            2               2
--R   (12)  \|(- 2cbrt3 + 2x)sqrt5 + cbrt3  - 2x cbrt3 + x  + 5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 22

———-

1.5 Big floating point numbers

— * —

)clear all
--S 23 of 94
rn:=-1027/1410
--R
--R
--R          1027
--R   (1)  - ----
--R          1410
--R                                                      Type: Fraction(Integer)
--E 23
--S 24 of 94
cn:=(167*%i+241)/5
--R
--R
--R        63 + 115%i
--R   (2)  ----------
--R          2 + %i
--R                                             Type: Fraction(Complex(Integer))
--E 24
--S 25 of 94
rn::Float
--R
--R
--R   (3)  - 0.7283687943 2624113475
--R                                                                  Type: Float
--E 25
--S 26 of 94
cn::Complex Float
--R
--R
--R   (4)  48.2 + 33.4 %i
--R                                                         Type: Complex(Float)
--E 26
--S 27 of 94
%pi::Float
--R
--R
--R   (5)  3.1415926535 897932385
--R                                                                  Type: Float
--E 27

--S 28 of 94
cos(%pi::Float)
--R
--R
--R   (6)  - 1.0
--R                                                                  Type: Float
--E 28
--S 29 of 94
sin 1.0
--R
--R
--R   (7)  0.8414709848 0789650665
--R                                                                  Type: Float
--E 29
--S 30 of 94
digits 50
--R
--R
--R   (8)  20
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 30
--S 31 of 94
%pi::Float
--R
--R
--R   (9)  3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 693993751
--R                                                                  Type: Float
--E 31
--S 32 of 94
cos %pi::Float
--R
--R
--R   (10)  - 1.0
--R                                                                  Type: Float
--E 32
--S 33 of 94
cos(%pi/6::Float)
--R
--R
--R   (11)  0.8660254037 8443864676 3723170752 9361834714 0262690519
--R                                                                  Type: Float
--E 33
--S 34 of 94

digits 20
--R
--R
--R   (12)  50
--R                                                        Type: PositiveInteger
--E 34
--S 35 of 94
exp(-100000.1^2)
--R
--R
--R   (13)  0.1184406313 2021703038 E -4342953504
--R                                                                  Type: Float
--E 35
--S 36 of 94
tan(1.0+1.0*%i)
--R
--R
--R   (14)  0.2717525853 1951171653 + 1.0839233273 386945435 %i
--R                                                         Type: Complex(Float)
--E 36
--S 37 of 94
log(1.0+1.0*%i)
--R
--R
--R   (15)  0.3465735902 7997265471 + 0.7853981633 9744830961 %i
--R                                                         Type: Complex(Float)
--E 37

———-

2 Polynomials

2.1 Basic operations

— * —

)clear all
--S 38 of 94
pol:=(a+b+c)^4
--R
--R
--R   (1)
--R      4             3      2             2  2      3        2      2      3
--R     c  + (4b + 4a)c  + (6b  + 12a b + 6a )c  + (4b  + 12a b  + 12a b + 4a )c

--R   +
--R      4       3     2 2     3     4
--R     b  + 4a b  + 6a b  + 4a b + a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 38
--S 39 of 94
dpol:=D(pol,a)
--R
--R
--R   (2)
--R     3               2       2              2       3        2      2      3
--R   4c  + (12b + 12a)c  + (12b  + 24a b + 12a )c + 4b  + 12a b  + 12a b + 4a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 39
--S 40 of 94
D(D(pol,a),b,2)
--R
--R
--R   (3)  24c + 24b + 24a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 40
--S 41 of 94
t1:=integrate(dpol,a)
--R
--R
--R   (4)
--R       3              2  2         2      2      3         3     2 2     3     4
--R   4a c  + (12a b + 6a )c  + (12a b  + 12a b + 4a )c + 4a b  + 6a b  + 4a b + a
--R                                          Type: Polynomial(Fraction(Integer))
--E 41
--S 42 of 94
pol-t1
--R
--R
--R         4       3     2 2     3     4
--R   (5)  c  + 4b c  + 6b c  + 4b c + b
--R                                          Type: Polynomial(Fraction(Integer))
--E 42
--S 43 of 94
(a^2-b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)
--R
--R
--R        - b - a
--R   (6)  -------
--R         b - a

