$SPAD/input schaum11.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.237 ∫ \frac{dx}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{1}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)set break resume
)spool schaum11.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 170
aa:=integrate(1/(sqrt(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- x  + a   - a
--R   (1)  - 2atan(----------------)
--R                        x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 170
bb:=asin(x/a)
--R
--R             x
--R   (2)  asin(-)
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- x  + a   - a         x
--R   (3)  - 2atan(----------------) - asin(-)
--R                        x                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R

--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 5 of 170
dd:=atanrule cc
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2    2
--R               - \|- x  + a   + %i x + a         x
--R   (5)  %i log(-------------------------) - asin(-)
--R                 +---------+                     a
--R                 |   2    2
--R                \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 6 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (6)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 7 of 170
ee:=asinrule dd
--R
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                   |- x  + a
--R                 a |---------  - %i x              +---------+
--R                   |     2                         |   2    2
--R                  \|    a                       - \|- x  + a   + %i x + a
--R   (7)  - %i log(--------------------) + %i log(-------------------------)
--R                           a                      +---------+
--R                                                  |   2    2
--R                                                 \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 8 of 170
ff:=rootSimp ee
--R
--R                    +-------+                     +-------+

--R                    | 2    2                      | 2    2
--R                 %i\|x  - a   - %i x           - \|x  - a   + x - %i a
--R   (8)  - %i log(-------------------) + %i log(-----------------------)
--R                          a                      +-------+
--R                                                 | 2    2
--R                                                \|x  - a   + x + %i a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 9 of 170      14:238 Schaums and Axiom agree
gg:=complexNormalize ff
--R
--R   (9)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

2 [?]:14.238 ∫ \frac{x dx}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{x}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \sqrt{a^{2} − x^{2}}

— * —

)clear all
--S 10 of 170
aa:=integrate(x/(sqrt(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R                2
--R               x
--R   (1)  ----------------
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R        \|- x  + a   - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 11 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)
--R
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R   (2)  - \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 12 of 170     14:238 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.239 ∫ \frac{x^{2} dx}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \frac{x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{2} + \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 13 of 170
aa:=integrate(x^2/sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                              +---------+
--R              +---------+                     |   2    2
--R            3 |   2    2      2 2     4      \|- x  + a   - a
--R       (- 4a \|- x  + a   - 2a x  + 4a )atan(----------------)
--R                                                     x
--R     +
--R                     +---------+
--R           3     2   |   2    2        3     3
--R       (- x  + 2a x)\|- x  + a   + 2a x  - 2a x
--R  /
--R        +---------+
--R        |   2    2      2     2
--R     4a\|- x  + a   + 2x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 170
bb:=-(x*sqrt(a^2-x^2))/2+a^2/2*asin(x/a)
--R
--R            +---------+
--R            |   2    2     2     x
--R        - x\|- x  + a   + a asin(-)
--R                                 a

--R   (2)  ---------------------------
--R                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R            2     \|- x  + a   - a     2     x
--R        - 2a atan(----------------) - a asin(-)
--R                          x                  a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 17 of 170
dd:=atanrule cc
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R            2    - \|- x  + a   + %i x + a     2     x
--R        %i a log(-------------------------) - a asin(-)
--R                   +---------+                       a
--R                   |   2    2
--R                  \|- x  + a   + %i x - a
--R   (5)  -----------------------------------------------
--R                               2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 18 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (6)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)

--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 19 of 170
ee:=asinrule dd
--R
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                     |- x  + a
--R                   a |---------  - %i x                +---------+
--R                     |     2                           |   2    2
--R              2     \|    a                    2    - \|- x  + a   + %i x + a
--R        - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------)
--R                             a                        +---------+
--R                                                      |   2    2
--R                                                     \|- x  + a   + %i x - a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 20 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +---------+
--R                    |   2    2                      +---------+
--R             2      |- x  + a                 2     |   2    2
--R       - %i a log(a |---------  - %i x) - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                    |     2
--R                   \|    a
--R     +
--R                 +---------+
--R           2     |   2    2                    2             2
--R       %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 21 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                     +-------+                           +-------+
--R             2       | 2    2                    2       | 2    2
--R       - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +
--R                   +-------+
--R           2       | 2    2                    2             2

--R       %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 22 of 170     14:239 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

4 [?]:14.240 ∫ \frac{x^{3} dx}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{3} + a^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}

— * —

)clear all
--S 23 of 170
aa:=integrate(x^3/sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R                   +---------+
--R                 4 |   2    2     6     2 4
--R             3a x \|- x  + a   + x  - 3a x
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                     +---------+
--R           2      2  |   2    2        2      3
--R        (3x  - 12a )\|- x  + a   - 9a x  + 12a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 24 of 170
bb:=(a^2-x^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(a^2-x^2)
--R
--R                     +---------+
--R            2     2  |   2    2
--R        (- x  - 2a )\|- x  + a
--R   (2)  ------------------------
--R                    3
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 25 of 170     14:240 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R            3
--R          2a
--R   (3)  - ---
--R           3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.241 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \frac{1}{a} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 26 of 170
aa:=integrate(1/(x*sqrt(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R             +---------+
--R             |   2    2
--R            \|- x  + a   - a
--R        log(----------------)
--R                    x
--R   (1)  ---------------------
--R                  a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 27 of 170
bb:=-1/a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   + a
--R          log(----------------)
--R                      x
--R   (2)  - ---------------------
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 28 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R             +---------+             +---------+
--R             |   2    2              |   2    2
--R            \|- x  + a   + a        \|- x  + a   - a
--R        log(----------------) + log(----------------)
--R                    x                       x
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R             +---------+             +---------+
--R             |   2    2              |   2    2
--R        log(\|- x  + a   + a) + log(\|- x  + a   - a) - 2log(x)
--R   (4)  -------------------------------------------------------
--R                                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                  x
--R          2log(-------)
--R                +----+
--R                |   2
--R               \|- x
--R   (5)  - -------------
--R                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 170     14:241 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R              +---+
--R        2log(\|- 1 )
--R   (6)  ------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.242 ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{a^{2}x}

