$SPAD/input schaum13.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.280 ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{a}} & ln & (2\sqrt{a}\sqrt{ax^{2} + bx + c} + 2ax + b) \\ −\frac{1}{\sqrt{−a}} sin −1 (\frac{2ax + b}{\sqrt{b^{2} − 4ac}}) \\ \frac{1}{\sqrt{a}} & sinh & −1 & (\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac − b^{2}}} ) \end{matrix}

— * —

)set break resume
)spool schaum13.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 131
aa:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)

--E
--S 2 of 131
bb1:=1/sqrt(a)*log(2*sqrt(a)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+2*a*x+b)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R        log(2\|a \|a x  + b x + c  + 2a x + b)
--R   (2)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 131
bb2:=-1/sqrt(-a)*asin((2*a*x+b)/sqrt(b^2-4*a*c))
--R
--R                  2a x + b
--R          asin(--------------)
--R                +-----------+
--R                |          2
--R               \|- 4a c + b
--R   (3)  - --------------------
--R                  +---+
--R                 \|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 131
bb3:=1/sqrt(a)*asinh((2*a*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))
--R
--R                2a x + b
--R        asinh(------------)
--R               +---------+
--R               |        2
--R              \|4a c - b
--R   (4)  -------------------
--R                 +-+
--R                \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 131
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R                 +--------------+
--R             +-+ |   2
--R       log(2\|a \|a x  + b x + c  + 2a x + b)
--R     +

--R       -
--R          log
--R                                    +--------------+
--R                    +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                 (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R               +
--R                        2             +-+
--R                 (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R            /
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2
--R               2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R  /
--R      +-+
--R     \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 131
cc2:=bb1-aa.2
--R
--R   (6)
--R                       +--------------+
--R        +---+      +-+ |   2
--R       \|- a log(2\|a \|a x  + b x + c  + 2a x + b)
--R     +
--R                          +--------------+
--R                    +---+ |   2               +---+ +-+
--R           +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       - 2\|a atan(------------------------------------)
--R                                    a x
--R  /
--R      +---+ +-+
--R     \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 131
cc3:=bb2-aa.1
--R
--R   (7)
--R       -
--R             +---+
--R            \|- a
--R         *
--R            log
--R                                      +--------------+
--R                      +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                   (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                 +

--R                          2             +-+
--R                   (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R              /
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R                 2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R          +-+        2a x + b
--R       - \|a asin(--------------)
--R                   +-----------+
--R                   |          2
--R                  \|- 4a c + b
--R  /
--R      +---+ +-+
--R     \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 131
cc4:=bb2-aa.2
--R
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c             2a x + b
--R        - 2atan(------------------------------------) - asin(--------------)
--R                                 a x                          +-----------+
--R                                                              |          2
--R                                                             \|- 4a c + b
--R   (8)  --------------------------------------------------------------------
--R                                        +---+
--R                                       \|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 131
cc5:=bb3-aa.1
--R
--R   (9)
--R       -
--R          log
--R                                    +--------------+
--R                    +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                 (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R               +
--R                        2             +-+
--R                 (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R            /
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2
--R               2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c

--R     +
--R               2a x + b
--R       asinh(------------)
--R              +---------+
--R              |        2
--R             \|4a c - b
--R  /
--R      +-+
--R     \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 131
cc6:=bb3-aa.2
--R
--R   (10)
--R                      +--------------+
--R                +---+ |   2               +---+ +-+
--R       +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c      +---+        2a x + b
--R   - 2\|a atan(------------------------------------) + \|- a asinh(------------)
--R                                a x                                 +---------+
--R                                                                    |        2
--R                                                                   \|4a c - b
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                                      +---+ +-+
--R                                     \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 131
dd1:=simplifyLog cc1
--R
--R   (11)
--R     log
--R                                                  +--------------+
--R                         +-+                 +-+  |   2
--R            ((4a x + 2b)\|c  + (- 2b x - 4c)\|a )\|a x  + b x + c
--R          +
--R                 2              +-+ +-+         2              2
--R            (4a x  + 4b x + 4c)\|a \|c  - 2a b x  + (- 4a c - b )x - 2b c
--R       /
--R                               +--------------+
--R               +-+ +-+         |   2                   +-+
--R            (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R          +
--R                   2             +-+
--R            (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R  /
--R      +-+
--R     \|a

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 131     14:280 Schaums and Axiom differ by a constant
ee1:=ratDenom dd1
--R
--R                      +-+     +-+
--R          +-+    - 2a\|c  + b\|a
--R         \|a log(----------------)
--R                         a
--R   (12)  -------------------------
--R                     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.281 ∫ \frac{x dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

∫ \frac{x}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{a} − \frac{b}{2a} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 11 of 131
aa:=integrate(x/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2               2
--R           (2b\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2b c)
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +

--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2                   2         +-+ +-+
--R         - 2b x\|a \|a x  + b x + c  + (4a x  + 2b x)\|a \|c
--R    /
--R                  +--------------+
--R          +-+ +-+ |   2                                +-+
--R       4a\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2a b x - 4a c)\|a
--R     ,
--R
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2               2
--R           (- 2b\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2b c)
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2                   2        +---+ +-+
--R         - b x\|- a \|a x  + b x + c  + (2a x  + b x)\|- a \|c
--R    /
--R                    +--------------+
--R          +---+ +-+ |   2                               +---+
--R       2a\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (- a b x - 2a c)\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 12 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,

--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 13 of 131
bb1:=sqrt(a*x^2+b*x+c)/a-b/(2*a)*t1.1
--R
--R   (3)
--R       -
--R            b
--R         *
--R            log
--R                                      +--------------+
--R                      +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                   (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                 +
--R                          2             +-+
--R                   (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R              /
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R                 2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R             +--------------+
--R         +-+ |   2
--R       2\|a \|a x  + b x + c
--R  /
--R        +-+
--R     2a\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 131
bb2:=sqrt(a*x^2+b*x+c)/a-b/(2*a)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                   +--------------+
--R             +---+ |   2               +---+ +-+           +--------------+
--R            \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c      +---+ |   2
--R   - b atan(------------------------------------) + \|- a \|a x  + b x + c
--R                             a x
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                      +---+

--R                                    a\|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 131
cc1:=bb1-aa.1
--R
--R   (5)
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2               2
--R         (- 2b\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2b c)
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2               2
--R         (- 2b\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2b c)
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                +--------------+
--R            +-+ |   2                          +-+ +-+
--R       - 4c\|a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4c)\|a \|c
--R  /
--R                +--------------+
--R        +-+ +-+ |   2                                +-+
--R     4a\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2a b x - 4a c)\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 16 of 131
cc2:=bb1-aa.2
--R
--R   (6)
--R                         +--------------+
--R               +---+ +-+ |   2                2          +---+
--R         (- 2b\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|- a )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                     +--------------+
--R             +-+ +-+ |   2                   2          +-+
--R         (4b\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|a )
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                      +--------------+
--R            +---+ +-+ |   2                          +---+ +-+ +-+
--R       - 4c\|- a \|a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4c)\|- a \|a \|c
--R  /
--R                      +--------------+
--R        +---+ +-+ +-+ |   2                                +---+ +-+
--R     4a\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2a b x - 4a c)\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 131
cc3:=bb2-aa.1
--R
--R   (7)
--R                         +--------------+
--R               +---+ +-+ |   2                2          +---+
--R         (- 2b\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|- a )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+

--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                       +--------------+
--R               +-+ +-+ |   2                 2          +-+
--R         (- 4b\|a \|c \|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|a )
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                      +--------------+
--R            +---+ +-+ |   2                          +---+ +-+ +-+
--R       - 4c\|- a \|a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4c)\|- a \|a \|c
--R  /
--R                      +--------------+
--R        +---+ +-+ +-+ |   2                                +---+ +-+
--R     4a\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2a b x - 4a c)\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 131
cc4:=bb2-aa.2
--R
--R             +--------------+
--R             |   2                         +-+
--R        - 2c\|a x  + b x + c  + (b x + 2c)\|c
--R   (8)  --------------------------------------
--R               +--------------+
--R           +-+ |   2
--R        2a\|c \|a x  + b x + c  - a b x - 2a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 131     14:281 Schaums and Axiom differ by a constant
dd1:=ratDenom cc4
--R
--R           +-+
--R          \|c
--R   (9)  - ----
--R            a

———-

3 [?]:14.282 ∫ \frac{x^{2}dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \frac{2ax − 3b}{4a^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} + \frac{3b^{2} − 4ac}{8a^{2}} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 19 of 131
aa:=integrate(x^2/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R                                                      +--------------+
--R                            3          2      2   +-+ |   2
--R             ((16a b c - 12b )x + 32a c  - 24b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                 2 2       2      4  2             2      3           3      2 2
--R           (- 16a c  + 8a b c + 3b )x  + (- 32a b c  + 24b c)x - 32a c  + 24b c
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                  2        2  3                 3  2           2      2     +-+
--R           ((- 16a c - 4a b )x  + (- 8a b c + 6b )x  + (- 32a c  + 24b c)x)\|a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R                  2   4       2        2  3                 3  2
--R               16a b x  + (32a c - 8a b )x  + (24a b c - 18b )x
--R             +

--R                     2      2
--R               (32a c  - 24b c)x
--R        *
--R            +-+ +-+
--R           \|a \|c
--R    /
--R                                   +--------------+
--R             2         2   +-+ +-+ |   2
--R         (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                3      2 2  2      2           2 2  +-+
--R         ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|a
--R     ,
--R
--R                                                        +--------------+
--R                              3          2      2   +-+ |   2
--R             ((- 16a b c + 12b )x - 32a c  + 24b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                 2 2       2      4  2           2      3           3      2 2
--R             (16a c  - 8a b c - 3b )x  + (32a b c  - 24b c)x + 32a c  - 24b c
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                 2        2  3                 3  2           2      2     +---+
--R           ((- 8a c - 2a b )x  + (- 4a b c + 3b )x  + (- 16a c  + 12b c)x)\|- a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R              2   4       2        2  3                3  2         2      2
--R           (8a b x  + (16a c - 4a b )x  + (12a b c - 9b )x  + (16a c  - 12b c)x)
--R        *
--R            +---+ +-+
--R           \|- a \|c
--R    /
--R                                     +--------------+
--R             2         2   +---+ +-+ |   2
--R         (16a b x + 32a c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                3      2 2  2      2           2 2  +---+
--R         ((- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x - 32a c )\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

--S 20 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 21 of 131
bb1:=(2*a*x-3*b)/(4*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+(3*b^2-4*a*c)/(8*a^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                     2
--R         (- 4a c + 3b )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +

--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R       (4a x - 6b)\|a \|a x  + b x + c
--R  /
--R       2 +-+
--R     8a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 131
bb2:=(2*a*x-3*b)/(4*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+(3*b^2-4*a*c)/(8*a^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                 +--------------+
--R                           +---+ |   2               +---+ +-+
--R                   2      \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       (- 4a c + 3b )atan(------------------------------------)
--R                                           a x
--R     +
--R                         +--------------+
--R                   +---+ |   2
--R       (2a x - 3b)\|- a \|a x  + b x + c
--R  /
--R       2 +---+
--R     4a \|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                                                    +--------------+
--R                          3          2      2   +-+ |   2
--R           ((16a b c - 12b )x + 32a c  - 24b c)\|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R               2 2       2      4  2             2      3           3      2 2
--R         (- 16a c  + 8a b c + 3b )x  + (- 32a b c  + 24b c)x - 32a c  + 24b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c

