$SPAD/input schaum10.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.210 ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)set break resume
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)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 150
aa:=integrate(1/(sqrt(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R   (1)  - log(\|x  - a   - x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 150
bb:=log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R   (2)  log(\|x  - a   + x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2
--R   (3)  - log(\|x  - a   + x) - log(\|x  - a   - x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 150
logmul1:=rule(c*log(a)+c*log(b) == c*log(a*b))
--R
--I   (4)  c log(b) + c log(a) + %I == c log(a b) + %I
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 5 of 150      14:210 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logmul1 cc
--R
--R                 2
--R   (5)  - log(- a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.xxx ∫ \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \sqrt{x^{2} − a^{2}}

— * —

)clear all
--S 6 of 150
aa:=integrate(x/(sqrt(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2     2    2
--R        - x\|x  - a   + x  - a
--R   (1)  -----------------------
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|x  - a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 7 of 150
bb:=sqrt(x^2-a^2)
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R   (2)  \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 150      14:xxx Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.211 ∫ \frac{x^{2} dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \frac{x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{2} + \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 9 of 150
aa:=integrate(x^2/sqrt(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R               +-------+                   +-------+
--R            2  | 2    2      2 2    4      | 2    2
--R       (- 2a x\|x  - a   + 2a x  - a )log(\|x  - a   - x)
--R     +
--R                     +-------+
--R            3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (- 2x  + a x)\|x  - a   + 2x  - 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     4x\|x  - a   - 4x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 10 of 150
bb:=(x*sqrt(x^2-a^2))/2+a^2/2*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R               +-------+          +-------+
--R         2     | 2    2           | 2    2
--R        a log(\|x  - a   + x) + x\|x  - a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+               +-------+
--R           2     | 2    2          2     | 2    2
--R        - a log(\|x  - a   + x) - a log(\|x  - a   - x)

--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 150     14:211 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R           2       2
--R          a log(- a )
--R   (4)  - -----------
--R               2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.212 ∫ \frac{x^{3} dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{3} + a^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}

— * —

)clear all
--S 13 of 150
aa:=integrate(x^3/sqrt(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R             5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R        (- 4x  - 5a x  + 6a x)\|x  - a   + 4x  + 3a x  - 9a x  + 2a
--R   (1)  ------------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                        2     2  | 2    2       3     2
--R                    (12x  - 3a )\|x  - a   - 12x  + 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(x^2-a^2)
--R
--R                   +-------+
--R          2     2  | 2    2
--R        (x  + 2a )\|x  - a
--R   (2)  --------------------

--R                  3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 150     14:212 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.213 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \frac{1}{a} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 16 of 150
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  - a   - x
--R        2atan(--------------)
--R                     a
--R   (1)  ---------------------
--R                  a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 150
bb:=1/a*asec(x/a)
--R
--R             x
--R        asec(-)
--R             a
--R   (2)  -------
--R           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 150

cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  - a   - x         x
--R        2atan(--------------) - asec(-)
--R                     a               a
--R   (3)  -------------------------------
--R                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (4)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 20 of 150
dd:=asecrule cc
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                    |x  - a
--R                  x |-------  + %i a           +-------+
--R                    |    2                     | 2    2
--R                   \|   x                     \|x  - a   - x
--R        - 2%i log(------------------) + 4atan(--------------) - %pi
--R                           x                         a
--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                     2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 21 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i

--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 22 of 150
ee:=atanrule dd
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                    |x  - a
--R                  x |-------  + %i a               +-------+
--R                    |    2                         | 2    2
--R                   \|   x                       - \|x  - a   + x + %i a
--R        - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi
--R                           x                      +-------+
--R                                                  | 2    2
--R                                                 \|x  - a   - x + %i a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                          2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 23 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                +-------+                        +-------+
--R                | 2    2                         | 2    2
--R       2%i log(\|x  - a   - x + %i a) - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                   |x  - a
--R       - 2%i log(x |-------  + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi
--R                   |    2
--R                  \|   x
--R  /
--R     2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 24 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                  +-------+                    +-------+
--R                  | 2    2                     | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   + %i a) + 2%i log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +

--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi
--R  /
--R     2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 25 of 150     14:213 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R           %pi
--R   (10)  - ---
--R            2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

6 [?]:14.214 ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{a^{2}x}

— * —

)clear all
--S 26 of 150
aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R                  1
--R   (1)  - ----------------
--R            +-------+
--R            | 2    2     2
--R          x\|x  - a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 27 of 150
bb:=sqrt(x^2-a^2)/(a^2*x)
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R        \|x  - a
--R   (2)  ----------
--R             2

