$SPAD/input schaum1.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.59 ∫ \frac{dx}{ax + b}

∫ \frac{1}{ax + b} = \frac{1}{a} ln(ax + b)

— * —

)set break resume
)spool schaum1.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 108
aa:=integrate(1/(a*x+b),x)
--R
--R        log(a x + b)
--R   (1)  ------------
--R              a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E 1
--S 2 of 108
bb:=1/a*log(a*x+b)
--R
--R        log(a x + b)
--R   (2)  ------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 108      14:59 Schaums and Axiom agree
cc:=bb-aa
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.60 ∫ \frac{x dx}{ax + b}

∫ \frac{x}{ax + b} = \frac{x}{a} − \frac{b}{a^{2}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 4 of 108
aa:=integrate(x/(a*x+b),x)
--R
--R
--R        - b log(a x + b) + a x
--R   (1)  ----------------------
--R                   2
--R                  a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 108
bb:=x/a-b/a^2*log(a*x+b)
--R
--R        - b log(a x + b) + a x
--R   (2)  ----------------------
--R                   2
--R                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 108      14:60 Schaums and Axiom agree
cc:=bb-aa
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.61 ∫ \frac{x^{2} dx}{ax + b}

∫ \frac{x^{2}}{ax + b} = \frac{(ax + b)^{2}}{2a^{3}} − \frac{2b(ax + b)}{a^{3}} + \frac{b^{2}}{a^{3}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 7 of 108
aa:=integrate(x^2/(a*x+b),x)
--R
--R          2                2 2
--R        2b log(a x + b) + a x  - 2a b x
--R   (1)  -------------------------------
--R                        3

--R                      2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 108
bb:=(a*x+b)^2/(2*a^3)-(2*b*(a*x+b))/a^3+b^2/a^3*log(a*x+b)
--R
--R          2                2 2              2
--R        2b log(a x + b) + a x  - 2a b x - 3b
--R   (2)  -------------------------------------
--R                           3
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 108
cc:=bb-aa
--R
--R            2
--R          3b
--R   (3)  - ---
--R            3
--R          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

This factor is constant with respect to x as shown by taking the derivative. It is a constant of integration.

— * —

--S 10 of 108     14:61 Schaums and Axiom differ by a constant
differentiate(cc,x)
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.62 ∫ \frac{x^{3} dx}{ax + b}

∫ \frac{x^{3}}{ax + b} = \frac{(ax + b)^{3}}{3a^{4}} − \frac{3b(ax + b)^{2}}{2a^{4}} + \frac{3b^{2}(ax + b)}{a^{4}} − \frac{b^{3}}{a^{4}} ln(ax + b)

— * —

)clear all

--S 11 of 108
aa:=integrate(x^3/(a*x+b),x)
--R
--R            3                 3 3     2   2       2
--R        - 6b log(a x + b) + 2a x  - 3a b x  + 6a b x
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                               4
--R                             6a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

and the book expression is:

— * —

--S 12 of 108
bb:=(a*x+b)^3/(3*a^4)-(3*b*(a*x+b)^2)/(2*a^4)+(3*b^2*(a*x+b))/a^4-_
    (b^3/a^4)*log(a*x+b)
--R
--R            3                 3 3     2   2       2       3
--R        - 6b log(a x + b) + 2a x  - 3a b x  + 6a b x + 11b
--R   (2)  ---------------------------------------------------
--R                                  4
--R                                6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

The difference is a constant with respect to x:

— * —

--S 13 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R             3
--R          11b
--R   (3)  - ----
--R             4
--R           6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

If we differentiate each expression we see that this is the integration constant. — * —

--S 14 of 108     14:62 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=D(cc,x)
--R
--R   (4)  0

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.63 ∫ \frac{dx}{x (ax + b)}

∫ \frac{1}{x (ax + b)} = \frac{1}{b} ln (\frac{x}{ax + b})

— * —

)clear all
--S 15 of 108
aa:=integrate(1/(x*(a*x+b)),x)
--R
--R        - log(a x + b) + log(x)
--R   (1)  -----------------------
--R                   b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 108
bb:=1/b*log(x/(a*x+b))
--R
--R               x
--R        log(-------)
--R            a x + b
--R   (2)  ------------
--R              b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                                         x
--R        - log(a x + b) + log(x) - log(-------)
--R                                      a x + b
--R   (3)  --------------------------------------
--R                           b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

but we know that

log(a) − log(b) = log(\frac{a}{b})

We can express this fact as a rule:

— * —

--S 18 of 108
logdiv:=rule(log(a)-log(b) == log(a/b))
--R
--R                                      a
--I   (4)  - log(b) + log(a) + %I == log(-) + %I
--R                                      b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

———-

and use this rule to rewrite the logs into divisions:

— * —

--S 19 of 108     14:63 Schaums and Axiom agree
dd:=logdiv cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

so we can see the equivalence directly.