--R     +
--R                                                    +--------------+
--R                          3          2      2   +-+ |   2
--R           ((16a b c - 12b )x + 32a c  - 24b c)\|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R               2 2       2      4  2             2      3           3      2 2
--R         (- 16a c  + 8a b c + 3b )x  + (- 32a b c  + 24b c)x - 32a c  + 24b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                +--------------+
--R             2           2  +-+ |   2
--R       (- 24b c x - 48b c )\|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2      2           2  +-+ +-+
--R       ((24a b c + 6b )x  + 48b c x + 48b c )\|a \|c
--R  /
--R                                 +--------------+
--R           2         2   +-+ +-+ |   2
--R       (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R              3      2 2  2      2           2 2  +-+
--R       ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                                                          +--------------+
--R                          3          2      2   +---+ +-+ |   2
--R           ((16a b c - 12b )x + 32a c  - 24b c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                     2 2       2      4  2             2      3           3
--R               (- 16a c  + 8a b c + 3b )x  + (- 32a b c  + 24b c)x - 32a c
--R             +
--R                  2 2
--R               24b c
--R          *

--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                                          +--------------+
--R                            3          2      2   +-+ +-+ |   2
--R           ((- 32a b c + 24b )x - 64a c  + 48b c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                     2 2        2      4  2           2      3           3
--R                 (32a c  - 16a b c - 6b )x  + (64a b c  - 48b c)x + 64a c
--R               +
--R                      2 2
--R                 - 48b c
--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                                      +--------------+
--R             2           2  +---+ +-+ |   2
--R       (- 24b c x - 48b c )\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2      2           2  +---+ +-+ +-+
--R       ((24a b c + 6b )x  + 48b c x + 48b c )\|- a \|a \|c
--R  /
--R                                       +--------------+
--R           2         2   +---+ +-+ +-+ |   2
--R       (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R              3      2 2  2      2           2 2  +---+ +-+
--R       ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 25 of 131
cc3:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R                                                          +--------------+
--R                          3          2      2   +---+ +-+ |   2
--R           ((16a b c - 12b )x + 32a c  - 24b c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                     2 2       2      4  2             2      3           3
--R               (- 16a c  + 8a b c + 3b )x  + (- 32a b c  + 24b c)x - 32a c
--R             +
--R                  2 2
--R               24b c
--R          *
--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                                          +--------------+
--R                            3          2      2   +-+ +-+ |   2
--R           ((- 32a b c + 24b )x - 64a c  + 48b c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                     2 2        2      4  2           2      3           3
--R                 (32a c  - 16a b c - 6b )x  + (64a b c  - 48b c)x + 64a c
--R               +
--R                      2 2
--R                 - 48b c
--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                                      +--------------+
--R             2           2  +---+ +-+ |   2

--R       (- 24b c x - 48b c )\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2      2           2  +---+ +-+ +-+
--R       ((24a b c + 6b )x  + 48b c x + 48b c )\|- a \|a \|c
--R  /
--R                                       +--------------+
--R           2         2   +---+ +-+ +-+ |   2
--R       (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R              3      2 2  2      2           2 2  +---+ +-+
--R       ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R                            +--------------+
--R             2           2  |   2
--R       (- 12b c x - 24b c )\|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2      2           2  +-+
--R       ((12a b c + 3b )x  + 24b c x + 24b c )\|c
--R  /
--R                             +--------------+
--R           2         2   +-+ |   2                    3      2 2  2      2
--R       (16a b x + 32a c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x
--R     +
--R            2 2
--R       - 32a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 131     14:282 Schaums and Axiom differ by a constant
dd4:=ratDenom cc4
--R
--R             +-+
--R          3b\|c
--R   (9)  - ------
--R              2
--R            4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.283 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \{ \begin{matrix}−\frac{1}{\sqrt{c}} ln (\frac{2\sqrt{c}\sqrt{ax^{2} + bx + c} + bx + 2c}{x}) \\ \frac{1}{\sqrt{−c}} & sin & −1 & (\frac{bx + 2c}{|x|\sqrt{b^{2} − 4ac}}) \\ −\frac{1}{\sqrt{c}} sinh^{−1} (\frac{bx + 2c}{|x|\sqrt{4ac − b^{2}}} ) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 27 of 131
aa:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x
--R   (1)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 28 of 131
bb1:=-1/sqrt(c)*log((2*sqrt(c)*sqrt(a*x^2+b*x+c)+b*x+2*c)/x)
--R
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2c
--R          log(---------------------------------)
--R                              x
--R   (2)  - --------------------------------------
--R                            +-+
--R                           \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 131
bb2:=1/sqrt(-c)*asin((b*x+2*c)/(x*sqrt(b^2-4*a*c)))
--R
--R                 b x + 2c

--R        asin(---------------)
--R               +-----------+
--R               |          2
--R             x\|- 4a c + b
--R   (3)  ---------------------
--R                 +---+
--R                \|- c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 131
bb3:=-1/sqrt(c)*asinh((b*x+2*c)/(x*sqrt(4*a*c-b^2)))
--R
--R                   b x + 2c
--R          asinh(-------------)
--R                  +---------+
--R                  |        2
--R                x\|4a c - b
--R   (4)  - --------------------
--R                   +-+
--R                  \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 131
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (5)
--R                 +--------------+
--R             +-+ |   2
--R           2\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2c
--R       log(---------------------------------)
--R                           x
--R     +
--R                 +--------------+
--R             +-+ |   2
--R           2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       log(---------------------------------)
--R                           x
--R  /
--R      +-+
--R     \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 131
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (6)
--R                   +--------------+

--R               +-+ |   2
--R    +---+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c     +-+         b x + 2c
--R   \|- c log(---------------------------------) - \|c asin(---------------)
--R                             x                               +-----------+
--R                                                             |          2
--R                                                           x\|- 4a c + b
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                   +---+ +-+
--R                                  \|- c \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 131
cc3:=aa-bb3
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c             b x + 2c
--R        log(---------------------------------) + asinh(-------------)
--R                            x                            +---------+
--R                                                         |        2
--R                                                       x\|4a c - b
--R   (7)  -------------------------------------------------------------
--R                                      +-+
--R                                     \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 131
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (8)
--R                 +--------------+
--R             +-+ |   2
--R       log(2\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2c)
--R     +
--R                 +--------------+
--R             +-+ |   2
--R       log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c) - 2log(x)
--R  /
--R      +-+
--R     \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 131
ee1:=ratDenom dd1
--R
--R   (9)
--R                     +--------------+

--R        +-+      +-+ |   2
--R       \|c log(2\|c \|a x  + b x + c  + b x + 2c)
--R     +
--R                     +--------------+
--R        +-+      +-+ |   2                                  +-+
--R       \|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c) - 2log(x)\|c
--R  /
--R     c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 131     14:283 Schaums and Axiom differ by a constant
ff1:=complexNormalize ee1
--R
--R                     2  +-+
--R         log(4a c - b )\|c
--R   (10)  ------------------
--R                  c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.284 ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

∫ \frac{1}{x^{2}\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = −\frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{cx} − \frac{b}{2c} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 37 of 131
aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R   (1)
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                2 2
--R         (- 4b x\|c \|a x  + b x + c  + 2b x  + 4b c x)
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x
--R     +
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2                         2  2              2

--R       (2b x + 8c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 8a c + b )x  - 6b c x - 8c
--R  /
--R          +--------------+
--R       2  |   2                       2     2   +-+
--R     8c x\|a x  + b x + c  + (- 4b c x  - 8c x)\|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 38 of 131
t1:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x
--R   (2)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 39 of 131
bb:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/(c*x)-b/(2*c)*t1
--R
--R                        +--------------+
--R                    +-+ |   2                                +--------------+
--R                  2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c      +-+ |   2
--R        - b x log(---------------------------------) - 2\|c \|a x  + b x + c
--R                                  x
--R   (3)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                            +-+
--R                                       2c x\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 131
cc:=aa-bb
--R
--R   (4)
--R               +--------------+
--R               |   2                   2          +-+
--R         (4b c\|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +

--R                 +--------------+
--R                 |   2                 2          +-+
--R         (- 4b c\|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x
--R     +
--R              +--------------+
--R              |   2                2          +-+
--R       - 2b c\|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|c
--R  /
--R             +--------------+
--R       2 +-+ |   2                  2      3
--R     8c \|c \|a x  + b x + c  - 4b c x - 8c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 131
dd:=expandLog cc
--R
--R   (5)
--R               +--------------+
--R               |   2                   2          +-+
--R         (4b c\|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R         log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R     +
--R                 +--------------+
--R                 |   2                 2          +-+
--R         (- 4b c\|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R         log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c )
--R     +
--R                                          +--------------+
--R                                          |   2
--R       (4b c log(c) + 4b c log(2) - 2b c)\|a x  + b x + c
--R     +
--R             2                       2                   2          +-+
--R       ((- 2b x - 4b c)log(c) + (- 2b x - 4b c)log(2) + b x + 2b c)\|c
--R  /
--R             +--------------+
--R       2 +-+ |   2                  2      3
--R     8c \|c \|a x  + b x + c  - 4b c x - 8c

--S 42 of 131
ee:=ratDenom dd
--R
--R   (6)
--R                       +--------------+
--R          +-+      +-+ |   2
--R       2b\|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R     +
--R                      +--------------+
--R            +-+       |   2                           +-+
--R       - 2b\|c log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c )
--R     +
--R                                   +-+
--R       (2b log(c) + 2b log(2) - b)\|c
--R  /
--R       2
--R     4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 131     14:284 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R                                   +-+
--R        (b log(c) + 2b log(2) - b)\|c
--R   (7)  ------------------------------
--R                        2
--R                      4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.285 ∫ \sqrt{ax^{2} + bx + c} dx

∫ \sqrt{ax^{2} + bx + c} = \frac{(2ax + b)\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{4a} + \frac{4ac − b^{2}}{8a} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 44 of 131
aa:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R

--R
--R   (1)
--R   [
--R                                                    +--------------+
--R                           3          2     2   +-+ |   2
--R             ((16a b c - 4b )x + 32a c  - 8b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                   2 2    4  2             2     3           3     2 2
--R             (- 16a c  + b )x  + (- 32a b c  + 8b c)x - 32a c  + 8b c
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                  2        2  3                  3  2           2     2     +-+
--R           ((- 16a c - 4a b )x  + (- 40a b c - 2b )x  + (- 32a c  - 8b c)x)\|a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R                  2   4       2         2  3                3  2
--R               16a b x  + (32a c + 24a b )x  + (56a b c + 6b )x
--R             +
--R                     2     2
--R               (32a c  + 8b c)x
--R        *
--R            +-+ +-+
--R           \|a \|c
--R    /
--R                                   +--------------+
--R                           +-+ +-+ |   2
--R         (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                2        2  2                    2  +-+
--R         ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|a
--R     ,
--R
--R                                                    +--------------+
--R                           3          2     2   +-+ |   2
--R             ((16a b c - 4b )x + 32a c  - 8b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +

--R                   2 2    4  2             2     3           3     2 2
--R             (- 16a c  + b )x  + (- 32a b c  + 8b c)x - 32a c  + 8b c
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                 2        2  3                 3  2           2     2     +---+
--R           ((- 8a c - 2a b )x  + (- 20a b c - b )x  + (- 16a c  - 4b c)x)\|- a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R              2   4       2         2  3                3  2         2     2
--R           (8a b x  + (16a c + 12a b )x  + (28a b c + 3b )x  + (16a c  + 4b c)x)
--R        *
--R            +---+ +-+
--R           \|- a \|c
--R    /
--R                                     +--------------+
--R                           +---+ +-+ |   2
--R         (16a b x + 32a c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                2        2  2                    2  +---+
--R         ((- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x - 32a c )\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 45 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+

