$SPAD/src/input rich21.input

Albert Rich and Timothy Daly

December 3, 2016

Abstract

Piecewise constant extraction problems.input

Contents

2

— * —

)set break resume
)sys rm -f rich21.output
)spool rich21.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 248
t0:=x^m*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R           +-------+
--R         m |b x - a
--R        x  |-------
--R          \|   x
--R   (1)  ------------
--R         +---------+
--R        \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 1
--S 2 of 248
r0:=2*x^(1+m)*sqrt(b-a/x)/((1+2*m)*sqrt(a-b*x))
--R
--R
--R                  +-------+
--R            m + 1 |b x - a
--R          2x      |-------
--R                 \|   x
--R   (2)  --------------------
--R                 +---------+
--R        (2m + 1)\|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 2
--S 3 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                         +-------+
--R             +---------+ |b x - a   m log(x)
--R          2x\|- b x + a  |------- %e
--R                        \|   x
--R   (3)  - ----------------------------------
--R                (2b m + b)x - 2a m - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 3

--S 4 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R           +-------+                     +-------+
--R           |b x - a   m log(x)     m + 1 |b x - a
--R        2x |------- %e         - 2x      |-------
--R          \|   x                        \|   x
--R   (4)  ------------------------------------------
--R                            +---------+
--R                   (2m + 1)\|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 4
--S 5 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                   2                   m log(x)             m + 1
--R       ((2b m + b)x  + (- 2a m - a)x)%e         + (b x - a)x
--R     +
--R                      2                 m
--R       ((- 2b m - 2b)x  + (2a m + 2a)x)x
--R  /
--R                            +-------+
--R              2 +---------+ |b x - a
--R     (2m + 1)x \|- b x + a  |-------
--R                           \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 5
)clear all
--S 6 of 248
t0:=x^2*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R           +-------+
--R         2 |b x - a
--R        x  |-------
--R          \|   x
--R   (1)  ------------
--R         +---------+
--R        \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 6
--S 7 of 248

r0:=2/5*x^3*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R            +-------+
--R          3 |b x - a
--R        2x  |-------
--R           \|   x
--R   (2)  -------------
--R          +---------+
--R        5\|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 7
--S 8 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                          +-------+
--R            3 +---------+ |b x - a
--R          2x \|- b x + a  |-------
--R                         \|   x
--R   (3)  - -------------------------
--R                  5b x - 5a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 8
--S 9 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 9
--S 10 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 10
)clear all
--S 11 of 248
t0:=x*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R           +-------+
--R           |b x - a

--R         x |-------
--R          \|   x
--R   (1)  ------------
--R         +---------+
--R        \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 11
--S 12 of 248
r0:=2/3*x^2*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R            +-------+
--R          2 |b x - a
--R        2x  |-------
--R           \|   x
--R   (2)  -------------
--R          +---------+
--R        3\|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 12
--S 13 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                           +-------+
--R             2 +---------+ |b x - a
--R        - 10x \|- b x + a  |-------  + 24b x - 24a
--R                          \|   x
--R   (3)  ------------------------------------------
--R                        15b x - 15a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 13
--S 14 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R        8
--R   (4)  -
--R        5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 14
--S 15 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 15
)clear all
--S 16 of 248
t0:=sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R          +-------+
--R          |b x - a
--R          |-------
--R         \|   x
--R   (1)  ------------
--R         +---------+
--R        \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 16
--S 17 of 248
r0:=2*x*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R           +-------+
--R           |b x - a
--R        2x |-------
--R          \|   x
--R   (2)  ------------
--R         +---------+
--R        \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 17
--S 18 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                         +-------+
--R             +---------+ |b x - a
--R          2x\|- b x + a  |-------
--R                        \|   x
--R   (3)  - ------------------------
--R                   b x - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 18
--S 19 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R

--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 19
--S 20 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 20
)clear all
--S 21 of 248
t0:=sqrt(b-a/x)/(x*sqrt(a-b*x))
--R
--R
--R           +-------+
--R           |b x - a
--R           |-------
--R          \|   x
--R   (1)  -------------
--R          +---------+
--R        x\|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 21
--S 22 of 248
r0:=-2*sqrt(b-a/x)/sqrt(a-b*x)
--R
--R
--R              +-------+
--R              |b x - a
--R           2  |-------
--R             \|   x
--R   (2)  - ------------
--R           +---------+
--R          \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 22
--S 23 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                      +-------+
--R          +---------+ |b x - a
--R        6\|- b x + a  |-------  - 8b x + 8a
--R                     \|   x

--R   (3)  -----------------------------------
--R                     3b x - 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 23
--S 24 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R          8
--R   (4)  - -
--R          3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 24
--S 25 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 25
)clear all
--S 26 of 248
t0:=sqrt(b-a/x)/(x^2*sqrt(a-b*x))
--R
--R
--R           +-------+
--R           |b x - a
--R           |-------
--R          \|   x
--R   (1)  --------------
--R         2 +---------+
--R        x \|- b x + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 26
--S 27 of 248
r0:=-2/3*sqrt(b-a/x)/(x*sqrt(a-b*x))
--R
--R
--R               +-------+
--R               |b x - a
--R            2  |-------
--R              \|   x
--R   (2)  - --------------
--R             +---------+
--R          3x\|- b x + a

--S 28 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                       +-------+
--R           +---------+ |b x - a         2
--R        10\|- b x + a  |-------  + 24b x  - 24a x
--R                      \|   x
--R   (3)  -----------------------------------------
--R                           2
--R                      15b x  - 15a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 28
--S 29 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R        8
--R   (4)  -
--R        5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 29
--S 30 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 30
)clear all
--S 31 of 248
t0:=(a+b/x)^m*(c+d*x)^n
--R
--R
--R         a x + b m         n
--R   (1)  (-------) (d x + c)
--R            x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 31
--S 32 of 248
--r0:=(a+b/x)^m*x*(c+d*x)^n*AppellF1(1-m,-m,-n,2-m,-a*x/b,-d*x/c)/((1-m)*((b+a*x)/b)^m*((c+d*x)/c)^n)
--E 32

--S 33 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 33
--S 34 of 248
--m0:=a0-r0
--E 34
--S 35 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 35
)clear all
--S 36 of 248
t0:=(a+b/x)^m*(c+d*x)^2
--R
--R
--R          2 2             2  a x + b m
--R   (1)  (d x  + 2c d x + c )(-------)
--R                                x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 36
--S 37 of 248
--r0:=1/6*(6*a^2*c^2-6*a*b*c*d*(1-m)+b^2*d^2*(2-3*m+m^2))*(a+b/x)^(1+m)*x/a^3+1/6*d*(6*a*c-b*d*(2-m))*(a+b/x)^(1+m)*x^2/a^2+1/3*d^2*(a+b/x)^(1+m)*x^3/a+1/6*b*m*(6*a^2*c^2-6*a*b*c*d*(1-m)+b^2*d^2*(2-3*m+m^2))*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,(a+b/x)/a)/(a^4*(1+m))
--E 37
--S 38 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 38
--S 39 of 248
--m0:=a0-r0
--E 39
--S 40 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 40
)clear all
--S 41 of 248
t0:=(a+b/x)^m*(c+d*x)
--R
--R
--R                  a x + b m
--R   (1)  (d x + c)(-------)
--R                     x

--S 42 of 248
--r0:=1/2*(2*a*c-b*d*(1-m))*(a+b/x)^(1+m)*x/a^2+1/2*d*(a+b/x)^(1+m)*x^2/a+1/2*b*(2*a*c-b*d*(1-m))*m*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,(a+b/x)/a)/(a^3*(1+m))
--E 42
--S 43 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 43
--S 44 of 248
--m0:=a0-r0
--E 44
--S 45 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 45
)clear all
--S 46 of 248
t0:=(a+b/x)^m
--R
--R
--R         a x + b m
--R   (1)  (-------)
--R            x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 46
--S 47 of 248
--r0:=(a+b/x)^(1+m)*x/a+b*m*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,(a+b/x)/a)/(a^2*(1+m))
--E 47
--S 48 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 48
--S 49 of 248
--m0:=a0-r0
--E 49
--S 50 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 50
)clear all
--S 51 of 248

t0:=(a+b/x)^m/(c+d*x)
--R
--R
--R         a x + b m
--R        (-------)
--R            x
--R   (1)  ----------
--R          d x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 51
--S 52 of 248
--r0:=(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,(a+b/x)/a)/(a*d*(1+m))-c*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,c*(a+b/x)/(a*c-b*d))/(d*(a*c-b*d)*(1+m))
--E 52
--S 53 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 53
--S 54 of 248
--m0:=a0-r0
--E 54
--S 55 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 55
)clear all
--S 56 of 248
t0:=(a+b/x)^m/(c+d*x)^2
--R
--R
--R             a x + b m
--R            (-------)
--R                x
--R   (1)  ------------------
--R         2 2             2
--R        d x  + 2c d x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 56
--S 57 of 248
--r0:=(a+b/x)^(1+m)/((a*c-b*d)*(d+c/x))+b*m*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,c*(a+b/x)/(a*c-b*d))/((a*c-b*d)^2*(1+m))
--E 57
--S 58 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 58

--S 59 of 248
--m0:=a0-r0
--E 59
--S 60 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 60
)clear all
--S 61 of 248
t0:=(a+b/x)^m/(c+d*x)^3
--R
--R
--R                  a x + b m
--R                 (-------)
--R                     x
--R   (1)  ----------------------------
--R         3 3       2 2     2       3
--R        d x  + 3c d x  + 3c d x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 61
--S 62 of 248
--r0:=-1/2*d*(a+b/x)^(1+m)/(c*(a*c-b*d)*(d+c/x)^2)+1/2*(2*a*c-b*d*(1+m))*(a+b/x)^(1+m)/(c*(a*c-b*d)^2*(d+c/x))+1/2*b*m*(2*a*c-b*d*(1+m))*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,c*(a+b/x)/(a*c-b*d))/(c*(a*c-b*d)^3*(1+m))
--E 62
--S 63 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 63
--S 64 of 248
--m0:=a0-r0
--E 64
--S 65 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 65
)clear all
--S 66 of 248
t0:=(a+b/x)^m/(c+d*x)^4
--R
--R
--R                       a x + b m
--R                      (-------)
--R                          x
--R   (1)  --------------------------------------
--R         4 4       3 3     2 2 2     3       4

--R        d x  + 4c d x  + 6c d x  + 4c d x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 66
--S 67 of 248
--r0:=1/3*d^2*(a+b/x)^(1+m)/(c^2*(a*c-b*d)*(d+c/x)^3)-1/6*d*(6*a*c-b*d*(4+m))*(a+b/x)^(1+m)/(c^2*(a*c-b*d)^2*(d+c/x)^2)+1/6*(6*a^2*c^2-6*a*b*c*d*(1+m)+b^2*d^2*(2+3*m+m^2))*(a+b/x)^(1+m)/(c^2*(a*c-b*d)^3*(d+c/x))+1/6*b*m*(6*a^2*c^2-6*a*b*c*d*(1+m)+b^2*d^2*(2+3*m+m^2))*(a+b/x)^(1+m)*hypergeometric(1,1+m,2+m,c*(a+b/x)/(a*c-b*d))/(c^2*(a*c-b*d)^4*(1+m))
--E 67
--S 68 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 68
--S 69 of 248
--m0:=a0-r0
--E 69
--S 70 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 70
)clear all
--S 71 of 248
t0:=x^m*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R         m |b x  - a
--R        x  |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (1)  -------------
--R         +----------+
--R         |     2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 71
--S 72 of 248
r0:=x^(1+m)*sqrt(b-a/x^2)/(m*sqrt(a-b*x^2))
--R
--R
--R               +--------+
--R               |   2
--R         m + 1 |b x  - a
--R        x      |--------
--R               |    2
--R              \|   x
--R   (2)  -----------------