--R            a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 150     14:214 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R         1
--R   (3)  --
--R         2
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.215 ∫ \frac{dx}{x^{3}\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = −\frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{2a^{2}x^{2}} + \frac{1}{2a^{3}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 29 of 150
aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                          +-------+
--R            +-------+                     | 2    2
--R          3 | 2    2      4     2 2      \|x  - a   - x
--R       (4x \|x  - a   - 4x  + 2a x )atan(--------------)
--R                                                a
--R     +
--R                      +-------+
--R              2    3  | 2    2        3     3
--R       (- 2a x  + a )\|x  - a   + 2a x  - 2a x
--R  /
--R           +-------+
--R       3 3 | 2    2      3 4     5 2
--R     4a x \|x  - a   - 4a x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 150
bb:=sqrt(x^2-a^2)/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^3)*asec(x/a)

--R
--R          +-------+
--R          | 2    2     2     x
--R        a\|x  - a   + x asec(-)
--R                             a
--R   (2)  -----------------------
--R                   3 2
--R                 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  - a   - x         x
--R        2atan(--------------) - asec(-)
--R                     a               a
--R   (3)  -------------------------------
--R                        3
--R                      2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 33 of 150
dd:=atanrule cc
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                 - \|x  - a   + x + %i a         x
--R        - %i log(-----------------------) - asec(-)
--R                   +-------+                     a
--R                   | 2    2
--R                  \|x  - a   - x + %i a
--R   (5)  -------------------------------------------
--R                              3
--R                            2a

--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 34 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (6)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 35 of 150
ee:=asecrule dd
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                    |x  - a
--R                  x |-------  + %i a               +-------+
--R                    |    2                         | 2    2
--R                   \|   x                       - \|x  - a   + x + %i a
--R        - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi
--R                           x                      +-------+
--R                                                  | 2    2
--R                                                 \|x  - a   - x + %i a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                            3
--R                                          4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 36 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                +-------+                        +-------+
--R                | 2    2                         | 2    2
--R       2%i log(\|x  - a   - x + %i a) - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                   |x  - a
--R       - 2%i log(x |-------  + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi

--R                   |    2
--R                  \|   x
--R  /
--R       3
--R     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 37 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                  +-------+                    +-------+
--R                  | 2    2                     | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   + %i a) + 2%i log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi
--R  /
--R       3
--R     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 38 of 150     14:215 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R           %pi
--R   (10)  - ---
--R             3
--R           4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

8 [?]:14.216 ∫ \sqrt{x^{2} − a^{2}} dx

∫ \sqrt{x^{2} − a^{2}} = \frac{x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{2} − \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 39 of 150
aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2),x)

--R
--R
--R   (1)
--R             +-------+                   +-------+
--R          2  | 2    2      2 2    4      | 2    2
--R       (2a x\|x  - a   - 2a x  + a )log(\|x  - a   - x)
--R     +
--R                     +-------+
--R            3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (- 2x  + a x)\|x  - a   + 2x  - 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     4x\|x  - a   - 4x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 40 of 150
bb:=(x*sqrt(x^2-a^2))/2-a^2/2*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                 +-------+          +-------+
--R           2     | 2    2           | 2    2
--R        - a log(\|x  - a   + x) + x\|x  - a
--R   (2)  -------------------------------------
--R                          2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+               +-------+
--R         2     | 2    2          2     | 2    2
--R        a log(\|x  - a   + x) + a log(\|x  - a   - x)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 150     14:216 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R         2       2
--R        a log(- a )
--R   (4)  -----------
--R             2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.217 ∫ x\sqrt{x^{2} − a^{2}} dx

∫ x\sqrt{x^{2} − a^{2}} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 43 of 150
aa:=integrate(x*sqrt(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R             5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2    6
--R        (- 4x  + 7a x  - 3a x)\|x  - a   + 4x  - 9a x  + 6a x  - a
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                        2     2  | 2    2       3     2
--R                    (12x  - 3a )\|x  - a   - 12x  + 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 44 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3
--R
--R                  +-------+
--R          2    2  | 2    2
--R        (x  - a )\|x  - a
--R   (2)  -------------------
--R                 3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 150     14:217 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.218 ∫ x^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}} dx

∫ x^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}} = \frac{x(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{4} + \frac{a^{2}x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{8} − \frac{a^{4}}{8} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 46 of 150
aa:=integrate(x^2*sqrt(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                       +-------+                           +-------+
--R           4 3     6   | 2    2      4 4     6 2    8      | 2    2
--R       ((8a x  - 4a x)\|x  - a   - 8a x  + 8a x  - a )log(\|x  - a   - x)
--R     +
--R                                      +-------+
--R           7      2 5      4 3    6   | 2    2       8      2 6      4 4     6 2
--R     (- 16x  + 24a x  - 10a x  + a x)\|x  - a   + 16x  - 32a x  + 20a x  - 4a x
--R  /
--R                    +-------+
--R         3      2   | 2    2       4      2 2     4
--R     (64x  - 32a x)\|x  - a   - 64x  + 64a x  - 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 47 of 150
bb:=(x*(x^2-a^2)^(3/2))/4+(a^2*x*sqrt(x^2-a^2))/8-a^4/8*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                 +-------+                    +-------+
--R           4     | 2    2            3    2   | 2    2
--R        - a log(\|x  - a   + x) + (2x  - a x)\|x  - a
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+               +-------+
--R         4     | 2    2          4     | 2    2
--R        a log(\|x  - a   + x) + a log(\|x  - a   - x)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 150     14:218 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R         4       2