— * —

)clear all
--S 32 of 170
aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R          +---------+
--R          |   2    2     2    2
--R        a\|- x  + a   + x  - a
--R   (1)  -----------------------
--R             +---------+
--R          2  |   2    2     3
--R         a x\|- x  + a   - a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 33 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(a^2*x)
--R
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R          \|- x  + a
--R   (2)  - ------------
--R                2
--R               a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 170     14:242 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.243 ∫ \frac{dx}{x^{3}\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{3}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = −\frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{2a^{2}x^{2}} + \frac{1}{2a^{3}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 35 of 170
aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                            +---------+
--R              +---------+                   |   2    2
--R            2 |   2    2     4     2 2     \|- x  + a   - a
--R       (2a x \|- x  + a   + x  - 2a x )log(----------------)
--R                                                   x
--R     +
--R                      +---------+
--R             2     3  |   2    2      2 2     4
--R       (- a x  + 2a )\|- x  + a   + 2a x  - 2a
--R  /
--R           +---------+
--R       4 2 |   2    2      3 4     5 2
--R     4a x \|- x  + a   + 2a x  - 4a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 36 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(2*a^2*x^2)-1/(2*a^3)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2           +---------+
--R           2    \|- x  + a   + a      |   2    2
--R        - x log(----------------) - a\|- x  + a
--R                        x
--R   (2)  -----------------------------------------
--R                            3 2
--R                          2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R             +---------+             +---------+

--R             |   2    2              |   2    2
--R            \|- x  + a   + a        \|- x  + a   - a
--R        log(----------------) + log(----------------)
--R                    x                       x
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                               3
--R                             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R             +---------+             +---------+
--R             |   2    2              |   2    2
--R        log(\|- x  + a   + a) + log(\|- x  + a   - a) - 2log(x)
--R   (4)  -------------------------------------------------------
--R                                    3
--R                                  2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                 x
--R          log(-------)
--R               +----+
--R               |   2
--R              \|- x
--R   (5)  - ------------
--R                3
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 170     14:243 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R             +---+
--R        log(\|- 1 )
--R   (6)  -----------
--R              3
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.244 ∫ \sqrt{a^{2} − x^{2}} dx

∫ \sqrt{a^{2} − x^{2}} = \frac{x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{2} − \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 41 of 170
aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                              +---------+
--R              +---------+                     |   2    2
--R            3 |   2    2      2 2     4      \|- x  + a   - a
--R       (- 4a \|- x  + a   - 2a x  + 4a )atan(----------------)
--R                                                     x
--R     +
--R                   +---------+
--R         3     2   |   2    2        3     3
--R       (x  - 2a x)\|- x  + a   - 2a x  + 2a x
--R  /
--R        +---------+
--R        |   2    2      2     2
--R     4a\|- x  + a   + 2x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 42 of 170
bb:=(x*sqrt(a^2-x^2))/2+a^2/2*asin(x/a)
--R
--R          +---------+
--R          |   2    2     2     x
--R        x\|- x  + a   + a asin(-)
--R                               a
--R   (2)  -------------------------
--R                    2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R            2     \|- x  + a   - a     2     x
--R        - 2a atan(----------------) - a asin(-)

--R                          x                  a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (4)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 45 of 170
dd:=asinrule cc
--R
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                     |- x  + a
--R                   a |---------  - %i x             +---------+
--R                     |     2                        |   2    2
--R              2     \|    a                  2     \|- x  + a   - a
--R        - %i a log(--------------------) - 2a atan(----------------)
--R                             a                             x
--R   (5)  ------------------------------------------------------------
--R                                      2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 46 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 47 of 170
ee:=atanrule dd
--R
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                     |- x  + a
--R                   a |---------  - %i x                +---------+
--R                     |     2                           |   2    2

--R              2     \|    a                    2    - \|- x  + a   + %i x + a
--R        - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------)
--R                             a                        +---------+
--R                                                      |   2    2
--R                                                     \|- x  + a   + %i x - a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 48 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +---------+
--R                    |   2    2                      +---------+
--R             2      |- x  + a                 2     |   2    2
--R       - %i a log(a |---------  - %i x) - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                    |     2
--R                   \|    a
--R     +
--R                 +---------+
--R           2     |   2    2                    2             2
--R       %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 49 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                     +-------+                           +-------+
--R             2       | 2    2                    2       | 2    2
--R       - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +
--R                   +-------+
--R           2       | 2    2                    2             2
--R       %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 50 of 170     14:244 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))

--E

———-

9 [?]:14.245 ∫ x\sqrt{a^{2} − x^{2}} dx

∫ x\sqrt{a^{2} − x^{2}} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 51 of 170
aa:=integrate(x*sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R                          +---------+
--R               4     3 2  |   2    2     6     2 4     4 2
--R        (- 3a x  + 6a x )\|- x  + a   - x  + 6a x  - 6a x
--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                           +---------+
--R                 2      2  |   2    2        2      3
--R              (3x  - 12a )\|- x  + a   - 9a x  + 12a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 52 of 170
bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/3
--R
--R                  +---------+
--R          2    2  |   2    2
--R        (x  - a )\|- x  + a
--R   (2)  ---------------------
--R                  3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 53 of 170     14:245 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R           3
--R          a
--R   (3)  - --
--R           3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.246 ∫ x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} dx