--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 43
--S 44 of 94
g:=34*x^19-91*x+70*x^7-25*x^16+20*x^3-86
--R
--R
--R           19      16      7      3
--R   (7)  34x   - 25x   + 70x  + 20x  - 91x - 86
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 44
--S 45 of 94
f1:=g*(64*x^34-21*x^47-126*x^8-46*x^5-16*x^60-81)
--R
--R
--R   (8)
--R           79       76        67       66       63        61        60        54
--R     - 544x   + 400x   - 1120x   - 714x   + 205x   + 1456x   + 1376x   - 1470x
--R   +
--R          53        50        48        47        41        37        35
--R     2176x   - 2020x   + 1911x   + 1806x   + 4480x   + 1280x   - 5824x
--R   +
--R            34        27        24        21        19        16        15
--R     - 5504x   - 4284x   + 1586x   + 1150x   - 2754x   + 2025x   - 8820x
--R   +
--R            12        11         9        8        7        6        5        3
--R     - 3220x   - 2520x   + 11466x  + 9916x  - 5670x  + 4186x  + 3956x  - 1620x
--R   +
--R     7371x + 6966
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 45
--S 46 of 94
f2:=g*(72*x^60-25*x^25-19*x^23-22*x^39-83*x^52+54*x^10+81)
--R
--R
--R   (9)
--R          79        76        71        68        67        63        61
--R     2448x   - 1800x   - 2822x   + 2075x   + 5040x   + 1440x   - 6552x
--R   +
--R            60        59       58        55        53        52        46
--R     - 6192x   - 5810x   - 748x   - 1110x   + 7553x   + 7138x   - 1540x
--R   +
--R           44        42       41        40        39        32        30
--R     - 850x   - 1086x   + 625x   + 2002x   + 2367x   - 1750x   - 1330x
--R   +
--R          29       28       26        25        24        23        19        17
--R     1836x   - 500x   + 545x   + 2150x   + 1729x   + 1634x   + 2754x   + 3780x
--R   +

--R            16        13        11        10        7        3
--R     - 2025x   + 1080x   - 4914x   - 4644x   + 5670x  + 1620x  - 7371x - 6966
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 46
--S 47 of 94
gcd(f1,f2)
--R
--R
--R            19      16      7      3
--R   (10)  34x   - 25x   + 70x  + 20x  - 91x - 86
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 47

———-

2.2 Factorization

— * —

)clear all
--S 48 of 94
factor(a^2-b^2)
--R
--R
--R   (1)  - (b - a)(b + a)
--R                                          Type: Factored(Polynomial(Integer))
--E 48
--S 49 of 94
factor(a^2+b^2,[rootOf(i^2+1)])
--R
--R
--R   (2)  (b - i a)(b + i a)
--R                                  Type: Factored(Polynomial(AlgebraicNumber))
--E 49
--S 50 of 94
fa:=(x^2*z+y^4*z^2+5)*(x*y^3+z^2)*(-x^3*y+z^2+3)*(x^3*y^4+z^2)
--R
--R
--R   (3)
--R      4 8    2 7     3 8      7    3 5     4      6
--R     y z  + x z  + (x y  + x y  - x y  + 3y  + 5)z
--R   +
--R       5 4    3 3    5      2  5
--R     (x y  + x y  - x y + 3x )z

--R   +
--R       4 11    6 9       4     3  8       7     3 4       3     3        4
--R     (x y   - x y  + (- x  + 3x )y  + 3x y  + 5x y  + 5x y  - 5x y + 15)z
--R   +
--R       6 7    8 5       6     5  4     3 3  3
--R     (x y  - x y  + (- x  + 3x )y  + 3x y )z
--R   +
--R         7 12     4 11     4 7     6 5        4      3  4        3  2
--R     (- x y   + 3x y   + 5x y  - 5x y  + (- 5x  + 15x )y  + 15x y )z
--R   +
--R         9 8     6 7       7 8      4 7
--R     (- x y  + 3x y )z - 5x y  + 15x y
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 50
--S 51 of 94
factor fa
--R
--R
--R          2    3        2      3   2    3 4   4 2    2
--R   (4)  (z  - x y + 3)(z  + x y )(z  + x y )(y z  + x z + 5)
--R                                          Type: Factored(Polynomial(Integer))
--E 51