--R            +----------+
--R            |     2
--R          m\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 72
--S 73 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2
--R                m |%CJ b - a
--R             %CJ  |---------
--R           x      |      2
--R         ++      \|   %CJ
--R   (3)   |   ---------------- d%CJ
--R        ++     +-----------+
--R               |     2
--R              \|- %CJ b + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 73
--S 74 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                                +---------+
--R                                |   2
--R                              m |%CJ b - a
--R                           %CJ  |---------                 +--------+
--R          +----------+   x      |      2                   |   2
--R          |     2      ++      \|   %CJ              m + 1 |b x  - a
--R        m\|- b x  + a  |   ---------------- d%CJ  - x      |--------
--R                      ++     +-----------+                 |    2
--R                             |     2                      \|   x
--R                            \|- %CJ b + a
--R   (4)  -------------------------------------------------------------
--R                                  +----------+
--R                                  |     2
--R                                m\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 74
--S 75 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R            2      m + 1         3        m
--R        (b x  - a)x      + (- b x  + a x)x

--R   (5)  -----------------------------------
--R                              +--------+
--R                 +----------+ |   2
--R               3 |     2      |b x  - a
--R            m x \|- b x  + a  |--------
--R                              |    2
--R                             \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 75
)clear all
--S 76 of 248
t0:=x^2*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R         2 |b x  - a
--R        x  |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (1)  -------------
--R         +----------+
--R         |     2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 76
--S 77 of 248
r0:=1/2*x^3*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R            +--------+
--R            |   2
--R          3 |b x  - a
--R         x  |--------
--R            |    2
--R           \|   x
--R   (2)  --------------
--R          +----------+
--R          |     2
--R        2\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 77
--S 78 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R

--R             +----------+ +--------+
--R           2 |     2      |   2
--R          x \|- b x  + a \|b x  - a
--R   (3)  - --------------------------
--R                      2
--R                  2b x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 78
--S 79 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                           +--------+
--R           +--------+      |   2
--R         2 |   2         3 |b x  - a
--R        x \|b x  - a  - x  |--------
--R                           |    2
--R                          \|   x
--R   (4)  -----------------------------
--R                  +----------+
--R                  |     2
--R                2\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 79
--S 80 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R                                               +--------+
--R                     +--------+                |   2
--R              2      |   2            3        |b x  - a
--R        (- b x  + a)\|b x  - a  + (b x  - a x) |--------
--R                                               |    2
--R                                              \|   x
--R   (5)  -------------------------------------------------
--R                             +--------+
--R                +----------+ |   2      +--------+
--R                |     2      |b x  - a  |   2
--R               \|- b x  + a  |-------- \|b x  - a
--R                             |    2
--R                            \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 80
)clear all
--S 81 of 248
t0:=x*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)

--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R           |b x  - a
--R         x |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (1)  -------------
--R         +----------+
--R         |     2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 81
--S 82 of 248
r0:=x^2*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R         2 |b x  - a
--R        x  |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (2)  -------------
--R         +----------+
--R         |     2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 82
--S 83 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +----------+ +--------+
--R            |     2      |   2
--R          x\|- b x  + a \|b x  - a
--R   (3)  - -------------------------
--R                      2
--R                   b x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 83
--S 84 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                          +--------+

--R          +--------+      |   2
--R          |   2         2 |b x  - a
--R        x\|b x  - a  - x  |--------
--R                          |    2
--R                         \|   x
--R   (4)  ----------------------------
--R                 +----------+
--R                 |     2
--R                \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 84
--S 85 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R                                               +--------+
--R                     +--------+                |   2
--R              2      |   2            3        |b x  - a
--R        (- b x  + a)\|b x  - a  + (b x  - a x) |--------
--R                                               |    2
--R                                              \|   x
--R   (5)  -------------------------------------------------
--R                              +--------+
--R                 +----------+ |   2      +--------+
--R                 |     2      |b x  - a  |   2
--R               x\|- b x  + a  |-------- \|b x  - a
--R                              |    2
--R                             \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 85
)clear all
--S 86 of 248
t0:=sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R          +--------+
--R          |   2
--R          |b x  - a
--R          |--------
--R          |    2
--R         \|   x
--R   (1)  -------------
--R         +----------+
--R         |     2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 86

--S 87 of 248
r0:=x*log(x)*sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R                 +--------+
--R                 |   2
--R                 |b x  - a
--R        x log(x) |--------
--R                 |    2
--R                \|   x
--R   (2)  -------------------
--R            +----------+
--R            |     2
--R           \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 87
--S 88 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 88
--S 89 of 248
--m0:=a0-r0
--E 89
--S 90 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 90
)clear all
--S 91 of 248
t0:=sqrt(b-a/x^2)/(x*sqrt(a-b*x^2))
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R           |b x  - a
--R           |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (1)  --------------
--R          +----------+
--R          |     2
--R        x\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 91
--S 92 of 248

r0:=-sqrt(b-a/x^2)/sqrt(a-b*x^2)
--R
--R
--R            +--------+
--R            |   2
--R            |b x  - a
--R            |--------
--R            |    2
--R           \|   x
--R   (2)  - -------------
--R           +----------+
--R           |     2
--R          \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 92
--S 93 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                  +----------+ +--------+
--R                  |     2      |   2
--R        (- x + 1)\|- b x  + a \|b x  - a
--R   (3)  ---------------------------------
--R                       3
--R                    b x  - a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 93
--S 94 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                               +--------+
--R                +--------+     |   2
--R                |   2          |b x  - a
--R        (x - 1)\|b x  - a  + x |--------
--R                               |    2
--R                              \|   x
--R   (4)  ---------------------------------
--R                    +----------+
--R                    |     2
--R                  x\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 94
--S 95 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R

--R                                               +--------+
--R                     +--------+                |   2
--R              2      |   2            3        |b x  - a
--R        (- b x  + a)\|b x  - a  + (b x  - a x) |--------
--R                                               |    2
--R                                              \|   x
--R   (5)  -------------------------------------------------
--R                              +--------+
--R                 +----------+ |   2      +--------+
--R               3 |     2      |b x  - a  |   2
--R              x \|- b x  + a  |-------- \|b x  - a
--R                              |    2
--R                             \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 95
)clear all
--S 96 of 248
t0:=sqrt(b-a/x^2)/(x^2*sqrt(a-b*x^2))
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R           |b x  - a
--R           |--------
--R           |    2
--R          \|   x
--R   (1)  ---------------
--R           +----------+
--R         2 |     2
--R        x \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 96
--S 97 of 248
r0:=-1/2*sqrt(b-a/x^2)/(x*sqrt(a-b*x^2))
--R
--R
--R             +--------+
--R             |   2
--R             |b x  - a
--R             |--------
--R             |    2
--R            \|   x
--R   (2)  - ---------------
--R             +----------+
--R             |     2
--R          2x\|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 97
--S 98 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                   +----------+ +--------+
--R            2      |     2      |   2
--R        (- x  + 1)\|- b x  + a \|b x  - a
--R   (3)  ----------------------------------
--R                       4       2
--R                   2b x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 98
--S 99 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                                +--------+
--R                 +--------+     |   2
--R          2      |   2          |b x  - a
--R        (x  - 1)\|b x  - a  + x |--------
--R                                |    2
--R                               \|   x
--R   (4)  ----------------------------------
--R                     +----------+
--R                   2 |     2
--R                 2x \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 99
--S 100 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R                                               +--------+
--R                     +--------+                |   2
--R              2      |   2            3        |b x  - a
--R        (- b x  + a)\|b x  - a  + (b x  - a x) |--------
--R                                               |    2
--R                                              \|   x
--R   (5)  -------------------------------------------------
--R                              +--------+
--R                 +----------+ |   2      +--------+
--R               4 |     2      |b x  - a  |   2
--R              x \|- b x  + a  |-------- \|b x  - a
--R                              |    2
--R                             \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 100
)clear all
--S 101 of 248
t0:=(a+b*x^2)^(5/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R                              +--------+
--R          2 4         2    2  |   2
--R        (b x  + 2a b x  + a )\|b x  + a
--R   (1)  --------------------------------
--R                  +-----------+
--R                  |   2 4    2
--R                 \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 101
--S 102 of 248
r0:=-1/4*x*(a-b*x^2)*(a+b*x^2)^(3/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)-9/8*a*x*(a-b*x^2)*_
   sqrt(a+b*x^2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)+19/8*a^2*atan(x*sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*_
   sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R            +----------+ +--------+           +-+
--R          2 |     2      |   2              x\|b
--R       19a \|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                         +----------+
--R                                         |     2
--R                                        \|- b x  + a
--R     +
--R                                     +--------+
--R          2 5         3      2   +-+ |   2
--R       (2b x  + 9a b x  - 11a x)\|b \|b x  + a
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     8\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 102
--S 103 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                        +-------+
--R                        |      4
--R                2       |  361a

--R         (- 4b x  - 4a) |- -----
--R                       \|   16b
--R      *
--R                                                                  +-------+
--R                    +-----------+ +--------+                      |      4
--R                  2 |   2 4    2  |   2             2 3           |  361a
--R             - 19a \|- b x  + a  \|b x  + a  + (- 4b x  - 4a b x) |- -----
--R                                                                 \|   16b
--R         log(--------------------------------------------------------------)
--R                                           2
--R                                        b x  + a
--R     +
--R                         +-----------+ +--------+
--R              3          |   2 4    2  |   2
--R       (- 2b x  - 11a x)\|- b x  + a  \|b x  + a
--R  /
--R         2
--R     8b x  + 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 103
--S 104 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R                            +-------+
--R              +-----------+ |      4
--R              |   2 4    2  |  361a   +-+
--R            4\|- b x  + a   |- ----- \|b
--R                           \|   16b
--R         *
--R                                                                     +-------+
--R                       +-----------+ +--------+                      |      4
--R                     2 |   2 4    2  |   2             2 3           |  361a
--R                - 19a \|- b x  + a  \|b x  + a  + (- 4b x  - 4a b x) |- -----
--R                                                                    \|   16b
--R            log(--------------------------------------------------------------)
--R                                              2
--R                                           b x  + a
--R     +
--R              +----------+ +--------+           +-+
--R            2 |     2      |   2              x\|b
--R       - 19a \|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                           +----------+
--R                                           |     2
--R                                          \|- b x  + a
--R  /
--R       +-----------+

--R       |   2 4    2  +-+
--R     8\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 104
--S 105 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 105
)clear all
--S 106 of 248
t0:=(a+b*x^2)^(3/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R                   +--------+
--R            2      |   2
--R        (b x  + a)\|b x  + a
--R   (1)  ---------------------
--R             +-----------+
--R             |   2 4    2
--R            \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 106
--S 107 of 248
r0:=-1/2*x*(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)+3/2*a*atan(x*_
   sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/(sqrt(b)*_
   sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R      +----------+ +--------+           +-+                         +--------+
--R      |     2      |   2              x\|b             3        +-+ |   2
--R   3a\|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------) + (b x  - a x)\|b \|b x  + a
--R                                   +----------+
--R                                   |     2
--R                                  \|- b x  + a
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                 +-----------+
--R                                 |   2 4    2  +-+
--R                               2\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 107
--S 108 of 248

a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                      +-----+
--R                      |    2
--R               2      |  9a
--R         (- b x  - a) |- ---
--R                     \|   b
--R      *
--R                                                              +-----+
--R                  +-----------+ +--------+                    |    2
--R                  |   2 4    2  |   2            2 3          |  9a
--R             - 3a\|- b x  + a  \|b x  + a  + (- b x  - a b x) |- ---
--R                                                             \|   b
--R         log(--------------------------------------------------------)
--R                                        2
--R                                     b x  + a
--R     +
--R           +-----------+ +--------+
--R           |   2 4    2  |   2
--R       - x\|- b x  + a  \|b x  + a
--R  /
--R         2
--R     2b x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 108
--S 109 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R                           +-----+
--R             +-----------+ |    2
--R             |   2 4    2  |  9a   +-+
--R            \|- b x  + a   |- --- \|b
--R                          \|   b
--R         *
--R                                                                 +-----+
--R                     +-----------+ +--------+                    |    2
--R                     |   2 4    2  |   2            2 3          |  9a
--R                - 3a\|- b x  + a  \|b x  + a  + (- b x  - a b x) |- ---
--R                                                                \|   b
--R            log(--------------------------------------------------------)
--R                                           2
--R                                        b x  + a
--R     +
--R            +----------+ +--------+           +-+