--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 46 of 131
bb1:=((2*a*x+b)*sqrt(a*x^2+b*x+c))/(4*a)+(4*a*c-b^2)/(8*a)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                  2
--R         (4a c - b )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R       (4a x + 2b)\|a \|a x  + b x + c
--R  /
--R        +-+
--R     8a\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 131
bb2:=((2*a*x+b)*sqrt(a*x^2+b*x+c))/(4*a)+(4*a*c-b^2)/(8*a)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                              +--------------+
--R                        +---+ |   2               +---+ +-+
--R                2      \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       (4a c - b )atan(------------------------------------)
--R                                        a x

--R     +
--R                        +--------------+
--R                  +---+ |   2
--R       (2a x + b)\|- a \|a x  + b x + c
--R  /
--R        +---+
--R     4a\|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                        +--------------+
--R          2          2  |   2
--R       (4b c x + 8b c )\|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2     2          2  +-+
--R       ((- 4a b c - b )x  - 8b c x - 8b c )\|c
--R  /
--R                             +--------------+
--R                         +-+ |   2                    2        2  2
--R       (16a b x + 32a c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x
--R     +
--R              2
--R       - 32a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                                                          +--------------+
--R                           3          2     2   +---+ +-+ |   2
--R           ((- 16a b c + 4b )x - 32a c  + 8b c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                2 2    4  2           2     3           3     2 2  +---+
--R           ((16a c  - b )x  + (32a b c  - 8b c)x + 32a c  - 8b c )\|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+

--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                                       +--------------+
--R                         3          2      2   +-+ +-+ |   2
--R           ((32a b c - 8b )x + 64a c  - 16b c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                  2 2     4  2             2      3           3      2 2  +-+
--R           ((- 32a c  + 2b )x  + (- 64a b c  + 16b c)x - 64a c  + 16b c )\|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                                   +--------------+
--R          2           2  +---+ +-+ |   2
--R       (8b c x + 16b c )\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                      3  2      2           2  +---+ +-+ +-+
--R       ((- 8a b c - 2b )x  - 16b c x - 16b c )\|- a \|a \|c
--R  /
--R                                       +--------------+
--R                         +---+ +-+ +-+ |   2
--R       (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R              2        2  2                    2  +---+ +-+
--R       ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R                                                        +--------------+
--R                         3          2     2   +---+ +-+ |   2
--R           ((16a b c - 4b )x + 32a c  - 8b c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                  2 2    4  2             2     3           3     2 2  +---+
--R           ((- 16a c  + b )x  + (- 32a b c  + 8b c)x - 32a c  + 8b c )\|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a

--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                                         +--------------+
--R                           3          2      2   +-+ +-+ |   2
--R           ((- 32a b c + 8b )x - 64a c  + 16b c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                2 2     4  2           2      3           3      2 2  +-+
--R           ((32a c  - 2b )x  + (64a b c  - 16b c)x + 64a c  - 16b c )\|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                                   +--------------+
--R          2           2  +---+ +-+ |   2
--R       (8b c x + 16b c )\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                      3  2      2           2  +---+ +-+ +-+
--R       ((- 8a b c - 2b )x  - 16b c x - 16b c )\|- a \|a \|c
--R  /
--R                                       +--------------+
--R                         +---+ +-+ +-+ |   2
--R       (32a b x + 64a c)\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R              2        2  2                    2  +---+ +-+
--R       ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R                        +--------------+
--R          2          2  |   2
--R       (4b c x + 8b c )\|a x  + b x + c
--R     +
--R                     3  2     2          2  +-+
--R       ((- 4a b c - b )x  - 8b c x - 8b c )\|c
--R  /
--R                             +--------------+
--R                         +-+ |   2                    2        2  2
--R       (16a b x + 32a c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x
--R     +
--R              2

--R       - 32a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 131     14:285 Schaums and Axiom differ by a constant
dd4:=ratDenom cc4
--R
--R          +-+
--R        b\|c
--R   (9)  -----
--R          4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.286 ∫ x\sqrt{ax^{2} + bx + c} dx

∫ x\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \frac{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}{3a}

−\frac{b(2ax + b)}{8a^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c}

−\frac{b(4ac − b^{2})}{16a^{2}} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 53 of 131
aa:=integrate(x*sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                     2   2        3       5  2          2 2      4
--R                 (96a b c  + 48a b c - 18b )x  + (384a b c  - 96b c)x
--R               +
--R                         3      3 2
--R                 384a b c  - 96b c
--R            *
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R               \|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                    2 2 2        4      6  3

--R             (- 144a b c  + 24a b c + 3b )x
--R           +
--R                    2   3         3 2      5   2            2 3       4 2
--R             (- 288a b c  - 144a b c  + 54b c)x  + (- 576a b c  + 144b c )x
--R           +
--R                       4      3 3
--R             - 384a b c  + 96b c
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                    3         2 3  5          3 2       2 2        4  4
--R             (- 192a b c - 16a b )x  + (- 384a c  - 336a b c - 4a b )x
--R           +
--R                     2   2        3      5  3
--R             (- 1056a b c  - 16a b c + 6b )x
--R           +
--R                    2 3         2 2      4   2              3      3 2
--R             (- 768a c  - 288a b c  + 72b c)x  + (- 384a b c  + 96b c )x
--R        *
--R                +--------------+
--R            +-+ |   2
--R           \|a \|a x  + b x + c
--R       +
--R                  4       3 2  6        3          2 3  5
--R             (128a c + 96a b )x  + (672a b c + 120a b )x
--R           +
--R                  3 2       2 2         4  4         2   2        3       5  3
--R             (768a c  + 816a b c - 12a b )x  + (1632a b c  + 64a b c - 30b )x
--R           +
--R                  2 3         2 2       4   2            3      3 2
--R             (768a c  + 480a b c  - 120b c)x  + (384a b c  - 96b c )x
--R        *
--R            +-+ +-+
--R           \|a \|c
--R    /
--R                 3        2 2  2        2             2 2  +-+ +-+
--R           ((384a c + 288a b )x  + 1536a b c x + 1536a c )\|a \|c
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2

--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R                    3         2 3  3           3 2       2 2   2        2   2
--R             (- 576a b c - 48a b )x  + (- 1152a c  - 864a b c)x  - 2304a b c x
--R           +
--R                    2 3
--R             - 1536a c
--R        *
--R            +-+
--R           \|a
--R     ,
--R
--R                       2   2        3       5  2            2 2      4
--R                 (- 96a b c  - 48a b c + 18b )x  + (- 384a b c  + 96b c)x
--R               +
--R                           3      3 2
--R                 - 384a b c  + 96b c
--R            *
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R               \|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                  2 2 2        4      6  3        2   3         3 2      5   2
--R             (144a b c  - 24a b c - 3b )x  + (288a b c  + 144a b c  - 54b c)x
--R           +
--R                    2 3       4 2             4      3 3
--R             (576a b c  - 144b c )x + 384a b c  - 96b c
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                   3        2 3  5          3 2       2 2        4  4
--R             (- 96a b c - 8a b )x  + (- 192a c  - 168a b c - 2a b )x
--R           +
--R                    2   2       3      5  3          2 3         2 2      4   2
--R             (- 528a b c  - 8a b c + 3b )x  + (- 384a c  - 144a b c  + 36b c)x
--R           +
--R                        3      3 2
--R             (- 192a b c  + 48b c )x
--R        *
--R                  +--------------+
--R            +---+ |   2
--R           \|- a \|a x  + b x + c
--R       +
--R                 4       3 2  6        3         2 3  5
--R             (64a c + 48a b )x  + (336a b c + 60a b )x
--R           +

--R                  3 2       2 2        4  4        2   2        3       5  3
--R             (384a c  + 408a b c - 6a b )x  + (816a b c  + 32a b c - 15b )x
--R           +
--R                  2 3         2 2      4   2            3      3 2
--R             (384a c  + 240a b c  - 60b c)x  + (192a b c  - 48b c )x
--R        *
--R            +---+ +-+
--R           \|- a \|c
--R    /
--R                 3        2 2  2       2            2 2  +---+ +-+
--R           ((192a c + 144a b )x  + 768a b c x + 768a c )\|- a \|c
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R                    3         2 3  3          3 2       2 2   2        2   2
--R             (- 288a b c - 24a b )x  + (- 576a c  - 432a b c)x  - 1152a b c x
--R           +
--R                   2 3
--R             - 768a c
--R        *
--R            +---+
--R           \|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 54 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+

--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 55 of 131
bb1:=(a*x^2+b*x+c)^(3/2)/(3*a)-(b*(2*a*x+b))/(8*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)-_
     (b*(4*a*c-b^2))/(16*a^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                        3
--R         (- 12a b c + 3b )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                           +--------------+
--R           2 2                      2  +-+ |   2
--R       (16a x  + 4a b x + 16a c - 6b )\|a \|a x  + b x + c
--R  /
--R        2 +-+
--R     48a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 131
bb2:=(a*x^2+b*x+c)^(3/2)/(3*a)-(b*(2*a*x+b))/(8*a^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c)-_
     (b*(4*a*c-b^2))/(16*a^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                    +--------------+
--R                              +---+ |   2               +---+ +-+
--R                      3      \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       (- 12a b c + 3b )atan(------------------------------------)
--R                                              a x
--R     +
--R                                           +--------------+

--R          2 2                     2  +---+ |   2
--R       (8a x  + 2a b x + 8a c - 3b )\|- a \|a x  + b x + c
--R  /
--R        2 +---+
--R     24a \|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                   2   2        3       5  2          2 2      4              3
--R               (96a b c  + 48a b c - 18b )x  + (384a b c  - 96b c)x + 384a b c
--R             +
--R                    3 2
--R               - 96b c
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                  2 2 2        4      6  3          2   3         3 2      5   2
--R           (- 144a b c  + 24a b c + 3b )x  + (- 288a b c  - 144a b c  + 54b c)x
--R         +
--R                    2 3       4 2             4      3 3
--R           (- 576a b c  + 144b c )x - 384a b c  + 96b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                   2   2        3       5  2          2 2      4              3
--R               (96a b c  + 48a b c - 18b )x  + (384a b c  - 96b c)x + 384a b c
--R             +
--R                    3 2
--R               - 96b c
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +

--R                  2 2 2        4      6  3          2   3         3 2      5   2
--R           (- 144a b c  + 24a b c + 3b )x  + (- 288a b c  - 144a b c  + 54b c)x
--R         +
--R                    2 3       4 2             4      3 3
--R           (- 576a b c  + 144b c )x - 384a b c  + 96b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                2 3        2 2      4   2            3       3 2           4
--R           (128a c  + 48a b c  - 36b c)x  + (512a b c  - 192b c )x + 512a c
--R         +
--R                 2 3
--R           - 192b c
--R      *
--R              +--------------+
--R          +-+ |   2
--R         \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  2   2        3      5  3          2 3         2 2       4   2
--R           (- 192a b c  + 56a b c + 6b )x  + (- 384a c  - 144a b c  + 108b c)x
--R         +
--R                      3       3 2           4       2 3
--R           (- 768a b c  + 288b c )x - 512a c  + 192b c
--R      *
--R          +-+ +-+
--R         \|a \|c
--R  /
--R                                                               +--------------+
--R             3        2 2  2        2             2 2  +-+ +-+ |   2
--R       ((384a c + 288a b )x  + 1536a b c x + 1536a c )\|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  3         2 3  3           3 2       2 2   2        2   2
--R           (- 576a b c - 48a b )x  + (- 1152a c  - 864a b c)x  - 2304a b c x
--R         +
--R                  2 3
--R           - 1536a c
--R      *
--R          +-+
--R         \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 58 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                   2   2        3       5  2          2 2      4              3
--R               (96a b c  + 48a b c - 18b )x  + (384a b c  - 96b c)x + 384a b c
--R             +
--R                    3 2
--R               - 96b c
--R          *
--R                        +--------------+
--R              +---+ +-+ |   2
--R             \|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                      2 2 2        4      6  3
--R               (- 144a b c  + 24a b c + 3b )x
--R             +
--R                      2   3         3 2      5   2            2 3       4 2
--R               (- 288a b c  - 144a b c  + 54b c)x  + (- 576a b c  + 144b c )x
--R             +
--R                         4      3 3
--R               - 384a b c  + 96b c
--R          *
--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                      2   2        3       5  2            2 2       4
--R               (- 192a b c  - 96a b c + 36b )x  + (- 768a b c  + 192b c)x
--R             +
--R                         3       3 2
--R               - 768a b c  + 192b c
--R          *
--R                      +--------------+
--R              +-+ +-+ |   2
--R             \|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +

--R                    2 2 2        4      6  3
--R               (288a b c  - 48a b c - 6b )x
--R             +
--R                    2   3         3 2       5   2           2 3       4 2
--R               (576a b c  + 288a b c  - 108b c)x  + (1152a b c  - 288b c )x
--R             +
--R                       4       3 3
--R               768a b c  - 192b c
--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                2 3        2 2      4   2            3       3 2           4
--R           (128a c  + 48a b c  - 36b c)x  + (512a b c  - 192b c )x + 512a c
--R         +
--R                 2 3
--R           - 192b c
--R      *
--R                    +--------------+
--R          +---+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  2   2        3      5  3          2 3         2 2       4   2
--R           (- 192a b c  + 56a b c + 6b )x  + (- 384a c  - 144a b c  + 108b c)x
--R         +
--R                      3       3 2           4       2 3
--R           (- 768a b c  + 288b c )x - 512a c  + 192b c
--R      *
--R          +---+ +-+ +-+
--R         \|- a \|a \|c
--R  /
--R               3        2 2  2        2             2 2  +---+ +-+ +-+
--R         ((384a c + 288a b )x  + 1536a b c x + 1536a c )\|- a \|a \|c
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  3         2 3  3           3 2       2 2   2        2   2
--R           (- 576a b c - 48a b )x  + (- 1152a c  - 864a b c)x  - 2304a b c x
--R         +
--R                  2 3
--R           - 1536a c
--R      *

--R          +---+ +-+
--R         \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 59 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R                   2   2        3       5  2          2 2      4              3
--R               (96a b c  + 48a b c - 18b )x  + (384a b c  - 96b c)x + 384a b c
--R             +
--R                    3 2
--R               - 96b c
--R          *
--R                        +--------------+
--R              +---+ +-+ |   2
--R             \|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                      2 2 2        4      6  3
--R               (- 144a b c  + 24a b c + 3b )x
--R             +
--R                      2   3         3 2      5   2            2 3       4 2
--R               (- 288a b c  - 144a b c  + 54b c)x  + (- 576a b c  + 144b c )x
--R             +
--R                         4      3 3
--R               - 384a b c  + 96b c
--R          *
--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                    2   2        3       5  2          2 2       4
--R               (192a b c  + 96a b c - 36b )x  + (768a b c  - 192b c)x
--R             +
--R                       3       3 2
--R               768a b c  - 192b c
--R          *
--R                      +--------------+

--R              +-+ +-+ |   2
--R             \|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                      2 2 2        4      6  3
--R               (- 288a b c  + 48a b c + 6b )x
--R             +
--R                      2   3         3 2       5   2             2 3       4 2
--R               (- 576a b c  - 288a b c  + 108b c)x  + (- 1152a b c  + 288b c )x
--R             +
--R                         4       3 3
--R               - 768a b c  + 192b c
--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                2 3        2 2      4   2            3       3 2           4
--R           (128a c  + 48a b c  - 36b c)x  + (512a b c  - 192b c )x + 512a c
--R         +
--R                 2 3
--R           - 192b c
--R      *
--R                    +--------------+
--R          +---+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  2   2        3      5  3          2 3         2 2       4   2
--R           (- 192a b c  + 56a b c + 6b )x  + (- 384a c  - 144a b c  + 108b c)x
--R         +
--R                      3       3 2           4       2 3
--R           (- 768a b c  + 288b c )x - 512a c  + 192b c
--R      *
--R          +---+ +-+ +-+
--R         \|- a \|a \|c
--R  /
--R               3        2 2  2        2             2 2  +---+ +-+ +-+
--R         ((384a c + 288a b )x  + 1536a b c x + 1536a c )\|- a \|a \|c
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c
--R     +
--R                  3         2 3  3           3 2       2 2   2        2   2
--R           (- 576a b c - 48a b )x  + (- 1152a c  - 864a b c)x  - 2304a b c x
--R         +

--R                  2 3
--R           - 1536a c
--R      *
--R          +---+ +-+
--R         \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 60 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R               2 3        2 2      4   2            3      3 2           4
--R           (64a c  + 24a b c  - 18b c)x  + (256a b c  - 96b c )x + 256a c
--R         +
--R                2 3
--R           - 96b c
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c
--R     +
--R                 2   2        3      5  3          2 3        2 2      4   2
--R           (- 96a b c  + 28a b c + 3b )x  + (- 192a c  - 72a b c  + 54b c)x
--R         +
--R                      3       3 2           4      2 3
--R           (- 384a b c  + 144b c )x - 256a c  + 96b c
--R      *
--R          +-+
--R         \|c
--R  /
--R                                                         +--------------+
--R             3        2 2  2       2            2 2  +-+ |   2
--R       ((192a c + 144a b )x  + 768a b c x + 768a c )\|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R            3         2 3  3          3 2       2 2   2        2   2        2 3
--R     (- 288a b c - 24a b )x  + (- 576a c  - 432a b c)x  - 1152a b c x - 768a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 131     14:286 Schaums and Axiom differ by a constant
dd4:=ratDenom cc4
--R
--R                  2  +-+
--R        (8a c - 3b )\|c
--R   (9)  ----------------
--R                 2
--R              24a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.287 ∫ x^{2}\sqrt{ax^{2} + bx + c} dx

∫ x^{2}\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \frac{6ax − 5b}{24a^{2}}(ax^{2} + bx + c)^{3/2} + \frac{5b^{2} − 4ac}{16a^{2}} ∫ \sqrt{ax^{2} + bx + c}

— * —

)clear all
--S 62 of 131
aa:=integrate(x^2*sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                       3   3        2 3 2        5        7  3
--R                 (1536a b c  - 1920a b c  - 96a b c + 120b )x
--R               +
--R                       3 4       2 2 3          4 2        6   2
--R                 (3072a c  - 768a b c  - 4800a b c  + 1200b c)x
--R               +
--R                       2   4           3 3        5 2          2 5          2 4
--R                 (9216a b c  - 13824a b c  + 2880b c )x + 6144a c  - 9216a b c
--R               +
--R                      4 3
--R                 1920b c
--R            *
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R               \|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                    4 4        2 4 2         6       8  4
--R             (- 768a c  + 1440a b c  - 288a b c - 15b )x
--R           +
--R                     3   4        2 3 3         5 2       7   3
--R             (- 6144a b c  + 7680a b c  + 384a b c  - 480b c)x
--R           +
--R                     3 5        2 2 4          4 3        6 2  2
--R             (- 6144a c  + 1536a b c  + 9600a b c  - 2400b c )x
--R           +
--R                      2   5           3 4        5 3          2 6          2 5
--R             (- 12288a b c  + 18432a b c  - 3840b c )x - 6144a c  + 9216a b c
--R           +
--R                    4 4
--R             - 1920b c
--R        *

--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                     5 2        4 2       3 4  7
--R             (- 1536a c  - 2304a b c - 96a b )x
--R           +
--R                      4   2        3 3       2 5  6
--R             (- 12544a b c  - 3456a b c - 16a b )x
--R           +
--R                      4 3         3 2 2      2 4         6  5
--R             (- 13056a c  - 18240a b c  - 80a b c + 20a b )x
--R           +
--R                      3   3       2 3 2        5       7  4
--R             (- 31104a b c  + 480a b c  + 24a b c - 30b )x
--R           +
--R                      3 4       2 2 3          4 2       6   3
--R             (- 18432a c  + 768a b c  + 2816a b c  - 720b c)x
--R           +
--R                     2   4           3 3        5 2  2
--R             (- 7680a b c  + 11520a b c  - 2400b c )x
--R           +
--R                     2 5          2 4        4 3
--R             (- 6144a c  + 9216a b c  - 1920b c )x
--R        *
--R                +--------------+
--R            +-+ |   2
--R           \|a \|a x  + b x + c
--R       +
--R                   5          4 3  8         5 2         4 2        3 4  7
--R             (3072a b c + 768a b )x  + (6144a c  + 11264a b c + 896a b )x
--R           +
--R                    4   2        3 3       2 5  6
--R             (30208a b c  + 9984a b c - 32a b )x
--R           +
--R                    4 3         3 2 2       2 4         6  5
--R             (21504a c  + 31488a b c  - 320a b c + 80a b )x
--R           +
--R                    3   3        2 3 2         5        7  4
--R             (42624a b c  - 4896a b c  + 152a b c + 210b )x
--R           +
--R                    3 4        2 2 3          4 2        6   3

--R             (21504a c  - 2304a b c  - 6464a b c  + 1680b c)x
--R           +
--R                    2   4           3 3        5 2  2
--R             (10752a b c  - 16128a b c  + 3360b c )x
--R           +
--R                   2 5          2 4        4 3
--R             (6144a c  - 9216a b c  + 1920b c )x
--R        *
--R            +-+ +-+
--R           \|a \|c
--R    /
--R                    4           3 3  3          4 2         3 2   2
--R             (12288a b c + 3072a b )x  + (24576a c  + 30720a b c)x
--R           +
--R                   3   2          3 3
--R             73728a b c x + 49152a c
--R        *
--R                    +--------------+
--R            +-+ +-+ |   2
--R           \|a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                     5 2        4 2        3 4  4
--R             (- 6144a c  - 9216a b c - 384a b )x
--R           +
--R                      4   2         3 3   3            4 3         3 2 2  2
--R             (- 49152a b c  - 12288a b c)x  + (- 49152a c  - 61440a b c )x
--R           +
--R                     3   3          3 4
--R             - 98304a b c x - 49152a c
--R        *
--R            +-+
--R           \|a
--R     ,
--R
--R                         3   3        2 3 2        5        7  3
--R                 (- 1536a b c  + 1920a b c  + 96a b c - 120b )x
--R               +
--R                         3 4       2 2 3          4 2        6   2
--R                 (- 3072a c  + 768a b c  + 4800a b c  - 1200b c)x
--R               +
--R                         2   4           3 3        5 2          2 5
--R                 (- 9216a b c  + 13824a b c  - 2880b c )x - 6144a c
--R               +
--R                        2 4        4 3
--R                 9216a b c  - 1920b c
--R            *
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R               \|c \|a x  + b x + c
--R           +