∫ x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} = \frac{x(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{4} + \frac{a^{2}x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{8} − \frac{a^{4}}{8} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 54 of 170
aa:=integrate(x^2*sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                           +---------+
--R               5 2      7  |   2    2      4 4      6 2      8
--R         ((- 8a x  + 16a )\|- x  + a   - 2a x  + 16a x  - 16a )
--R      *
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a
--R         atan(----------------)
--R                      x
--R     +
--R                                    +---------+
--R        7      2 5      4 3     6   |   2    2        7      3 5      5 3     7
--R     (2x  - 17a x  + 24a x  - 8a x)\|- x  + a   - 8a x  + 28a x  - 28a x  + 8a x
--R  /
--R                     +---------+
--R           2      3  |   2    2      4      2 2      4
--R     (32a x  - 64a )\|- x  + a   + 8x  - 64a x  + 64a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 55 of 170
bb:=-(x*(a^2-x^2)^(3/2))/4+(a^2*x*sqrt(a^2-x^2))/8+a^4/8*asin(x/a)
--R
--R                    +---------+
--R           3    2   |   2    2     4     x
--R        (2x  - a x)\|- x  + a   + a asin(-)
--R                                         a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 170
cc:=aa-bb
--R

--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R            4     \|- x  + a   - a     4     x
--R        - 2a atan(----------------) - a asin(-)
--R                          x                  a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                           8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 58 of 170
dd:=atanrule cc
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R            4    - \|- x  + a   + %i x + a     4     x
--R        %i a log(-------------------------) - a asin(-)
--R                   +---------+                       a
--R                   |   2    2
--R                  \|- x  + a   + %i x - a
--R   (5)  -----------------------------------------------
--R                               8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 59 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (6)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 60 of 170
ee:=asinrule dd
--R
--R                     +---------+
--R                     |   2    2

--R                     |- x  + a
--R                   a |---------  - %i x                +---------+
--R                     |     2                           |   2    2
--R              4     \|    a                    4    - \|- x  + a   + %i x + a
--R        - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------)
--R                             a                        +---------+
--R                                                      |   2    2
--R                                                     \|- x  + a   + %i x - a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 61 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +---------+
--R                    |   2    2                      +---------+
--R             4      |- x  + a                 4     |   2    2
--R       - %i a log(a |---------  - %i x) - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                    |     2
--R                   \|    a
--R     +
--R                 +---------+
--R           4     |   2    2                    4             4
--R       %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 62 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                     +-------+                           +-------+
--R             4       | 2    2                    4       | 2    2
--R       - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +
--R                   +-------+
--R           4       | 2    2                    4             4
--R       %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 63 of 170     14:246 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg

--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

11 [?]:14.247 ∫ x^{3}\sqrt{a^{2} − x^{2}} dx

∫ x^{3}\sqrt{a^{2} − x^{2}} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{5/2}}{5} + \frac{a^{2}(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 64 of 170
aa:=integrate(x^3*sqrt(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                +---------+
--R           8      3 6      5 4  |   2    2      10      2 8      4 6      6 4
--R   (- 15a x  + 65a x  - 60a x )\|- x  + a   - 3x   + 40a x  - 95a x  + 60a x
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                  +---------+
--R             4       2 2       4  |   2    2         4       3 2       5
--R         (15x  - 180a x  + 240a )\|- x  + a   - 75a x  + 300a x  - 240a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 65 of 170
bb:=(a^2-x^2)^(5/2)/5-(a^2*(a^2-x^2)^(3/2))/3
--R
--R                           +---------+
--R           4    2 2     4  |   2    2
--R        (3x  - a x  - 2a )\|- x  + a
--R   (2)  ------------------------------
--R                      15
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 170     14:247 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R            5
--R          2a
--R   (3)  - ---
--R           15

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.248 ∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x} dx

∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x} = \sqrt{a^{2} − x^{2}} − a sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 67 of 170
aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x,x)
--R
--R
--R                                 +---------+
--R           +---------+           |   2    2
--R           |   2    2     2     \|- x  + a   - a     2
--R        (a\|- x  + a   - a )log(----------------) - x
--R                                        x
--R   (1)  ----------------------------------------------
--R                        +---------+
--R                        |   2    2
--R                       \|- x  + a   - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 68 of 170
bb:=sqrt(a^2-x^2)-a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2          +---------+
--R                \|- x  + a   + a     |   2    2
--R   (2)  - a log(----------------) + \|- x  + a
--R                        x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R               +---------+               +---------+
--R               |   2    2                |   2    2
--R              \|- x  + a   + a          \|- x  + a   - a
--R   (3)  a log(----------------) + a log(----------------) + a

--R                      x                         x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R               +---------+               +---------+
--R               |   2    2                |   2    2
--R   (4)  a log(\|- x  + a   + a) + a log(\|- x  + a   - a) - 2a log(x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 71 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                    x
--R   (5)  - 2a log(-------) + a
--R                  +----+
--R                  |   2
--R                 \|- x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 170     14:248 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R                +---+
--R   (6)  2a log(\|- 1 ) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.249 ∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x^{2}} dx

∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x^{2}} = −\frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x} + ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 73 of 170
aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)

--R                                +---------+
--R       +---------+              |   2    2           +---------+
--R       |   2    2              \|- x  + a   - a      |   2    2     2    2
--R   (2x\|- x  + a   - 2a x)atan(----------------) + a\|- x  + a   + x  - a
--R                                       x
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                               +---------+
--R                               |   2    2
--R                             x\|- x  + a   - a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 74 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)/x-asin(x/a)
--R
--R           +---------+
--R           |   2    2           x
--R        - \|- x  + a   - x asin(-)
--R                                a
--R   (2)  --------------------------
--R                     x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a         x
--R   (3)  2atan(----------------) + asin(-)
--R                      x                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (4)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 77 of 170
dd:=asinrule cc
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                 |- x  + a