--R        a log(- a )
--R   (4)  -----------
--R             8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.219 ∫ x^{3}\sqrt{x^{2} − a^{2}} dx

∫ x^{3}\sqrt{x^{2} − a^{2}} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{5/2}}{5} + \frac{a^{2}(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 50 of 150
aa:=integrate(x^3*sqrt(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                  +-------+
--R             9      2 7     4 5      6 3      8   | 2    2       10       2 8
--R       (- 48x  + 76a x  - 3a x  - 35a x  + 10a x)\|x  - a   + 48x   - 100a x
--R     +
--R          4 6      6 4      8 2     10
--R       35a x  + 40a x  - 25a x  + 2a
--R  /
--R                              +-------+
--R          4       2 2      4  | 2    2        5       2 3      4
--R     (240x  - 180a x  + 15a )\|x  - a   - 240x  + 300a x  - 75a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 51 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(5/2)/5+(a^2*(x^2-a^2)^(3/2))/3
--R
--R                           +-------+
--R           4    2 2     4  | 2    2
--R        (3x  - a x  - 2a )\|x  - a
--R   (2)  ----------------------------
--R                     15
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 150     14:219 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R

--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.220 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x} = \sqrt{x^{2} − a^{2}} − a sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 53 of 150
aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x,x)
--R
--R
--R                                     +-------+
--R              +-------+              | 2    2           +-------+
--R              | 2    2              \|x  - a   - x      | 2    2     2    2
--R        (- 2a\|x  - a   + 2a x)atan(--------------) - x\|x  - a   + x  - a
--R                                           a
--R   (1)  -------------------------------------------------------------------
--R                                    +-------+
--R                                    | 2    2
--R                                   \|x  - a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 54 of 150
bb:=sqrt(x^2-a^2)-a*asec(x/a)
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2           x
--R   (2)  \|x  - a   - a asec(-)
--R                            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 55 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                  \|x  - a   - x           x
--R   (3)  - 2a atan(--------------) + a asec(-)

--R                         a                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 57 of 150
dd:=atanrule cc
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                 - \|x  - a   + x + %i a           x
--R   (5)  %i a log(-----------------------) + a asec(-)
--R                   +-------+                       a
--R                   | 2    2
--R                  \|x  - a   - x + %i a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 58 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (6)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 59 of 150
ee:=asecrule dd
--R
--R   (7)
--R               +-------+
--R               | 2    2

--R               |x  - a
--R             x |-------  + %i a                 +-------+
--R               |    2                           | 2    2
--R              \|   x                         - \|x  - a   + x + %i a
--R   2%i a log(------------------) + 2%i a log(-----------------------) + a %pi
--R                      x                        +-------+
--R                                               | 2    2
--R                                              \|x  - a   - x + %i a
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                        2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 60 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +-------+                          +-------+
--R                    | 2    2                           | 2    2
--R       - 2%i a log(\|x  - a   - x + %i a) + 2%i a log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                   |x  - a
--R       2%i a log(x |-------  + %i a) - 2%i a log(x) + 2%i a log(- 1) + a %pi
--R                   |    2
--R                  \|   x
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 61 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                  +-------+                      +-------+
--R                  | 2    2                       | 2    2
--R       2%i a log(\|x  - a   + %i a) - 2%i a log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R       2%i a log(\|x  - a   - x - %i a) - 2%i a log(x) + 2%i a log(- 1) + a %pi
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 62 of 150     14:220 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg

--R
--R         a %pi
--R   (10)  -----
--R           2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

13 [?]:14.221 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x^{2}} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x^{2}} = −\frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x} + ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 63 of 150
aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x^2,x)
--R
--R
--R             +-------+           +-------+
--R             | 2    2     2      | 2    2          2
--R        (- x\|x  - a   + x )log(\|x  - a   - x) + a
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                        +-------+
--R                        | 2    2     2
--R                      x\|x  - a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 64 of 150
bb:=-sqrt(x^2-a^2)/x+log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R               +-------+         +-------+
--R               | 2    2          | 2    2
--R        x log(\|x  - a   + x) - \|x  - a
--R   (2)  ----------------------------------
--R                         x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2

--R   (3)  - log(\|x  - a   + x) - log(\|x  - a   - x) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 150     14:221 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R                 2
--R   (4)  - log(- a ) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.222 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x^{3}} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x^{3}} = −\frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{2x^{2}} + \frac{1}{2a} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 67 of 150
aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                          +-------+
--R            +-------+                     | 2    2
--R          3 | 2    2      4     2 2      \|x  - a   - x
--R       (4x \|x  - a   - 4x  + 2a x )atan(--------------)
--R                                                a
--R     +
--R                    +-------+
--R            2    3  | 2    2        3     3
--R       (2a x  - a )\|x  - a   - 2a x  + 2a x
--R  /
--R           +-------+
--R         3 | 2    2        4     3 2
--R     4a x \|x  - a   - 4a x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 68 of 150
bb:=-sqrt(x^2-a^2)/(2*x^2)+1/(2*a)*asec(x/a)
--R

