$SPAD/input schaum12.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.265 ∫ \frac{dx}{ax^{2} + bx + c}

∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{4ac − b^{2}}} & tan & −1 & \frac{2ax + b}{\sqrt{4ac − b^{2}}} \\ \frac{1}{\sqrt{b^{2} − 4ac}} & ln & (\frac{2ax + b − \sqrt{b^{2} − 4ac}}{2ax + b + \sqrt{b^{2} − 4ac}}) \end{matrix}

— * —

)set break resume
)spool schaum12.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 84
aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

--S 2 of 84
bb1:=2/sqrt(4*a*c-b^2)*atan((2*a*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))
--R
--R
--R                2a x + b
--R        2atan(------------)
--R               +---------+
--R               |        2
--R              \|4a c - b
--R   (2)  -------------------
--R             +---------+
--R             |        2
--R            \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 84
bb2:=1/sqrt(b^2-4*a*c)*log((2*a*x+b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a*x+b+sqrt(b^2-4*a*c)))
--R
--R
--R               +-----------+
--R               |          2
--R            - \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R        log(---------------------------)
--R              +-----------+
--R              |          2
--R             \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R   (3)  --------------------------------
--R                  +-----------+
--R                  |          2
--R                 \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 84
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +---------+
--R          |        2
--R         \|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /

--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R           +-----------+
--R           |          2        2a x + b
--R       - 2\|- 4a c + b  atan(------------)
--R                              +---------+
--R                              |        2
--R                             \|4a c - b
--R  /
--R      +-----------+ +---------+
--R      |          2  |        2
--R     \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 84
cc2:=aa.1-bb2
--R
--R   (5)
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R     +
--R                +-----------+
--R                |          2
--R             - \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R       - log(---------------------------)
--R               +-----------+
--R               |          2
--R              \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R  /
--R      +-----------+
--R      |          2
--R     \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 84
cc3:=aa.2-bb1
--R
--R                         +---------+
--R                         |        2

--R              (2a x + b)\|4a c - b              2a x + b
--R        2atan(----------------------) - 2atan(------------)
--R                             2                 +---------+
--R                     4a c - b                  |        2
--R                                              \|4a c - b
--R   (6)  ---------------------------------------------------
--R                             +---------+
--R                             |        2
--R                            \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 84
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                            +-----------+
--R          +---------+       |          2
--R          |        2     - \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R       - \|4a c - b  log(---------------------------)
--R                           +-----------+
--R                           |          2
--R                          \|- 4a c + b   + 2a x + b
--R     +
--R                                      +---------+
--R         +-----------+                |        2
--R         |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       2\|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                          2
--R                                  4a c - b
--R  /
--R      +-----------+ +---------+
--R      |          2  |        2
--R     \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 84
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (8)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 9 of 84
dd3:=atanrule cc3

--R
--R   (9)
--R               +---------+
--R               |        2
--R              \|4a c - b   + 2%i a x + %i b
--R       %i log(-----------------------------)
--R               +---------+
--R               |        2
--R              \|4a c - b   - 2%i a x - %i b
--R     +
--R                             +---------+
--R                             |        2                  2
--R                (- 2a x - b)\|4a c - b   + 4%i a c - %i b
--R       - %i log(------------------------------------------)
--R                            +---------+
--R                            |        2                  2
--R                 (2a x + b)\|4a c - b   + 4%i a c - %i b
--R  /
--R      +---------+
--R      |        2
--R     \|4a c - b
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 10 of 84
ee3:=expandLog dd3
--R
--R   (10)
--R                         +---------+
--R                         |        2                  2
--R       %i log((2a x + b)\|4a c - b   + 4%i a c - %i b )
--R     +
--R                           +---------+
--R                           |        2                  2
--R       - %i log((2a x + b)\|4a c - b   - 4%i a c + %i b )
--R     +
--R               +---------+
--R               |        2
--R       %i log(\|4a c - b   + 2%i a x + %i b)
--R     +
--R                 +---------+
--R                 |        2
--R       - %i log(\|4a c - b   - 2%i a x - %i b) - %i log(- 1)
--R  /
--R      +---------+
--R      |        2
--R     \|4a c - b
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

--S 11 of 84     14:265 Schaums and Axiom agree
ff3:=complexNormalize ee3
--R
--R   (11)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

2 [?]:14.266 ∫ \frac{x dx}{ax^{2} + bx + c}

∫ \frac{x}{ax^{2} + bx + c} = \frac{1}{2a} ln(ax^{2} + bx + c) − \frac{b}{2a} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 12 of 84
aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R           b
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                             +-----------+
--R                2            |          2
--R         log(a x  + b x + c)\|- 4a c + b
--R    /
--R          +-----------+
--R          |          2
--R       2a\|- 4a c + b
--R     ,
--R                         +---------+
--R                         |        2                         +---------+
--R              (2a x + b)\|4a c - b             2            |        2
--R    - 2b atan(----------------------) + log(a x  + b x + c)\|4a c - b

--R                             2
--R                     4a c - b
--R    -------------------------------------------------------------------]
--R                                  +---------+
--R                                  |        2
--R                               2a\|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 13 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 14 of 84
bb1:=1/(2*a)*log(a*x^2+b*x+c)-b/(2*a)*t1.1
--R
--R
--R   (3)
--R       -
--R            b