6 [?]:14.64 ∫ \frac{dx}{x^{2} (ax + b)}

∫ \frac{1}{x^{2} (ax + b)} = −\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^{2}} ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 20 of 108
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x+b)),x)
--R
--R        a x log(a x + b) - a x log(x) - b
--R   (1)  ---------------------------------
--R                        2
--R                       b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

The original form given in the book expands to: — * —

--S 21 of 108
bb:=-1/(b*x)+a/b^2*log((a*x+b)/x)
--R
--R                a x + b
--R        a x log(-------) - b
--R                   x
--R   (2)  --------------------
--R                  2
--R                 b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                                          a x + b
--R        a log(a x + b) - a log(x) - a log(-------)
--R                                             x
--R   (3)  ------------------------------------------
--R                             2
--R                            b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

We can define the following rule to expand log forms: — * —

--S 23 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

———-

and apply it to the difference — * —

--S 24 of 108     14:64 Schaums and Axiom agree
divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.65 ∫ \frac{dx}{x^{3} (ax + b)}

∫ \frac{1}{x^{3} (ax + b)} = \frac{2ax − b}{2b^{2}x^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{3}} ln (\frac{x}{ax + b})

— * —

)clear all
--S 25 of 108
aa:=integrate(1/(x^3*(a*x+b)),x)
--R
--R            2 2                 2 2                   2
--R        - 2a x log(a x + b) + 2a x log(x) + 2a b x - b
--R   (1)  -----------------------------------------------
--R                               3 2
--R                             2b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 26 of 108
bb:=(2*a*x-b)/(2*b^2*x^2)+a^2/b^3*log(x/(a*x+b))
--R
--R          2 2       x                 2
--R        2a x log(-------) + 2a b x - b
--R                 a x + b
--R   (2)  -------------------------------
--R                       3 2
--R                     2b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R           2                2          2       x
--R        - a log(a x + b) + a log(x) - a log(-------)
--R                                            a x + b
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                              3
--R                             b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)

--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 29 of 108     14:65 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.66 ∫ \frac{dx}{(ax + b)^{2}}

∫ \frac{1}{(ax + b)^{2}} = \frac{−1}{a (ax + b)}

— * —

)clear all
--S 30 of 108
aa:=integrate(1/(a*x+b)^2,x)
--R
--R              1
--R   (1)  - ---------
--R           2
--R          a x + a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 31 of 108
bb:=-1/(a*(a*x+b))
--R
--R              1
--R   (2)  - ---------
--R           2
--R          a x + a b
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 32 of 108     14:66 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.67 ∫ \frac{x dx}{(ax + b)^{2}}

∫ \frac{x}{(ax + b)^{2}} = \frac{b}{a^{2} (ax + b)} + \frac{1}{a^{2}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 33 of 108
aa:=integrate(x/(a*x+b)^2,x)
--R
--R        (a x + b)log(a x + b) + b
--R   (1)  -------------------------
--R                 3     2
--R                a x + a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 108
bb:=b/(a^2*(a*x+b))+1/a^2*log(a*x+b)
--R
--R        (a x + b)log(a x + b) + b
--R   (2)  -------------------------
--R                 3     2
--R                a x + a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 108     14:67 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.68 ∫ \frac{x^{2} dx}{(ax + b)^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(ax + b)^{2}} = \frac{ax + b}{a^{3}} − \frac{b^{2}}{a^{3} (ax + b)} − \frac{2b}{a^{3}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 36 of 108
aa:=integrate(x^2/(a*x+b)^2,x)
--R
--R                      2                 2 2            2
--R        (- 2a b x - 2b )log(a x + b) + a x  + a b x - b
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                             4     3
--R                            a x + a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

and the book expression expands into — * —

--S 37 of 108
bb:=(a*x+b)/a^3-b^2/(a^3*(a*x+b))-((2*b)/a^3)*log(a*x+b)
--R
--R                      2                 2 2
--R        (- 2a b x - 2b )log(a x + b) + a x  + 2a b x
--R   (2)  --------------------------------------------
--R                           4     3
--R                          a x + a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