———-

2.3 Groebner bases

— * —

)clear all
--S 52 of 94
polys:=[45*p+35*s-165*b-36, _
        35*p+40*z+25*t-27*s, _
        15*w+25*p*s+30*z-18*t-165*b^2, _
        -9*w+15*p*t+20*z*s, _
        w*p+2*z*t-11*b^3, _
        99*w-11*s*b+3*b^2, _
        b^2+33/50*b+2673/10000]
--R
--R
--R   (1)
--R   [35s + 45p - 165b - 36, 40z + 25t - 27s + 35p,
--R                                  2                                      3
--R    30z + 15w - 18t + 25p s - 165b , 20s z - 9w + 15p t, 2t z + p w - 11b ,
--R                    2   2   33      2673
--R    99w - 11b s + 3b , b  + -- b + -----]
--R                            50     10000

--R                                    Type: List(Polynomial(Fraction(Integer)))
--E 52
--S 53 of 94
vars:=[w,p,z,t,s,b]
--R
--R
--R   (2)  [w,p,z,t,s,b]
--R                               Type: List(OrderedVariableList([w,p,z,t,s,b]))
--E 53
--S 54 of 94
groebner(polys)
--R
--R
--R   (3)
--R        49     1143       19      1323      37      27      5      9
--R   [z + -- b + ----, w + --- b + -----, t - -- b + ---, s - - b - ---,
--R        36     2000      120     20000      15     250      2     200
--R        31     153   2   33      2673
--R    p - -- b - ---, b  + -- b + -----]
--R        18     200       50     10000
--R                                    Type: List(Polynomial(Fraction(Integer)))
--E 54
--S 55 of 94
solve(polys,vars)
--R
--R
--R   (4)
--R   [
--R         - 9500b - 3969     3100b + 1377     - 24500b - 10287     1850b - 81
--R     [w= --------------, p= ------------, z= ----------------, t= ----------,
--R              60000             1800               18000              750
--R         500b + 9        2
--R      s= --------, 10000b  + 6600b + 2673= 0]
--R            200
--R     ]
--R                    Type: List(List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer)))))
--E 55

———-

3 Rational functions

— * —

--S 56 of 94
rf:=(3*a*b^2-5*a^2*b)/(a^4-2)
--R
--R
--R            2     2
--R        3a b  - 5a b
--R   (5)  ------------
--R            4
--R           a  - 2
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 56
--S 57 of 94
integrate(rf,a)
--R
--R
--R   (6)
--R           +--------------------------------------+
--R           |        2                      2     4
--I         (\|- 12%%J1  - 8%%J0 %%J1 - 12%%J0  + 9b   - 2%%J1 - 2%%J0)
--R      *
--R         log
--R                                4            4           4
--I                ((800%%J0 - 216b )%%J1 - 216b %%J0 - 225b )
--R             *
--R                 +--------------------------------------+
--R                 |        2                      2     4
--I                \|- 12%%J1  - 8%%J0 %%J1 - 12%%J0  + 9b
--R            +
--R                              4     2            2       4            4    2
--I              (1600%%J0 - 432b )%%J1  + (1600%%J0  + 450b )%%J1 - 432b %%J0
--R            +
--R                  4           8         7        4          3
--I              450b %%J0 + 243b  + 810a b  + 1875b  + 3125a b
--R     +
--R             +--------------------------------------+
--R             |        2                      2     4
--I         (- \|- 12%%J1  - 8%%J0 %%J1 - 12%%J0  + 9b   - 2%%J1 - 2%%J0)
--R      *
--R         log
--R                                  4            4           4
--I                ((- 800%%J0 + 216b )%%J1 + 216b %%J0 + 225b )
--R             *
--R                 +--------------------------------------+
--R                 |        2                      2     4
--I                \|- 12%%J1  - 8%%J0 %%J1 - 12%%J0  + 9b
--R            +
--R                              4     2            2       4            4    2
--I              (1600%%J0 - 432b )%%J1  + (1600%%J0  + 450b )%%J1 - 432b %%J0
--R            +