--R               a |---------  - %i x           +---------+
--R                 |     2                      |   2    2
--R                \|    a                      \|- x  + a   - a
--R   (5)  %i log(--------------------) + 2atan(----------------)
--R                         a                           x
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 78 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 79 of 170
ee:=atanrule dd
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                 |- x  + a
--R               a |---------  - %i x              +---------+
--R                 |     2                         |   2    2
--R                \|    a                       - \|- x  + a   + %i x + a
--R   (7)  %i log(--------------------) - %i log(-------------------------)
--R                         a                      +---------+
--R                                                |   2    2
--R                                               \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 80 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R              +---------+
--R              |   2    2                    +---------+
--R              |- x  + a                     |   2    2
--R     %i log(a |---------  - %i x) + %i log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R              |     2
--R             \|    a
--R   +
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R     - %i log(\|- x  + a   - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))

--E
--S 81 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R               +-------+                         +-------+
--R               | 2    2                          | 2    2
--R     %i log(%i\|x  - a   + %i x - a) + %i log(%i\|x  - a   - %i x)
--R   +
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R     - %i log(%i\|x  - a   - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 82 of 170     14:249 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

14 [?]:14.250 ∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x^{3}} dx

∫ \frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x^{3}} = −\frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{2x^{2}} + \frac{1}{2a} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 83 of 170
aa:=integrate(sqrt(a^2-x^2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                              +---------+
--R                +---------+                   |   2    2
--R              2 |   2    2     4     2 2     \|- x  + a   - a
--R       (- 2a x \|- x  + a   - x  + 2a x )log(----------------)
--R                                                     x
--R     +
--R                      +---------+
--R             2     3  |   2    2      2 2     4
--R       (- a x  + 2a )\|- x  + a   + 2a x  - 2a

--R  /
--R           +---------+
--R       2 2 |   2    2        4     3 2
--R     4a x \|- x  + a   + 2a x  - 4a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 84 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(2*x^2)+1/(2*a)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2           +---------+
--R         2    \|- x  + a   + a      |   2    2
--R        x log(----------------) - a\|- x  + a
--R                      x
--R   (2)  ---------------------------------------
--R                             2
--R                         2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R               +---------+             +---------+
--R               |   2    2              |   2    2
--R              \|- x  + a   + a        \|- x  + a   - a
--R        - log(----------------) - log(----------------)
--R                      x                       x
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R               +---------+             +---------+
--R               |   2    2              |   2    2
--R        - log(\|- x  + a   + a) - log(\|- x  + a   - a) + 2log(x)
--R   (4)  ---------------------------------------------------------
--R                                    2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R               x
--R        log(-------)

--R             +----+
--R             |   2
--R            \|- x
--R   (5)  ------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 170     14:250 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R               +---+
--R          log(\|- 1 )
--R   (6)  - -----------
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.251 ∫ \frac{dx}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = −\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

— * —

)clear all
--S 89 of 170
aa:=integrate(1/(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R           - x\|- x  + a   + a x
--R   (1)  --------------------------
--R           +---------+
--R         3 |   2    2     2 2    4
--R        a \|- x  + a   + a x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 90 of 170
bb:=x/(a^2*sqrt(a^2-x^2))
--R
--R               x
--R   (2)  --------------

--R           +---------+
--R         2 |   2    2
--R        a \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 91 of 170     14:251 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.252 ∫ \frac{x dx}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

— * —

)clear all
--S 92 of 170
aa:=integrate(x/(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                     2
--R                    x
--R   (1)  --------------------------
--R           +---------+
--R         2 |   2    2       2    3
--R        a \|- x  + a   + a x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 93 of 170
bb:=1/sqrt(a^2-x^2)
--R
--R              1
--R   (2)  ------------
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R        \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 94 of 170     14:252 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R        1
--R   (3)  -
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.253 ∫ \frac{x^{2}dx}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{2}}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \frac{−x}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} + ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 95 of 170
aa:=integrate(x^2/(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                     +---------+
--R       +---------+                   |   2    2           +---------+
--R       |   2    2      2     2      \|- x  + a   - a      |   2    2
--R   (2a\|- x  + a   + 2x  - 2a )atan(----------------) - x\|- x  + a   + a x
--R                                            x
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                              +---------+
--R                              |   2    2     2    2
--R                            a\|- x  + a   + x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 96 of 170
bb:=x/sqrt(a^2-x^2)-asin(x/a)
--R
--R                  +---------+
--R               x  |   2    2
--R        - asin(-)\|- x  + a   + x
--R               a
--R   (2)  -------------------------
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R               \|- x  + a

--S 97 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a         x
--R   (3)  2atan(----------------) + asin(-)
--R                      x                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 98 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 99 of 170
dd:=atanrule cc
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R                 - \|- x  + a   + %i x + a         x
--R   (5)  - %i log(-------------------------) + asin(-)
--R                   +---------+                     a
--R                   |   2    2
--R                  \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 100 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (6)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 101 of 170
ee:=asinrule dd
--R

--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                 |- x  + a
--R               a |---------  - %i x              +---------+
--R                 |     2                         |   2    2
--R                \|    a                       - \|- x  + a   + %i x + a
--R   (7)  %i log(--------------------) - %i log(-------------------------)
--R                         a                      +---------+
--R                                                |   2    2
--R                                               \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 102 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R              +---------+
--R              |   2    2                    +---------+
--R              |- x  + a                     |   2    2
--R     %i log(a |---------  - %i x) + %i log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R              |     2
--R             \|    a
--R   +
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R     - %i log(\|- x  + a   - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 103 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R               +-------+                         +-------+
--R               | 2    2                          | 2    2
--R     %i log(%i\|x  - a   + %i x - a) + %i log(%i\|x  - a   - %i x)
--R   +
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R     - %i log(%i\|x  - a   - %i x - a) - %i log(a) - %i log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 104 of 170    14:253 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