--R                  4 4        2 4 2         6       8  4
--R             (768a c  - 1440a b c  + 288a b c + 15b )x
--R           +
--R                   3   4        2 3 3         5 2       7   3
--R             (6144a b c  - 7680a b c  - 384a b c  + 480b c)x
--R           +
--R                   3 5        2 2 4          4 3        6 2  2
--R             (6144a c  - 1536a b c  - 9600a b c  + 2400b c )x
--R           +
--R                    2   5           3 4        5 3          2 6          2 5
--R             (12288a b c  - 18432a b c  + 3840b c )x + 6144a c  - 9216a b c
--R           +
--R                  4 4
--R             1920b c
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                    5 2        4 2       3 4  7
--R             (- 768a c  - 1152a b c - 48a b )x
--R           +
--R                     4   2        3 3      2 5  6
--R             (- 6272a b c  - 1728a b c - 8a b )x
--R           +
--R                     4 3        3 2 2      2 4         6  5
--R             (- 6528a c  - 9120a b c  - 40a b c + 10a b )x
--R           +
--R                      3   3       2 3 2        5       7  4
--R             (- 15552a b c  + 240a b c  + 12a b c - 15b )x
--R           +
--R                     3 4       2 2 3          4 2       6   3
--R             (- 9216a c  + 384a b c  + 1408a b c  - 360b c)x
--R           +
--R                     2   4          3 3        5 2  2
--R             (- 3840a b c  + 5760a b c  - 1200b c )x
--R           +
--R                     2 5          2 4       4 3
--R             (- 3072a c  + 4608a b c  - 960b c )x
--R        *
--R                  +--------------+
--R            +---+ |   2
--R           \|- a \|a x  + b x + c
--R       +
--R                   5          4 3  8         5 2        4 2        3 4  7
--R             (1536a b c + 384a b )x  + (3072a c  + 5632a b c + 448a b )x
--R           +
--R                    4   2        3 3       2 5  6

--R             (15104a b c  + 4992a b c - 16a b )x
--R           +
--R                    4 3         3 2 2       2 4         6  5
--R             (10752a c  + 15744a b c  - 160a b c + 40a b )x
--R           +
--R                    3   3        2 3 2        5        7  4
--R             (21312a b c  - 2448a b c  + 76a b c + 105b )x
--R           +
--R                    3 4        2 2 3          4 2       6   3
--R             (10752a c  - 1152a b c  - 3232a b c  + 840b c)x
--R           +
--R                   2   4          3 3        5 2  2
--R             (5376a b c  - 8064a b c  + 1680b c )x
--R           +
--R                   2 5          2 4       4 3
--R             (3072a c  - 4608a b c  + 960b c )x
--R        *
--R            +---+ +-+
--R           \|- a \|c
--R    /
--R                   4           3 3  3          4 2         3 2   2
--R             (6144a b c + 1536a b )x  + (12288a c  + 15360a b c)x
--R           +
--R                   3   2          3 3
--R             36864a b c x + 24576a c
--R        *
--R                      +--------------+
--R            +---+ +-+ |   2
--R           \|- a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                     5 2        4 2        3 4  4
--R             (- 3072a c  - 4608a b c - 192a b )x
--R           +
--R                      4   2        3 3   3            4 3         3 2 2  2
--R             (- 24576a b c  - 6144a b c)x  + (- 24576a c  - 30720a b c )x
--R           +
--R                     3   3          3 4
--R             - 49152a b c x - 24576a c
--R        *
--R            +---+
--R           \|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 63 of 131
t1:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [

--R                                                    +--------------+
--R                           3          2     2   +-+ |   2
--R             ((16a b c - 4b )x + 32a c  - 8b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                   2 2    4  2             2     3           3     2 2
--R             (- 16a c  + b )x  + (- 32a b c  + 8b c)x - 32a c  + 8b c
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                  2        2  3                  3  2           2     2     +-+
--R           ((- 16a c - 4a b )x  + (- 40a b c - 2b )x  + (- 32a c  - 8b c)x)\|a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R                  2   4       2         2  3                3  2
--R               16a b x  + (32a c + 24a b )x  + (56a b c + 6b )x
--R             +
--R                     2     2
--R               (32a c  + 8b c)x
--R        *
--R            +-+ +-+
--R           \|a \|c
--R    /
--R                                   +--------------+
--R                           +-+ +-+ |   2
--R         (32a b x + 64a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                2        2  2                    2  +-+
--R         ((- 32a c - 8a b )x  - 64a b c x - 64a c )\|a
--R     ,
--R
--R                                                    +--------------+
--R                           3          2     2   +-+ |   2
--R             ((16a b c - 4b )x + 32a c  - 8b c)\|c \|a x  + b x + c
--R           +
--R                   2 2    4  2             2     3           3     2 2
--R             (- 16a c  + b )x  + (- 32a b c  + 8b c)x - 32a c  + 8b c
--R        *

--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                 2        2  3                 3  2           2     2     +---+
--R           ((- 8a c - 2a b )x  + (- 20a b c - b )x  + (- 16a c  - 4b c)x)\|- a
--R        *
--R            +--------------+
--R            |   2
--R           \|a x  + b x + c
--R       +
--R              2   4       2         2  3                3  2         2     2
--R           (8a b x  + (16a c + 12a b )x  + (28a b c + 3b )x  + (16a c  + 4b c)x)
--R        *
--R            +---+ +-+
--R           \|- a \|c
--R    /
--R                                     +--------------+
--R                           +---+ +-+ |   2
--R         (16a b x + 32a c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R                2        2  2                    2  +---+
--R         ((- 16a c - 4a b )x  - 32a b c x - 32a c )\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 64 of 131
bb1:=(6*a*x-5*b)/(24*a^2)*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)+(5*b^2-4*a*c)/(16*a^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                     2   2         3       5         2 3         2 2       4
--R             ((- 192a b c  + 288a b c - 60b )x - 384a c  + 576a b c  - 120b c)
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                3 3       2 2 2        4       6  2
--R           (192a c  - 240a b c  - 12a b c + 15b )x
--R         +
--R                2   3         3 2       5          2 4         2 3       4 2
--R           (384a b c  - 576a b c  + 120b c)x + 384a c  - 576a b c  + 120b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c

--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                  4       3 2  5          3         2 3  4
--R           (- 384a c - 96a b )x  + (- 832a b c - 16a b )x
--R         +
--R                  3 2      2 2         4  3         2   2         3       5  2
--R           (- 960a c  - 96a b c + 20a b )x  + (- 96a b c  + 144a b c - 30b )x
--R         +
--R                  2 3         2 2       4              3
--R           (- 384a c  + 896a b c  - 120b c)x + 640a b c
--R      *
--R              +--------------+
--R          +-+ |   2
--R         \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R               4   6        4        3 2  5         3         2 3  4
--R           384a b x  + (768a c + 448a b )x  + (1472a b c - 16a b )x
--R         +
--R                 3 2       2 2         4  3         2   2         3       5  2
--R           (1152a c  - 192a b c + 40a b )x  + (- 32a b c  - 512a b c + 90b )x
--R         +
--R                2 3          2 2       4              3
--R           (384a c  - 1216a b c  + 120b c)x - 640a b c
--R      *
--R          +-+ +-+
--R         \|a \|c
--R  /
--R                                     +--------------+
--R             3           3   +-+ +-+ |   2
--R       (1536a b x + 3072a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R                4        3 2  2        3             3 2  +-+
--R       ((- 1536a c - 384a b )x  - 3072a b c x - 3072a c )\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 131
bb2:=(6*a*x-5*b)/(24*a^2)*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)+(5*b^2-4*a*c)/(16*a^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                     2   2         3       5         2 3         2 2       4
--R             ((- 192a b c  + 288a b c - 60b )x - 384a c  + 576a b c  - 120b c)
--R          *
--R                  +--------------+

--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                3 3       2 2 2        4       6  2
--R           (192a c  - 240a b c  - 12a b c + 15b )x
--R         +
--R                2   3         3 2       5          2 4         2 3       4 2
--R           (384a b c  - 576a b c  + 120b c)x + 384a c  - 576a b c  + 120b c
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                  4       3 2  5          3        2 3  4
--R           (- 192a c - 48a b )x  + (- 416a b c - 8a b )x
--R         +
--R                  3 2      2 2         4  3         2   2        3       5  2
--R           (- 480a c  - 48a b c + 10a b )x  + (- 48a b c  + 72a b c - 15b )x
--R         +
--R                  2 3         2 2      4              3
--R           (- 192a c  + 448a b c  - 60b c)x + 320a b c
--R      *
--R                +--------------+
--R          +---+ |   2
--R         \|- a \|a x  + b x + c
--R     +
--R               4   6        4        3 2  5        3        2 3  4
--R           192a b x  + (384a c + 224a b )x  + (736a b c - 8a b )x
--R         +
--R                3 2      2 2         4  3         2   2         3       5  2
--R           (576a c  - 96a b c + 20a b )x  + (- 16a b c  - 256a b c + 45b )x
--R         +
--R                2 3         2 2      4              3
--R           (192a c  - 608a b c  + 60b c)x - 320a b c
--R      *
--R          +---+ +-+
--R         \|- a \|c
--R  /
--R                                      +--------------+
--R            3           3   +---+ +-+ |   2
--R       (768a b x + 1536a c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R               4        3 2  2        3             3 2  +---+
--R       ((- 768a c - 192a b )x  - 1536a b c x - 1536a c )\|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 131

cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                     4   4        3 3 3        2 5 2          7        9  5
--R               (9216a b c  - 6144a b c  - 8064a b c  + 1536a b c + 180b )x
--R             +
--R                      4 5         3 2 4         2 4 3        8   4
--R               (18432a c  + 36864a b c  - 77568a b c  + 4200b c)x
--R             +
--R                       3   5          2 3 4           5 3         7 2  3
--R               (147456a b c  - 135168a b c  - 82944a b c  + 26880b c )x
--R             +
--R                      3 6         2 2 5            4 4         6 3  2
--R               (98304a c  + 73728a b c  - 301056a b c  + 69120b c )x
--R             +
--R                       2   6            3 5         5 4           2 7
--R               (245760a b c  - 368640a b c  + 76800b c )x + 98304a c
--R             +
--R                          2 6         4 5
--R               - 147456a b c  + 30720b c
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                      5 5        4 2 4         3 4 3       2 6 2         8
--R               - 3072a c  - 6912a b c  + 13440a b c  + 672a b c  - 828a b c
--R             +
--R                    10
--R               - 15b
--R          *
--R              6
--R             x
--R         +
--R                    4   5         3 3 4         2 5 3          7 2        9   5
--R           (- 55296a b c  + 36864a b c  + 48384a b c  - 9216a b c  - 1080b c)x
--R         +
--R                    4 6          3 2 5          2 4 4         8 2  4
--R           (- 55296a c  - 110592a b c  + 232704a b c  - 12600b c )x
--R         +
--R                     3   6          2 3 5            5 4         7 3  3
--R           (- 294912a b c  + 270336a b c  + 165888a b c  - 53760b c )x
--R         +
--R                     3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
--R           (- 147456a c  - 110592a b c  + 451584a b c  - 103680b c )x
--R         +
--R                     2   7            3 6         5 5           2 8
--R           (- 294912a b c  + 442368a b c  - 92160b c )x - 98304a c
--R         +
--R                    2 7         4 6

--R           147456a b c  - 30720b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                     4   4        3 3 3        2 5 2          7        9  5
--R               (9216a b c  - 6144a b c  - 8064a b c  + 1536a b c + 180b )x
--R             +
--R                      4 5         3 2 4         2 4 3        8   4
--R               (18432a c  + 36864a b c  - 77568a b c  + 4200b c)x
--R             +
--R                       3   5          2 3 4           5 3         7 2  3
--R               (147456a b c  - 135168a b c  - 82944a b c  + 26880b c )x
--R             +
--R                      3 6         2 2 5            4 4         6 3  2
--R               (98304a c  + 73728a b c  - 301056a b c  + 69120b c )x
--R             +
--R                       2   6            3 5         5 4           2 7
--R               (245760a b c  - 368640a b c  + 76800b c )x + 98304a c
--R             +
--R                          2 6         4 5
--R               - 147456a b c  + 30720b c
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                      5 5        4 2 4         3 4 3       2 6 2         8
--R               - 3072a c  - 6912a b c  + 13440a b c  + 672a b c  - 828a b c
--R             +
--R                    10
--R               - 15b
--R          *
--R              6
--R             x
--R         +
--R                    4   5         3 3 4         2 5 3          7 2        9   5
--R           (- 55296a b c  + 36864a b c  + 48384a b c  - 9216a b c  - 1080b c)x
--R         +
--R                    4 6          3 2 5          2 4 4         8 2  4
--R           (- 55296a c  - 110592a b c  + 232704a b c  - 12600b c )x