--R            |     2      |   2              x\|b
--R       - 3a\|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                         +----------+
--R                                         |     2
--R                                        \|- b x  + a
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     2\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 109
--S 110 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 110
)clear all
--S 111 of 248
t0:=(a+b*x^2)^(1/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R           +--------+
--R           |   2
--R          \|b x  + a
--R   (1)  --------------
--R         +-----------+
--R         |   2 4    2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 111
--S 112 of 248
r0:=atan(x*sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/_
   (sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R         +----------+ +--------+           +-+
--R         |     2      |   2              x\|b
--R        \|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                      +----------+
--R                                      |     2
--R                                     \|- b x  + a
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                      +-----------+
--R                      |   2 4    2  +-+

--R                     \|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 112
--S 113 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                     +-----------+ +--------+                  +---+
--R                     |   2 4    2  |   2          2 3          |  1
--R           +---+    \|- b x  + a  \|b x  + a  + (b x  + a b x) |- -
--R           |  1                                               \|  b
--R   (3)  -  |- - log(------------------------------------------------)
--R          \|  b                            2
--R                                        b x  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 113
--S 114 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R             +-----------+ +---+
--R             |   2 4    2  |  1  +-+
--R            \|- b x  + a   |- - \|b
--R                          \|  b
--R         *
--R                 +-----------+ +--------+                  +---+
--R                 |   2 4    2  |   2          2 3          |  1
--R                \|- b x  + a  \|b x  + a  + (b x  + a b x) |- -
--R                                                          \|  b
--R            log(------------------------------------------------)
--R                                       2
--R                                    b x  + a
--R     +
--R          +----------+ +--------+           +-+
--R          |     2      |   2              x\|b
--R       - \|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                       +----------+
--R                                       |     2
--R                                      \|- b x  + a
--R  /
--R      +-----------+
--R      |   2 4    2  +-+
--R     \|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 114

--S 115 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 115
)clear all
--S 116 of 248
t0:=1/((a+b*x^2)^(1/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                    1
--R   (1)  -------------------------
--R         +-----------+ +--------+
--R         |   2 4    2  |   2
--R        \|- b x  + a  \|b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 116
--S 117 of 248
r0:=atan(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/_
   (a*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R         +----------+ +--------+         +-+ +-+
--R         |     2      |   2            x\|2 \|b
--R        \|- b x  + a \|b x  + a atan(-------------)
--R                                      +----------+
--R                                      |     2
--R                                     \|- b x  + a
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                        +-----------+
--R                    +-+ |   2 4    2  +-+
--R                  a\|2 \|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 117
--S 118 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 118
--S 119 of 248
--m0:=a0-r0
--E 119
--S 120 of 248
--d0:=D(m0,x)

--E 120
)clear all
--S 121 of 248
t0:=1/((a+b*x^2)^(3/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                         1
--R   (1)  -----------------------------------
--R                   +-----------+ +--------+
--R            2      |   2 4    2  |   2
--R        (b x  + a)\|- b x  + a  \|b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 121
--S 122 of 248
r0:=1/4*x*(a-b*x^2)/(a^2*sqrt(a+b*x^2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
   3/4*atan(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
   sqrt(a+b*x^2)/(a^2*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                     +----------+         +-+ +-+
--R             2       |     2            x\|2 \|b             3        +-+ +-+
--R        (3b x  + 3a)\|- b x  + a atan(-------------) + (- b x  + a x)\|2 \|b
--R                                       +----------+
--R                                       |     2
--R                                      \|- b x  + a
--R   (2)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                 +-----------+     +--------+
--R                           2 +-+ |   2 4    2  +-+ |   2
--R                         4a \|2 \|- b x  + a  \|b \|b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 122
--S 123 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 123
--S 124 of 248
--m0:=a0-r0
--E 124
--S 125 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 125
)clear all
--S 126 of 248

t0:=1/((a+b*x^2)^(5/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                               1
--R   (1)  ----------------------------------------------
--R                              +-----------+ +--------+
--R          2 4         2    2  |   2 4    2  |   2
--R        (b x  + 2a b x  + a )\|- b x  + a  \|b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 126
--S 127 of 248
r0:=1/8*x*(a-b*x^2)/(a^2*(a+b*x^2)^(3/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
    9/32*x*(a-b*x^2)/(a^3*sqrt(a+b*x^2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
    19/32*atan(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a-b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
    sqrt(a+b*x^2)/(a^3*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R                                  +----------+         +-+ +-+
--R           2 4          2      2  |     2            x\|2 \|b
--R       (19b x  + 38a b x  + 19a )\|- b x  + a atan(-------------)
--R                                                    +----------+
--R                                                    |     2
--R                                                   \|- b x  + a
--R     +
--R            2 5         3      2   +-+ +-+
--R       (- 9b x  - 4a b x  + 13a x)\|2 \|b
--R  /
--R                           +-----------+     +--------+
--R         3   2      4  +-+ |   2 4    2  +-+ |   2
--R     (32a b x  + 32a )\|2 \|- b x  + a  \|b \|b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 127
--S 128 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 128
--S 129 of 248
--m0:=a0-r0
--E 129
--S 130 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 130
)clear all
--S 131 of 248

t0:=(a-b*x^2)^(5/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R                              +----------+
--R          2 4         2    2  |     2
--R        (b x  - 2a b x  + a )\|- b x  + a
--R   (1)  ----------------------------------
--R                   +-----------+
--R                   |   2 4    2
--R                  \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 131
--S 132 of 248
r0:=-1/4*x*(a-b*x^2)^(3/2)*(a+b*x^2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)-9/8*a*x*(a+b*x^2)*_
   sqrt(a-b*x^2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)+19/8*a^2*atanh(x*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*_
   sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R            +----------+ +--------+           +-+
--R          2 |     2      |   2              x\|b
--R       19a \|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                          +--------+
--R                                          |   2
--R                                         \|b x  + a
--R     +
--R                                 +----------+
--R          2 5         3      2   |     2      +-+
--R       (2b x  - 9a b x  - 11a x)\|- b x  + a \|b
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     8\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 132
--S 133 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                        +-----+
--R                        |    4
--R                2       |361a
--R         (- 4b x  + 4a) |-----
--R                       \| 16b
--R      *
--R                                +-----+
--R                                |    4         +-----------+ +----------+

--R                  2 3           |361a        2 |   2 4    2  |     2
--R             (- 4b x  + 4a b x) |-----  - 19a \|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                               \| 16b
--R         log(------------------------------------------------------------)
--R                                          2
--R                                       b x  - a
--R     +
--R                         +-----------+ +----------+
--R              3          |   2 4    2  |     2
--R       (- 2b x  + 11a x)\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R  /
--R         2
--R     8b x  - 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 133
--S 134 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R                            +-----+
--R              +-----------+ |    4
--R              |   2 4    2  |361a   +-+
--R            4\|- b x  + a   |----- \|b
--R                           \| 16b
--R         *
--R                                   +-----+
--R                                   |    4         +-----------+ +----------+
--R                     2 3           |361a        2 |   2 4    2  |     2
--R                (- 4b x  + 4a b x) |-----  - 19a \|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                  \| 16b
--R            log(------------------------------------------------------------)
--R                                             2
--R                                          b x  - a
--R     +
--R              +----------+ +--------+           +-+
--R            2 |     2      |   2              x\|b
--R       - 19a \|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                            +--------+
--R                                            |   2
--R                                           \|b x  + a
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     8\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 134

--S 135 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 135
)clear all
--S 136 of 248
t0:=(a-b*x^2)^(3/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R                     +----------+
--R              2      |     2
--R        (- b x  + a)\|- b x  + a
--R   (1)  -------------------------
--R               +-----------+
--R               |   2 4    2
--R              \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 136
--S 137 of 248
r0:=-1/2*x*(a+b*x^2)*sqrt(a-b*x^2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)+_
     3/2*a*atanh(x*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
     sqrt(a+b*x^2)/(sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R          +----------+ +--------+           +-+
--R          |     2      |   2              x\|b
--R       3a\|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                        +--------+
--R                                        |   2
--R                                       \|b x  + a
--R     +
--R                      +----------+
--R             3        |     2      +-+
--R       (- b x  - a x)\|- b x  + a \|b
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     2\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 137
--S 138 of 248
a0:=integrate(t0,x)

--R
--R
--R   (3)
--R                      +---+
--R                      |  2
--R               2      |9a
--R         (- b x  + a) |---
--R                     \| b
--R      *
--R                              +---+
--R                              |  2       +-----------+ +----------+
--R                 2 3          |9a        |   2 4    2  |     2
--R             (- b x  + a b x) |---  - 3a\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                             \| b
--R         log(------------------------------------------------------)
--R                                       2
--R                                    b x  - a
--R     +
--R         +-----------+ +----------+
--R         |   2 4    2  |     2
--R       x\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R  /
--R         2
--R     2b x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 138
--S 139 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R                           +---+
--R             +-----------+ |  2
--R             |   2 4    2  |9a   +-+
--R            \|- b x  + a   |--- \|b
--R                          \| b
--R         *
--R                                 +---+
--R                                 |  2       +-----------+ +----------+
--R                    2 3          |9a        |   2 4    2  |     2
--R                (- b x  + a b x) |---  - 3a\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                \| b
--R            log(------------------------------------------------------)
--R                                          2
--R                                       b x  - a
--R     +
--R            +----------+ +--------+           +-+
--R            |     2      |   2              x\|b

--R       - 3a\|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                          +--------+
--R                                          |   2
--R                                         \|b x  + a
--R  /
--R       +-----------+
--R       |   2 4    2  +-+
--R     2\|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 139
--S 140 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 140
)clear all
--S 141 of 248
t0:=(a-b*x^2)^(1/2)/sqrt(a^2-b^2*x^4)
--R
--R
--R          +----------+
--R          |     2
--R         \|- b x  + a
--R   (1)  --------------
--R         +-----------+
--R         |   2 4    2
--R        \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 141
--S 142 of 248
r0:=atanh(x*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a+b*x^2)/(sqrt(b)*_
    sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R         +----------+ +--------+           +-+
--R         |     2      |   2              x\|b
--R        \|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                       +--------+
--R                                       |   2
--R                                      \|b x  + a
--R   (2)  ------------------------------------------
--R                     +-----------+
--R                     |   2 4    2  +-+
--R                    \|- b x  + a  \|b