--R                  4           8         7        4          3
--I              450b %%J0 + 243b  + 810a b  + 1875b  + 3125a b
--R     +
--I         4%%J1
--R      *
--R         log
--R                                4     2              2       4                3
--I              (- 3200%%J0 + 864b )%%J1  + (- 3200%%J0  - 900b )%%J1 - 3200%%J0
--R            +
--R                   4           8         7        4          3
--I              1800b %%J0 - 243b  + 810a b  + 1875b  + 3125a b
--R     +
--I         4%%J0
--R      *
--R         log
--R                      3       4    2        4           8         7        4
--I              3200%%J0  + 864b %%J0  - 2700b %%J0 - 243b  + 810a b  - 5625b
--R            +
--R                     3
--R              3125a b
--R  /
--R     4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 57
--S 58 of 94
t1:=(10*x^2-11*x-6)/(x^3-x^2-2*x)
--R
--R
--R           2
--R        10x  - 11x - 6
--R   (7)  --------------
--R          3    2
--R         x  - x  - 2x
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 58
--S 59 of 94
FACU:=Factored UnivariatePolynomial(x,Fraction Integer)
--R
--R
--R   (8)  Factored(UnivariatePolynomial(x,Fraction(Integer)))
--R                                                                 Type: Domain
--E 59
--S 60 of 94
partialFraction(numerator(t1)::FACU,denominator(t1)::FACU)
--R
--R
--R          2       5     3

--R   (9)  ----- + ----- + -
--R        x - 2   x + 1   x
--R             Type: PartialFraction(UnivariatePolynomial(x,Fraction(Integer)))
--E 60

———-

4 Solving Equations

4.1 Linear systems

— * —

)clear all
--S 61 of 94
solve([2*x1+x2+3*x3-9, x1-2*x2+x3+2, 3*x1+2*x2+2*x3-7],[x1,x2,x3])
--R
--R
--R   (1)  [[x1= - 1,x2= 2,x3= 3]]
--R                    Type: List(List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer)))))
--E 61

———-

4.2 Nonlinear equations

— * —

)clear all
--S 62 of 94
solve(x^8-8*x^7+34*x^6-92*x^5-175*x^4-236*x^3+226*x^2-140*x+46,x)
--R
--R
--R          8     7      6      5       4       3       2
--R   (1)  [x  - 8x  + 34x  - 92x  - 175x  - 236x  + 226x  - 140x + 46= 0]
--R                          Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
--E 62
--S 63 of 94
solve(log(acos(asin(x^(2/3)-b)-1))+2,x)
--R
--R
--R   (2)
--R                                 +---------------------+
--R                   1             |         1
--R   [x= (- sin(cos(---) + 1) - b) |sin(cos(---) + 1) + b ,

--R                    2            |          2
--R                  %e            \|        %e
--R                               +---------------------+
--R                 1             |         1
--R    x= (sin(cos(---) + 1) + b) |sin(cos(---) + 1) + b ]
--R                  2            |          2
--R                %e            \|        %e
--R                                    Type: List(Equation(Expression(Integer)))
--E 63

———-

4.3 Nonlinear systems

— * —

)clear all
-- Maple claims:
-- c1 = c1
-- c2 = -(c1*(- epsilon*alpha+c1*epsilon*beta-theta*alpha+c1*theta*beta)/
--       (-eta*epsilon+c1*theta*gamma)
-- c3 = -(c1*(- alpha*eta+beta*c1*eta-gamma*c1*alpha+gamma*c1^2*beta)/
--       (-eta*epsilon+c1*theta*gamma)
--
-- MMA claims:
-- c1 is an arbitrary complex number
-- c2 = (c1*(alpha-beta*c1)*(epsilon+theta))/(-epsilon*eta+c1*gamma*theta)
-- c3 = (c1*(-alpha+beta*c1)*(eta+c1*gamma))/(epsilon*eta-c1*gamma*theta)
--
--S 64 of 94
solve([alpha*c1-beta*c1^2-gamma*c1*c2+epsilon*c3,_
       -gamma*c1*c2+(epsilon+theta)*c3-eta*c2,_
       gamma*c1*c2+eta*c2-(epsilon+theta)*c3],
      [c3,c2,c1])
--R
--R
--RDaly Bug
--R   >> Error detected within library code:
--R   system does not have a finite number of solutions
--R
--R   Continuing to read the file...
--R
--E 64

———-

5 Analytical Operations

5.1 Limits

— * —

)clear all
--S 65 of 94
limit(sin(x)/x,x=0)
--R
--R
--R   (1)  1
--R                      Type: Union(OrderedCompletion(Expression(Integer)),...)
--E 65
--S 66 of 94
limit((3*sin(%pi*x)-sin(3*%pi*x))/x^3,x=0)
--R
--R
--R            3
--R   (2)  4%pi
--R                      Type: Union(OrderedCompletion(Expression(Integer)),...)
--E 66
--S 67 of 94
limit((2*x+5)/(3*x-2),x=%plusInfinity)
--R
--R
--R        2
--R   (3)  -
--R        3
--R            Type: Union(OrderedCompletion(Fraction(Polynomial(Integer))),...)
--E 67