--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2       2        2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                 +
--R                             3
--R                   4a b c - b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R     +
--R                           +-----------+
--R              2            |          2
--R       log(a x  + b x + c)\|- 4a c + b
--R  /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R     2a\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 84
bb2:=1/(2*a)*log(a*x^2+b*x+c)-b/(2*a)*t1.2
--R
--R
--R                             +---------+
--R                             |        2                         +---------+
--R                  (2a x + b)\|4a c - b             2            |        2
--R        - 2b atan(----------------------) + log(a x  + b x + c)\|4a c - b
--R                                 2
--R                         4a c - b
--R   (4)  -------------------------------------------------------------------
--R                                      +---------+
--R                                      |        2
--R                                   2a\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 84
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R         b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +

--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R         b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R  /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R     2a\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 84
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R           +---------+
--R           |        2
--R         b\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                         +---------+
--R            +-----------+                |        2
--R            |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       - 2b\|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                             2
--R                                     4a c - b

--R  /
--R        +-----------+ +---------+
--R        |          2  |        2
--R     2a\|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 84
cc3:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R           +---------+
--R           |        2
--R         b\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                         +---------+
--R            +-----------+                |        2
--R            |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       - 2b\|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                             2
--R                                     4a c - b
--R  /
--R        +-----------+ +---------+
--R        |          2  |        2
--R     2a\|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 84     14:266 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.267 ∫ \frac{x^{2}dx}{ax^{2} + bx + c}

∫ \frac{x^{2}}{ax^{2} + bx + c} = \frac{x}{a} − \frac{b}{2a^{2}} ln(ax^{2} + bx + c) + \frac{b^{2} − 2ac}{2a^{2}} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 20 of 84
aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                    2
--R           (2a c - b )
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                                          +-----------+
--R                     2                    |          2
--R         (- b log(a x  + b x + c) + 2a x)\|- 4a c + b
--R    /
--R           +-----------+
--R         2 |          2
--R       2a \|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                                       +---------+
--R                                       |        2
--R                     2      (2a x + b)\|4a c - b
--R         (- 4a c + 2b )atan(----------------------)
--R                                           2
--R                                   4a c - b
--R       +
--R                                          +---------+
--R                     2                    |        2
--R         (- b log(a x  + b x + c) + 2a x)\|4a c - b

--R    /
--R           +---------+
--R         2 |        2
--R       2a \|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 21 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 22 of 84
bb1:=x/a-b/(2*a^2)*log(a*x^2+b*x+c)+(b^2-2*a*c)/(2*a^2)*t1.1
--R
--R
--R   (3)
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *

--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                        +-----------+
--R                   2                    |          2
--R       (- b log(a x  + b x + c) + 2a x)\|- 4a c + b
--R  /
--R         +-----------+
--R       2 |          2
--R     2a \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 84
bb2:=x/a-b/(2*a^2)*log(a*x^2+b*x+c)+(b^2-2*a*c)/(2*a^2)*t1.2
--R
--R
--R   (4)
--R                                     +---------+
--R                                     |        2
--R                   2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       (- 4a c + 2b )atan(----------------------)
--R                                         2
--R                                 4a c - b
--R     +
--R                                        +---------+
--R                   2                    |        2
--R       (- b log(a x  + b x + c) + 2a x)\|4a c - b
--R  /
--R         +---------+
--R       2 |        2
--R     2a \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 84
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *

--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R  /
--R         +-----------+
--R       2 |          2
--R     2a \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 84     14:267 Schaums and Axiom differ by a constant
dd1:=complexNormalize cc1
--R
--R                   2          3      2 2
--R        (- 2a c + b )log(- 16a c + 4a b )
--R   (6)  ---------------------------------
--R                    +-----------+
--R                  2 |          2
--R                2a \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.268 ∫ \frac{x^{m} dx}{ax^{2} + bx + c}

∫ \frac{x^{m}}{ax^{2} + bx + c} = \frac{x^{m−1}}{(m − 1)a} − \frac{c}{a} ∫ \frac{x^{m−2}}{ax^{2} + bx + c} − \frac{b}{a} ∫ \frac{x^{m−1}}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 26 of 84     14:268 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R           x         m
--I         ++        %N
--I   (1)   |   --------------- d%N
--R        ++                2
--I             c + %N b + %N a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.269 ∫ \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)}

∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)} = \frac{1}{2c} ln (\frac{x^{2}}{ax^{2} + bx + c}) − \frac{b}{2c} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 27 of 84
aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R           b
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +

--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                                           +-----------+
--R                   2                       |          2
--R         (- log(a x  + b x + c) + 2log(x))\|- 4a c + b
--R    /
--R          +-----------+
--R          |          2
--R       2c\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                              +---------+
--R                              |        2
--R                   (2a x + b)\|4a c - b
--R         - 2b atan(----------------------)
--R                                  2
--R                          4a c - b
--R       +
--R                                           +---------+
--R                   2                       |        2
--R         (- log(a x  + b x + c) + 2log(x))\|4a c - b
--R    /
--R          +---------+
--R          |        2
--R       2c\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 28 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /

--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 29 of 84
bb1:=1/(2*c)*log(x^2/(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1
--R
--R
--R   (3)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2       2        2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                 +
--R                             3
--R                   4a b c - b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R     +
--R                  2        +-----------+
--R                 x         |          2
--R       log(--------------)\|- 4a c + b
--R              2
--R           a x  + b x + c
--R  /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R     2c\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 84
bb2:=1/(2*c)*log(x^2/(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2