--S 143 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                                   +-+    +-----------+ +----------+
--R                      2 3          |1     |   2 4    2  |     2
--R           +-+    (- b x  + a b x) |-  - \|- b x  + a  \|- b x  + a
--R           |1                     \|b
--R   (3)  -  |- log(--------------------------------------------------)
--R          \|b                             2
--R                                       b x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 143
--S 144 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R       -
--R             +-----------+ +-+
--R             |   2 4    2  |1  +-+
--R            \|- b x  + a   |- \|b
--R                          \|b
--R         *
--R                                 +-+    +-----------+ +----------+
--R                    2 3          |1     |   2 4    2  |     2
--R                (- b x  + a b x) |-  - \|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                \|b
--R            log(--------------------------------------------------)
--R                                        2
--R                                     b x  - a
--R     +
--R          +----------+ +--------+           +-+
--R          |     2      |   2              x\|b
--R       - \|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                        +--------+
--R                                        |   2
--R                                       \|b x  + a
--R  /
--R      +-----------+
--R      |   2 4    2  +-+
--R     \|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 144
--S 145 of 248

d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 145
)clear all
--S 146 of 248
t0:=1/((a-b*x^2)^(1/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                     1
--R   (1)  ---------------------------
--R         +-----------+ +----------+
--R         |   2 4    2  |     2
--R        \|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 146
--S 147 of 248
r0:=atanh(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
    sqrt(a+b*x^2)/(a*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R         +----------+ +--------+         +-+ +-+
--R         |     2      |   2            x\|2 \|b
--R        \|- b x  + a \|b x  + a atanh(-----------)
--R                                       +--------+
--R                                       |   2
--R                                      \|b x  + a
--R   (2)  ------------------------------------------
--R                        +-----------+
--R                    +-+ |   2 4    2  +-+
--R                  a\|2 \|- b x  + a  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 147
--S 148 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 148
--S 149 of 248
--m0:=a0-r0
--E 149
--S 150 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 150

)clear all
--S 151 of 248
t0:=1/((a-b*x^2)^(3/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                            1
--R   (1)  - -------------------------------------
--R                     +-----------+ +----------+
--R              2      |   2 4    2  |     2
--R          (b x  - a)\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 151
--S 152 of 248
r0:=1/4*x*(a+b*x^2)/(a^2*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
    3/4*atanh(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
    sqrt(a+b*x^2)/(a^2*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R                       +--------+         +-+ +-+
--R               2       |   2            x\|2 \|b          3        +-+ +-+
--R        (- 3b x  + 3a)\|b x  + a atanh(-----------) + (b x  + a x)\|2 \|b
--R                                        +--------+
--R                                        |   2
--R                                       \|b x  + a
--R   (2)  ------------------------------------------------------------------
--R                              +-----------+ +----------+
--R                        2 +-+ |   2 4    2  |     2      +-+
--R                      4a \|2 \|- b x  + a  \|- b x  + a \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 152
--S 153 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 153
--S 154 of 248
--m0:=a0-r0
--E 154
--S 155 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 155
)clear all
--S 156 of 248
t0:=1/((a-b*x^2)^(5/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))

--R
--R
--R                                1
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                              +-----------+ +----------+
--R          2 4         2    2  |   2 4    2  |     2
--R        (b x  - 2a b x  + a )\|- b x  + a  \|- b x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 156
--S 157 of 248
r0:=1/8*x*(a+b*x^2)/(a^2*(a-b*x^2)^(3/2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
    9/32*x*(a+b*x^2)/(a^3*sqrt(a-b*x^2)*sqrt(a^2-b^2*x^4))+_
    19/32*atanh(x*sqrt(2)*sqrt(b)/sqrt(a+b*x^2))*sqrt(a-b*x^2)*_
    sqrt(a+b*x^2)/(a^3*sqrt(2)*sqrt(b)*sqrt(a^2-b^2*x^4))
--R
--R
--R   (2)
--R                                    +--------+         +-+ +-+
--R             2 4          2      2  |   2            x\|2 \|b
--R       (- 19b x  + 38a b x  - 19a )\|b x  + a atanh(-----------)
--R                                                     +--------+
--R                                                     |   2
--R                                                    \|b x  + a
--R     +
--R          2 5         3      2   +-+ +-+
--R       (9b x  - 4a b x  - 13a x)\|2 \|b
--R  /
--R                           +-----------+ +----------+
--R         3   2      4  +-+ |   2 4    2  |     2      +-+
--R     (32a b x  - 32a )\|2 \|- b x  + a  \|- b x  + a \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 157
--S 158 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 158
--S 159 of 248
--m0:=a0-r0
--E 159
--S 160 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 160
)clear all
--S 161 of 248
t0:=sqrt(x^2/(-1+x^2))/(1+x^2)

--R
--R
--R         +------+
--R         |   2
--R         |  x
--R         |------
--R         | 2
--R        \|x  - 1
--R   (1)  ---------
--R           2
--R          x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 161
--S 162 of 248
r0:=atan(sqrt(-1+x^2)/sqrt(2))*sqrt(-x^2/(1-x^2))*sqrt(-1+x^2)/(x*sqrt(2))
--R
--R
--R         +------+               +------+
--R         |   2    +------+      | 2
--R         |  x     | 2          \|x  - 1
--R         |------ \|x  - 1 atan(---------)
--R         | 2                       +-+
--R        \|x  - 1                  \|2
--R   (2)  ---------------------------------
--R                        +-+
--R                      x\|2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 162
--S 163 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                      +------+
--R               2      | 2         3               +-+
--R             (x  + 2)\|x  - 1  - x  - x         x\|2
--R        atan(--------------------------) - atan(-----)
--R                         +-+                      2
--R                        \|2
--R   (3)  ----------------------------------------------
--R                              +-+
--R                             \|2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 163
--S 164 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R

--R   (4)
--R                       +------+              +------+               +------+
--R                2      | 2         3         |   2    +------+      | 2
--R              (x  + 2)\|x  - 1  - x  - x     |  x     | 2          \|x  - 1
--R       x atan(--------------------------) -  |------ \|x  - 1 atan(---------)
--R                          +-+                | 2                       +-+
--R                         \|2                \|x  - 1                  \|2
--R     +
--R                  +-+
--R                x\|2
--R       - x atan(-----)
--R                  2
--R  /
--R       +-+
--R     x\|2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 164
--S 165 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                +------+                               +------+
--R                |   2           +------+               |   2
--R         3      |  x         3  | 2           4     2  |  x         4    2
--R   ((- 2x  + x) |------  - 2x )\|x  - 1  + (2x  - 2x ) |------  + 2x  - x
--R                | 2                                    | 2
--R               \|x  - 1                               \|x  - 1
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                   +------+                                   +------+
--R                   |   2    +------+                          |   2
--R           5       |  x     | 2             6    4     2      |  x
--R        (2x  - 2x) |------ \|x  - 1  + (- 2x  + x  + 2x  - 1) |------
--R                   | 2                                        | 2
--R                  \|x  - 1                                   \|x  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 165
)clear all
--S 166 of 248
t0:=sqrt(x^2/(-1+a+(1+a)*x^2))/(1+x^2)
--R
--R
--R         +-----------------+
--R         |         2
--R         |        x
--R         |-----------------
--R         |        2

--R        \|(a + 1)x  + a - 1
--R   (1)  --------------------
--R                2
--R               x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 166
--S 167 of 248
r0:=atan(sqrt(-1+a+(1+a)*x^2)/sqrt(2))*sqrt(-x^2/(1-a-(1+a)*x^2))*_
    sqrt(-1+a+(1+a)*x^2)/(x*sqrt(2))
--R
--R
--R         +-----------------+                          +-----------------+
--R         |         2         +-----------------+      |        2
--R         |        x          |        2              \|(a + 1)x  + a - 1
--R         |----------------- \|(a + 1)x  + a - 1 atan(--------------------)
--R         |        2                                           +-+
--R        \|(a + 1)x  + a - 1                                  \|2
--R   (2)  ------------------------------------------------------------------
--R                                         +-+
--R                                       x\|2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 167
--S 168 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                    +-----------------+
--R                +-+ |        2                2      +-+ +-----+
--R               \|2 \|(a + 1)x  + a - 1  + (- x  - 1)\|2 \|a - 1
--R          atan(-------------------------------------------------)
--R                                        2
--R                                      2x
--R   (3)  - -------------------------------------------------------
--R                                     +-+
--R                                    \|2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 168
--S 169 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                     +-----------------+
--R                 +-+ |        2                2      +-+ +-----+
--R                \|2 \|(a + 1)x  + a - 1  + (- x  - 1)\|2 \|a - 1
--R       - x atan(-------------------------------------------------)
--R                                         2

--R                                       2x
--R     +
--R          +-----------------+                          +-----------------+
--R          |         2         +-----------------+      |        2
--R          |        x          |        2              \|(a + 1)x  + a - 1
--R       -  |----------------- \|(a + 1)x  + a - 1 atan(--------------------)
--R          |        2                                           +-+
--R         \|(a + 1)x  + a - 1                                  \|2
--R  /
--R       +-+
--R     x\|2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 169
--S 170 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R                                                          +-----------------+
--R             +-----------------+                          |         2
--R           2 |        2                     3             |        x
--R        - x \|(a + 1)x  + a - 1  + ((a + 1)x  + (a - 1)x) |-----------------
--R                                                          |        2
--R                                                         \|(a + 1)x  + a - 1
--R   (5)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                     +-----------------+
--R                                     |         2         +-----------------+
--R                  4       2          |        x          |        2
--R         ((a + 1)x  + 2a x  + a - 1) |----------------- \|(a + 1)x  + a - 1
--R                                     |        2
--R                                    \|(a + 1)x  + a - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 170
)clear all
--S 171 of 248
t0:=1/((1+x)*(-1+x^2))^(2/3)
--R
--R
--R                 1
--R   (1)  -------------------
--R         +---------------+2
--R        3| 3    2
--R        \|x  + x  - x - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 171
--S 172 of 248
r0:=-3/2*(1-x^2)/(-(1+x)*(1-x^2))^(2/3)

--R
--R
--R                 2
--R               3x  - 3
--R   (2)  --------------------
--R          +---------------+2
--R         3| 3    2
--R        2\|x  + x  - x - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 172
--S 173 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R          +---------------+
--R         3| 3    2
--R        3\|x  + x  - x - 1
--R   (3)  -------------------
--R               2x + 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 173
--S 174 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 174
--S 175 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 175
)clear all
--S 176 of 248
t0:=(-1+x^2)/((1+x^2)*sqrt(x*(1+x^2)))
--R
--R
--R               2
--R              x  - 1
--R   (1)  -----------------
--R                 +------+
--R          2      | 3

--R        (x  + 1)\|x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 176
--S 177 of 248
r0:=-2*x/sqrt(x*(1+x^2))
--R
--R
--R              2x
--R   (2)  - ---------
--R           +------+
--R           | 3
--R          \|x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 177
--S 178 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +------+
--R            | 3
--R          2\|x  + x
--R   (3)  - ----------
--R             2
--R            x  + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 178
--S 179 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 179
--S 180 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 180
)clear all
--S 181 of 248
t0:=(-1+x^2)/((1+x^2)*sqrt(x+x^3))
--R

--R
--R               2
--R              x  - 1
--R   (1)  -----------------
--R                 +------+
--R          2      | 3
--R        (x  + 1)\|x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 181
--S 182 of 248
r0:=-2*x/sqrt(x+x^3)
--R
--R
--R              2x
--R   (2)  - ---------
--R           +------+
--R           | 3
--R          \|x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 182
--S 183 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +------+
--R            | 3
--R          2\|x  + x
--R   (3)  - ----------
--R             2
--R            x  + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 183
--S 184 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 184
--S 185 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 185

--S 186 of 248
t0:=sqrt((-1+x^2)^2/(x*(1+x^2)))/(1+x^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         | 4     2
--R         |x  - 2x  + 1
--R         |------------
--R         |    3
--R        \|   x  + x
--R   (1)  ---------------
--R              2
--R             x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 186
--S 187 of 248
r0:=2*x*sqrt((1-x^2)^2/(x*(1+x^2)))/(1-x^2)
--R
--R
--R             +------------+
--R             | 4     2
--R             |x  - 2x  + 1
--R          2x |------------
--R             |    3
--R            \|   x  + x
--R   (2)  - -----------------
--R                 2
--R                x  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 187
--S 188 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +------+
--R            | 3
--R          2\|x  + x
--R   (3)  - ----------
--R             2
--R            x  + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 188
--S 189 of 248
m0:=a0-r0