These two expressions differ by the constant — * —

--S 38 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R           b
--R   (3)  - --
--R           3
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

That this expression is constant can be shown by differentiation: — * —

--S 39 of 108     14:68 Schaums and Axiom differ by a constant
D(cc,x)

--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.69 ∫ \frac{x^{3} dx}{(ax + b)^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{(ax + b)^{2}} = \frac{(ax + b)^{2}}{2a^{4}} − \frac{3b(ax + b)}{a^{4}} + \frac{b^{3}}{a^{4}(ax + b)} + \frac{3b^{2}}{a^{4}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 40 of 108
aa:=integrate(x^3/(a*x+b)^2,x)
--R
--R             2      3                 3 3     2   2       2      3
--R        (6a b x + 6b )log(a x + b) + a x  - 3a b x  - 4a b x + 2b
--R   (1)  ----------------------------------------------------------
--R                                  5      4
--R                                2a x + 2a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 41 of 108
bb:=(a*x+b)^2/(2*a^4)-(3*b*(a*x+b))/a^4+b^3/(a^4*(a*x+b))+(3*b^2/a^4)*log(a*x+b)
--R
--R             2      3                 3 3     2   2       2      3
--R        (6a b x + 6b )log(a x + b) + a x  - 3a b x  - 9a b x - 3b
--R   (2)  ----------------------------------------------------------
--R                                  5      4
--R                                2a x + 2a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R          2
--R        5b
--R   (3)  ---
--R          4
--R        2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 43 of 108     14:69 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=D(cc,x)
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.70 ∫ \frac{dx}{x (ax + b)^{2}}

∫ \frac{1}{x (ax + b)^{2}} = \frac{1}{b (ax + b)} + \frac{1}{b^{2}} ln (\frac{x}{ax + b})

— * —

)clear all
--S 44 of 108
aa:=integrate(1/(x*(a*x+b)^2),x)
--R
--R        (- a x - b)log(a x + b) + (a x + b)log(x) + b
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R                             2     3
--R                          a b x + b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

and the book says:

— * —

--S 45 of 108
bb:=(1/(b*(a*x+b))+(1/b^2)*log(x/(a*x+b)))
--R
--R                        x
--R        (a x + b)log(-------) + b
--R                     a x + b
--R   (2)  -------------------------
--R                   2     3
--R                a b x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 108
cc:=aa-bb
--R

--R                                         x
--R        - log(a x + b) + log(x) - log(-------)
--R                                      a x + b
--R   (3)  --------------------------------------
--R                           2
--R                          b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So we look at the divlog rule again:

— * —

--S 47 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

———-

we apply it: — * —

--S 48 of 108     14:70 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.71 ∫ \frac{dx}{x^{2} (ax + b)^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2} (ax + b)^{2}} = \frac{−a}{b^{2} (ax + b)} − \frac{1}{b^{2} x} + \frac{2a}{b^{3}} ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 49 of 108
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x+b)^2),x)
--R
--R           2 2                              2 2                             2
--R        (2a x  + 2a b x)log(a x + b) + (- 2a x  - 2a b x)log(x) - 2a b x - b

--R   (1)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                        3 2    4
--R                                     a b x  + b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

and the book says:

— * —

--S 50 of 108
bb:=(-a/(b^2*(a*x+b)))-(1/(b^2*x))+((2*a)/b^3)*log((a*x+b)/x)
--R
--R           2 2              a x + b              2
--R        (2a x  + 2a b x)log(-------) - 2a b x - b
--R                               x
--R   (2)  ------------------------------------------
--R                          3 2    4
--R                       a b x  + b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                                             a x + b
--R        2a log(a x + b) - 2a log(x) - 2a log(-------)
--R                                                x
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                               3
--R                              b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

which calls for our divlog rule:

— * —

--S 52 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

———-

which we use to transform the result:

— * —

--S 53 of 108     14:71 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.72 ∫ \frac{dx}{x^{3} (ax + b)^{2}}