--R            +-------+
--R            | 2    2     2     x
--R        - a\|x  - a   + x asec(-)
--R                               a
--R   (2)  -------------------------
--R                      2
--R                  2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  - a   - x         x
--R        2atan(--------------) - asec(-)
--R                     a               a
--R   (3)  -------------------------------
--R                       2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (4)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 71 of 150
dd:=asecrule cc
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                    |x  - a
--R                  x |-------  + %i a           +-------+
--R                    |    2                     | 2    2
--R                   \|   x                     \|x  - a   - x
--R        - 2%i log(------------------) + 4atan(--------------) - %pi
--R                           x                         a

--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 72 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 73 of 150
ee:=atanrule dd
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                    |x  - a
--R                  x |-------  + %i a               +-------+
--R                    |    2                         | 2    2
--R                   \|   x                       - \|x  - a   + x + %i a
--R        - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi
--R                           x                      +-------+
--R                                                  | 2    2
--R                                                 \|x  - a   - x + %i a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                          4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 74 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                +-------+                        +-------+
--R                | 2    2                         | 2    2
--R       2%i log(\|x  - a   - x + %i a) - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                   |x  - a
--R       - 2%i log(x |-------  + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi
--R                   |    2
--R                  \|   x
--R  /
--R     4a

--S 75 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                  +-------+                    +-------+
--R                  | 2    2                     | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   + %i a) + 2%i log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi
--R  /
--R     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 76 of 150     14:222 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R           %pi
--R   (10)  - ---
--R            4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

15 [?]:14.223 ∫ \frac{dx}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = −\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 77 of 150
aa:=integrate(1/(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                    1
--R   (1)  - ---------------------
--R            +-------+
--R            | 2    2     2    2
--R          x\|x  - a   - x  + a

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 78 of 150
bb:=-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                x
--R   (2)  - ------------
--R             +-------+
--R           2 | 2    2
--R          a \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 79 of 150     14:223 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R           1
--R   (3)  - --
--R           2
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.224 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 80 of 150
aa:=integrate(x/(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R            \|x  - a   - x
--R   (1)  ---------------------
--R          +-------+
--R          | 2    2     2    2
--R        x\|x  - a   - x  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 81 of 150
bb:=-1/sqrt(x^2-a^2)
--R
--R               1
--R   (2)  - ----------
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R          \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 150     14:224 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.225 ∫ \frac{x^{2}dx}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = \frac{−x}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} + ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 83 of 150
aa:=integrate(x^2/(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R             +-------+                +-------+
--R             | 2    2     2    2      | 2    2          2
--R        (- x\|x  - a   + x  - a )log(\|x  - a   - x) - a
--R   (1)  -------------------------------------------------
--R                        +-------+
--R                        | 2    2     2    2
--R                      x\|x  - a   - x  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 84 of 150
bb:=-x/sqrt(x^2-a^2)+log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R         +-------+     +-------+

--R         | 2    2      | 2    2
--R        \|x  - a  log(\|x  - a   + x) - x
--R   (2)  ---------------------------------
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R                    \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85      of 150
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2
--R   (3)  - log(\|x  - a   + x) - log(\|x  - a   - x) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 150     14:225 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R                 2
--R   (4)  - log(- a ) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.226 ∫ \frac{x^{3}dx}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = \sqrt{x^{2} − a^{2}} − \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 87 of 150
aa:=integrate(x^3/(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                       +-------+
--R             3     2   | 2    2      4     2 2     4
--R        (- 2x  + 4a x)\|x  - a   + 2x  - 5a x  + 2a
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                         +-------+
--R                 2    2  | 2    2      3     2
--R              (2x  - a )\|x  - a   - 2x  + 2a x

--S 88 of 150
bb:=sqrt(x^2-a^2)-a^2/sqrt(x^2-a^2)
--R
--R          2     2
--R         x  - 2a
--R   (2)  ----------
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R        \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 150     14:226 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.227 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{a^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}} − \frac{1}{a^{3}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 90 of 150
aa:=integrate(1/(x*(x^2-a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R                                          +-------+
--R              +-------+                   | 2    2           +-------+
--R              | 2    2      2     2      \|x  - a   - x      | 2    2
--R        (- 2x\|x  - a   + 2x  - 2a )atan(--------------) + a\|x  - a   - a x
--R                                                a
--R   (1)  --------------------------------------------------------------------
--R                                  +-------+
--R                               3  | 2    2     3 2    5
--R                              a x\|x  - a   - a x  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 91 of 150
bb:=-1/(a^2*sqrt(x^2-a^2))-1/a^3*asec(x/a)
--R
--R                  +-------+
--R               x  | 2    2
--R        - asec(-)\|x  - a   - a
--R               a
--R   (2)  -----------------------
--R                 +-------+
--R               3 | 2    2
--R              a \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|x  - a   - x         x
--R        - 2atan(--------------) + asec(-)
--R                       a               a
--R   (3)  ---------------------------------
--R                         3
--R                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 94 of 150
dd:=atanrule cc
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R               - \|x  - a   + x + %i a         x
--R        %i log(-----------------------) + asec(-)
--R                 +-------+                     a
--R                 | 2    2
--R                \|x  - a   - x + %i a