--R
--R
--R                             +---------+
--R                             |        2                2        +---------+
--R                  (2a x + b)\|4a c - b                x         |        2
--R        - 2b atan(----------------------) + log(--------------)\|4a c - b
--R                                 2                 2
--R                         4a c - b               a x  + b x + c
--R   (4)  -------------------------------------------------------------------
--R                                      +---------+
--R                                      |        2
--R                                   2c\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 84
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2       2        2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                 +
--R                             3
--R                   4a b c - b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R     +
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b
--R                 +
--R                        2        2               3
--R                   (- 8a c + 2a b )x - 4a b c + b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R     +
--R                                                   2         +-----------+
--R               2                                  x          |          2
--R       (log(a x  + b x + c) - 2log(x) + log(--------------))\|- 4a c + b

--R                                               2
--R                                            a x  + b x + c
--R  /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R     2c\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 84
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (6)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                              +-----------+
--R                    2 2                    2  |          2       2        2
--R                 (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R               +
--R                           3
--R                 4a b c - b
--R     +
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                              +-----------+
--R                    2 2                    2  |          2         2        2
--R                 (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R               +
--R                             3
--R                 - 4a b c + b
--R     +
--R                 2
--R       2b log(a x  + b x + c)
--R  /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R     2c\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 84     14:269 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=complexNormalize dd1
--R
--R                     3      2 2
--R          b log(- 16a c + 4a b )
--R   (7)  - ----------------------

--R                +-----------+
--R                |          2
--R             2c\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.270 ∫ \frac{dx}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)}

∫ \frac{1}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)} = \frac{b}{2c^{2}} ln (\frac{ax^{2} + bx + c}{x^{2}}) − \frac{1}{cx} + \frac{b^{2} − 2ac}{2c^{2}} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 34 of 84
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                    2
--R           (2a c - b )x
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                                                      +-----------+
--R                     2                                |          2
--R         (b x log(a x  + b x + c) - 2b x log(x) - 2c)\|- 4a c + b
--R    /
--R            +-----------+
--R         2  |          2
--R       2c x\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                                         +---------+
--R                                         |        2

--R                     2        (2a x + b)\|4a c - b
--R         (- 4a c + 2b )x atan(----------------------)
--R                                             2
--R                                     4a c - b
--R       +
--R                                                      +---------+
--R                     2                                |        2
--R         (b x log(a x  + b x + c) - 2b x log(x) - 2c)\|4a c - b
--R    /
--R            +---------+
--R         2  |        2
--R       2c x\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 35 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

--S 36 of 84
bb1:=b/(2*c^2)*log((a*x^2+b*x+c)/x^2)-1/(c*x)+(b^2-2*a*c)/(2*c^2)*t1.1
--R
--R
--R   (3)
--R                    2
--R         (- 2a c + b )x
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                   2                  +-----------+
--R                a x  + b x + c        |          2
--R       (b x log(--------------) - 2c)\|- 4a c + b
--R                       2
--R                      x
--R  /
--R          +-----------+
--R       2  |          2
--R     2c x\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 84
bb2:=b/(2*c^2)*log((a*x^2+b*x+c)/x^2)-1/(c*x)+(b^2-2*a*c)/(2*c^2)*t1.2
--R
--R
--R   (4)
--R                                       +---------+
--R                                       |        2
--R                   2        (2a x + b)\|4a c - b
--R       (- 4a c + 2b )x atan(----------------------)
--R                                           2
--R                                   4a c - b
--R     +
--R                   2                  +---------+
--R                a x  + b x + c        |        2
--R       (b x log(--------------) - 2c)\|4a c - b
--R                       2
--R                      x
--R  /
--R          +---------+

--R       2  |        2
--R     2c x\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 84
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                                     2             +-----------+
--R                 2                                a x  + b x + c   |          2
--R     (- b log(a x  + b x + c) + 2b log(x) + b log(--------------))\|- 4a c + b
--R                                                         2
--R                                                        x
--R  /
--R         +-----------+
--R       2 |          2
--R     2c \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 84

dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (6)
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R     +
--R                    2
--R         (- 2a c + b )
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2         2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R            +
--R                          3
--R              - 4a b c + b
--R     +
--R                 2        2
--R       (4a c - 2b )log(a x  + b x + c)
--R  /
--R         +-----------+
--R       2 |          2
--R     2c \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 84     14:270 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=complexNormalize dd1
--R
--R                   2          3      2 2
--R        (- 2a c + b )log(- 16a c + 4a b )
--R   (7)  ---------------------------------
--R                    +-----------+
--R                  2 |          2
--R                2c \|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.271 ∫ \frac{dx}{x^{n}(ax^{2} + bx + c)}

∫ \frac{1}{x^{n}(ax^{2} + bx + c)} = −\frac{1}{(n − 1)cx^{n−1}} − \frac{b}{c} ∫ \frac{1}{x^{n−1}(ax^{2} + bx + c)} − \frac{a}{c} ∫ \frac{1}{x^{x−2}(ax^{2} + bx + c)}

— * —

)clear all
--S 41 of 84     14:271 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^n*(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            1
--I   (1)   |   -------------------- d%N
--R        ++                 2    n
--I             (c + %N b + %N a)%N
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

8 [?]:14.272 ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{2}}

∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{2}} = \frac{2xa + b}{(4ac − b^{2})(ax^{2} + bx + c)} + \frac{2a}{4ac − b^{2}} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 42 of 84
aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R              2 2
--R           (2a x  + 2a b x + 2a c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2       2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x