--R
--R
--R                                          +------------+
--R                    +------+              | 4     2
--R             2      | 3           3       |x  - 2x  + 1
--R        (- 2x  + 2)\|x  + x  + (2x  + 2x) |------------
--R                                          |    3
--R                                         \|   x  + x
--R   (4)  ------------------------------------------------
--R                              4
--R                             x  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 189
--S 190 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R                                             +------------+
--R                         +------+            | 4     2
--R            4     2      | 3          5      |x  - 2x  + 1
--R        (- x  + 2x  - 1)\|x  + x  + (x  - x) |------------
--R                                             |    3
--R                                            \|   x  + x
--R   (5)  ---------------------------------------------------
--R                              +------------+
--R                              | 4     2      +------+
--R                 5     3      |x  - 2x  + 1  | 3
--R               (x  + 2x  + x) |------------ \|x  + x
--R                              |    3
--R                             \|   x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 190
)clear all
--S 191 of 248
t0:=sqrt((-1+x^2)^2/(x+x^3))/(1+x^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         | 4     2
--R         |x  - 2x  + 1
--R         |------------
--R         |    3
--R        \|   x  + x
--R   (1)  ---------------
--R              2
--R             x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 191
--S 192 of 248
r0:=2*x*sqrt((1-x^2)^2/(x+x^3))/(1-x^2)
--R
--R
--R             +------------+
--R             | 4     2
--R             |x  - 2x  + 1
--R          2x |------------
--R             |    3
--R            \|   x  + x
--R   (2)  - -----------------
--R                 2
--R                x  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 192
--S 193 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +------+
--R            | 3
--R          2\|x  + x
--R   (3)  - ----------
--R             2
--R            x  + 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 193
--S 194 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R                                          +------------+
--R                    +------+              | 4     2
--R             2      | 3           3       |x  - 2x  + 1
--R        (- 2x  + 2)\|x  + x  + (2x  + 2x) |------------
--R                                          |    3
--R                                         \|   x  + x
--R   (4)  ------------------------------------------------
--R                              4
--R                             x  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 194
--S 195 of 248
d0:=D(m0,x)
--R

--R
--R                                             +------------+
--R                         +------+            | 4     2
--R            4     2      | 3          5      |x  - 2x  + 1
--R        (- x  + 2x  - 1)\|x  + x  + (x  - x) |------------
--R                                             |    3
--R                                            \|   x  + x
--R   (5)  ---------------------------------------------------
--R                              +------------+
--R                              | 4     2      +------+
--R                 5     3      |x  - 2x  + 1  | 3
--R               (x  + 2x  + x) |------------ \|x  + x
--R                              |    3
--R                             \|   x  + x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 195
)clear all
--S 196 of 248
t0:=1/(sqrt(a+b/x^2)*sqrt(c+d*x^2))
--R
--R
--R                   1
--R   (1)  ----------------------
--R         +--------+
--R         |   2      +--------+
--R         |a x  + b  |   2
--R         |-------- \|d x  + c
--R         |    2
--R        \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 196
--S 197 of 248
r0:=atanh(sqrt(d)*sqrt(b+a*x^2)/(sqrt(a)*sqrt(c+d*x^2)))*_
    sqrt(b+a*x^2)/(x*sqrt(a)*sqrt(d)*sqrt(a+b/x^2))
--R
--R
--R                              +--------+
--R         +--------+       +-+ |   2
--R         |   2           \|d \|a x  + b
--R        \|a x  + b atanh(---------------)
--R                              +--------+
--R                          +-+ |   2
--R                         \|a \|d x  + c
--R   (2)  ---------------------------------
--R                     +--------+
--R                     |   2
--R                 +-+ |a x  + b  +-+

--R               x\|a  |-------- \|d
--R                     |    2
--R                    \|   x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 197
--S 198 of 248
--a0:=integrate(t0,x)
--E 198
--S 199 of 248
--m0:=a0-r0
--E 199
--S 200 of 248
--d0:=D(m0,x)
--E 200
)clear all
--S 201 of 248
t0:=sqrt(-2*x^2+x^4)/((-1+x^2)*(2+x^2))
--R
--R
--R         +--------+
--R         | 4     2
--R        \|x  - 2x
--R   (1)  -----------
--R         4    2
--R        x  + x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 201
--S 202 of 248
r0:=2/3*atan(1/2*sqrt(-2+x^2))*sqrt(-2*x^2+x^4)/(x*sqrt(-2+x^2))-_
    1/3*atan(sqrt(-2+x^2))*sqrt(-2*x^2+x^4)/(x*sqrt(-2+x^2))
--R
--R
--R                                                         +------+
--R           +--------+      +------+      +--------+      | 2
--R           | 4     2       | 2           | 4     2      \|x  - 2
--R        - \|x  - 2x  atan(\|x  - 2 ) + 2\|x  - 2x  atan(---------)
--R                                                            2
--R   (2)  ----------------------------------------------------------
--R                                   +------+
--R                                   | 2
--R                                3x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 202

--S 203 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                       +------+                            +------+
--R                2      | 2         3                2      | 2         3
--R              (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x          (x  + 4)\|x  - 2  - x  - 2x
--R       - atan(--------------------------) + 2atan(---------------------------)
--R                           2                                   4
--R     +
--R                       x
--R       atan(x) - 2atan(-)
--R                       2
--R  /
--R     3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 203
--S 204 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                                 +------+
--R           +------+       2      | 2         3
--R           | 2          (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x
--R       - x\|x  - 2 atan(--------------------------)
--R                                     2
--R     +
--R                                +------+
--R          +------+       2      | 2         3          +--------+      +------+
--R          | 2          (x  + 4)\|x  - 2  - x  - 2x     | 4     2       | 2
--R       2x\|x  - 2 atan(---------------------------) + \|x  - 2x  atan(\|x  - 2 )
--R                                    4
--R     +
--R                           +------+
--R           +--------+      | 2                                  +------+
--R           | 4     2      \|x  - 2                          x   | 2
--R       - 2\|x  - 2x  atan(---------) + (x atan(x) - 2x atan(-))\|x  - 2
--R                              2                             2
--R  /
--R        +------+
--R        | 2
--R     3x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 204
--S 205 of 248
d0:=D(m0,x)

--R
--R
--R   (5)
--R                     +------+                  +--------+
--R            4     2  | 2         5     3       | 4     2
--R       ((- x  + 2x )\|x  - 2  + x  - 3x  + 2x)\|x  - 2x
--R     +
--R                          +------+
--R           6     4     2  | 2         7     5     3
--R       (- x  + 3x  - 2x )\|x  - 2  + x  - 4x  + 4x
--R  /
--R                     +------+                       +--------+
--R        6     2      | 2         7    5     3       | 4     2
--R     ((x  - 3x  + 2)\|x  - 2  - x  + x  + 4x  - 4x)\|x  - 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 205
)clear all
--S 206 of 248
t0:=sqrt(1+(-1)/(-1+x^2)^2)/(2-x^2)
--R
--R
--R           +------------+
--R           |   4     2
--R           |  x  - 2x
--R           |------------
--R           | 4     2
--R          \|x  - 2x  + 1
--R   (1)  - ---------------
--R                2
--R               x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 206
--S 207 of 248
r0a:=(1-x^2)*atan(sqrt(-2+x^2))*sqrt(1+(-1)/(1-x^2)^2)/(x*sqrt(-2+x^2))
--R
--R
--R                   +------------+
--R                   |   4     2         +------+
--R            2      |  x  - 2x          | 2
--R        (- x  + 1) |------------ atan(\|x  - 2 )
--R                   | 4     2
--R                  \|x  - 2x  + 1
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                         +------+
--R                         | 2
--R                       x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 207
--S 208 of 248
r0b:=(1-x^2)*atan(sqrt(-2+x^2))*sqrt(-2*x^2+x^4)*sqrt(1+(-1)/(1-x^2)^2)/_
     (x*sqrt(-2+x^2)*sqrt(-1+(-1+x^2)^2))
--R
--R
--R                   +------------+
--R                   |   4     2         +------+
--R            2      |  x  - 2x          | 2
--R        (- x  + 1) |------------ atan(\|x  - 2 )
--R                   | 4     2
--R                  \|x  - 2x  + 1
--R   (3)  ----------------------------------------
--R                         +------+
--R                         | 2
--R                       x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 208
--S 209 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R                        +------+
--R                 2      | 2         3
--R               (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x
--R   (4)  - atan(--------------------------) + atan(x)
--R                            2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 209
--S 210 of 248
m0:=a0-r0a
--R
--R
--R   (5)
--R                                 +------+
--R           +------+       2      | 2         3
--R           | 2          (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x
--R       - x\|x  - 2 atan(--------------------------)
--R                                     2
--R     +
--R                +------------+
--R                |   4     2         +------+              +------+
--R         2      |  x  - 2x          | 2                   | 2
--R       (x  - 1) |------------ atan(\|x  - 2 ) + x atan(x)\|x  - 2
--R                | 4     2
--R               \|x  - 2x  + 1
--R  /

--R       +------+
--R       | 2
--R     x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 210
--S 211 of 248
d0a:=D(m0a,x)
--R
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 211
--S 212 of 248
m0:=a0-r0b
--R
--R
--R   (7)
--R                                 +------+
--R           +------+       2      | 2         3
--R           | 2          (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x
--R       - x\|x  - 2 atan(--------------------------)
--R                                     2
--R     +
--R                +------------+
--R                |   4     2         +------+              +------+
--R         2      |  x  - 2x          | 2                   | 2
--R       (x  - 1) |------------ atan(\|x  - 2 ) + x atan(x)\|x  - 2
--R                | 4     2
--R               \|x  - 2x  + 1
--R  /
--R       +------+
--R       | 2
--R     x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 212
--S 213 of 248
d0b:=D(m0b,x)
--R
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 213
)clear all
--S 214 of 248
t0:=sqrt((-2*x^2+x^4)/(-1+x^2)^2)/(2+x^2)

--R
--R
--R         +------------+
--R         |   4     2
--R         |  x  - 2x
--R         |------------
--R         | 4     2
--R        \|x  - 2x  + 1
--R   (1)  ---------------
--R              2
--R             x  + 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 214
--S 215 of 248
r0:=-2/3*(1-x^2)*atan(1/2*sqrt(-2+x^2))*sqrt((-2*x^2+x^4)/(1-x^2)^2)/_
     (x*sqrt(-2+x^2))+1/3*(1-x^2)*atan(sqrt(-2+x^2))*sqrt((-2*x^2+x^4)/_
     (1-x^2)^2)/(x*sqrt(-2+x^2))
--R
--R
--R   (2)
--R                  +------------+
--R                  |   4     2         +------+
--R           2      |  x  - 2x          | 2
--R       (- x  + 1) |------------ atan(\|x  - 2 )
--R                  | 4     2
--R                 \|x  - 2x  + 1
--R     +
--R                 +------------+      +------+
--R                 |   4     2         | 2
--R          2      |  x  - 2x         \|x  - 2
--R       (2x  - 2) |------------ atan(---------)
--R                 | 4     2              2
--R                \|x  - 2x  + 1
--R  /
--R        +------+
--R        | 2
--R     3x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 215
--S 216 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                       +------+                            +------+
--R                2      | 2         3                2      | 2         3
--R              (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x          (x  + 4)\|x  - 2  - x  - 2x
--R       - atan(--------------------------) + 2atan(---------------------------)