∫ \frac{1}{x^{3} (ax + b)^{2}} = −\frac{(ax + b)^{2}}{2b^{4}x^{2}} + \frac{3a(ax + b)}{b^{4}x} − \frac{a^{3}x}{b^{4}(ax + b)} − \frac{3a^{2}}{b^{4}} ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 54 of 108
aa:=integrate(1/(x^3*(a*x+b)^2),x)
--R
--R   (1)
--R            3 3     2   2                   3 3     2   2            2   2
--R       (- 6a x  - 6a b x )log(a x + b) + (6a x  + 6a b x )log(x) + 6a b x
--R     +
--R           2     3
--R       3a b x - b
--R  /
--R         4 3     5 2
--R     2a b x  + 2b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 55 of 108
bb:=-(a*x+b)^2/(2*b^4*x^2)+(3*a*(a*x+b))/(b^4*x)-(a^3*x)/(b^4*(a*x+b))-_
     ((3*a^2)/b^4)*log((a*x+b)/x)
--R
--R             3 3     2   2     a x + b      3 3     2   2       2     3
--R        (- 6a x  - 6a b x )log(-------) + 3a x  + 9a b x  + 3a b x - b
--R                                  x
--R   (2)  ---------------------------------------------------------------
--R                                    4 3     5 2
--R                                2a b x  + 2b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 108
cc:=aa-bb

--R
--R            2                 2           2    a x + b      2
--R        - 6a log(a x + b) + 6a log(x) + 6a log(-------) - 3a
--R                                                  x
--R   (3)  -----------------------------------------------------
--R                                   4
--R                                 2b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 58 of 108
dd:=divlog cc
--R
--R            2
--R          3a
--R   (5)  - ---
--R            4
--R          2b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 59 of 108     14:72 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=D(dd,x)
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.73 ∫ \frac{dx}{(ax + b)^{3}}

∫ \frac{1}{(ax + b)^{3}} = \frac{−1}{2a(ax + b)^{2}}

— * —

)clear all

--S 60 of 108
aa:=integrate(1/(a*x+b)^3,x)
--R
--R                     1
--R   (1)  - ----------------------
--R            3 2     2          2
--R          2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 61 of 108
bb:=-1/(2*(a*x+b)^2)
--R
--R                    1
--R   (2)  - --------------------
--R            2 2              2
--R          2a x  + 4a b x + 2b
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 62 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                 a - 1
--R   (3)  ----------------------
--R          3 2     2          2
--R        2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 63 of 108
dd:=aa/bb
--R
--R        1
--R   (4)  -
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 64 of 108     14:73 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=D(dd,x)
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.74 ∫ \frac{x dx}{(ax + b)^{3}}

∫ \frac{x}{(ax + b)^{3}} = \frac{−1}{a^{2}(ax + b)} + \frac{b}{2a^{2}(ax + b)^{2}}

— * —

)clear all
--S 65 of 108
aa:=integrate(x/(a*x+b)^3,x)
--R
--R              - 2a x - b
--R   (1)  ----------------------
--R          4 2     3        2 2
--R        2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 66 of 108
bb:=-1/(a^2*(a*x+b))+b/(2*a^2*(a*x+b)^2)
--R
--R              - 2a x - b
--R   (2)  ----------------------
--R          4 2     3        2 2
--R        2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 67 of 108     14:74 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.75 ∫ \frac{x^{2} dx}{(ax + b)^{3}}

∫ \frac{x^{2}}{(ax + b)^{3}} = \frac{2b}{a^{3}(ax + b)} − \frac{b^{2}}{2a^{3}(ax + b)^{2}} + \frac{1}{a^{3}} ln(ax + b)

— * —

--S 68 of 108
aa:=integrate(x^2/(a*x+b)^3,x)
--R
--R           2 2              2                           2
--R        (2a x  + 4a b x + 2b )log(a x + b) + 4a b x + 3b
--R   (1)  -------------------------------------------------
--R                        5 2     4        3 2
--R                      2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 69 of 108
bb:=(2*b)/(a^3*(a*x+b))-(b^2)/(2*a^3*(a*x+b)^2)+1/a^3*log(a*x+b)
--R
--R           2 2              2                           2
--R        (2a x  + 4a b x + 2b )log(a x + b) + 4a b x + 3b
--R   (2)  -------------------------------------------------
--R                        5 2     4        3 2
--R                      2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 108     14:75 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.76 ∫ \frac{x^{3} dx}{(ax + b)^{3}}