--R                +
--R                            3
--R                  4a b c - b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                    +-----------+
--R                    |          2
--R         (2a x + b)\|- 4a c + b
--R    /
--R                                                        +-----------+
--R           2       2  2              3         2    2   |          2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R     ,
--R                                           +---------+
--R                                           |        2                +---------+
--R       2 2                      (2a x + b)\|4a c - b                 |        2
--R    (4a x  + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b
--R                                               2
--R                                       4a c - b
--R    ----------------------------------------------------------------------------
--R                                                             +---------+
--R                2       2  2              3         2    2   |        2
--R            ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 43 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,

--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 44 of 84
bb1:=(2*a*x+b)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*a)/(4*a*c-b^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R            2 2
--R         (2a x  + 2a b x + 2a c)
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                  +-----------+
--R                  |          2
--R       (2a x + b)\|- 4a c + b
--R  /
--R                                                      +-----------+
--R         2       2  2              3         2    2   |          2
--R     ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 84
bb2:=(2*a*x+b)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*a)/(4*a*c-b^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                          +---------+
--R                                          |        2                +---------+
--R      2 2                      (2a x + b)\|4a c - b                 |        2
--R   (4a x  + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b
--R                                              2

--R                                      4a c - b
--R   ----------------------------------------------------------------------------
--R                                                            +---------+
--R               2       2  2              3         2    2   |        2
--R           ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 84
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 84
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R       -
--R               +---------+
--R               |        2
--R            2a\|4a c - b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2       2        2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                 +
--R                             3
--R                   4a b c - b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R     +
--R                                       +---------+
--R          +-----------+                |        2
--R          |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       4a\|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                           2
--R                                   4a c - b
--R  /
--R                 +-----------+ +---------+
--R              2  |          2  |        2
--R     (4a c - b )\|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 84
cc3:=aa.1-bb2

--R
--R   (7)
--R            +---------+
--R            |        2
--R         2a\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                         +---------+
--R            +-----------+                |        2
--R            |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       - 4a\|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                             2
--R                                     4a c - b
--R  /
--R                 +-----------+ +---------+
--R              2  |          2  |        2
--R     (4a c - b )\|- 4a c + b  \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 84     14:272 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.273 ∫ \frac{x dx}{(ax^{2} + bx + c)^{2}}

∫ \frac{x}{(ax^{2} + bx + c)^{2}} = −\frac{bx + 2c}{(4ac − b^{2})(ax^{2} + bx + c)} − \frac{b}{4ac − b^{2}} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all

--S 50 of 84
aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                 2    2
--R           (a b x  + b x + b c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                      +-----------+
--R                      |          2
--R         (- b x - 2c)\|- 4a c + b
--R    /
--R                                                        +-----------+
--R           2       2  2              3         2    2   |          2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                                                  +---------+
--R                                                  |        2
--R                  2     2              (2a x + b)\|4a c - b
--R         (- 2a b x  - 2b x - 2b c)atan(----------------------)
--R                                                      2
--R                                              4a c - b
--R       +
--R                      +---------+
--R                      |        2
--R         (- b x - 2c)\|4a c - b
--R    /
--R                                                        +---------+
--R           2       2  2              3         2    2   |        2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 51 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)

--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,
--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 52 of 84
bb1:=-(b*x+2*c)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))-b/(4*a*c-b^2)*t1.1
--R
--R
--R   (3)
--R                 2    2
--R         (- a b x  - b x - b c)
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c

--R     +
--R                    +-----------+
--R                    |          2
--R       (- b x - 2c)\|- 4a c + b
--R  /
--R                                                      +-----------+
--R         2       2  2              3         2    2   |          2
--R     ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 53 of 84
bb2:=-(b*x+2*c)/((4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))-b/(4*a*c-b^2)*t1.2
--R
--R
--R   (4)
--R                                                +---------+
--R                                                |        2
--R                2     2              (2a x + b)\|4a c - b
--R       (- 2a b x  - 2b x - 2b c)atan(----------------------)
--R                                                    2
--R                                            4a c - b
--R     +
--R                    +---------+
--R                    |        2
--R       (- b x - 2c)\|4a c - b
--R  /
--R                                                      +---------+
--R         2       2  2              3         2    2   |        2
--R     ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 84
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2       2        2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                 +
--R                             3
--R                   4a b c - b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c

--R     +
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                                +-----------+
--R                      2 2                    2  |          2
--R                   (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b
--R                 +
--R                        2        2               3
--R                   (- 8a c + 2a b )x - 4a b c + b
--R              /
--R                    2
--R                 a x  + b x + c
--R  /
--R                 +-----------+
--R              2  |          2
--R     (4a c - b )\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 55 of 84
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (6)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                              +-----------+
--R                    2 2                    2  |          2       2        2
--R                 (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R               +
--R                           3
--R                 4a b c - b
--R     +
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                              +-----------+
--R                    2 2                    2  |          2         2        2
--R                 (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R               +
--R                             3
--R                 - 4a b c + b
--R     +
--R                 2
--R       2b log(a x  + b x + c)
--R  /

--R                 +-----------+
--R              2  |          2
--R     (4a c - b )\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 84     14:273 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=complexNormalize dd1
--R
--R                       3      2 2
--R            b log(- 16a c + 4a b )
--R   (7)  - -------------------------
--R                      +-----------+
--R                   2  |          2
--R          (4a c - b )\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.274 ∫ \frac{x^{2} dx}{(ax^{2} + bx + c)^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(ax^{2} + bx + c)^{2}} = \frac{(b^{2} − 2ac)x + bc}{a(4ac − b^{2})(ax^{2} + bx + c)} + \frac{2c}{4ac − b^{2}} ∫ \frac{1}{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 57 of 84
aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R              2   2                  2
--R           (2a c x  + 2a b c x + 2a c )
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2       2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                +
--R                            3
--R                  4a b c - b
--R             /
--R                   2