--R                           2                                   4
--R     +
--R                       x
--R       atan(x) - 2atan(-)
--R                       2
--R  /
--R     3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 216
--S 217 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                                 +------+
--R           +------+       2      | 2         3
--R           | 2          (x  + 1)\|x  - 2  - x  + x
--R       - x\|x  - 2 atan(--------------------------)
--R                                     2
--R     +
--R                                +------+
--R          +------+       2      | 2         3
--R          | 2          (x  + 4)\|x  - 2  - x  - 2x
--R       2x\|x  - 2 atan(---------------------------)
--R                                    4
--R     +
--R                +------------+
--R                |   4     2         +------+
--R         2      |  x  - 2x          | 2
--R       (x  - 1) |------------ atan(\|x  - 2 )
--R                | 4     2
--R               \|x  - 2x  + 1
--R     +
--R                   +------------+      +------+
--R                   |   4     2         | 2
--R            2      |  x  - 2x         \|x  - 2
--R       (- 2x  + 2) |------------ atan(---------)
--R                   | 4     2              2
--R                  \|x  - 2x  + 1
--R     +
--R                                +------+
--R                            x   | 2
--R       (x atan(x) - 2x atan(-))\|x  - 2
--R                            2
--R  /
--R        +------+
--R        | 2
--R     3x\|x  - 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 217
--S 218 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                           +------------+
--R                           |   4     2                      +------+
--R            6     4     2  |  x  - 2x        6     4     2  | 2
--R       ((- x  + 3x  - 2x ) |------------  - x  + 3x  - 2x )\|x  - 2
--R                           | 4     2
--R                          \|x  - 2x  + 1
--R     +
--R                             +------------+
--R                             |   4     2
--R         7     5     3       |  x  - 2x        7     5     3
--R       (x  - 4x  + 5x  - 2x) |------------  + x  - 4x  + 4x
--R                             | 4     2
--R                            \|x  - 2x  + 1
--R  /
--R                                 +------------+
--R                                 |   4     2    +------+
--R         8    6     4     2      |  x  - 2x     | 2
--R       (x  - x  - 3x  + 5x  - 2) |------------ \|x  - 2
--R                                 | 4     2
--R                                \|x  - 2x  + 1
--R     +
--R                                     +------------+
--R                                     |   4     2
--R           9     7     5     3       |  x  - 2x
--R       (- x  + 2x  + 3x  - 8x  + 4x) |------------
--R                                     | 4     2
--R                                    \|x  - 2x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 218
)clear all
--S 219 of 248
t0:=(1+2*x/(1+x^2))^(5/2)
--R
--R
--R                                  +-----------+
--R                                  | 2
--R          4     3     2           |x  + 2x + 1
--R        (x  + 4x  + 6x  + 4x + 1) |-----------
--R                                  |    2
--R                                 \|   x  + 1
--R   (1)  ---------------------------------------

--R                       4     2
--R                      x  + 2x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 219
--S 220 of 248
r0:=-1/3*(1-x)*(1+x^2)*(1+2*x/(1+x^2))^(5/2)/(1+x)+2/3*(1+3*x)*(1+x^2)^2*_
     (1+2*x/(1+x^2))^(5/2)/(1+x)^2-(1+x^2)^3*(1+2*x/(1+x^2))^(5/2)/(1+x)^5-_
     3*(1+x^2)^3*(1+2*x/(1+x^2))^(5/2)/(1+x)^4-2*(1+x^2)^3*_
     (1+2*x/(1+x^2))^(5/2)/(1+x)^3+5*(1+x^2)^(5/2)*(1+2*x/(1+x^2))^(5/2)*_
     asinh(x)/(1+x)^5
--R
--R
--R   (2)
--R                           +-----------+
--R                           | 2           +------+
--R           2               |x  + 2x + 1  | 2
--R       (15x  + 15)asinh(x) |----------- \|x  + 1
--R                           |    2
--R                          \|   x  + 1
--R     +
--R                                     +-----------+
--R                                     | 2
--R          4     3      2             |x  + 2x + 1
--R       (3x  - 8x  - 18x  - 12x - 17) |-----------
--R                                     |    2
--R                                    \|   x  + 1
--R  /
--R       3     2
--R     3x  + 3x  + 3x + 3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 220
--S 221 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                                         +------+
--R                 6       4       2       | 2            7       5       3
--R         ((- 120x  - 240x  - 135x  - 15)\|x  + 1  + 120x  + 300x  + 240x  + 60x)
--R      *
--R              +------+
--R              | 2
--R         log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                                                 +------+
--R             7       5       3      2            | 2           8       6       4
--R       (- 24x  + 132x  + 208x  - 24x  + 68x - 8)\|x  + 1  + 24x  - 120x  - 277x
--R     +

--R          3       2
--R       24x  - 154x  + 20x - 17
--R  /
--R                              +------+
--R         6      4      2      | 2           7      5      3
--R     (24x  + 48x  + 27x  + 3)\|x  + 1  - 24x  - 60x  - 48x  - 12x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 221
--S 222 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                                                                        +------+
--R                  7       6       5       4       3       2             | 2
--R           (- 120x  - 120x  - 240x  - 240x  - 135x  - 135x  - 15x - 15)\|x  + 1
--R         +
--R               8       7       6       5       4       3      2
--R           120x  + 120x  + 300x  + 300x  + 240x  + 240x  + 60x  + 60x
--R      *
--R              +------+
--R              | 2
--R         log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                    7       5       3                     8      7       6
--R               (120x  + 300x  + 240x  + 60x)asinh(x) - 24x  + 64x  + 120x
--R             +
--R                   5       4       3       2
--R               160x  + 277x  + 104x  + 154x  + 12x + 17
--R          *
--R              +-----------+
--R              | 2
--R              |x  + 2x + 1
--R              |-----------
--R              |    2
--R             \|   x  + 1
--R         +
--R                8      7       6       5       4       3      2
--R           - 24x  - 24x  + 132x  + 132x  + 208x  + 184x  + 44x  + 60x - 8
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                  8       6       4       2                    9      8       7
--R           (- 120x  - 360x  - 375x  - 150x  - 15)asinh(x) + 24x  - 64x  - 108x
--R         +
--R                 6       5       4       3      2
--R           - 192x  - 340x  - 176x  - 276x  - 48x  - 68x

--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R          9      8       7       6       5       4       3       2
--R       24x  + 24x  - 120x  - 120x  - 277x  - 253x  - 130x  - 134x  + 3x - 17
--R  /
--R                                                          +------+
--R           7      6      5      4      3      2           | 2           8      7
--R       (24x  + 24x  + 48x  + 48x  + 27x  + 27x  + 3x + 3)\|x  + 1  - 24x  - 24x
--R     +
--R            6      5      4      3      2
--R       - 60x  - 60x  - 48x  - 48x  - 12x  - 12x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 222
--S 223 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                     14       13        12        11        10        9        8
--R               - 128x   - 640x   - 1600x   - 2880x   - 4112x   - 4688x  - 4408x
--R             +
--R                      7        6        5       4       3      2
--R               - 3480x  - 2248x  - 1192x  - 520x  - 168x  - 40x  - 8x
--R          *
--R              +-----------+
--R              | 2
--R              |x  + 2x + 1
--R              |-----------
--R              |    2
--R             \|   x  + 1
--R         +
--R                 14       13        12        11        10        9        8
--R           - 128x   - 768x   - 2176x   - 4096x   - 5920x   - 6848x  - 6400x
--R         +
--R                  7        6        5       4       3      2
--R           - 4928x  - 3137x  - 1606x  - 655x  - 212x  - 47x  - 6x - 1
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R               15       14        13        12        11        10        9
--R           128x   + 640x   + 1664x   + 3200x   + 4896x   + 6048x   + 6272x

--R         +
--R                8        7        6        5       4       3      2
--R           5504x  + 4033x  + 2501x  + 1291x  + 527x  + 175x  + 43x  + 5x + 1
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R           15       14        13        12        11        10        9        8
--R       128x   + 768x   + 2240x   + 4480x   + 6992x   + 8800x   + 9096x  + 7888x
--R     +
--R            7        6        5       4       3      2
--R       5728x  + 3440x  + 1712x  + 688x  + 208x  + 48x  + 8x
--R  /
--R              14       12        10        8       6       4      2
--R         (128x   + 640x   + 1312x   + 1408x  + 833x  + 259x  + 35x  + 1)
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2           +------+
--R          |x  + 2x + 1  | 2
--R          |----------- \|x  + 1
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R                15       13        11        9        7       5       3
--R         (- 128x   - 704x   - 1616x   - 1992x  - 1408x  - 560x  - 112x  - 8x)
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 223
)clear all
--S 224 of 248
t0:=(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)
--R
--R
--R                      +-----------+
--R                      | 2
--R          2           |x  + 2x + 1
--R        (x  + 2x + 1) |-----------
--R                      |    2

--R                     \|   x  + 1
--R   (1)  ---------------------------
--R                    2
--R                   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 224
--S 225 of 248
r0:=-(1-x)*(1+x^2)*(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)/(1+x)+(1+x^2)^2*_
     (1+2*x/(1+x^2))^(3/2)/(1+x)^3-(1+x^2)^2*(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)/(1+x)^2+_
     3*(1+x^2)^(3/2)*(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)*asinh(x)/(1+x)^3
--R
--R
--R                  +-----------+                          +-----------+
--R                  | 2           +------+                 | 2
--R                  |x  + 2x + 1  | 2          2           |x  + 2x + 1
--R        3asinh(x) |----------- \|x  + 1  + (x  - 2x - 1) |-----------
--R                  |    2                                 |    2
--R                 \|   x  + 1                            \|   x  + 1
--R   (2)  --------------------------------------------------------------
--R                                     x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 225
--S 226 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                    +------+                 +------+
--R             2      | 2          3           | 2
--R       ((- 6x  - 3)\|x  + 1  + 6x  + 6x)log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                        +------+
--R            3           | 2          4    2
--R       (- 2x  + 2x - 2)\|x  + 1  + 2x  - x  + 2x - 1
--R  /
--R               +------+
--R        2      | 2          3
--R     (2x  + 1)\|x  + 1  - 2x  - 2x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 226
--S 227 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                                 +------+
--R               3     2           | 2          4     3     2

--R         ((- 6x  - 6x  - 3x - 3)\|x  + 1  + 6x  + 6x  + 6x  + 6x)
--R      *
--R              +------+
--R              | 2
--R         log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                                                          +-----------+
--R                                                          | 2
--R               3                   4     3    2           |x  + 2x + 1      4
--R           ((6x  + 6x)asinh(x) - 2x  + 4x  + x  + 2x + 1) |-----------  - 2x
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   x  + 1
--R         +
--R               3     2
--R           - 2x  + 2x  - 2
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                                                          +-----------+
--R                                                          | 2
--R             4     2                  5     4     2       |x  + 2x + 1      5
--R       ((- 6x  - 9x  - 3)asinh(x) + 2x  - 4x  - 4x  - 2x) |-----------  + 2x
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   x  + 1
--R     +
--R         4    3    2
--R       2x  - x  + x  + x - 1
--R  /
--R                         +------+
--R        3     2          | 2          4     3     2
--R     (2x  + 2x  + x + 1)\|x  + 1  - 2x  - 2x  - 2x  - 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 227
--S 228 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                                                                  +-----------+
--R                                                                  | 2
--R                8      7      6      5      4      3      2       |x  + 2x + 1
--R           (- 8x  - 24x  - 36x  - 44x  - 40x  - 24x  - 12x  - 4x) |-----------
--R                                                                  |    2
--R                                                                 \|   x  + 1
--R         +
--R               8      7      6      5      4      3      2
--R           - 8x  - 32x  - 56x  - 64x  - 57x  - 36x  - 14x  - 4x - 1