--R   (5)  -----------------------------------------
--R                             3
--R                            a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 95 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (6)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 96 of 150
ee:=asecrule dd
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                  |x  - a
--R                x |-------  + %i a               +-------+
--R                  |    2                         | 2    2
--R                 \|   x                       - \|x  - a   + x + %i a
--R        2%i log(------------------) + 2%i log(-----------------------) + %pi
--R                         x                      +-------+
--R                                                | 2    2
--R                                               \|x  - a   - x + %i a
--R   (7)  --------------------------------------------------------------------
--R                                           3
--R                                         2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 97 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                  +-------+                        +-------+
--R                  | 2    2                         | 2    2
--R       - 2%i log(\|x  - a   - x + %i a) + 2%i log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                 +-------+

--R                 | 2    2
--R                 |x  - a
--R       2%i log(x |-------  + %i a) - 2%i log(x) + 2%i log(- 1) + %pi
--R                 |    2
--R                \|   x
--R  /
--R       3
--R     2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 98 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                +-------+                    +-------+
--R                | 2    2                     | 2    2
--R       2%i log(\|x  - a   + %i a) - 2%i log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R       2%i log(\|x  - a   - x - %i a) - 2%i log(x) + 2%i log(- 1) + %pi
--R  /
--R       3
--R     2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 99 of 150     14:227 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R         %pi
--R   (10)  ---
--R           3
--R         2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

20 [?]:14.228 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = −\frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{a^{4}x} − \frac{x}{a^{4}\sqrt{x^{2} − a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 100 of 150
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2-a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R                           1
--R   (1)  - -----------------------------------
--R                      +-------+
--R             3    2   | 2    2      4     2 2
--R          (2x  - a x)\|x  - a   - 2x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 101 of 150
bb:=-sqrt(x^2-a^2)/(a^4*x)-x/(a^4*sqrt(x^2-a^2))
--R
--R              2    2
--R          - 2x  + a
--R   (2)  -------------
--R            +-------+
--R         4  | 2    2
--R        a x\|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 102 of 150    14:228 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R           2
--R   (3)  - --
--R           4
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.229 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} − a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} − a^{2})^{3/2}} = \frac{1}{2a^{2}x^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}}} − \frac{3}{2a^{4}\sqrt{x^{2} − a^{2}}} − \frac{3}{2a^{5}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all

--S 103 of 150
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2-a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                                  +-------+
--R                          +-------+                               | 2    2
--R              5      2 3  | 2    2       6      2 4     4 2      \|x  - a   - x
--R       ((- 24x  + 18a x )\|x  - a   + 24x  - 30a x  + 6a x )atan(--------------)
--R                                                                        a
--R     +
--R                             +-------+
--R             4     3 2    5  | 2    2         5      3 3     5
--R       (12a x  - 7a x  + a )\|x  - a   - 12a x  + 13a x  - 3a x
--R  /
--R                     +-------+
--R        5 5     7 3  | 2    2      5 6      7 4     9 2
--R     (8a x  - 6a x )\|x  - a   - 8a x  + 10a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 104 of 150
bb:=1/(2*a^2*x^2*sqrt(x^2-a^2))-3/(2*a^4*sqrt(x^2-a^2))-3/(2*a^5)*asec(x/a)
--R
--R                     +-------+
--R            2     x  | 2    2        2    3
--R        - 3x asec(-)\|x  - a   - 3a x  + a
--R                  a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                        +-------+
--R                    5 2 | 2    2
--R                  2a x \|x  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 105 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|x  - a   - x          x
--R        - 6atan(--------------) + 3asec(-)
--R                       a                a
--R   (3)  ----------------------------------
--R                          5
--R                        2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 106 of 150

atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 107 of 150
dd:=atanrule cc
--R
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                - \|x  - a   + x + %i a          x
--R        3%i log(-----------------------) + 3asec(-)
--R                  +-------+                      a
--R                  | 2    2
--R                 \|x  - a   - x + %i a
--R   (5)  -------------------------------------------
--R                              5
--R                            2a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 108 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (6)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 109 of 150
ee:=asecrule dd
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                  |x  - a
--R                x |-------  + %i a               +-------+
--R                  |    2                         | 2    2