--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                                +-----------+
--R                     2          |          2
--R         ((- 2a c + b )x + b c)\|- 4a c + b
--R    /
--R                                                            +-----------+
--R           3     2 2  2      2         3       2 2      2   |          2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - a b )x + 4a c  - a b c)\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                                                     +---------+
--R                                                     |        2
--R            2   2                  2      (2a x + b)\|4a c - b
--R         (4a c x  + 4a b c x + 4a c )atan(----------------------)
--R                                                         2
--R                                                 4a c - b
--R       +
--R                                +---------+
--R                     2          |        2
--R         ((- 2a c + b )x + b c)\|4a c - b
--R    /
--R                                                            +---------+
--R           3     2 2  2      2         3       2 2      2   |        2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - a b )x + 4a c  - a b c)\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 58 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R         /
--R               2
--R            a x  + b x + c
--R    /
--R        +-----------+
--R        |          2
--R       \|- 4a c + b
--R     ,

--R                     +---------+
--R                     |        2
--R          (2a x + b)\|4a c - b
--R    2atan(----------------------)
--R                         2
--R                 4a c - b
--R    -----------------------------]
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 59 of 84
bb1:=((b^2-2*a*c)*x+b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*c)/(4*a*c-b^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R            2   2                  2
--R         (2a c x  + 2a b c x + 2a c )
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                              +-----------+
--R                   2          |          2
--R       ((- 2a c + b )x + b c)\|- 4a c + b
--R  /
--R                                                          +-----------+
--R         3     2 2  2      2         3       2 2      2   |          2
--R     ((4a c - a b )x  + (4a b c - a b )x + 4a c  - a b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 60 of 84
bb2:=((b^2-2*a*c)*x+b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*(a*x^2+b*x+c))+(2*c)/(4*a*c-b^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                                   +---------+
--R                                                   |        2
--R          2   2                  2      (2a x + b)\|4a c - b
--R       (4a c x  + 4a b c x + 4a c )atan(----------------------)
--R                                                       2

--R                                               4a c - b
--R     +
--R                              +---------+
--R                   2          |        2
--R       ((- 2a c + b )x + b c)\|4a c - b
--R  /
--R                                                          +---------+
--R         3     2 2  2      2         3       2 2      2   |        2
--R     ((4a c - a b )x  + (4a b c - a b )x + 4a c  - a b c)\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 84     14:274 Schaums and Axiom agree
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.275 ∫ \frac{x^{m} dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n}}

∫ \frac{x^{m}}{(ax^{2} + bx + c)^{n}} = −\frac{x^{m−1}}{(2n − m − 1)a(ax^{2} + bx + c)^{n−1}}

+\frac{(m − 1)c}{(2n − m − 1)a} ∫ \frac{x^{m−2}}{(ax^{2} + bx + 2)^{n}}

−\frac{(n − m)b}{(2n − m − 1)a} ∫ \frac{x^{m−1}}{(ax^{2} + bx + c)^{n}}

— * —

)clear all
--S 62 of 84     14:275 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(a*x^2+b*x+c)^n,x)
--R
--R
--R           x           m
--I         ++          %N
--I   (1)   |   ------------------ d%N
--R        ++                 2  n
--I             (c + %N b + %N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

12 [?]:14.276 ∫ \frac{x^{2n−1} dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n}}

∫ \frac{x^{2n−1}}{(ax^{2} + bx + c)^{n}} = \frac{1}{a} ∫ \frac{x^{2n−3}}{(ax^{2} + bx + c)^{n−1}}

−\frac{c}{a} ∫ \frac{x^{2n−3}}{(ax^{2} + bx + c)^{n}}

−\frac{b}{a} ∫ \frac{x^{2n−2}}{(ax^{2} + bx + c)^{n}}

— * —

)clear all
--S 63 of 84     14:276 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(2*n-1)/(a*x^2+b*x+c)^n,x)
--R
--R
--R           x        2n - 1
--I         ++       %N
--I   (1)   |   ------------------ d%N
--R        ++                 2  n
--I             (c + %N b + %N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

13 [?]:14.277 ∫ \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)^{2}}

∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)^{2}} =  \frac{1}{2c(ax^{2} + bx + 2)}

−\frac{b}{2c} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{2}}

+\frac{1}{c} ∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)}

— * —

)clear all
--S 64 of 84
aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R               2         3  2        2     4           2    3
--R           ((6a b c - a b )x  + (6a b c - b )x + 6a b c  - b c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                     2       2  2                3         2    2
--R               ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R            *
--R                      2
--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                 2        2  2               3         2     2
--R             ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x)
--R           +
--R                              2     2
--R             - 2a b c x + 4a c  - 2b c
--R        *
--R            +-----------+
--R            |          2
--R           \|- 4a c + b
--R    /
--R                                                                  +-----------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |          2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                  2          3  2           2      4            2     3
--R           ((- 12a b c + 2a b )x  + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c  + 2b c)
--R        *
--R                           +---------+
--R                           |        2
--R                (2a x + b)\|4a c - b
--R           atan(----------------------)

--R                               2
--R                       4a c - b
--R       +
--R                     2       2  2                3         2    2
--R               ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R            *
--R                      2
--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                 2        2  2               3         2     2
--R             ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x)
--R           +
--R                              2     2
--R             - 2a b c x + 4a c  - 2b c
--R        *
--R            +---------+
--R            |        2
--R           \|4a c - b
--R    /
--R                                                                  +---------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |        2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 65 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R              2 2
--R           (2a x  + 2a b x + 2a c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2       2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                +
--R                            3
--R                  4a b c - b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                    +-----------+
--R                    |          2
--R         (2a x + b)\|- 4a c + b
--R    /