--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R            9      8      7      6      5      4      3      2
--R         (8x  + 24x  + 40x  + 56x  + 57x  + 43x  + 28x  + 12x  + 3x + 1)
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R         9      8      7      6      5      4      3      2
--R       8x  + 32x  + 60x  + 80x  + 84x  + 64x  + 36x  + 16x  + 4x
--R  /
--R                                      +-----------+
--R                                      | 2           +------+
--R          8      6      4      2      |x  + 2x + 1  | 2
--R       (8x  + 24x  + 25x  + 10x  + 1) |----------- \|x  + 1
--R                                      |    2
--R                                     \|   x  + 1
--R     +
--R                                         +-----------+
--R                                         | 2
--R            9      7      5      3       |x  + 2x + 1
--R       (- 8x  - 28x  - 36x  - 20x  - 4x) |-----------
--R                                         |    2
--R                                        \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 228
)clear all
--S 229 of 248
t0:=(1+2*x/(1+x^2))^(1/2)
--R
--R
--R         +-----------+
--R         | 2
--R         |x  + 2x + 1
--R   (1)   |-----------
--R         |    2
--R        \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 229
--S 230 of 248

r0:=(1+x^2)*sqrt(1+2*x/(1+x^2))/(1+x)+asinh(x)*sqrt(1+x^2)*_
    sqrt(1+2*x/(1+x^2))/(1+x)
--R
--R
--R                 +-----------+                     +-----------+
--R                 | 2           +------+            | 2
--R                 |x  + 2x + 1  | 2          2      |x  + 2x + 1
--R        asinh(x) |----------- \|x  + 1  + (x  + 1) |-----------
--R                 |    2                            |    2
--R                \|   x  + 1                       \|   x  + 1
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R                                  x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 230
--S 231 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R            +------+          +------+          +------+
--R            | 2               | 2               | 2         2
--R        (- \|x  + 1  + x)log(\|x  + 1  - x) - x\|x  + 1  + x  + 1
--R   (3)  ---------------------------------------------------------
--R                               +------+
--R                               | 2
--R                              \|x  + 1  - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 231
--S 232 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                  +------+               +------+
--R                  | 2         2          | 2
--R       ((- x - 1)\|x  + 1  + x  + x)log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                              +-----------+
--R                              | 2                     +------+
--R                       2      |x  + 2x + 1     2      | 2
--R       ((x asinh(x) - x  - 1) |-----------  - x  - x)\|x  + 1
--R                              |    2
--R                             \|   x  + 1
--R     +
--R                                     +-----------+
--R                                     | 2
--R            2                 3      |x  + 2x + 1     3    2
--R       ((- x  - 1)asinh(x) + x  + x) |-----------  + x  + x  + x + 1
--R                                     |    2

--R                                    \|   x  + 1
--R  /
--R             +------+
--R             | 2         2
--R     (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 232
--S 233 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                                   +-----------+
--R                                   | 2
--R               4     3     2       |x  + 2x + 1      4     3     2
--R         ((- 2x  - 2x  - 2x  - 2x) |-----------  - 2x  - 4x  - 3x  - 2x - 1)
--R                                   |    2
--R                                  \|   x  + 1
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                                     +-----------+
--R                                     | 2
--R        5     4     3     2          |x  + 2x + 1      5     4     3     2
--R     (2x  + 2x  + 3x  + 3x  + x + 1) |-----------  + 2x  + 4x  + 4x  + 4x  + 2x
--R                                     |    2
--R                                    \|   x  + 1
--R  /
--R                     +-----------+                               +-----------+
--R                     | 2           +------+                      | 2
--R        4     2      |x  + 2x + 1  | 2             5     3       |x  + 2x + 1
--R     (2x  + 3x  + 1) |----------- \|x  + 1  + (- 2x  - 4x  - 2x) |-----------
--R                     |    2                                      |    2
--R                    \|   x  + 1                                 \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 233
)clear all
--S 234 of 248
t0:=1/(1+2*x/(1+x^2))^(1/2)
--R
--R
--R               1
--R   (1)  --------------
--R         +-----------+
--R         | 2

--R         |x  + 2x + 1
--R         |-----------
--R         |    2
--R        \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 234
--S 235 of 248
r0:=(1+x)/sqrt(1+2*x/(1+x^2))-(1+x)*asinh(x)/(sqrt(1+x^2)*_
    sqrt(1+2*x/(1+x^2)))-(1+x)*atanh((1-x)/(sqrt(2)*sqrt(1+x^2)))*_
    sqrt(2)/(sqrt(1+x^2)*sqrt(1+2*x/(1+x^2)))
--R
--R
--R                                                  +------+
--R                +-+          x - 1                | 2
--R        (x + 1)\|2 atanh(-------------) + (x + 1)\|x  + 1  + (- x - 1)asinh(x)
--R                              +------+
--R                          +-+ | 2
--R                         \|2 \|x  + 1
--R   (2)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                 +-----------+
--R                                 | 2           +------+
--R                                 |x  + 2x + 1  | 2
--R                                 |----------- \|x  + 1
--R                                 |    2
--R                                \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 235
--S 236 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R         +------+          +------+
--R         | 2               | 2
--R       (\|x  + 1  - x)log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R               +------+
--R           +-+ | 2          +-+
--R         (\|2 \|x  + 1  - x\|2 )
--R      *
--R                            +------+
--R               +-+          | 2                  +-+    2
--R             (\|2  + x + 1)\|x  + 1  + (- x - 1)\|2  - x  - x - 2
--R         log(----------------------------------------------------)
--R                                   +------+
--R                                   | 2         2
--R                           (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
--R     +

--R           +------+
--R           | 2         2
--R       - x\|x  + 1  + x  + 1
--R  /
--R      +------+
--R      | 2
--R     \|x  + 1  - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 236
--S 237 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R          +-----------+                       +-----------+
--R          | 2           +------+              | 2                +------+
--R          |x  + 2x + 1  | 2            2      |x  + 2x + 1       | 2
--R       (x |----------- \|x  + 1  + (- x  - 1) |----------- )log(\|x  + 1  - x)
--R          |    2                              |    2
--R         \|   x  + 1                         \|   x  + 1
--R     +
--R                +-----------+                           +-----------+
--R                | 2           +------+                  | 2
--R            +-+ |x  + 2x + 1  | 2            2      +-+ |x  + 2x + 1
--R         (x\|2  |----------- \|x  + 1  + (- x  - 1)\|2  |----------- )
--R                |    2                                  |    2
--R               \|   x  + 1                             \|   x  + 1
--R      *
--R                            +------+
--R               +-+          | 2                  +-+    2
--R             (\|2  + x + 1)\|x  + 1  + (- x - 1)\|2  - x  - x - 2
--R         log(----------------------------------------------------)
--R                                   +------+
--R                                   | 2         2
--R                           (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
--R     +
--R                    +------+
--R                +-+ | 2            2      +-+           x - 1
--R       ((x + 1)\|2 \|x  + 1  + (- x  - x)\|2 )atanh(-------------)
--R                                                         +------+
--R                                                     +-+ | 2
--R                                                    \|2 \|x  + 1
--R     +
--R                   +-----------+
--R                   | 2                                         +------+
--R            2      |x  + 2x + 1                         2      | 2
--R       ((- x  - 1) |-----------  + (- x - 1)asinh(x) - x  - x)\|x  + 1
--R                   |    2
--R                  \|   x  + 1

--R     +
--R                +-----------+
--R                | 2
--R         3      |x  + 2x + 1      2                 3    2
--R       (x  + x) |-----------  + (x  + x)asinh(x) + x  + x  + x + 1
--R                |    2
--R               \|   x  + 1
--R  /
--R       +-----------+                       +-----------+
--R       | 2           +------+              | 2
--R       |x  + 2x + 1  | 2            2      |x  + 2x + 1
--R     x |----------- \|x  + 1  + (- x  - 1) |-----------
--R       |    2                              |    2
--R      \|   x  + 1                         \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 237
--S 238 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                     5     4      3     2           +-+      6      5      4
--R               (- 16x  - 8x  - 20x  - 8x  - 5x - 1)\|2  - 16x  - 16x  - 36x
--R             +
--R                    3      2
--R               - 20x  - 21x  - 5x - 2
--R          *
--R              +-----------+
--R              | 2
--R              |x  + 2x + 1
--R              |-----------
--R              |    2
--R             \|   x  + 1
--R         +
--R                 5      4      3      2           +-+      6      5      4
--R           (- 16x  - 24x  - 20x  - 16x  - 5x - 1)\|2  - 16x  - 32x  - 44x
--R         +
--R                3      2
--R           - 40x  - 21x  - 10x - 1
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R               6     5      4      3      2           +-+      7      6      5
--R           (16x  + 8x  + 28x  + 12x  + 13x  + 4x + 1)\|2  + 16x  + 16x  + 44x
--R         +
--R              4      3      2
--R           28x  + 37x  + 13x  + 9x + 1

--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R           6      5      4      3      2           +-+      7      6      5
--R       (16x  + 24x  + 28x  + 28x  + 13x  + 6x + 1)\|2  + 16x  + 32x  + 52x
--R     +
--R          4      3      2
--R       56x  + 41x  + 26x  + 7x + 2
--R  /
--R               5      4      3      2           +-+      6      5      4      3
--R           (16x  + 24x  + 20x  + 16x  + 5x + 1)\|2  + 16x  + 32x  + 44x  + 40x
--R         +
--R              2
--R           21x  + 10x + 1
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2           +------+
--R          |x  + 2x + 1  | 2
--R          |----------- \|x  + 1
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R                 6      5      4      3      2           +-+      7      6
--R           (- 16x  - 24x  - 28x  - 28x  - 13x  - 6x - 1)\|2  - 16x  - 32x
--R         +
--R                5      4      3      2
--R           - 52x  - 56x  - 41x  - 26x  - 7x - 2
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 238
)clear all
--S 239 of 248
t0:=1/(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)
--R
--R
--R                    2
--R                   x  + 1

--R   (1)  ---------------------------
--R                      +-----------+
--R                      | 2
--R          2           |x  + 2x + 1
--R        (x  + 2x + 1) |-----------
--R                      |    2
--R                     \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 239
--S 240 of 248
r0:=1/2*(-1-x)/(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)+3/2*(1+x)^2*(2+x)/((1+x^2)*_
    (1+2*x/(1+x^2))^(3/2))-3*(1+x)^3*asinh(x)/((1+x^2)^(3/2)*_
    (1+2*x/(1+x^2))^(3/2))-9/2*(1+x)^3*atanh((1-x)/(sqrt(2)*_
    sqrt(1+x^2)))/((1+x^2)^(3/2)*(1+2*x/(1+x^2))^(3/2)*sqrt(2))
--R
--R
--R   (2)
--R                                                                +------+
--R          2                     x - 1           2           +-+ | 2
--R       (9x  + 18x + 9)atanh(-------------) + (2x  + 9x + 5)\|2 \|x  + 1
--R                                 +------+
--R                             +-+ | 2
--R                            \|2 \|x  + 1
--R     +
--R            2            +-+
--R       (- 6x  - 12x - 6)\|2 asinh(x)
--R  /
--R                  +-----------+
--R                  | 2           +------+
--R              +-+ |x  + 2x + 1  | 2
--R     (2x + 2)\|2  |----------- \|x  + 1
--R                  |    2
--R                 \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 240
--S 241 of 248
a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R   (3)
--R                                              +------+
--R               4      3      2            +-+ | 2
--R           (24x  + 48x  + 30x  + 12x + 6)\|2 \|x  + 1
--R         +
--R                 5      4      3      2        +-+
--R           (- 24x  - 48x  - 42x  - 36x  - 18x)\|2
--R      *
--R              +------+