∫ \frac{x^{3}}{(ax + b)^{3}} = \frac{x}{a^{3}} − \frac{3b^{2}}{a^{4}(ax + b)} + \frac{b^{3}}{2a^{4}(ax + b)^{2}} − \frac{3b}{a^{4}} ln(ax + b)

— * —

)clear all
--S 71 of 108
aa:=integrate(x^3/(a*x+b)^3,x)
--R
--R   (1)
--R        2   2        2      3                  3 3     2   2       2      3
--R   (- 6a b x  - 12a b x - 6b )log(a x + b) + 2a x  + 4a b x  - 4a b x - 5b
--R   ------------------------------------------------------------------------

--R                              6 2     5        4 2
--R                            2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 72 of 108
bb:=(x/a^3)-(3*b^2)/(a^4*(a*x+b))+b^3/(2*a^4*(a*x+b)^2)-(3*b)/a^4*log(a*x+b)
--R
--R   (2)
--R        2   2        2      3                  3 3     2   2       2      3
--R   (- 6a b x  - 12a b x - 6b )log(a x + b) + 2a x  + 4a b x  - 4a b x - 5b
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                              6 2     5        4 2
--R                            2a x  + 4a b x + 2a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 73 of 108     14:76 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.77 ∫ \frac{dx}{x(ax + b)^{3}}

∫ \frac{1}{x(ax + b)^{3}} = \frac{3}{2b(ax + b)^{2}} + \frac{2ax}{2b^{2}(ax + b)^{2}} − \frac{1}{b^{3}} ∗ ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 74 of 108
aa:=integrate(1/(x*(a*x+b)^3),x)
--R
--R   (1)
--R            2 2              2                   2 2              2
--R       (- 2a x  - 4a b x - 2b )log(a x + b) + (2a x  + 4a b x + 2b )log(x)
--R     +
--R                  2
--R       2a b x + 3b
--R  /
--R       2 3 2       4      5
--R     2a b x  + 4a b x + 2b
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 75 of 108
bb:=(a^2*x^2)/(2*b^3*(a*x+b)^2)-(2*a*x)/(b^3*(a*x+b))-(1/b^3)*log((a*x+b)/x)
--R
--R             2 2              2     a x + b      2 2
--R        (- 2a x  - 4a b x - 2b )log(-------) - 3a x  - 4a b x
--R                                       x
--R   (2)  -----------------------------------------------------
--R                          2 3 2       4      5
--R                        2a b x  + 4a b x + 2b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                                         a x + b
--R        - 2log(a x + b) + 2log(x) + 2log(-------) + 3
--R                                            x
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                               3
--R                             2b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 77 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 78 of 108
dd:=divlog cc
--R
--R         3
--R   (5)  ---
--R          3
--R        2b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 79 of 108     14:77 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=D(dd,x)
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

20 [?]:14.78 ∫ \frac{dx}{x^{2}(ax + b)^{3}}

∫ \frac{1}{x^{2}(ax + b)^{3}} = \frac{−a}{2b^{2}(ax + b)^{2}} − \frac{2a}{b^{3}(ax + b)} − \frac{1}{b^{3}x} + \frac{3a}{b^{4}} ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 80 of 108
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x+b)^3),x)
--R
--R   (1)
--R          3 3      2   2       2
--R       (6a x  + 12a b x  + 6a b x)log(a x + b)
--R     +
--R            3 3      2   2       2             2   2       2      3
--R       (- 6a x  - 12a b x  - 6a b x)log(x) - 6a b x  - 9a b x - 2b
--R  /
--R       2 4 3       5 2     6
--R     2a b x  + 4a b x  + 2b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 81 of 108
bb:=-a/(2*b^2*(a*x+b)^2)-(2*a)/(b^3*(a*x+b))-1/(b^3*x)+((3*a)/b^4)*log((a*x+b)/x)
--R
--R           3 3      2   2       2      a x + b      2   2       2      3
--R        (6a x  + 12a b x  + 6a b x)log(-------) - 6a b x  - 9a b x - 2b
--R                                          x
--R   (2)  ----------------------------------------------------------------
--R                              2 4 3       5 2     6
--R                            2a b x  + 4a b x  + 2b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                                             a x + b
--R        3a log(a x + b) - 3a log(x) - 3a log(-------)
--R                                                x
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                               4