18 [?]:14.254 ∫ \frac{x^{3}dx}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{3}}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \sqrt{a^{2} − x^{2}} − \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

— * —

)clear all
--S 105 of 170
aa:=integrate(x^3/(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                            4
--R                           x
--R   (1)  - ------------------------------------
--R                     +---------+
--R            2     2  |   2    2        2     3
--R          (x  - 2a )\|- x  + a   - 2a x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 106 of 170
bb:=sqrt(a^2-x^2)+a^2/sqrt(a^2-x^2)
--R
--R            2     2
--R         - x  + 2a
--R   (2)  ------------
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R        \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 107 of 170    14:254 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.255 ∫ \frac{dx}{x(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{a^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} − \frac{1}{a^{3}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 108 of 170
aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R                                      +---------+
--R           +---------+                |   2    2
--R           |   2    2     2    2     \|- x  + a   - a     2
--R        (a\|- x  + a   + x  - a )log(----------------) + x
--R                                             x
--R   (1)  ---------------------------------------------------
--R                        +---------+
--R                      4 |   2    2     3 2    5
--R                     a \|- x  + a   + a x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 109 of 170
bb:=1/(a^2*sqrt(a^2-x^2))-1/a^3*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                           +---------+
--R           +---------+     |   2    2
--R           |   2    2     \|- x  + a   + a
--R        - \|- x  + a  log(----------------) + a
--R                                  x
--R   (2)  ---------------------------------------
--R                        +---------+
--R                      3 |   2    2
--R                     a \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 110 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R             +---------+             +---------+
--R             |   2    2              |   2    2
--R            \|- x  + a   + a        \|- x  + a   - a
--R        log(----------------) + log(----------------) + 1
--R                    x                       x

--R   (3)  -------------------------------------------------
--R                                 3
--R                                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 111 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R             +---------+             +---------+
--R             |   2    2              |   2    2
--R        log(\|- x  + a   + a) + log(\|- x  + a   - a) - 2log(x) + 1
--R   (4)  -----------------------------------------------------------
--R                                      3
--R                                     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 112 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                  x
--R        - 2log(-------) + 1
--R                +----+
--R                |   2
--R               \|- x
--R   (5)  -------------------
--R                  3
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 113 of 170    14:255 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R              +---+
--R        2log(\|- 1 ) + 1
--R   (6)  ----------------
--R                3
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.256 ∫ \frac{dx}{x^{2}(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = −\frac{\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{a^{4}x} − \frac{x}{a^{4}\sqrt{a^{2} − x^{2}}}

— * —

)clear all
--S 114 of 170
aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R                      +---------+
--R             2     3  |   2    2      4     2 2     4
--R        (4a x  - 2a )\|- x  + a   + 2x  - 5a x  + 2a
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R                         +---------+
--R             4 3     6   |   2    2      5 3     7
--R           (a x  - 2a x)\|- x  + a   - 2a x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 115 of 170
bb:=-sqrt(a^2-x^2)/(a^4*x)+x/(a^4*sqrt(a^2-x^2))
--R
--R              2    2
--R            2x  - a
--R   (2)  ---------------
--R            +---------+
--R         4  |   2    2
--R        a x\|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 116 of 170    14:256 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.257 ∫ \frac{dx}{x^{3}(a^{2} − x^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \frac{1}{2a^{2}x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} − \frac{3}{2a^{4}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} − \frac{3}{2a^{5}} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 117 of 170
aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                           +---------+
--R               4      3 2  |   2    2      6      2 4      4 2
--R         ((9a x  - 12a x )\|- x  + a   + 3x  - 15a x  + 12a x )
--R      *
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R             \|- x  + a   - a
--R         log(----------------)
--R                     x
--R     +
--R                             +---------+
--R            4     3 2     5  |   2    2      6    2 4     4 2     6
--R       (3a x  + 5a x  - 4a )\|- x  + a   + 2x  - a x  - 7a x  + 4a
--R  /
--R                     +---------+
--R        6 4     8 2  |   2    2      5 6      7 4     9 2
--R     (6a x  - 8a x )\|- x  + a   + 2a x  - 10a x  + 8a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 118 of 170
bb:=-1/(2*a^2*x^2*sqrt(a^2-x^2))+3/(2*a^4*sqrt(a^2-x^2))-_
     3/(2*a^5)*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                              +---------+
--R              +---------+     |   2    2
--R            2 |   2    2     \|- x  + a   + a        2    3
--R        - 3x \|- x  + a  log(----------------) + 3a x  - a
--R                                     x
--R   (2)  ---------------------------------------------------
--R                               +---------+
--R                           5 2 |   2    2
--R                         2a x \|- x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 119 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R              +---------+              +---------+
--R              |   2    2               |   2    2
--R             \|- x  + a   + a         \|- x  + a   - a
--R        3log(----------------) + 3log(----------------) + 2
--R                     x                        x
--R   (3)  ---------------------------------------------------
--R                                  5
--R                                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 120 of 170
dd:=expandLog cc
--R
--R              +---------+              +---------+
--R              |   2    2               |   2    2
--R        3log(\|- x  + a   + a) + 3log(\|- x  + a   - a) - 6log(x) + 2
--R   (4)  -------------------------------------------------------------
--R                                       5
--R                                     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 121 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                  x
--R        - 3log(-------) + 1
--R                +----+
--R                |   2
--R               \|- x
--R   (5)  -------------------
--R                  5
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 122 of 170    14:257 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R              +---+
--R        3log(\|- 1 ) + 1
--R   (6)  ----------------
--R                5
--R               a