———-

5.2 Taylor series

— * —

)clear all
)set streams calculate 4
--S 68 of 94
series(%e^x,x=0)
--R

--R
--R                1  2   1  3    1  4      5
--R   (1)  1 + x + - x  + - x  + -- x  + O(x )
--R                2      6      24
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 68

———-

5.3 Summation and Products

— * —

)clear all
--S 69 of 94
sum(n^2*x^n,n)
--R
--R
--R           2           3        2           2    2   n - 1
--R        ((n  - 2n + 1)x  + (- 2n  + 2n + 1)x  + n x)x
--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                          3     2
--R                         x  - 3x  + 3x - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 69
--S 70 of 94
sum(cos((2*r-1)*%pi/(2*n+1)),r)
--R
--R
--R        --+      2%pi r - %pi
--R   (2)  >    cos(------------)
--R        --+         2n + 1
--R         r
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 70
--S 71 of 94
product(%e^(sin(n*x)),n)
--R
--R
--R        ++-++    sin(n x)
--R   (3)   | |   %e
--R         | |
--R          n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 71

--S 72 of 94
sum(n*2^n/factorial(n+2),n)
--R
--R
--R             n - 1
--R          2 2
--R   (4)  - --------
--R          (n + 1)!
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 72

———-

5.4 Integration

— * —

)clear all
--S 73 of 94
integrate(x^2*(a+b*x)^p,x)
--R
--R
--R   (1)
--R      3 2     3      3  3       2 2      2   2     2          3   p log(b x + a)
--R   ((b p  + 3b p + 2b )x  + (a b p  + a b p)x  - 2a b p x + 2a )%e
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                              3 3     3 2      3      3
--R                             b p  + 6b p  + 11b p + 6b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 73
--S 74 of 94
integrate(x^2*log(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R          3     2    2      3     x      3     2
--R        3x log(x  + a ) - 6a atan(-) - 2x  + 6a x
--R                                  a
--R   (2)  -----------------------------------------
--R                            9
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 74
--S 75 of 94
integrate(x*d^x*sin(x),x)
--R
--R
--R   (3)

--R                  3         2                                       2
--R         (x log(d)  - log(d)  + x log(d) + 1)sin(x) - x cos(x)log(d)
--R       +
--R         2cos(x)log(d) - x cos(x)
--R    *
--R         x log(d)
--R       %e
--R  /
--R           4          2
--R     log(d)  + 2log(d)  + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 75
--S 76 of 94
integrate(x*sqrt(a+b*x)^p,x)
--R
--R
--R                                                  +-------+
--R            2      2  2                2   p log(\|b x + a )
--R        ((2b p + 4b )x  + 2a b p x - 4a )%e
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                           2 2     2      2
--R                          b p  + 6b p + 8b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 76
--S 77 of 94
integrate(2*x*%e^(x^2)*log(x)+%e^(x^2)/x+(log(x)-2)/(log(x)^2+x)^2+_
           ((2/x)*log(x)+(1/x)+1)/(log(x)^2+x),x)
--R
--R
--R                                           2                2
--R               2               2          x       3        x
--R        (log(x)  + x)log(log(x)  + x) + %e  log(x)  + (x %e   - 1)log(x)
--R   (5)  ----------------------------------------------------------------
--R                                         2
--R                                   log(x)  + x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 77

———-

5.5 Ordinary differential equations

— * —

)clear all
--S 78 of 94

y:=operator 'y
--R
--R
--R   (1)  y
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 78
--S 79 of 94
solve(D(y(x),x)+y(x)*sin(x)/cos(x)-1/cos(x)=0,y,x)
--R
--R
--R   (2)  [particular= sin(x),basis= [cos(x)]]
--RType: Union(Record(particular: Expression(Integer),basis: List(Expression(Integer))),...)
--E 79
--S 80 of 94
solve(x*(1-x^2)*D(y(x),x)+(2*x^2-1)*y(x)-x^3*y(x)^3=0,y,x)
--R
--R
--R             5         2     4     2
--R        (- 2x  + 4)y(x)  + 5x  - 5x
--R   (3)  ----------------------------
--R                        2
--R                   5y(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 80
--S 81 of 94
solve(D(y(x),x,2)+4*D(y(x),x)+4*y(x)-x*exp(x)=0,y,x)
--R
--R
--R                               - 2x   x 3
--R                     (3x - 2)%e    (%e )            - 2x     - 2x
--R   (4)  [particular= --------------------,basis= [%e    ,x %e    ]]
--R                              27
--RType: Union(Record(particular: Expression(Integer),basis: List(Expression(Integer))),...)
--E 81