--R         +
--R                     3   6          2 3 5            5 4         7 3  3
--R           (- 294912a b c  + 270336a b c  + 165888a b c  - 53760b c )x
--R         +
--R                     3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
--R           (- 147456a c  - 110592a b c  + 451584a b c  - 103680b c )x
--R         +
--R                     2   7            3 6         5 5           2 8
--R           (- 294912a b c  + 442368a b c  - 92160b c )x - 98304a c
--R         +
--R                    2 7         4 6
--R           147456a b c  - 30720b c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                    3 2 4         2 4 3         6 2  5
--R           (- 15360a b c  - 12800a b c  - 960a b c )x
--R         +
--R                    3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (- 30720a b c  - 107520a b c  - 22400a b c )x
--R         +
--R                     2 2 5            4 4  3             2   6            3 5  2
--R           (- 245760a b c  - 143360a b c )x  + (- 163840a b c  - 368640a b c )x
--R         +
--R                      2 6               7
--R           - 409600a b c x - 163840a b c
--R      *
--R              +--------------+
--R          +-+ |   2
--R         \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                 4   4         3 3 3        2 5 2        7   6
--R           (5120a b c  + 19200a b c  + 4800a b c  + 80a b c)x
--R         +
--R                  3 2 4         2 4 3          6 2  5
--R           (92160a b c  + 76800a b c  + 5760a b c )x
--R         +
--R                  3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (92160a b c  + 322560a b c  + 67200a b c )x
--R         +

--R                   2 2 5            4 4  3           2   6            3 5  2
--R           (491520a b c  + 286720a b c )x  + (245760a b c  + 552960a b c )x
--R         +
--R                    2 6               7
--R           491520a b c x + 163840a b c
--R      *
--R          +-+ +-+
--R         \|a \|c
--R  /
--R                  5   2         4 3         3 5  5
--R           (73728a b c  + 61440a b c + 4608a b )x
--R         +
--R                   5 3          4 2 2          3 4   4
--R           (147456a c  + 516096a b c  + 107520a b c)x
--R         +
--R                    4   3          3 3 2  3           4 4           3 2 3  2
--R           (1179648a b c  + 688128a b c )x  + (786432a c  + 1769472a b c )x
--R         +
--R                   3   4           3 5
--R           1966080a b c x + 786432a c
--R      *
--R                  +--------------+
--R          +-+ +-+ |   2
--R         \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R                    6 3         5 2 2         4 4        3 6  6
--R           (- 24576a c  - 92160a b c  - 23040a b c - 384a b )x
--R         +
--R                     5   3          4 3 2         3 5   5
--R           (- 442368a b c  - 368640a b c  - 27648a b c)x
--R         +
--R                     5 4           4 2 3          3 4 2  4
--R           (- 442368a c  - 1548288a b c  - 322560a b c )x
--R         +
--R                      4   4           3 3 3  3
--R           (- 2359296a b c  - 1376256a b c )x
--R         +
--R                      4 5           3 2 4  2           3   5           3 6
--R           (- 1179648a c  - 2654208a b c )x  - 2359296a b c x - 786432a c
--R      *
--R          +-+
--R         \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 67 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                     4   4        3 3 3        2 5 2          7        9  5

--R               (9216a b c  - 6144a b c  - 8064a b c  + 1536a b c + 180b )x
--R             +
--R                      4 5         3 2 4         2 4 3        8   4
--R               (18432a c  + 36864a b c  - 77568a b c  + 4200b c)x
--R             +
--R                       3   5          2 3 4           5 3         7 2  3
--R               (147456a b c  - 135168a b c  - 82944a b c  + 26880b c )x
--R             +
--R                      3 6         2 2 5            4 4         6 3  2
--R               (98304a c  + 73728a b c  - 301056a b c  + 69120b c )x
--R             +
--R                       2   6            3 5         5 4           2 7
--R               (245760a b c  - 368640a b c  + 76800b c )x + 98304a c
--R             +
--R                          2 6         4 5
--R               - 147456a b c  + 30720b c
--R          *
--R                        +--------------+
--R              +---+ +-+ |   2
--R             \|- a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                          5 5        4 2 4         3 4 3       2 6 2         8
--R                   - 3072a c  - 6912a b c  + 13440a b c  + 672a b c  - 828a b c
--R                 +
--R                        10
--R                   - 15b
--R              *
--R                  6
--R                 x
--R             +
--R                           4   5         3 3 4         2 5 3          7 2
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--R                 +
--R                          9
--R                   - 1080b c
--R              *
--R                  5
--R                 x
--R             +
--R                        4 6          3 2 5          2 4 4         8 2  4
--R               (- 55296a c  - 110592a b c  + 232704a b c  - 12600b c )x
--R             +
--R                         3   6          2 3 5            5 4         7 3  3
--R               (- 294912a b c  + 270336a b c  + 165888a b c  - 53760b c )x
--R             +
--R                         3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
--R               (- 147456a c  - 110592a b c  + 451584a b c  - 103680b c )x
--R             +
--R                         2   7            3 6         5 5           2 8
--R               (- 294912a b c  + 442368a b c  - 92160b c )x - 98304a c

--R             +
--R                        2 7         4 6
--R               147456a b c  - 30720b c
--R          *
--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                        4   4         3 3 3         2 5 2          7        9  5
--R               (- 18432a b c  + 12288a b c  + 16128a b c  - 3072a b c - 360b )x
--R             +
--R                        4 5         3 2 4          2 4 3        8   4
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--R             +
--R                         3   5          2 3 4            5 3         7 2  3
--R               (- 294912a b c  + 270336a b c  + 165888a b c  - 53760b c )x
--R             +
--R                         3 6          2 2 5            4 4          6 3  2
--R               (- 196608a c  - 147456a b c  + 602112a b c  - 138240b c )x
--R             +
--R                         2   6            3 5          5 4            2 7
--R               (- 491520a b c  + 737280a b c  - 153600b c )x - 196608a c
--R             +
--R                        2 6         4 5
--R               294912a b c  - 61440b c
--R          *
--R                      +--------------+
--R              +-+ +-+ |   2
--R             \|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                        5 5         4 2 4         3 4 3        2 6 2          8
--R                   6144a c  + 13824a b c  - 26880a b c  - 1344a b c  + 1656a b c
--R                 +
--R                      10
--R                   30b
--R              *
--R                  6
--R                 x
--R             +

--R                          4   5         3 3 4         2 5 3           7 2
--R                   110592a b c  - 73728a b c  - 96768a b c  + 18432a b c
--R                 +
--R                        9
--R                   2160b c
--R              *
--R                  5
--R                 x
--R             +
--R                       4 6          3 2 5          2 4 4         8 2  4
--R               (110592a c  + 221184a b c  - 465408a b c  + 25200b c )x
--R             +
--R                       3   6          2 3 5            5 4          7 3  3
--R               (589824a b c  - 540672a b c  - 331776a b c  + 107520b c )x
--R             +
--R                       3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
--R               (294912a c  + 221184a b c  - 903168a b c  + 207360b c )x
--R             +
--R                       2   7            3 6          5 5            2 8
--R               (589824a b c  - 884736a b c  + 184320b c )x + 196608a c
--R             +
--R                          2 7         4 6
--R               - 294912a b c  + 61440b c
--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                    3 2 4         2 4 3         6 2  5
--R           (- 15360a b c  - 12800a b c  - 960a b c )x
--R         +
--R                    3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (- 30720a b c  - 107520a b c  - 22400a b c )x
--R         +
--R                     2 2 5            4 4  3             2   6            3 5  2
--R           (- 245760a b c  - 143360a b c )x  + (- 163840a b c  - 368640a b c )x
--R         +
--R                      2 6               7
--R           - 409600a b c x - 163840a b c
--R      *
--R                    +--------------+
--R          +---+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                 4   4         3 3 3        2 5 2        7   6

--R           (5120a b c  + 19200a b c  + 4800a b c  + 80a b c)x
--R         +
--R                  3 2 4         2 4 3          6 2  5
--R           (92160a b c  + 76800a b c  + 5760a b c )x
--R         +
--R                  3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (92160a b c  + 322560a b c  + 67200a b c )x
--R         +
--R                   2 2 5            4 4  3           2   6            3 5  2
--R           (491520a b c  + 286720a b c )x  + (245760a b c  + 552960a b c )x
--R         +
--R                    2 6               7
--R           491520a b c x + 163840a b c
--R      *
--R          +---+ +-+ +-+
--R         \|- a \|a \|c
--R  /
--R                  5   2         4 3         3 5  5
--R           (73728a b c  + 61440a b c + 4608a b )x
--R         +
--R                   5 3          4 2 2          3 4   4
--R           (147456a c  + 516096a b c  + 107520a b c)x
--R         +
--R                    4   3          3 3 2  3           4 4           3 2 3  2
--R           (1179648a b c  + 688128a b c )x  + (786432a c  + 1769472a b c )x
--R         +
--R                   3   4           3 5
--R           1966080a b c x + 786432a c
--R      *
--R                        +--------------+
--R          +---+ +-+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R                    6 3         5 2 2         4 4        3 6  6
--R           (- 24576a c  - 92160a b c  - 23040a b c - 384a b )x
--R         +
--R                     5   3          4 3 2         3 5   5
--R           (- 442368a b c  - 368640a b c  - 27648a b c)x
--R         +
--R                     5 4           4 2 3          3 4 2  4
--R           (- 442368a c  - 1548288a b c  - 322560a b c )x
--R         +
--R                      4   4           3 3 3  3
--R           (- 2359296a b c  - 1376256a b c )x
--R         +
--R                      4 5           3 2 4  2           3   5           3 6
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--R      *
--R          +---+ +-+
--R         \|- a \|a

--S 68 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
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--R               (18432a c  + 36864a b c  - 77568a b c  + 4200b c)x
--R             +
--R                       3   5          2 3 4           5 3         7 2  3
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--R             +
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--R             +
--R                       2   6            3 5         5 4           2 7
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--R             +
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--R                        +--------------+
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--R         +
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--R                 +
--R                        10
--R                   - 15b
--R              *
--R                  6
--R                 x
--R             +
--R                           4   5         3 3 4         2 5 3          7 2
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--R                 +
--R                          9
--R                   - 1080b c
--R              *
--R                  5
--R                 x
--R             +
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--R             +

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--R             +
--R                         3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
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--R             +
--R                         2   7            3 6         5 5           2 8
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--R             +
--R                        2 7         4 6
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--R          *
--R              +---+
--R             \|- a
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  + 2a x)\|a x  + b x + c  - 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                      4   4         3 3 3         2 5 2          7        9  5
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--R             +
--R                      4 5         3 2 4          2 4 3        8   4
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--R             +
--R                       3   5          2 3 4            5 3         7 2  3
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--R             +
--R                       3 6          2 2 5            4 4          6 3  2
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--R             +
--R                       2   6            3 5          5 4            2 7
--R               (491520a b c  - 737280a b c  + 153600b c )x + 196608a c
--R             +
--R                          2 6         4 5
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--R          *
--R                      +--------------+
--R              +-+ +-+ |   2
--R             \|a \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                          5 5         4 2 4         3 4 3        2 6 2