———-

22 [?]:14.258 ∫ (a^{2} − x^{2})^{3/2} dx

∫ (a^{2} − x^{2})^{3/2} = \frac{x(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{4} − \frac{3a^{2}x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{8} + \frac{3}{8}a^{4} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 123 of 170
aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                            +---------+
--R                5 2      7  |   2    2      4 4      6 2      8
--R         ((- 24a x  + 48a )\|- x  + a   - 6a x  + 48a x  - 48a )
--R      *
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a
--R         atan(----------------)
--R                      x
--R     +
--R                                         +---------+
--R            7      2 5      4 3      6   |   2    2        7      3 5      5 3
--R       (- 2x  + 21a x  - 56a x  + 40a x)\|- x  + a   + 8a x  - 44a x  + 76a x
--R     +
--R            7
--R       - 40a x
--R  /
--R                     +---------+
--R           2      3  |   2    2      4      2 2      4
--R     (32a x  - 64a )\|- x  + a   + 8x  - 64a x  + 64a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 124 of 170
bb:=(x*(a^2-x^2)^(3/2))/4+(3*a^2*x*sqrt(a^2-x^2))/8+3/8*a^4*asin(x/a)
--R
--R                       +---------+
--R             3     2   |   2    2      4     x
--R        (- 2x  + 5a x)\|- x  + a   + 3a asin(-)
--R                                             a

--R   (2)  ---------------------------------------
--R                           8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 125 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R            4     \|- x  + a   - a      4     x
--R        - 6a atan(----------------) - 3a asin(-)
--R                          x                   a
--R   (3)  ----------------------------------------
--R                            8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 126 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (4)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 127 of 170
ee:=asinrule cc
--R
--R                      +---------+
--R                      |   2    2
--R                      |- x  + a
--R                    a |---------  - %i x             +---------+
--R                      |     2                        |   2    2
--R               4     \|    a                  4     \|- x  + a   - a
--R        - 3%i a log(--------------------) - 6a atan(----------------)
--R                              a                             x
--R   (5)  -------------------------------------------------------------
--R                                      8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 128 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------

--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 129 of 170
ff:=atanrule ee
--R
--R   (7)
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                 |- x  + a
--R               a |---------  - %i x                 +---------+
--R                 |     2                            |   2    2
--R          4     \|    a                     4    - \|- x  + a   + %i x + a
--R   - 3%i a log(--------------------) + 3%i a log(-------------------------)
--R                         a                         +---------+
--R                                                   |   2    2
--R                                                  \|- x  + a   + %i x - a
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                       8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 130 of 170
gg:=expandLog ff
--R
--R   (8)
--R                     +---------+
--R                     |   2    2                       +---------+
--R              4      |- x  + a                  4     |   2    2
--R       - 3%i a log(a |---------  - %i x) - 3%i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                     |     2
--R                    \|    a
--R     +
--R                  +---------+
--R            4     |   2    2                     4              4
--R       3%i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + 3%i a log(a) + 3%i a log(- 1)
--R  /
--R     8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 131 of 170
hh:=rootSimp gg
--R
--R   (9)
--R                      +-------+                            +-------+
--R              4       | 2    2                     4       | 2    2
--R       - 3%i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - 3%i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +

--R                    +-------+
--R            4       | 2    2                     4              4
--R       3%i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + 3%i a log(a) + 3%i a log(- 1)
--R  /
--R     8
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 132 of 170    14:258 Schaums and Axiom agree
ii:=complexNormalize hh
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

23 [?]:14.259 ∫ x(a^{2} − x^{2})^{3/2} dx

∫ x(a^{2} − x^{2})^{3/2} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{5/2}}{5}

— * —

)clear all
--S 133 of 170
aa:=integrate(x*(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                          +---------+
--R            8      3 6      5 4      7 2  |   2    2     10      2 8      4 6
--R       (5a x  - 30a x  + 60a x  - 40a x )\|- x  + a   + x   - 15a x  + 55a x
--R     +
--R            6 4      8 2
--R       - 80a x  + 40a x
--R  /
--R                           +---------+
--R        4      2 2      4  |   2    2         4       3 2      5
--R     (5x  - 60a x  + 80a )\|- x  + a   - 25a x  + 100a x  - 80a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 134 of 170
bb:=-(a^2-x^2)^(5/2)/5
--R
--R                            +---------+
--R            4     2 2    4  |   2    2

--R        (- x  + 2a x  - a )\|- x  + a
--R   (2)  -------------------------------
--R                       5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 135 of 170    14:259 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R           5
--R          a
--R   (3)  - --
--R           5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.260 ∫ x^{2}(a^{2} − x^{2})^{3/2} dx

∫ x^{2}(a^{2} − x^{2})^{3/2} = \frac{x(a^{2} − x^{2})^{5/2}}{6} + \frac{a^{2}x(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{24} − \frac{a^{4}x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{16} + \frac{a^{6}}{16} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 136 of 170
aa:=integrate(x^2*(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                         +---------+
--R                 7 4       9 2       11  |   2    2      6 6       8 4
--R           (- 36a x  + 192a x  - 192a  )\|- x  + a   - 6a x  + 108a x
--R         +
--R                 10 2       12
--R           - 288a  x  + 192a
--R      *
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- x  + a   - a
--R         atan(----------------)
--R                      x
--R     +
--R                                                                 +---------+
--R            11       2 9       4 7       6 5       8 3      10   |   2    2
--R       (- 8x   + 158a x  - 639a x  + 982a x  - 592a x  + 96a  x)\|- x  + a
--R     +