———-

5.6 Substitutions – pattern matching

— * —

)clear all
--S 82 of 94
sincosRules:=rule
   cos(x)*cos(y) == (cos(x+y)+cos(x-y))/2

   cos(x)*sin(y) == (cin(x+y)-sin(x-y))/2
   sin(x)*sin(y) == (cos(x-y)-cos(x+y))/2
   cos(x)^2 == (1+cos(2*x))/2
   sin(x)^2 == (1-cos(2*x))/2
--R
--R
--R   (1)
--I                        %QQ cos(y + x) + %QQ cos(y - x)
--I   {%QQ cos(x)cos(y) == -------------------------------,
--R                                       2
--I                        %QR sin(y - x) + %QR'cin(y + x)
--I    %QR cos(x)sin(y) == -------------------------------,
--R                                       2
--I                        - %QS cos(y + x) + %QS cos(y - x)
--I    %QS sin(x)sin(y) == ---------------------------------,
--R                                        2
--R          2    cos(2x) + 1        2    - cos(2x) + 1
--R    cos(x)  == -----------, sin(x)  == -------------}
--R                    2                        2
--R                           Type: Ruleset(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E 82
--S 83 of 94
sincosRules (a1*cos(wt)+a3*cos(3*wt)+b1*sin(wt)+b3*sin(3*wt))^3
--R
--R
--R   (2)
--R       3        3          2                2                 2                2
--R     b3 sin(3wt)  + (3b1 b3 sin(wt) + 3a3 b3 cos(3wt) + 3a1 b3 cos(wt))sin(3wt)
--R   +
--R            2          2
--R         3b1 b3 sin(wt)  + (6a3 b1 b3 cos(3wt) + 6a1 b1 b3 cos(wt))sin(wt)
--R       +
--R            2           2                                  2          2
--R         3a3 b3 cos(3wt)  + 6a1 a3 b3 cos(wt)cos(3wt) + 3a1 b3 cos(wt)
--R    *
--R       sin(3wt)
--R   +
--R       3       3          2                 2               2
--R     b1 sin(wt)  + (3a3 b1 cos(3wt) + 3a1 b1 cos(wt))sin(wt)
--R   +
--R         2           2                                  2          2
--R     (3a3 b1 cos(3wt)  + 6a1 a3 b1 cos(wt)cos(3wt) + 3a1 b1 cos(wt) )sin(wt)
--R   +
--R       3        3         2               2      2          2
--R     a3 cos(3wt)  + 3a1 a3 cos(wt)cos(3wt)  + 3a1 a3 cos(wt) cos(3wt)
--R   +
--R       3       3
--R     a1 cos(wt)
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 83
--S 84 of 94
int:=operator('int)
--R
--R
--R   (3)  int
--R                                                          Type: BasicOperator
--E 84
-- bug in this rule form?  int(x+ :y,z) == int(x,z)+int(y,z)
-- and also this one?    int(x+y,z) == int(x,z)+int(y,z)
--S 85 of 94
intRules:=rule
   int(x+y,z) == int(x,z)+int(y,z)
   int(k*x | freeOf?(k,z),z) == k*int(x,z)
   int(y | integer? y, z) == y*z
   int(x^(?p | D(p,x)=0),x) == x^(p+1)/(p+1)
--R
--R
--R   (4)
--R   {int(y + x,z) == 'int(y,z) + 'int(x,z), int(k x,z) == k'int(x,z),
--R                                   p + 1
--R                          p       x
--R    int(y,z) == y z, int(x ,x) == ------}
--R                                   p + 1
--R                           Type: Ruleset(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E 85
--
-- should be:
--  b+1    2     2                2            2
-- a   + (a b + a ) int(b,a) + (3a  - 5a)b + 3a  - 5a
-- --------------------------------------------------
--                      b + 1
--
--S 86 of 94
intRules int(a^2*b+a^b+3*a-5,a)
--R
--R   There are 9 exposed and 0 unexposed library operations named elt
--R      having 3 argument(s) but none was determined to be applicable.
--R      Use HyperDoc Browse, or issue
--R                               )display op elt
--R      to learn more about the available operations. Perhaps
--R      package-calling the operation or using coercions on the arguments
--R      will allow you to apply the operation.
--R
--RDaly Bug
--R   Cannot find a definition or applicable library operation named elt
--R      with argument type(s)