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--R                 +
--R                            8       10
--R                   - 1656a b c - 30b
--R              *
--R                  6
--R                 x
--R             +
--R                            4   5         3 3 4         2 5 3           7 2
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--R                 +
--R                          9
--R                   - 2160b c
--R              *
--R                  5
--R                 x
--R             +
--R                         4 6          3 2 5          2 4 4         8 2  4
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--R             +
--R                         3   6          2 3 5            5 4          7 3  3
--R               (- 589824a b c  + 540672a b c  + 331776a b c  - 107520b c )x
--R             +
--R                         3 7          2 2 6            4 5          6 4  2
--R               (- 294912a c  - 221184a b c  + 903168a b c  - 207360b c )x
--R             +
--R                         2   7            3 6          5 5            2 8
--R               (- 589824a b c  + 884736a b c  - 184320b c )x - 196608a c
--R             +
--R                        2 7         4 6
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--R          *
--R              +-+
--R             \|a
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                    3 2 4         2 4 3         6 2  5
--R           (- 15360a b c  - 12800a b c  - 960a b c )x
--R         +
--R                    3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (- 30720a b c  - 107520a b c  - 22400a b c )x
--R         +
--R                     2 2 5            4 4  3             2   6            3 5  2
--R           (- 245760a b c  - 143360a b c )x  + (- 163840a b c  - 368640a b c )x
--R         +

--R                      2 6               7
--R           - 409600a b c x - 163840a b c
--R      *
--R                    +--------------+
--R          +---+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R                 4   4         3 3 3        2 5 2        7   6
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--R         +
--R                  3 2 4         2 4 3          6 2  5
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--R         +
--R                  3   5          2 3 4           5 3  4
--R           (92160a b c  + 322560a b c  + 67200a b c )x
--R         +
--R                   2 2 5            4 4  3           2   6            3 5  2
--R           (491520a b c  + 286720a b c )x  + (245760a b c  + 552960a b c )x
--R         +
--R                    2 6               7
--R           491520a b c x + 163840a b c
--R      *
--R          +---+ +-+ +-+
--R         \|- a \|a \|c
--R  /
--R                  5   2         4 3         3 5  5
--R           (73728a b c  + 61440a b c + 4608a b )x
--R         +
--R                   5 3          4 2 2          3 4   4
--R           (147456a c  + 516096a b c  + 107520a b c)x
--R         +
--R                    4   3          3 3 2  3           4 4           3 2 3  2
--R           (1179648a b c  + 688128a b c )x  + (786432a c  + 1769472a b c )x
--R         +
--R                   3   4           3 5
--R           1966080a b c x + 786432a c
--R      *
--R                        +--------------+
--R          +---+ +-+ +-+ |   2
--R         \|- a \|a \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R                    6 3         5 2 2         4 4        3 6  6
--R           (- 24576a c  - 92160a b c  - 23040a b c - 384a b )x
--R         +
--R                     5   3          4 3 2         3 5   5
--R           (- 442368a b c  - 368640a b c  - 27648a b c)x
--R         +
--R                     5 4           4 2 3          3 4 2  4
--R           (- 442368a c  - 1548288a b c  - 322560a b c )x
--R         +

--R                      4   4           3 3 3  3
--R           (- 2359296a b c  - 1376256a b c )x
--R         +
--R                      4 5           3 2 4  2           3   5           3 6
--R           (- 1179648a c  - 2654208a b c )x  - 2359296a b c x - 786432a c
--R      *
--R          +---+ +-+
--R         \|- a \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R                  2 2 4         4 3      6 2  5
--R           (- 960a b c  - 800a b c  - 60b c )x
--R         +
--R                   2   5          3 4        5 3  4
--R           (- 1920a b c  - 6720a b c  - 1400b c )x
--R         +
--R                      2 5        4 4  3                6         3 5  2
--R           (- 15360a b c  - 8960b c )x  + (- 10240a b c  - 23040b c )x
--R         +
--R                   2 6            7
--R           - 25600b c x - 10240b c
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c
--R     +
--R                3   4        2 3 3         5 2     7   6
--R           (320a b c  + 1200a b c  + 300a b c  + 5b c)x
--R         +
--R                 2 2 4          4 3       6 2  5
--R           (5760a b c  + 4800a b c  + 360b c )x
--R         +
--R                 2   5           3 4        5 3  4            2 5         4 4  3
--R           (5760a b c  + 20160a b c  + 4200b c )x  + (30720a b c  + 17920b c )x
--R         +
--R                      6         3 5  2         2 6            7
--R           (15360a b c  + 34560b c )x  + 30720b c x + 10240b c
--R      *
--R          +-+
--R         \|c
--R  /
--R                 4   2        3 3        2 5  5
--R           (4608a b c  + 3840a b c + 288a b )x
--R         +
--R                 4 3         3 2 2        2 4   4

--R           (9216a c  + 32256a b c  + 6720a b c)x
--R         +
--R                  3   3         2 3 2  3          3 4          2 2 3  2
--R           (73728a b c  + 43008a b c )x  + (49152a c  + 110592a b c )x
--R         +
--R                  2   4          2 5
--R           122880a b c x + 49152a c
--R      *
--R              +--------------+
--R          +-+ |   2
--R         \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R               5 3        4 2 2        3 4       2 6  6
--R       (- 1536a c  - 5760a b c  - 1440a b c - 24a b )x
--R     +
--R                4   3         3 3 2        2 5   5
--R       (- 27648a b c  - 23040a b c  - 1728a b c)x
--R     +
--R                4 4         3 2 3         2 4 2  4
--R       (- 27648a c  - 96768a b c  - 20160a b c )x
--R     +
--R                 3   4         2 3 3  3            3 5          2 2 4  2
--R       (- 147456a b c  - 86016a b c )x  + (- 73728a c  - 165888a b c )x
--R     +
--R                2   5          2 6
--R       - 147456a b c x - 49152a c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 131     14:287 Schaums and Axiom differ by a constant
dd4:=ratDenom cc4
--R
--R               +-+
--R          5b c\|c
--R   (9)  - --------
--R               2
--R            24a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.288 ∫ \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{x} dx

∫ \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{x} = \sqrt{ax^{2} + bx + c} + \frac{b}{2} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + c ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 71 of 131
aa:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2                            +-+ +-+
--R           (4c\|a \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4c)\|a \|c )
--R        *
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2
--R               2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R           log(---------------------------------)
--R                                +-+
--R                             2x\|c
--R       +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2               2
--R           (2b\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2b c)
--R        *
--R           log
--R                              2           +-+          2              2  +-+
--R                    ((- 2a b x  - 8a c x)\|c  + (4a c x  + 4b c x + 8c )\|a )
--R                 *
--R                     +--------------+
--R                     |   2
--R                    \|a x  + b x + c
--R                +
--R                           3              2  2              2  +-+ +-+     2   3
--R                  (- 2a b x  + (- 8a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|a \|c  + 4a c x
--R                +
--R                          2       2
--R                  6a b c x  + 8a c x
--R             /
--R                                 +--------------+
--R                              2  |   2
--R                  (4b c x + 8c )\|a x  + b x + c
--R                +
--R                              2  2              2  +-+
--R                  ((- 4a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|c
--R       +
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2                   2         +-+ +-+
--R         - 2b x\|a \|a x  + b x + c  + (4a x  + 2b x)\|a \|c
--R    /
--R                 +--------------+
--R         +-+ +-+ |   2                            +-+

--R       4\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4c)\|a
--R     ,
--R
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2                           +---+ +-+
--R           (2c\|- a \|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|- a \|c )
--R        *
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2
--R               2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R           log(---------------------------------)
--R                                +-+
--R                             2x\|c
--R       +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2               2
--R           (2b\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2b c)
--R        *
--R                           +--------------+
--R                 +---+ +-+ |   2                +---+
--R                \|- a \|c \|a x  + b x + c  - c\|- a
--R           atan(-------------------------------------)
--R                                   +-+
--R                               a x\|c
--R       +
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2                   2        +---+ +-+
--R         - b x\|- a \|a x  + b x + c  + (2a x  + b x)\|- a \|c
--R    /
--R                   +--------------+
--R         +---+ +-+ |   2                           +---+
--R       2\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 72 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+

--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 73 of 131
t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x
--R   (3)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 74 of 131
bb1:=sqrt(a*x^2+b*x+c)+b/2*t1.1+c*t2
--R
--R   (4)
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R          +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       2c\|a log(---------------------------------)
--R                                 x
--R     +
--R           +-+
--R         b\|c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+

--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                 +--------------+
--R         +-+ +-+ |   2
--R       2\|a \|c \|a x  + b x + c
--R  /
--R       +-+ +-+
--R     2\|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 131
bb2:=sqrt(a*x^2+b*x+c)+b/2*t1.2+c*t2
--R
--R   (5)
--R                        +--------------+
--R                    +-+ |   2
--R         +---+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       c\|- a log(---------------------------------)
--R                                  x
--R     +
--R                        +--------------+
--R                  +---+ |   2               +---+ +-+
--R         +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       b\|c atan(------------------------------------)
--R                                  a x
--R     +
--R                  +--------------+
--R        +---+ +-+ |   2
--R       \|- a \|c \|a x  + b x + c
--R  /
--R      +---+ +-+
--R     \|- a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (6)
--R                         +--------------+
--R                     +-+ |   2
--R            +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - 2c\|a log(---------------------------------)
--R                                   x
--R     +

--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R          +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       2c\|a log(---------------------------------)
--R                                  +-+
--R                               2x\|c
--R     +
--R       -
--R              +-+
--R            b\|c
--R         *
--R            log
--R                                      +--------------+
--R                      +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                   (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                 +
--R                          2             +-+
--R                   (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R              /
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R                 2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R           +-+
--R         b\|c
--R      *
--R         log
--R                            2           +-+          2              2  +-+
--R                  ((- 2a b x  - 8a c x)\|c  + (4a c x  + 4b c x + 8c )\|a )
--R               *
--R                   +--------------+
--R                   |   2
--R                  \|a x  + b x + c
--R              +
--R                         3              2  2              2  +-+ +-+     2   3
--R                (- 2a b x  + (- 8a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|a \|c  + 4a c x
--R              +
--R                        2       2
--R                6a b c x  + 8a c x
--R           /
--R                               +--------------+
--R                            2  |   2
--R                (4b c x + 8c )\|a x  + b x + c
--R              +
--R                            2  2              2  +-+
--R                ((- 4a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|c
--R     +
--R          +-+
--R       2c\|a
--R  /