--R                                                        +-----------+
--R           2       2  2              3         2    2   |          2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R     ,
--R                                           +---------+
--R                                           |        2                +---------+
--R       2 2                      (2a x + b)\|4a c - b                 |        2
--R    (4a x  + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b
--R                                               2
--R                                       4a c - b
--R    ----------------------------------------------------------------------------
--R                                                             +---------+
--R                2       2  2              3         2    2   |        2
--R            ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 66 of 84
t2:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R
--R   (3)
--R   [
--R           b
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                                           +-----------+
--R                   2                       |          2
--R         (- log(a x  + b x + c) + 2log(x))\|- 4a c + b
--R    /
--R          +-----------+
--R          |          2
--R       2c\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                              +---------+
--R                              |        2
--R                   (2a x + b)\|4a c - b
--R         - 2b atan(----------------------)

--R                                  2
--R                          4a c - b
--R       +
--R                                           +---------+
--R                   2                       |        2
--R         (- log(a x  + b x + c) + 2log(x))\|4a c - b
--R    /
--R          +---------+
--R          |        2
--R       2c\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 67 of 84
bb1:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1+1/c*t2.1
--R
--R
--R   (4)
--R              2     2       2            2
--R         (- 2a b c x  - 2a b c x - 2a b c )
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R             2         3  2        2     4           2    3
--R         ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a b c  - b c)
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                   2       2  2                3         2    2
--R             ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R          *

--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R               2        2  2               3         2     2
--R           ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x) - 2a b c x
--R         +
--R               2     2
--R           4a c  - 2b c
--R      *
--R          +-----------+
--R          |          2
--R         \|- 4a c + b
--R  /
--R                                                                +-----------+
--R         2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |          2
--R     ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 68 of 84
bb2:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2+1/c*t2.1
--R
--R
--R   (5)
--R                                                              +---------+
--R             2         3  2        2     4           2    3   |        2
--R         ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a b c  - b c)\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                            +-----------+
--R              2     2       2            2  |          2
--R         (- 4a b c x  - 4a b c x - 4a b c )\|- 4a c + b
--R      *
--R                         +---------+
--R                         |        2
--R              (2a x + b)\|4a c - b
--R         atan(----------------------)
--R                             2
--R                     4a c - b
--R     +

--R                   2       2  2                3         2    2
--R             ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R               2        2  2               3         2     2
--R           ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x) - 2a b c x
--R         +
--R               2     2
--R           4a c  - 2b c
--R      *
--R          +-----------+ +---------+
--R          |          2  |        2
--R         \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R  /
--R                                                                  +-----------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |          2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|- 4a c + b
--R    *
--R        +---------+
--R        |        2
--R       \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 84
bb3:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.1+1/c*t2.2
--R
--R
--R   (6)
--R                                            +---------+
--R              2     2       2            2  |        2
--R         (- 2a b c x  - 2a b c x - 2a b c )\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R               2          3  2          2      4           2     3
--R         ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x - 8a b c  + 2b c)
--R      *
--R                                       +---------+

--R          +-----------+                |        2
--R          |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R         \|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                           2
--R                                   4a c - b
--R     +
--R                   2       2  2                3         2    2
--R             ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R               2        2  2               3         2     2
--R           ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x) - 2a b c x
--R         +
--R               2     2
--R           4a c  - 2b c
--R      *
--R          +-----------+ +---------+
--R          |          2  |        2
--R         \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R  /
--R                                                                  +-----------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |          2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|- 4a c + b
--R    *
--R        +---------+
--R        |        2
--R       \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 84
bb4:=1/(2*c*(a*x^2+b*x+c))-b/(2*c)*t1.2+1/c*t2.2
--R
--R
--R   (7)
--R                2          3  2           2      4            2     3
--R         ((- 12a b c + 2a b )x  + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c  + 2b c)
--R      *
--R                         +---------+
--R                         |        2
--R              (2a x + b)\|4a c - b
--R         atan(----------------------)
--R                             2
--R                     4a c - b
--R     +
--R                   2       2  2                3         2    2
--R             ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R          *

--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R               2        2  2               3         2     2
--R           ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x) - 2a b c x
--R         +
--R               2     2
--R           4a c  - 2b c
--R      *
--R          +---------+
--R          |        2
--R         \|4a c - b
--R  /
--R                                                                +---------+
--R         2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |        2
--R     ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 71 of 84
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (8)
--R         a b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R         a b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R  /
--R                   +-----------+

--R          2    2   |          2
--R     (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 84
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (9)
--R         a b
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R     +
--R         a b
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2         2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R            +
--R                          3
--R              - 4a b c + b
--R     +
--R                     2
--R       - 2a b log(a x  + b x + c)
--R  /
--R                   +-----------+
--R          2    2   |          2
--R     (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 73 of 84     14:277 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=complexNormalize dd1
--R
--R                        3      2 2
--R           a b log(- 16a c + 4a b )
--R   (10)  ---------------------------
--R                       +-----------+
--R              2    2   |          2
--R         (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.278 ∫ \frac{dx}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)^{2}} =  −\frac{1}{cx(ax^{2} + bx + c)}

−\frac{3a}{c} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{2}}

−\frac{2b}{c} ∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)^{2}}

— * —

)clear all
--S 74 of 84
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                3 2     2 2       4  3      2   2       3     5  2
--R             (6a c  - 6a b c + a b )x  + (6a b c  - 6a b c + b )x
--R           +
--R                2 3       2 2    4
--R             (6a c  - 6a b c  + b c)x
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                   2         3  3        2     4  2          2    3
--R               ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R            *
--R                      2
--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                     2          3  3          2      4  2            2     3
--R               ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)