--R                             Polynomial(Integer)
--R                                 Variable(a)
--R
--R      Perhaps you should use "@" to indicate the required return type,
--R      or "$" to specify which version of the function you need.
--E 86
--S 87 of 94
intRules int(a^(a+1),a)
--R
--R
--R         a + 2
--R        a
--R   (5)  ------
--R         a + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 87

———-

6 Matrices

— * —

--S 88 of 94
xx:=matrix([[a11,a12],[a21,a22]])
--R
--R
--R        +a11  a12+
--R   (6)  |        |
--R        +a21  a22+
--R                                            Type: Matrix(Polynomial(Integer))
--E 88
--S 89 of 94
yy:=matrix([[y1],[y2]])
--R
--R
--R        +y1+
--R   (7)  |  |
--R        +y2+
--R                                            Type: Matrix(Polynomial(Integer))
--E 89
--S 90 of 94
determinant xx
--R

--R
--R   (8)  a11 a22 - a12 a21
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 90
--S 91 of 94
zz:=inverse(xx)*yy
--R
--R
--R        +- a12 y2 + a22 y1+
--R        |-----------------|
--R        |a11 a22 - a12 a21|
--R   (9)  |                 |
--R        | a11 y2 - a21 y1 |
--R        |-----------------|
--R        +a11 a22 - a12 a21+
--R                                  Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
--E 91
--S 92 of 94
inverse(xx)^2
--R
--R
--R   (10)
--R   [
--R                     2
--R                  a22  + a12 a21
--R     [--------------------------------------,
--R         2   2                         2   2
--R      a11 a22  - 2a11 a12 a21 a22 + a12 a21
--R                - a12 a22 - a11 a12
--R      --------------------------------------]
--R         2   2                         2   2
--R      a11 a22  - 2a11 a12 a21 a22 + a12 a21
--R     ,
--R
--R                - a21 a22 - a11 a21
--R     [--------------------------------------,
--R         2   2                         2   2
--R      a11 a22  - 2a11 a12 a21 a22 + a12 a21
--R                               2
--R                  a12 a21 + a11
--R      --------------------------------------]
--R         2   2                         2   2
--R      a11 a22  - 2a11 a12 a21 a22 + a12 a21
--R     ]
--R                                  Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
--E 92
--S 93 of 94

v:=matrix([[2,-1,1],[0,1,1],[-1,1,1]])
--R
--R
--R         + 2   - 1  1+
--R         |           |
--R   (11)  | 0    1   1|
--R         |           |
--R         +- 1   1   1+
--R                                                        Type: Matrix(Integer)
--E 93
--S 94 of 94
eigenvectors v
--R
--R
--R   (12)
--R                                   +1+                                  +0+
--R                                   | |                                  | |
--R   [[eigval= 1,eigmult= 2,eigvec= [|1|]],[eigval= 2,eigmult= 1,eigvec= [|1|]]]
--R                                   | |                                  | |
--R                                   +0+                                  +1+
--RType: List(Record(eigval: Union(Fraction(Polynomial(Integer)),SuchThat(Symbol,Polynomial(Integer))),eigmult: NonNegativeInteger,eigvec: List(Matrix(Fraction(Polynomial(Integer))))))
--E 94

———-

7 Graphics

7.1 2D Graphics

draw(sin(%e*x),x=0..%pi)
draw([besselJ(0,x),besselJ(2,x),besselJ(5,x)],x=0..10,_
      title=="Bessel Functions BesselJ(n,x)")

7.2 3D Graphics

draw(sin(%pi*sin(x+y)),x=-3..3,y=-3..3)
draw(tan(x*y),x=-2/3*%pi..2/3*%pi,y=-2/3*%pi..2/3*%pi)

7.3 Parametric plots

draw(surface(sin(v),sin(2*v)*sin(u),sin(2*v)*cos(u)),_
     u=0..2*%pi,v=-%pi/2..%pi/2)

— * —

)spool )lisp (bye) ———-

30

References^{[1] nothing}

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