--R            11       3 9        5 7        7 5       9 3      11
--R       48a x   - 388a x  + 1062a x  - 1266a x  + 640a x  - 96a  x
--R  /
--R                                     +---------+
--R              4        3 2        5  |   2    2       6       2 4        4 2
--R       (288a x  - 1536a x  + 1536a )\|- x  + a   + 48x  - 864a x  + 2304a x
--R     +
--R              6
--R       - 1536a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 137 of 170
bb:=-(x*(a^2-x^2)^(5/2))/6+(a^2*x*(a^2-x^2)^(3/2))/24+_
     (a^4*x*sqrt(a^2-x^2))/16+a^6/16*asin(x/a)
--R
--R                                +---------+
--R             5      2 3     4   |   2    2      6     x
--R        (- 8x  + 14a x  - 3a x)\|- x  + a   + 3a asin(-)
--R                                                      a
--R   (2)  ------------------------------------------------
--R                               48
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 138 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R            6     \|- x  + a   - a     6     x
--R        - 2a atan(----------------) - a asin(-)
--R                          x                  a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                           16
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 139 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 140 of 170

dd:=atanrule cc
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R            6    - \|- x  + a   + %i x + a     6     x
--R        %i a log(-------------------------) - a asin(-)
--R                   +---------+                       a
--R                   |   2    2
--R                  \|- x  + a   + %i x - a
--R   (5)  -----------------------------------------------
--R                               16
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 141 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (6)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 142 of 170
ee:=asinrule dd
--R
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                     |- x  + a
--R                   a |---------  - %i x                +---------+
--R                     |     2                           |   2    2
--R              6     \|    a                    6    - \|- x  + a   + %i x + a
--R        - %i a log(--------------------) + %i a log(-------------------------)
--R                             a                        +---------+
--R                                                      |   2    2
--R                                                     \|- x  + a   + %i x - a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                          16
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 143 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                    +---------+
--R                    |   2    2                      +---------+
--R             6      |- x  + a                 6     |   2    2
--R       - %i a log(a |---------  - %i x) - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                    |     2

--R                   \|    a
--R     +
--R                 +---------+
--R           6     |   2    2                    6             6
--R       %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     16
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 144 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                     +-------+                           +-------+
--R             6       | 2    2                    6       | 2    2
--R       - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +
--R                   +-------+
--R           6       | 2    2                    6             6
--R       %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R  /
--R     16
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 145 of 170    14:260 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

25 [?]:14.261 ∫ x^{3}(a^{2} − x^{2})^{3/2} dx

∫ x^{3}(a^{2} − x^{2})^{3/2} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{7/2}}{7} + \frac{a^{2}(a^{2} − x^{2})^{5/2}}{5}

— * —

)clear all
--S 146 of 170
aa:=integrate(x^3*(a^2-x^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)

--R                                                            +---------+
--R             12       3 10        5 8        7 6       9 4  |   2    2      14
--R       (35a x   - 336a x   + 1015a x  - 1260a x  + 560a x )\|- x  + a   + 5x
--R     +
--R             2 12       4 10        6 8        8 6       10 4
--R       - 133a x   + 721a x   - 1575a x  + 1540a x  - 560a  x
--R  /
--R                                            +---------+
--R           6       2 4        4 2        6  |   2    2          6        3 4
--R       (35x  - 840a x  + 2800a x  - 2240a )\|- x  + a   - 245a x  + 1960a x
--R     +
--R              5 2        7
--R       - 3920a x  + 2240a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 147 of 170
bb:=(a^2-x^2)^(7/2)/7-(a^2*(a^2-x^2)^(5/2))/5
--R
--R                                     +---------+
--R             6     2 4    4 2     6  |   2    2
--R        (- 5x  + 8a x  - a x  - 2a )\|- x  + a
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                           35
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 148 of 170    14:261 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R            7
--R          2a
--R   (3)  - ---
--R           35
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

26 [?]:14.262 ∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x} dx

∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x} = \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{3} − a^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} + a^{3} sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all

--S 149 of 170
aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                       +---------+
--R                       +---------+                     |   2    2
--R           3 2      5  |   2    2      4 2      6     \|- x  + a   - a
--R       ((3a x  - 12a )\|- x  + a   - 9a x  + 12a )log(----------------)
--R                                                              x
--R     +
--R                        +---------+
--R            4      3 2  |   2    2     6     2 4      4 2
--R       (3a x  - 12a x )\|- x  + a   + x  - 9a x  + 12a x
--R  /
--R                  +---------+
--R        2      2  |   2    2        2      3
--R     (3x  - 12a )\|- x  + a   - 9a x  + 12a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 150 of 170
bb:=(a^2-x^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(a^2-x^2)-a^3*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2    2                      +---------+
--R            3    \|- x  + a   + a        2     2  |   2    2
--R        - 3a log(----------------) + (- x  + 4a )\|- x  + a
--R                         x
--R   (2)  -----------------------------------------------------
--R                                  3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 151 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                +---------+                +---------+
--R                |   2    2                 |   2    2
--R          3    \|- x  + a   + a      3    \|- x  + a   - a      3
--R        3a log(----------------) + 3a log(----------------) + 4a
--R                       x                          x
--R   (3)  ---------------------------------------------------------
--R                                    3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 152 of 170
dd:=expandLog cc
--R

--R                +---------+                +---------+
--R          3     |   2    2           3     |   2    2           3           3
--R        3a log(\|- x  + a   + a) + 3a log(\|- x  + a   - a) - 6a log(x) + 4a
--R   (4)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                          3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 153 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R            3       x         3
--R        - 6a log(-------) + 4a
--R                  +----+
--R                  |   2
--R                 \|- x
--R   (5)  -----------------------
--R                   3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 154 of 170    14:262 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R          3     +---+      3
--R        6a log(\|- 1 ) + 4a
--R   (6)  --------------------
--R                  3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