--R              | 2
--R         log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                                          +------+
--R               4      3      2            | 2           5      4      3      2
--R           (36x  + 72x  + 45x  + 18x + 9)\|x  + 1  - 36x  - 72x  - 63x  - 54x
--R         +
--R           - 27x
--R      *
--R                               +------+
--R                      +-+      | 2            2          +-+
--R             ((x + 1)\|2  + 2)\|x  + 1  + (- x  - x - 2)\|2  - 2x - 2
--R         log(--------------------------------------------------------)
--R                                     +------+
--R                                     | 2         2
--R                             (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
--R     +
--R                                                +------+
--R            5      4      3     2           +-+ | 2
--R       (- 8x  - 16x  + 14x  - 2x  - 5x + 5)\|2 \|x  + 1
--R     +
--R          6      5      4      3     2           +-+
--R       (8x  + 16x  - 10x  + 10x  - 3x  - 6x + 5)\|2
--R  /
--R                                        +------+
--R          4      3      2           +-+ | 2
--R       (8x  + 16x  + 10x  + 4x + 2)\|2 \|x  + 1
--R     +
--R            5      4      3      2       +-+
--R       (- 8x  - 16x  - 14x  - 12x  - 6x)\|2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 241
--S 242 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                                                 +-----------+
--R                                                 | 2           +------+
--R               5      4      3      2        +-+ |x  + 2x + 1  | 2
--R           (24x  + 48x  + 42x  + 36x  + 18x)\|2  |----------- \|x  + 1
--R                                                 |    2
--R                                                \|   x  + 1
--R         +
--R                                                              +-----------+
--R                                                              | 2
--R                 6      5      4      3      2            +-+ |x  + 2x + 1
--R           (- 24x  - 48x  - 54x  - 60x  - 36x  - 12x - 6)\|2  |-----------
--R                                                              |    2

--R                                                             \|   x  + 1
--R      *
--R              +------+
--R              | 2
--R         log(\|x  + 1  - x)
--R     +
--R                                             +-----------+
--R                                             | 2           +------+
--R               5      4      3      2        |x  + 2x + 1  | 2
--R           (36x  + 72x  + 63x  + 54x  + 27x) |----------- \|x  + 1
--R                                             |    2
--R                                            \|   x  + 1
--R         +
--R                                                          +-----------+
--R                                                          | 2
--R                 6      5      4      3      2            |x  + 2x + 1
--R           (- 36x  - 72x  - 81x  - 90x  - 54x  - 18x - 9) |-----------
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   x  + 1
--R      *
--R                               +------+
--R                      +-+      | 2            2          +-+
--R             ((x + 1)\|2  + 2)\|x  + 1  + (- x  - x - 2)\|2  - 2x - 2
--R         log(--------------------------------------------------------)
--R                                     +------+
--R                                     | 2         2
--R                             (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
--R     +
--R                                                   +------+
--R               5       4       3      2            | 2           6       5
--R           (36x  + 108x  + 117x  + 63x  + 27x + 9)\|x  + 1  - 36x  - 108x
--R         +
--R                 4       3      2
--R           - 135x  - 117x  - 81x  - 27x
--R      *
--R                   x - 1
--R         atanh(-------------)
--R                    +------+
--R                +-+ | 2
--R               \|2 \|x  + 1
--R     +
--R                                                           +-----------+
--R                                                           | 2
--R                6      5      4      3     2           +-+ |x  + 2x + 1
--R           (- 8x  - 16x  + 10x  - 10x  + 3x  + 6x - 5)\|2  |-----------
--R                                                           |    2
--R                                                          \|   x  + 1
--R         +
--R                 5      4      3      2            +-+
--R           (- 24x  - 72x  - 78x  - 42x  - 18x - 6)\|2 asinh(x)

--R         +
--R                6      5      4      3      2        +-+
--R           (- 8x  - 44x  - 62x  - 53x  - 42x  - 15x)\|2
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                                                          +-----------+
--R                                                          | 2
--R          7      6     5      4     3     2           +-+ |x  + 2x + 1
--R       (8x  + 16x  - 6x  + 18x  - 9x  - 3x  + 5x - 5)\|2  |-----------
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   x  + 1
--R     +
--R           6      5      4      3      2        +-+
--R       (24x  + 72x  + 90x  + 78x  + 54x  + 18x)\|2 asinh(x)
--R     +
--R          7      6      5      4      3      2            +-+
--R       (8x  + 44x  + 66x  + 75x  + 72x  + 36x  + 14x + 5)\|2
--R  /
--R                                           +-----------+
--R                                           | 2           +------+
--R          5      4      3      2       +-+ |x  + 2x + 1  | 2
--R       (8x  + 16x  + 14x  + 12x  + 6x)\|2  |----------- \|x  + 1
--R                                           |    2
--R                                          \|   x  + 1
--R     +
--R                                                        +-----------+
--R                                                        | 2
--R            6      5      4      3      2           +-+ |x  + 2x + 1
--R       (- 8x  - 16x  - 18x  - 20x  - 12x  - 4x - 2)\|2  |-----------
--R                                                        |    2
--R                                                       \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 242
--S 243 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                         12       11        10       9        8        7
--R                   - 256x   - 256x   - 1088x   - 832x  - 1776x  - 1008x
--R                 +
--R                          6       5       4       3      2
--R                   - 1384x  - 552x  - 513x  - 129x  - 75x  - 9x - 2
--R              *
--R                  +-+
--R                 \|2

--R             +
--R                     11       10        9       8        7       6        5
--R               - 512x   - 256x   - 1664x  - 768x  - 2016x  - 832x  - 1104x
--R             +
--R                     4       3      2
--R               - 384x  - 258x  - 66x  - 18x - 2
--R          *
--R              +-----------+
--R              | 2
--R              |x  + 2x + 1
--R              |-----------
--R              |    2
--R             \|   x  + 1
--R         +
--R                     12       11        10        9        8        7        6
--R               - 256x   - 512x   - 1216x   - 1664x  - 2032x  - 2016x  - 1512x
--R             +
--R                      5       4       3      2
--R               - 1104x  - 497x  - 258x  - 58x  - 18x - 1
--R          *
--R              +-+
--R             \|2
--R         +
--R                 11       10        9        8        7        6        5
--R           - 512x   - 768x   - 1664x  - 2048x  - 2016x  - 1920x  - 1104x
--R         +
--R                 4       3      2
--R           - 736x  - 258x  - 98x  - 18x - 2
--R      *
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                   13       12        11       10        9        8        7
--R               256x   + 256x   + 1216x   + 960x   + 2288x  + 1392x  + 2152x
--R             +
--R                   6        5       4       3      2
--R               968x  + 1041x  + 321x  + 234x  + 42x  + 17x + 1
--R          *
--R              +-+
--R             \|2
--R         +
--R               12       11        10       9        8        7        6       5
--R           512x   + 256x   + 1920x   + 896x  + 2784x  + 1184x  + 1936x  + 720x
--R         +
--R               4       3      2
--R           642x  + 192x  + 84x  + 16x + 2
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2

--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R               13       12        11        10        9        8        7
--R           256x   + 512x   + 1344x   + 1920x   + 2608x  + 2784x  + 2392x
--R         +
--R                6        5       4       3      2
--R           1936x  + 1065x  + 642x  + 204x  + 84x  + 11x + 2
--R      *
--R          +-+
--R         \|2
--R     +
--R           12       11        10        9        8        7        6        5
--R       512x   + 768x   + 1920x   + 2432x  + 2784x  + 2848x  + 1936x  + 1488x
--R     +
--R           4       3      2
--R       642x  + 324x  + 84x  + 20x + 2
--R  /
--R                   12        11        10        9        8        7        6
--R               256x   + 1024x   + 2240x   + 3584x  + 4336x  + 4160x  + 3240x
--R             +
--R                    5       4       3      2
--R               1984x  + 977x  + 372x  + 94x  + 20x + 1
--R          *
--R              +-+
--R             \|2
--R         +
--R               11        10        9        8        7        6        5
--R           512x   + 1792x   + 3200x  + 4352x  + 4576x  + 3648x  + 2384x
--R         +
--R                4       3       2
--R           1216x  + 450x  + 134x  + 22x + 2
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2           +------+
--R          |x  + 2x + 1  | 2
--R          |----------- \|x  + 1
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R     +
--R                     13        12        11        10        9        8        7
--R               - 256x   - 1024x   - 2368x   - 4096x   - 5424x  - 5824x  - 5144x
--R             +
--R                      6        5        4       3       2
--R               - 3680x  - 2185x  - 1028x  - 368x  - 106x  - 15x - 2
--R          *
--R              +-+
--R             \|2

--R         +
--R                 12        11        10        9        8        7        6
--R           - 512x   - 1792x   - 3456x   - 5248x  - 6112x  - 5600x  - 4304x
--R         +
--R                  5        4       3       2
--R           - 2608x  - 1250x  - 488x  - 124x  - 24x - 2
--R      *
--R          +-----------+
--R          | 2
--R          |x  + 2x + 1
--R          |-----------
--R          |    2
--R         \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 243
)clear all
--S 244 of 248
t0:=sqrt(1+2*x/(1+x^2))/(1+x^2)
--R
--R
--R         +-----------+
--R         | 2
--R         |x  + 2x + 1
--R         |-----------
--R         |    2
--R        \|   x  + 1
--R   (1)  --------------
--R             2
--R            x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 244
--S 245 of 248
r0:=-(1-x)*sqrt(1+2*x/(1+x^2))/(1+x)
--R
--R
--R                +-----------+
--R                | 2
--R                |x  + 2x + 1
--R        (x - 1) |-----------
--R                |    2
--R               \|   x  + 1
--R   (2)  ---------------------
--R                x + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 245
--S 246 of 248

a0:=integrate(t0,x)
--R
--R
--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1  - x - 1
--R   (3)  -------------------
--R          +------+
--R          | 2         2
--R        x\|x  + 1  - x  - 1
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 246
--S 247 of 248
m0:=a0-r0
--R
--R
--R   (4)
--R                   +-----------+
--R                   | 2                    +------+
--R            2      |x  + 2x + 1           | 2
--R       ((- x  + x) |-----------  + x + 1)\|x  + 1
--R                   |    2
--R                  \|   x  + 1
--R     +
--R                         +-----------+
--R                         | 2
--R         3    2          |x  + 2x + 1     2
--R       (x  - x  + x - 1) |-----------  - x  - 2x - 1
--R                         |    2
--R                        \|   x  + 1
--R  /
--R              +------+
--R       2      | 2         3    2
--R     (x  + x)\|x  + 1  - x  - x  - x - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 247
--S 248 of 248
d0:=D(m0,x)
--R
--R
--R   (5)
--R                                   +-----------+
--R                                   | 2
--R               4     3     2       |x  + 2x + 1      4     3     2
--R         ((- 2x  - 2x  - 2x  - 2x) |-----------  - 2x  - 4x  - 3x  - 2x - 1)
--R                                   |    2
--R                                  \|   x  + 1
--R      *

--R          +------+
--R          | 2
--R         \|x  + 1
--R     +
--R                                     +-----------+
--R                                     | 2
--R        5     4     3     2          |x  + 2x + 1      5     4     3     2
--R     (2x  + 2x  + 3x  + 3x  + x + 1) |-----------  + 2x  + 4x  + 4x  + 4x  + 2x
--R                                     |    2
--R                                    \|   x  + 1
--R  /
--R                             +-----------+
--R                             | 2           +------+
--R          6     4     2      |x  + 2x + 1  | 2
--R       (2x  + 5x  + 4x  + 1) |----------- \|x  + 1
--R                             |    2
--R                            \|   x  + 1
--R     +
--R                                +-----------+
--R                                | 2
--R            7     5     3       |x  + 2x + 1
--R       (- 2x  - 6x  - 6x  - 2x) |-----------
--R                                |    2
--R                               \|   x  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 248
)spool
)lisp (bye)

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References^{[1] nothing}

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