--R                              b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 83 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 84 of 108     14:78 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.79 ∫ \frac{dx}{x^{3}(ax + b)^{3}}

∫ \frac{1}{x^{3}(ax + b)^{3}} = −\frac{1}{2bx^{2}(ax + b)^{2}} +\frac{2a}{b^{2}x(ax + b)^{2}} +\frac{9a^{2}}{b^{3}(ax + b)^{2}} +\frac{6a^{3}x}{b^{4}(ax + b)^{2}} −\frac{6a^{2}}{b^{5}} ln (\frac{ax + b}{x})

— * —

)clear all
--S 85 of 108
aa:=integrate(1/(x^3*(a*x+b)^3),x)
--R
--R   (1)
--R             4 4      3   3      2 2 2
--R       (- 12a x  - 24a b x  - 12a b x )log(a x + b)
--R     +
--R           4 4      3   3      2 2 2             3   3      2 2 2       3     4
--R       (12a x  + 24a b x  + 12a b x )log(x) + 12a b x  + 18a b x  + 4a b x - b
--R  /
--R       2 5 4       6 3     7 2
--R     2a b x  + 4a b x  + 2b x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 86 of 108
bb:=-1/(2*b*x^2*(a*x+b)^2)_

    +(2*a)/(b^2*x*(a*x+b)^2)_
    +(9*a^2)/(b^3*(a*x+b)^2)_
    +(6*a^3*x)/(b^4*(a*x+b)^2)_
    +(-6*a^2)/b^5*log((a*x+b)/x)
--R
--R   (2)
--R             4 4      3   3      2 2 2     a x + b       3   3      2 2 2
--R       (- 12a x  - 24a b x  - 12a b x )log(-------) + 12a b x  + 18a b x
--R                                              x
--R     +
--R           3     4
--R       4a b x - b
--R  /
--R       2 5 4       6 3     7 2
--R     2a b x  + 4a b x  + 2b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R            2                 2           2    a x + b
--R        - 6a log(a x + b) + 6a log(x) + 6a log(-------)
--R                                                  x
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                                5
--R                               b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 108
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 89 of 108     14:79 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.80 ∫ (ax + b)^{n} dx

∫ (ax + b)^{n} = \frac{(ax + b)^{n+1}}{(n + 1)a} provided n ≠ −1

— * —

)clear all
--S 90 of 108
aa:=integrate((a*x+b)^n,x)
--R
--R                   n log(a x + b)
--R        (a x + b)%e
--R   (1)  -------------------------
--R                 a n + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 91 of 108
bb:=(a*x+b)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                 n + 1
--R        (a x + b)
--R   (2)  --------------
--R            a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R                   n log(a x + b)            n + 1
--R        (a x + b)%e               - (a x + b)
--R   (3)  ------------------------------------------
--R                          a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

This messy formula can be simplified using the explog rule:

— * —

--S 93 of 108
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 94 of 108
dd:=explog cc
--R
--R                   n + 1                     n
--R        - (a x + b)      + (a x + b)(a x + b)
--R   (5)  --------------------------------------
--R                        a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 95 of 108     14:80 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

23 [?]:14.81 ∫ x(ax + b)^{n} dx

∫ x(ax + b)^{n} = \frac{(ax + b)^{n+2}}{(n + 2)a^{2}} − \frac{b(ax + b)^{n+1}}{(n + 1)a^{2}} provided n ≠ −1, −2

— * —

)clear all
--S 96 of 108
aa:=integrate(x*(a*x+b)^n,x)
--R
--R           2     2  2              2   n log(a x + b)
--R        ((a n + a )x  + a b n x - b )%e
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R                       2 2     2      2
--R                      a n  + 3a n + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 97 of 108
bb:=((a*x+b)^(n+2))/((n+2)*a^2)-(b*(a*x+b)^(n+1))/((n+1)*a^2)
--R
--R                        n + 2                        n + 1
--R        (n + 1)(a x + b)      + (- b n - 2b)(a x + b)
--R   (2)  --------------------------------------------------
--R                          2 2     2      2
--R                         a n  + 3a n + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 98 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R          2     2  2              2   n log(a x + b)                     n + 2
--R       ((a n + a )x  + a b n x - b )%e               + (- n - 1)(a x + b)
--R     +
--R                          n + 1
--R       (b n + 2b)(a x + b)
--R  /
--R      2 2     2      2
--R     a n  + 3a n + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 99 of 108
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 100 of 108
dd:=explog cc
--R
--R   (5)
--R                         n + 2                      n + 1
--R       (- n - 1)(a x + b)      + (b n + 2b)(a x + b)
--R     +
--R          2     2  2              2          n
--R       ((a n + a )x  + a b n x - b )(a x + b)
--R  /
--R      2 2     2      2
--R     a n  + 3a n + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 108
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.82 ∫ x^{2}(ax + b)^{n} dx