--R                 \|   x                       - \|x  - a   + x + %i a
--R        6%i log(------------------) + 6%i log(-----------------------) + 3%pi
--R                         x                      +-------+
--R                                                | 2    2
--R                                               \|x  - a   - x + %i a
--R   (7)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                           5
--R                                         4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 110 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                  +-------+                        +-------+
--R                  | 2    2                         | 2    2
--R       - 6%i log(\|x  - a   - x + %i a) + 6%i log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                 |x  - a
--R       6%i log(x |-------  + %i a) - 6%i log(x) + 6%i log(- 1) + 3%pi
--R                 |    2
--R                \|   x
--R  /
--R       5
--R     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 111 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                +-------+                    +-------+
--R                | 2    2                     | 2    2
--R       6%i log(\|x  - a   + %i a) - 6%i log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R       6%i log(\|x  - a   - x - %i a) - 6%i log(x) + 6%i log(- 1) + 3%pi
--R  /
--R       5
--R     4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 112 of 150    14:229 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg

--R
--R         3%pi
--R   (10)  ----
--R            5
--R          4a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

22 [?]:14.230 ∫ (x^{2} − a^{2})^{3/2} dx

∫ (x^{2} − a^{2})^{3/2} = \frac{x(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{4} − \frac{3a^{2}x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{8} + \frac{3}{8}a^{4} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 113 of 150
aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                           +-------+                              +-------+
--R              4 3      6   | 2    2       4 4      6 2     8      | 2    2
--R       ((- 24a x  + 12a x)\|x  - a   + 24a x  - 24a x  + 3a )log(\|x  - a   - x)
--R     +
--R                                         +-------+
--R             7      2 5      4 3     6   | 2    2       8      2 6      4 4
--R       (- 16x  + 56a x  - 42a x  + 5a x)\|x  - a   + 16x  - 64a x  + 68a x
--R     +
--R            6 2
--R       - 20a x
--R  /
--R                    +-------+
--R         3      2   | 2    2       4      2 2     4
--R     (64x  - 32a x)\|x  - a   - 64x  + 64a x  - 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 114 of 150
bb:=(x*(x^2-a^2)^(3/2))/4-(3*a^2*x*sqrt(x^2-a^2))/8+3/8*a^4*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                +-------+                     +-------+
--R          4     | 2    2            3     2   | 2    2
--R        3a log(\|x  - a   + x) + (2x  - 5a x)\|x  - a
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               8

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 115 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                  +-------+                +-------+
--R            4     | 2    2           4     | 2    2
--R        - 3a log(\|x  - a   + x) - 3a log(\|x  - a   - x)
--R   (3)  -------------------------------------------------
--R                                8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 116 of 150    14:230 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R            4       2
--R          3a log(- a )
--R   (4)  - ------------
--R                8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

23 [?]:14.231 ∫ x(x^{2} − a^{2})^{3/2} dx

∫ x(x^{2} − a^{2})^{3/2} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{5/2}}{5}

— * —

)clear all
--S 117 of 150
aa:=integrate(x*(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                  +-------+
--R             9      2 7      4 5      6 3     8   | 2    2       10      2 8
--R       (- 16x  + 52a x  - 61a x  + 30a x  - 5a x)\|x  - a   + 16x   - 60a x
--R     +
--R          4 6      6 4      8 2    10
--R       85a x  - 55a x  + 15a x  - a
--R  /
--R                           +-------+

--R         4      2 2     4  | 2    2       5       2 3      4
--R     (80x  - 60a x  + 5a )\|x  - a   - 80x  + 100a x  - 25a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 118 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(5/2)/5
--R
--R                          +-------+
--R          4     2 2    4  | 2    2
--R        (x  - 2a x  + a )\|x  - a
--R   (2)  ---------------------------
--R                     5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 150    14:231 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.232 ∫ x^{2}(x^{2} − a^{2})^{3/2} dx

∫ x^{2}(x^{2} − a^{2})^{3/2} = \frac{x(x^{2} − a^{2})^{5/2}}{6} + \frac{a^{2}x(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{24} − \frac{a^{4}x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{16} + \frac{a^{6}}{16} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 120 of 150
aa:=integrate(x^2*(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                        +-------+
--R                 6 5      8 3      10   | 2    2       6 6       8 4      10 2
--R           (- 96a x  + 96a x  - 18a  x)\|x  - a   + 96a x  - 144a x  + 54a  x
--R         +
--R               12
--R           - 3a
--R      *
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R         log(\|x  - a   - x)

--R     +
--R                                                                 +-------+
--R              11       2 9       4 7       6 5      8 3     10   | 2    2
--R       (- 256x   + 832a x  - 912a x  + 404a x  - 68a x  + 3a  x)\|x  - a
--R     +
--R           12       2 10        4 8       6 6       8 4      10 2
--R       256x   - 960a x   + 1296a x  - 772a x  + 198a x  - 18a  x
--R  /
--R                                  +-------+
--R           5        2 3       4   | 2    2         6        2 4       4 2      6
--R     (1536x  - 1536a x  + 288a x)\|x  - a   - 1536x  + 2304a x  - 864a x  + 48a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 121 of 150
bb:=(x*(x^2-a^2)^(5/2))/6+(a^2*x*(x^2-a^2)^(3/2))/24-_
    (a^4*x*sqrt(x^2-a^2))/16+a^6/16*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                +-------+                              +-------+
--R          6     | 2    2            5      2 3     4   | 2    2
--R        3a log(\|x  - a   + x) + (8x  - 14a x  + 3a x)\|x  - a
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R                                   48
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 122 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+               +-------+
--R           6     | 2    2          6     | 2    2
--R        - a log(\|x  - a   + x) - a log(\|x  - a   - x)
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               16
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 123 of 150    14:232 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R           6       2
--R          a log(- a )
--R   (4)  - -----------
--R               16
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