--R            *
--R               log(x)
--R           +
--R                  2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R             (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R        *
--R            +-----------+
--R            |          2
--R           \|- 4a c + b
--R    /
--R                                                                   +-----------+
--R           2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |          2
--R       ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                   3 2      2 2        4  3         2   2        3      5  2
--R             (- 12a c  + 12a b c - 2a b )x  + (- 12a b c  + 12a b c - 2b )x
--R           +
--R                   2 3        2 2     4
--R             (- 12a c  + 12a b c  - 2b c)x
--R        *
--R                           +---------+
--R                           |        2
--R                (2a x + b)\|4a c - b
--R           atan(----------------------)
--R                               2
--R                       4a c - b
--R       +
--R                   2         3  3        2     4  2          2    3
--R               ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R            *
--R                      2
--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                     2          3  3          2      4  2            2     3
--R               ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)
--R            *
--R               log(x)
--R           +
--R                  2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R             (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R        *
--R            +---------+
--R            |        2
--R           \|4a c - b
--R    /
--R                                                                   +---------+
--R           2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |        2
--R       ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|4a c - b
--R     ]

--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 75 of 84
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^2,x)
--R
--R
--R   (2)
--R   [
--R              2 2
--R           (2a x  + 2a b x + 2a c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2       2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R                +
--R                            3
--R                  4a b c - b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                    +-----------+
--R                    |          2
--R         (2a x + b)\|- 4a c + b
--R    /
--R                                                        +-----------+
--R           2       2  2              3         2    2   |          2
--R       ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R     ,
--R                                           +---------+
--R                                           |        2                +---------+
--R       2 2                      (2a x + b)\|4a c - b                 |        2
--R    (4a x  + 4a b x + 4a c)atan(----------------------) + (2a x + b)\|4a c - b
--R                                               2
--R                                       4a c - b
--R    ----------------------------------------------------------------------------
--R                                                             +---------+
--R                2       2  2              3         2    2   |        2
--R            ((4a c - a b )x  + (4a b c - b )x + 4a c  - b c)\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 76 of 84
t2:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^2),x)
--R
--R
--R   (3)

--R   [
--R               2         3  2        2     4           2    3
--R           ((6a b c - a b )x  + (6a b c - b )x + 6a b c  - b c)
--R        *
--R           log
--R                                               +-----------+
--R                     2 2                    2  |          2         2        2
--R                  (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R                +
--R                              3
--R                  - 4a b c + b
--R             /
--R                   2
--R                a x  + b x + c
--R       +
--R                     2       2  2                3         2    2
--R               ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R            *
--R                      2
--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                 2        2  2               3         2     2
--R             ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x)
--R           +
--R                              2     2
--R             - 2a b c x + 4a c  - 2b c
--R        *
--R            +-----------+
--R            |          2
--R           \|- 4a c + b
--R    /
--R                                                                  +-----------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |          2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|- 4a c + b
--R     ,
--R
--R                  2          3  2           2      4            2     3
--R           ((- 12a b c + 2a b )x  + (- 12a b c + 2b )x - 12a b c  + 2b c)
--R        *
--R                           +---------+
--R                           |        2
--R                (2a x + b)\|4a c - b
--R           atan(----------------------)
--R                               2
--R                       4a c - b
--R       +
--R                     2       2  2                3         2    2
--R               ((- 4a c + a b )x  + (- 4a b c + b )x - 4a c  + b c)
--R            *
--R                      2

--R               log(a x  + b x + c)
--R           +
--R                 2        2  2               3         2     2
--R             ((8a c - 2a b )x  + (8a b c - 2b )x + 8a c  - 2b c)log(x)
--R           +
--R                              2     2
--R             - 2a b c x + 4a c  - 2b c
--R        *
--R            +---------+
--R            |        2
--R           \|4a c - b
--R    /
--R                                                                  +---------+
--R           2 3       2 2  2          3     3 2         4     2 3  |        2
--R       ((8a c  - 2a b c )x  + (8a b c  - 2b c )x + 8a c  - 2b c )\|4a c - b
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 77 of 84
bb1:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.1-(2*b)/c*t2.1
--R
--R
--R   (4)
--R              3 2 3     2   2 2     2 3
--R         (- 6a c x  - 6a b c x  - 6a c x)
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R               2 2       4  3          3     5  2          2 2    4
--R         ((- 6a b c + a b )x  + (- 6a b c + b )x  + (- 6a b c  + b c)x)
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2

--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                 2         3  3        2     4  2          2    3
--R             ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R                   2          3  3          2      4  2            2     3
--R             ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)
--R          *
--R             log(x)
--R         +
--R                2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R           (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R      *
--R          +-----------+
--R          |          2
--R         \|- 4a c + b
--R  /
--R                                                                 +-----------+
--R         2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |          2
--R     ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 78 of 84
bb2:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.2-(2*b)/c*t2.1
--R
--R
--R   (5)
--R               2 2       4  3          3     5  2          2 2    4
--R         ((- 6a b c + a b )x  + (- 6a b c + b )x  + (- 6a b c  + b c)x)
--R      *
--R          +---------+
--R          |        2
--R         \|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R                                             +-----------+