27 [?]:14.263 ∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x^{2}} dx

∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x^{2}} = −\frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x} + \frac{3x\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{2} − \frac{3}{2}a^{2} ln (x + \sqrt{a^{2} − x^{2}})

— * —

)clear all
--S 155 of 170
aa:=integrate((a^2-x^2)^{3/2}/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                           +---------+

--R                        +---------+                        |   2    2
--R           2 3      4   |   2    2       3 3      5       \|- x  + a   - a
--R       ((6a x  - 24a x)\|- x  + a   - 18a x  + 24a x)atan(----------------)
--R                                                                  x
--R     +
--R                             +---------+
--R            4     3 2     5  |   2    2     6     2 4     4 2     6
--R       (3a x  + 2a x  - 8a )\|- x  + a   + x  - 3a x  - 6a x  + 8a
--R  /
--R                  +---------+
--R        3     2   |   2    2        3     3
--R     (2x  - 8a x)\|- x  + a   - 6a x  + 8a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 156 of 170
bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/x-(3*x*sqrt(a^2-x^2))/2-3/2*a^2*asin(x/a)
--R
--R                     +---------+
--R            2     2  |   2    2      2       x
--R        (- x  - 2a )\|- x  + a   - 3a x asin(-)
--R                                             a
--R   (2)  ---------------------------------------
--R                           2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 157 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R          2     \|- x  + a   - a      2     x
--R        6a atan(----------------) + 3a asin(-)
--R                        x                   a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 158 of 170
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (4)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 159 of 170

dd:=asinrule cc
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R                    |- x  + a
--R                  a |---------  - %i x             +---------+
--R                    |     2                        |   2    2
--R             2     \|    a                  2     \|- x  + a   - a
--R        3%i a log(--------------------) + 6a atan(----------------)
--R                            a                             x
--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 160 of 170
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (6)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 161 of 170
ee:=atanrule dd
--R
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R                    |- x  + a
--R                  a |---------  - %i x                 +---------+
--R                    |     2                            |   2    2
--R             2     \|    a                     2    - \|- x  + a   + %i x + a
--R        3%i a log(--------------------) - 3%i a log(-------------------------)
--R                            a                         +---------+
--R                                                      |   2    2
--R                                                     \|- x  + a   + %i x - a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 162 of 170
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R                   +---------+
--R                   |   2    2                       +---------+

--R            2      |- x  + a                  2     |   2    2
--R       3%i a log(a |---------  - %i x) + 3%i a log(\|- x  + a   + %i x - a)
--R                   |     2
--R                  \|    a
--R     +
--R                    +---------+
--R              2     |   2    2                     2              2
--R       - 3%i a log(\|- x  + a   - %i x - a) - 3%i a log(a) - 3%i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 163 of 170
gg:=rootSimp ff
--R
--R   (9)
--R                    +-------+                            +-------+
--R            2       | 2    2                     2       | 2    2
--R       3%i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) + 3%i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R     +
--R                      +-------+
--R              2       | 2    2                     2              2
--R       - 3%i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) - 3%i a log(a) - 3%i a log(- 1)
--R  /
--R     2
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 164 of 170    14:263 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (10)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

28 [?]:14.264 ∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x^{3}} dx

∫ \frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{x^{3}} = −\frac{(a^{2} − x^{2})^{3/2}}{2x^{2}} + \frac{3}{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} − \frac{3}{2}a sec^{−1} |\frac{x}{a}|

— * —

)clear all
--S 165 of 170

aa:=integrate((a^2-x^2)^(3/2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                             +---------+
--R                           +---------+                       |   2    2
--R               4      3 2  |   2    2      2 4      4 2     \|- x  + a   - a
--R       ((- 3a x  + 12a x )\|- x  + a   + 9a x  - 12a x )log(----------------)
--R                                                                    x
--R     +
--R                             +---------+
--R            4     3 2     5  |   2    2      6     2 4     4 2     6
--R       (4a x  + 3a x  - 4a )\|- x  + a   + 2x  - 3a x  - 5a x  + 4a
--R  /
--R                   +---------+
--R        4     2 2  |   2    2        4     3 2
--R     (2x  - 8a x )\|- x  + a   - 6a x  + 8a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 166 of 170
bb:=-(a^2-x^2)^(3/2)/(2*x^2)-(3*sqrt(a^2-x^2))/2+3/2*a*log((a+sqrt(a^2-x^2))/x)
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2    2                      +---------+
--R            2    \|- x  + a   + a         2    2  |   2    2
--R        3a x log(----------------) + (- 2x  - a )\|- x  + a
--R                         x
--R   (2)  -----------------------------------------------------
--R                                   2
--R                                 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 167 of 170
cc:=aa-bb
--R
--R                  +---------+                +---------+
--R                  |   2    2                 |   2    2
--R                 \|- x  + a   + a           \|- x  + a   - a
--R        - 3a log(----------------) - 3a log(----------------) - 2a
--R                         x                          x
--R   (3)  ----------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 168 of 170
dd:=expandLog cc
--R

--R                  +---------+                +---------+
--R                  |   2    2                 |   2    2
--R        - 3a log(\|- x  + a   + a) - 3a log(\|- x  + a   - a) + 6a log(x) - 2a
--R   (4)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 169 of 170
ee:=complexNormalize dd
--R
--R                  x
--R   (5)  3a log(-------) - a
--R                +----+
--R                |   2
--R               \|- x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 170 of 170    14:264 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=rootSimp ee
--R
--R                  +---+
--R   (6)  - 3a log(\|- 1 ) - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)spool
)lisp (bye)

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References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp68-69