25 [?]:14.233 ∫ x^{3}(x^{2} − a^{2})^{3/2} dx

∫ x^{3}(x^{2} − a^{2})^{3/2} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{7/2}}{7} + \frac{a^{2}(x^{2} − a^{2})^{5/2}}{5}

— * —

)clear all
--S 124 of 150
aa:=integrate(x^3*(x^2-a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                   13        2 11        4 9       6 7       8 5       10 3
--R             - 320x   + 1072a x   - 1240a x  + 467a x  + 112a x  - 105a  x
--R           +
--R                12
--R             14a  x
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|x  - a
--R     +
--R           14        2 12        4 10       6 8      8 6       10 4      12 2
--R       320x   - 1232a x   + 1736a x   - 973a x  + 21a x  + 175a  x  - 49a  x
--R     +
--R         14
--R       2a
--R  /
--R                                            +-------+
--R             6        2 4       4 2      6  | 2    2         7        2 5
--R       (2240x  - 2800a x  + 840a x  - 35a )\|x  - a   - 2240x  + 3920a x
--R     +
--R              4 3       6
--R       - 1960a x  + 245a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 125 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(7/2)/7+(a^2*(x^2-a^2)^(5/2))/5
--R
--R                                   +-------+
--R           6     2 4    4 2     6  | 2    2
--R        (5x  - 8a x  + a x  + 2a )\|x  - a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                         35
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 126 of 150    14:233 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

26 [?]:14.234 ∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x} dx

∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x} = \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{3} − a^{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}} + a^{3} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 127 of 150
aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                        +-------+
--R                       +-------+                        | 2    2
--R            3 2     5  | 2    2       3 3      5       \|x  - a   - x
--R       ((24a x  - 6a )\|x  - a   - 24a x  + 18a x)atan(--------------)
--R                                                              a
--R     +
--R                                +-------+
--R            5      2 3      4   | 2    2      6      2 4      4 2     6
--R       (- 4x  + 19a x  - 12a x)\|x  - a   + 4x  - 21a x  + 21a x  - 4a
--R  /
--R                  +-------+
--R         2     2  | 2    2       3     2
--R     (12x  - 3a )\|x  - a   - 12x  + 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 128 of 150
bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(x^2-a^2)+a^3*asec(x/a)
--R
--R                   +-------+
--R          2     2  | 2    2      3     x
--R        (x  - 4a )\|x  - a   + 3a asec(-)
--R                                       a
--R   (2)  ---------------------------------

--S 129 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R          3     \|x  - a   - x     3     x
--R   (3)  2a atan(--------------) - a asec(-)
--R                       a                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 130 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (4)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 131 of 150
dd:=asecrule cc
--R
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R                      |x  - a
--R                    x |-------  + %i a             +-------+
--R                      |    2                       | 2    2
--R               3     \|   x                 3     \|x  - a   - x     3
--R        - 2%i a log(------------------) + 4a atan(--------------) - a %pi
--R                             x                           a
--R   (5)  -----------------------------------------------------------------
--R                                        2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 132 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R

--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 133 of 150
ee:=atanrule dd
--R
--R   (7)
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                 |x  - a
--R               x |-------  + %i a                 +-------+
--R                 |    2                           | 2    2
--R          3     \|   x                    3    - \|x  - a   + x + %i a     3
--R   - 2%i a log(------------------) - 2%i a log(-----------------------) - a %pi
--R                        x                        +-------+
--R                                                 | 2    2
--R                                                \|x  - a   - x + %i a
--R   ----------------------------------------------------------------------------
--R                                         2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 134 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                  +-------+                          +-------+
--R            3     | 2    2                     3     | 2    2
--R       2%i a log(\|x  - a   - x + %i a) - 2%i a log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R              3      |x  - a                  3              3            3
--R       - 2%i a log(x |-------  + %i a) + 2%i a log(x) - 2%i a log(- 1) - a %pi
--R                     |    2
--R                    \|   x
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 135 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)

--R                    +-------+                      +-------+
--R              3     | 2    2                 3     | 2    2
--R       - 2%i a log(\|x  - a   + %i a) + 2%i a log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                  +-------+
--R            3     | 2    2                     3              3            3
--R     - 2%i a log(\|x  - a   - x - %i a) + 2%i a log(x) - 2%i a log(- 1) - a %pi
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 136 of 150    14:234 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R            3
--R           a %pi
--R   (10)  - -----
--R             2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

27 [?]:14.235 ∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x^{2}} dx

∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x^{2}} = −\frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x} + \frac{3x\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{2} − \frac{3}{2}a^{2} ln (x + \sqrt{x^{2} − a^{2}})