∫ x^{2}(ax + b)^{n} = \frac{(ax + b)^{n+2}}{(n + 3)a^{3}} − \frac{2b(ax + b)^{n+2}}{(n + 2)a^{3}} + \frac{b^{2}(ax + b)^{n+1}}{(n + 1)a^{3}} provided n ≠ −1, −2, −3

— * —

)clear all
--S 102 of 108
aa:=integrate(x^2*(a*x+b)^n,x)
--R
--R   (1)
--R      3 2     3      3  3     2   2    2     2       2        3   n log(a x + b)
--R   ((a n  + 3a n + 2a )x  + (a b n  + a b n)x  - 2a b n x + 2b )%e
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                              3 3     3 2      3      3
--R                             a n  + 6a n  + 11a n + 6a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 103 of 108
bb:=(a*x+b)^(n+3)/((n+3)*a^3)-(2*b*(a*x+b)^(n+2))/_
    ((n+2)*a^3)+(b^2*(a*x+b)^(n+1))/((n+1)*a^3)
--R
--R   (2)
--R         2                   n + 3          2                      n + 2
--R       (n  + 3n + 2)(a x + b)      + (- 2b n  - 8b n - 6b)(a x + b)
--R     +
--R         2 2     2      2          n + 1
--R       (b n  + 5b n + 6b )(a x + b)
--R  /
--R      3 3     3 2      3      3
--R     a n  + 6a n  + 11a n + 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 108
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R            3 2     3      3  3     2   2    2     2       2        3
--R         ((a n  + 3a n + 2a )x  + (a b n  + a b n)x  - 2a b n x + 2b )
--R      *
--R           n log(a x + b)
--R         %e
--R     +
--R           2                   n + 3        2                      n + 2
--R       (- n  - 3n - 2)(a x + b)      + (2b n  + 8b n + 6b)(a x + b)
--R     +

--R           2 2     2      2          n + 1
--R       (- b n  - 5b n - 6b )(a x + b)
--R  /
--R      3 3     3 2      3      3
--R     a n  + 6a n  + 11a n + 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 105 of 108
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 106 of 108
dd:=explog cc
--R
--R   (5)
--R           2                   n + 3        2                      n + 2
--R       (- n  - 3n - 2)(a x + b)      + (2b n  + 8b n + 6b)(a x + b)
--R     +
--R           2 2     2      2          n + 1
--R       (- b n  - 5b n - 6b )(a x + b)
--R     +
--R          3 2     3      3  3     2   2    2     2       2        3          n
--R       ((a n  + 3a n + 2a )x  + (a b n  + a b n)x  - 2a b n x + 2b )(a x + b)
--R  /
--R      3 3     3 2      3      3
--R     a n  + 6a n  + 11a n + 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 107 of 108    14:82 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

25 [?]:14.83 ∫ x^{m}(ax + b)^{n} dx

∫ x^{m}(ax + b)^{n} \{ \begin{matrix}\frac{x^{m+1}(ax + b)^{n}}{m + n + 1} + \frac{nb}{m + n + 1} ∫ x^{m}(ax + b)^{n−1} \\ \frac{x^{m+1}(ax + b)^{n+1}}{(m + n + 1)a} − \frac{mb}{(m + n + 1)a} ∫ x^{m−1}(ax + b)^{n} \\ \frac{−x^{m+1}(ax + b)^{n+1}}{(n + 1)b} + \frac{m + n + 2}{(n + 1)b} ∫ x^{m}(ax + b)^{n+1} \end{matrix}

— * —

--S 108 of 108    14:83 Axiom cannot do this integration
aa:=integrate(x^m*(a*x+b)^n,x)
--R
--R           x
--R         ++    m          n
--I   (1)   |   %U (b + %U a) d%U
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp60-61