--R               3 2 3      2   2 2      2 3   |          2
--R         (- 12a c x  - 12a b c x  - 12a c x)\|- 4a c + b
--R      *
--R                         +---------+
--R                         |        2
--R              (2a x + b)\|4a c - b
--R         atan(----------------------)
--R                             2
--R                     4a c - b
--R     +
--R                 2         3  3        2     4  2          2    3
--R             ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R                   2          3  3          2      4  2            2     3
--R             ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)
--R          *
--R             log(x)
--R         +
--R                2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R           (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R      *
--R          +-----------+ +---------+
--R          |          2  |        2
--R         \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R  /
--R                                                                   +-----------+
--R           2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |          2
--R       ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|- 4a c + b
--R    *
--R        +---------+
--R        |        2
--R       \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 79 of 84
bb3:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.1-(2*b)/c*t2.2
--R
--R
--R   (6)
--R                                          +---------+
--R              3 2 3     2   2 2     2 3   |        2
--R         (- 6a c x  - 6a b c x  - 6a c x)\|4a c - b
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2

--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +
--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R              2 2        4  3         3      5  2         2 2     4
--R         ((12a b c - 2a b )x  + (12a b c - 2b )x  + (12a b c  - 2b c)x)
--R      *
--R                                       +---------+
--R          +-----------+                |        2
--R          |          2      (2a x + b)\|4a c - b
--R         \|- 4a c + b  atan(----------------------)
--R                                           2
--R                                   4a c - b
--R     +
--R                 2         3  3        2     4  2          2    3
--R             ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R                   2          3  3          2      4  2            2     3
--R             ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)
--R          *
--R             log(x)
--R         +
--R                2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R           (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R      *
--R          +-----------+ +---------+
--R          |          2  |        2
--R         \|- 4a c + b  \|4a c - b
--R  /
--R                                                                   +-----------+
--R           2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |          2
--R       ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|- 4a c + b
--R    *
--R        +---------+
--R        |        2
--R       \|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 84
bb4:=-1/(c*x*(a*x^2+b*x+c))-((3*a)/c)*t1.2-(2*b)/c*t2.2
--R
--R

--R   (7)
--R                 3 2      2 2        4  3         2   2        3      5  2
--R           (- 12a c  + 12a b c - 2a b )x  + (- 12a b c  + 12a b c - 2b )x
--R         +
--R                 2 3        2 2     4
--R           (- 12a c  + 12a b c  - 2b c)x
--R      *
--R                         +---------+
--R                         |        2
--R              (2a x + b)\|4a c - b
--R         atan(----------------------)
--R                             2
--R                     4a c - b
--R     +
--R                 2         3  3        2     4  2          2    3
--R             ((4a b c - a b )x  + (4a b c - b )x  + (4a b c  - b c)x)
--R          *
--R                    2
--R             log(a x  + b x + c)
--R         +
--R                   2          3  3          2      4  2            2     3
--R             ((- 8a b c + 2a b )x  + (- 8a b c + 2b )x  + (- 8a b c  + 2b c)x)
--R          *
--R             log(x)
--R         +
--R                2 2       2   2            2     3          3    2 2
--R           (- 6a c  + 2a b c)x  + (- 7a b c  + 2b c)x - 4a c  + b c
--R      *
--R          +---------+
--R          |        2
--R         \|4a c - b
--R  /
--R                                                                 +---------+
--R         2 4      2 3  3          4    3 3  2        5    2 4    |        2
--R     ((4a c  - a b c )x  + (4a b c  - b c )x  + (4a c  - b c )x)\|4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 84
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (8)
--R           2
--R         6a
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2       2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R              +

--R                          3
--R                4a b c - b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R     +
--R           2
--R         6a
--R      *
--R         log
--R                                             +-----------+
--R                   2 2                    2  |          2         2        2
--R                (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R              +
--R                            3
--R                - 4a b c + b
--R           /
--R                 2
--R              a x  + b x + c
--R  /
--R                   +-----------+
--R          2    2   |          2
--R     (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 84
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (9)
--R           2
--R         6a
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2       2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (8a c - 2a b )x
--R            +
--R                        3
--R              4a b c - b
--R     +
--R           2
--R         6a
--R      *
--R         log
--R                                           +-----------+
--R                 2 2                    2  |          2         2        2
--R              (2a x  + 2a b x - 2a c + b )\|- 4a c + b   + (- 8a c + 2a b )x
--R            +
--R                          3

--R              - 4a b c + b
--R     +
--R            2       2
--R       - 12a log(a x  + b x + c)
--R  /
--R                   +-----------+
--R          2    2   |          2
--R     (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 83 of 84     14:278 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=complexNormalize dd1
--R
--R             2         3      2 2
--R           6a log(- 16a c + 4a b )
--R   (10)  ---------------------------
--R                       +-----------+
--R              2    2   |          2
--R         (4a c  - b c)\|- 4a c + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.279 ∫ \frac{dx}{x^{m}(ax^{2} + bx + c)^{n}}

∫ \frac{1}{x^{m}(ax^{2} + bx + c)^{n}} =  −\frac{1}{(m − 1)cx^{m−1}(ax^{2} + bx + c)^{n−1}}

−\frac{(m + 2n − 3)a}{(m − 1)c} ∫ \frac{1}{x^{m−2}(ax^{2} + bx + c)^{n}}

−\frac{(m + n − 2)b}{(m − 1)c} ∫ \frac{1}{x^{m−1}(ax^{2} + bx + c)^{n}}

— * —

)clear all
--S 84 of 84     14:279 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(a*x^2+b*x+c)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            1
--I   (1)   |   --------------------- d%N
--R        ++     m              2  n

--I             %N (c + %N b + %N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p71