— * —

)clear all
--S 137 of 150
aa:=integrate((x^2-a^2)^{3/2}/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                        +-------+                       +-------+
--R            2 3     4   | 2    2       2 4     4 2      | 2    2
--R       ((12a x  - 3a x)\|x  - a   - 12a x  + 9a x )log(\|x  - a   - x)
--R     +
--R                              +-------+
--R            5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R       (- 4x  + 3a x  + 4a x)\|x  - a   + 4x  - 5a x  - 3a x  + 2a
--R  /
--R                  +-------+
--R        3     2   | 2    2      4     2 2

--R     (8x  - 2a x)\|x  - a   - 8x  + 6a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 138 of 150
bb:=-(x^2-a^2)^(3/2)/x+3*x*sqrt(x^2-a^2)/2-3/2*a^2*log(x+sqrt(x^2-a^2))
--R
--R                    +-------+                   +-------+
--R            2       | 2    2           2     2  | 2    2
--R        - 3a x log(\|x  - a   + x) + (x  + 2a )\|x  - a
--R   (2)  -------------------------------------------------
--R                                2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 139 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                +-------+                +-------+
--R          2     | 2    2           2     | 2    2           2
--R        3a log(\|x  - a   + x) + 3a log(\|x  - a   - x) + 2a
--R   (3)  -----------------------------------------------------
--R                                  2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 140 of 150    14:235 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R          2       2      2
--R        3a log(- a ) + 2a
--R   (4)  ------------------
--R                 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

28 [?]:14.236 ∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x^{3}} dx

∫ \frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{x^{3}} = −\frac{(x^{2} − a^{2})^{3/2}}{2x^{2}} + \frac{3}{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}} − \frac{3}{2}a sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all

--S 141 of 150
aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                             +-------+
--R                           +-------+                         | 2    2
--R                4     3 2  | 2    2         5      3 3      \|x  - a   - x
--R       ((- 24a x  + 6a x )\|x  - a   + 24a x  - 18a x )atan(--------------)
--R                                                                   a
--R     +
--R                              +-------+
--R            5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2    6
--R       (- 8x  + 2a x  + 3a x)\|x  - a   + 8x  - 6a x  - 3a x  + a
--R  /
--R                   +-------+
--R        4     2 2  | 2    2      5     2 3
--R     (8x  - 2a x )\|x  - a   - 8x  + 6a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 142 of 150
bb:=-(x^2-a^2)^(3/2)/(2*x^2)+(3*sqrt(x^2-a^2))/2-3/2*a*asec(x/a)
--R
--R                   +-------+
--R           2    2  | 2    2        2     x
--R        (2x  + a )\|x  - a   - 3a x asec(-)
--R                                         a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                          2
--R                        2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 143 of 150
cc:=aa-bb
--R
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                  \|x  - a   - x            x
--R        - 6a atan(--------------) + 3a asec(-)
--R                         a                  a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 144 of 150
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R

--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 145 of 150
dd:=atanrule cc
--R
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R                  - \|x  - a   + x + %i a            x
--R        3%i a log(-----------------------) + 3a asec(-)
--R                    +-------+                        a
--R                    | 2    2
--R                   \|x  - a   - x + %i a
--R   (5)  -----------------------------------------------
--R                               2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 146 of 150
asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x))
--R
--R                             +------+
--R                             | 2
--R                             |x  - 1
--R                           x |------  + %i
--R                             |   2
--R                            \|  x
--R                   2%i log(---------------) + %pi
--R                                  x
--R   (6)  asec(x) == ------------------------------
--R                                  2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 147 of 150
ee:=asecrule dd
--R
--R   (7)
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R               |x  - a
--R             x |-------  + %i a                 +-------+
--R               |    2                           | 2    2
--R              \|   x                         - \|x  - a   + x + %i a
--R   6%i a log(------------------) + 6%i a log(-----------------------) + 3a %pi

--R                      x                        +-------+
--R                                               | 2    2
--R                                              \|x  - a   - x + %i a
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                        4
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 148 of 150
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +-------+                          +-------+
--R                    | 2    2                           | 2    2
--R       - 6%i a log(\|x  - a   - x + %i a) + 6%i a log(\|x  - a   - x - %i a)
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R                   |x  - a
--R       6%i a log(x |-------  + %i a) - 6%i a log(x) + 6%i a log(- 1) + 3a %pi
--R                   |    2
--R                  \|   x
--R  /
--R     4
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 149 of 150
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                  +-------+                      +-------+
--R                  | 2    2                       | 2    2
--R       6%i a log(\|x  - a   + %i a) - 6%i a log(\|x  - a   - x + %i a)
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R     6%i a log(\|x  - a   - x - %i a) - 6%i a log(x) + 6%i a log(- 1) + 3a %pi
--R  /
--R     4
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 150 of 150    14:236 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R         3a %pi
--R   (10)  ------
--R            4
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))

--E )spool )lisp (bye) ———-

51

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp68-69