--R       +-+ +-+
--R     2\|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 77 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R                               +--------------+
--R                           +-+ |   2
--R            +---+ +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - 2c\|- a \|a log(---------------------------------)
--R                                         x
--R     +
--R                             +--------------+
--R                         +-+ |   2
--R          +---+ +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       2c\|- a \|a log(---------------------------------)
--R                                        +-+
--R                                     2x\|c
--R     +
--R       -
--R              +---+ +-+
--R            b\|- a \|c
--R         *
--R            log
--R                                      +--------------+
--R                      +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                   (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R                 +
--R                          2             +-+
--R                   (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R              /
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R                 2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                 +--------------+
--R                       +---+ +-+ |   2                +---+
--R          +-+ +-+     \|- a \|c \|a x  + b x + c  - c\|- a        +---+ +-+
--R       2b\|a \|c atan(-------------------------------------) + 2c\|- a \|a
--R                                         +-+
--R                                     a x\|c
--R  /
--R       +---+ +-+ +-+
--R     2\|- a \|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 78 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (8)
--R                               +--------------+
--R                           +-+ |   2
--R            +---+ +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - 2c\|- a \|a log(---------------------------------)
--R                                         x
--R     +
--R                             +--------------+
--R                         +-+ |   2
--R          +---+ +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       2c\|- a \|a log(---------------------------------)
--R                                        +-+
--R                                     2x\|c
--R     +
--R           +---+ +-+
--R         b\|- a \|c
--R      *
--R         log
--R                            2           +-+          2              2  +-+
--R                  ((- 2a b x  - 8a c x)\|c  + (4a c x  + 4b c x + 8c )\|a )
--R               *
--R                   +--------------+
--R                   |   2
--R                  \|a x  + b x + c
--R              +
--R                         3              2  2              2  +-+ +-+     2   3
--R                (- 2a b x  + (- 8a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|a \|c  + 4a c x
--R              +
--R                        2       2
--R                6a b c x  + 8a c x
--R           /
--R                               +--------------+
--R                            2  |   2
--R                (4b c x + 8c )\|a x  + b x + c
--R              +
--R                            2  2              2  +-+
--R                ((- 4a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|c
--R     +
--R                               +--------------+
--R                         +---+ |   2               +---+ +-+
--R            +-+ +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c        +---+ +-+
--R       - 2b\|a \|c atan(------------------------------------) + 2c\|- a \|a
--R                                         a x
--R  /
--R       +---+ +-+ +-+
--R     2\|- a \|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 79 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (9)
--R                          +--------------+
--R                      +-+ |   2
--R           +---+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - c\|- a log(---------------------------------)
--R                                    x
--R     +
--R                        +--------------+
--R                    +-+ |   2
--R         +---+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       c\|- a log(---------------------------------)
--R                                   +-+
--R                                2x\|c
--R     +
--R                            +--------------+
--R                  +---+ +-+ |   2                +---+
--R         +-+     \|- a \|c \|a x  + b x + c  - c\|- a
--R       b\|c atan(-------------------------------------)
--R                                    +-+
--R                                a x\|c
--R     +
--R                          +--------------+
--R                    +---+ |   2               +---+ +-+
--R           +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c       +---+
--R       - b\|c atan(------------------------------------) + c\|- a
--R                                    a x
--R  /
--R      +---+ +-+
--R     \|- a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 131
dd4:=ratDenom cc4
--R
--R   (10)
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2
--R        +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     - \|c log(---------------------------------)
--R                               x
--R   +
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R      +-+    2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c      +-+

--R     \|c log(--------------------------------------) + \|c
--R                              2c x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 131
ee4:=expandLog dd4
--R
--R   (11)
--R                     +--------------+
--R        +-+      +-+ |   2
--R     - \|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R   +
--R              +--------------+
--R    +-+       |   2                           +-+                            +-+
--R   \|c log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c ) + (- log(c) - log(2) + 1)\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 131     14:288 Schaums and Axiom differ by a constant
ff4:=complexNormalize ee4
--R
--R                                  +-+
--R         (- log(c) - 2log(2) + 2)\|c
--R   (12)  ----------------------------
--R                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.289 ∫ \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{x^{2}} dx

∫ \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{x^{2}} = −\frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{x^{2}} + a ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + \frac{b}{2} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 83 of 131
aa:=integrate(sqrt(a*x^2+b*x+c)/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                2 2

--R           (4b x\|c \|a x  + b x + c  - 2b x  - 4b c x)
--R        *
--R                  +--------------+
--R                  |   2                           +-+
--R               2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R           log(--------------------------------------)
--R                                2c x
--R       +
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                     2         +-+ +-+
--R           (8c x\|a \|a x  + b x + c  + (- 4b x  - 8c x)\|a \|c )
--R        *
--R                              +--------------+
--R                +-+      +-+  |   2                 +-+ +-+       2
--R             (2\|c  - 2x\|a )\|a x  + b x + c  + 2x\|a \|c  - 2a x  - b x - 2c
--R         log(-----------------------------------------------------------------)
--R                                   +--------------+
--R                               +-+ |   2
--R                             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                         +--------------+
--R                     +-+ |   2                         2  2              2
--R         (2b x + 8c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 8a c + b )x  - 6b c x - 8c
--R    /
--R            +--------------+
--R            |   2                     2         +-+
--R       8c x\|a x  + b x + c  + (- 4b x  - 8c x)\|c
--R     ,
--R
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                2 2
--R           (4b x\|c \|a x  + b x + c  - 2b x  - 4b c x)
--R        *
--R                  +--------------+
--R                  |   2                           +-+
--R               2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R           log(--------------------------------------)
--R                                2c x
--R       +
--R                        +--------------+
--R                  +---+ |   2                     2          +---+ +-+
--R           (16c x\|- a \|a x  + b x + c  + (- 8b x  - 16c x)\|- a \|c )
--R        *
--R                 +--------------+
--R                 |   2               +-+
--R                \|a x  + b x + c  - \|c
--R           atan(------------------------)
--R                           +---+
--R                         x\|- a
--R       +

--R                         +--------------+
--R                     +-+ |   2                         2  2              2
--R         (2b x + 8c)\|c \|a x  + b x + c  + (- 8a c + b )x  - 6b c x - 8c
--R    /
--R            +--------------+
--R            |   2                     2         +-+
--R       8c x\|a x  + b x + c  + (- 4b x  - 8c x)\|c
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 84 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 85 of 131
t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x

--R   (3)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 86 of 131
bb1:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/x+a*t1.1+b/2*t2
--R
--R   (4)
--R                        +--------------+
--R                    +-+ |   2
--R           +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       b x\|a log(---------------------------------)
--R                                  x
--R     +
--R              +-+
--R         2a x\|c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                   +--------------+
--R           +-+ +-+ |   2
--R       - 2\|a \|c \|a x  + b x + c
--R  /
--R        +-+ +-+
--R     2x\|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 131
bb2:=-sqrt(a*x^2+b*x+c)/x+a*t1.2+b/2*t2
--R
--R   (5)
--R                          +--------------+
--R                      +-+ |   2
--R           +---+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       b x\|- a log(---------------------------------)
--R                                    x
--R     +

--R                           +--------------+
--R                     +---+ |   2               +---+ +-+
--R            +-+     \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       4a x\|c atan(------------------------------------)
--R                                     a x
--R     +
--R                     +--------------+
--R           +---+ +-+ |   2
--R       - 2\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R  /
--R        +---+ +-+
--R     2x\|- a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (6)
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                 2          +-+ +-+
--R         (- 4b c\|a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|a \|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2                   2          +-+ +-+
--R         (4b c\|a \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|a \|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x
--R     +
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                             2
--R         (- 8a c\|c \|a x  + b x + c  + 4a b c x + 8a c )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a

--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2                             2
--R         (8a c\|c \|a x  + b x + c  - 4a b c x - 8a c )
--R      *
--R                              +--------------+
--R                +-+      +-+  |   2                 +-+ +-+       2
--R             (2\|c  - 2x\|a )\|a x  + b x + c  + 2x\|a \|c  - 2a x  - b x - 2c
--R         log(-----------------------------------------------------------------)
--R                                   +--------------+
--R                               +-+ |   2
--R                             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2                2          +-+ +-+
--R       - 2b c\|a \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|a \|c
--R  /
--R                +--------------+
--R        +-+ +-+ |   2                            2  +-+
--R     8c\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 4b c x - 8c )\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                 2          +-+ +-+
--R         (- 4b c\|a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|a \|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2                   2          +-+ +-+
--R         (4b c\|a \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|a \|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x

--R     +
--R                     +--------------+
--R                 +-+ |   2                             2
--R         (- 8a c\|c \|a x  + b x + c  + 4a b c x + 8a c )
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                            +--------------+
--R              +---+ +-+ +-+ |   2                             2  +---+ +-+
--R         (16c\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 8b c x - 16c )\|- a \|a )
--R      *
--R               +--------------+
--R               |   2               +-+
--R              \|a x  + b x + c  - \|c
--R         atan(------------------------)
--R                         +---+
--R                       x\|- a
--R     +
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2                2          +-+ +-+
--R       - 2b c\|a \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|a \|c
--R  /
--R                +--------------+
--R        +-+ +-+ |   2                            2  +-+
--R     8c\|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 4b c x - 8c )\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 90 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (8)
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2                 2          +---+ +-+
--R         (- 4b c\|- a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|- a \|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)

--R                             x
--R     +
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2                   2          +---+ +-+
--R         (4b c\|- a \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|- a \|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x
--R     +
--R                           +--------------+
--R             +---+ +-+ +-+ |   2                            2  +---+ +-+
--R         (8c\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 4b c x - 8c )\|- a \|a )
--R      *
--R                              +--------------+
--R                +-+      +-+  |   2                 +-+ +-+       2
--R             (2\|c  - 2x\|a )\|a x  + b x + c  + 2x\|a \|c  - 2a x  - b x - 2c
--R         log(-----------------------------------------------------------------)
--R                                   +--------------+
--R                               +-+ |   2
--R                             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2                              2
--R         (- 16a c\|c \|a x  + b x + c  + 8a b c x + 16a c )
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                    +--------------+
--R              +---+ |   2                2          +---+ +-+
--R       - 2b c\|- a \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|- a \|c
--R  /
--R                  +--------------+
--R        +---+ +-+ |   2                            2  +---+
--R     8c\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (- 4b c x - 8c )\|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 91 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (9)
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2                 2          +---+ +-+

--R         (- 4b c\|- a \|a x  + b x + c  + (2b x + 4b c)\|- a \|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2                   2          +---+ +-+
--R         (4b c\|- a \|a x  + b x + c  + (- 2b x - 4b c)\|- a \|c )
--R      *
--R                +--------------+
--R                |   2                           +-+
--R             2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c
--R         log(--------------------------------------)
--R                              2c x
--R     +
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2                              2
--R         (- 16a c\|c \|a x  + b x + c  + 8a b c x + 16a c )
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2                              2
--R         (- 16a c\|c \|a x  + b x + c  + 8a b c x + 16a c )
--R      *
--R               +--------------+
--R               |   2               +-+
--R              \|a x  + b x + c  - \|c
--R         atan(------------------------)
--R                         +---+
--R                       x\|- a
--R     +
--R                    +--------------+
--R              +---+ |   2                2          +---+ +-+
--R       - 2b c\|- a \|a x  + b x + c  + (b x + 2b c)\|- a \|c
--R  /
--R                  +--------------+
--R        +---+ +-+ |   2                            2  +---+
--R     8c\|- a \|c \|a x  + b x + c  + (- 4b c x - 8c )\|- a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 131

dd4:=ratDenom cc4
--R
--R   (10)
--R                         +--------------+
--R                     +-+ |   2
--R            +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - 2b\|c log(---------------------------------)
--R                                   x
--R     +
--R                    +--------------+
--R                    |   2                           +-+
--R          +-+    2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c       +-+
--R       2b\|c log(--------------------------------------) - b\|c
--R                                  2c x
--R  /
--R     4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 131
ee4:=expandLog dd4
--R
--R   (11)
--R                         +--------------+
--R            +-+      +-+ |   2
--R       - 2b\|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R     +
--R                    +--------------+
--R          +-+       |   2                           +-+
--R       2b\|c log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c )
--R     +
--R                                     +-+
--R       (- 2b log(c) - 2b log(2) - b)\|c
--R  /
--R     4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 94 of 131     14:289 Schaums and Axiom differ by a constant
ff4:=complexNormalize ee4
--R
--R                                      +-+
--R         (- b log(c) - 2b log(2) - b)\|c
--R   (12)  --------------------------------
--R                        4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.290 ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}} = \frac{2(2ax + b)}{(4ac − b^{2})\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 95 of 131
aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x)
--R
--R
--R                          +--------------+
--R                          |   2                 +-+
--R                     - 2x\|a x  + b x + c  + 2x\|c
--R   (1)  --------------------------------------------------------
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2                    2              2
--R        (b x + 2c)\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 96 of 131
bb:=(2*(2*a*x+b))/((4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c))
--R
--R                  4a x + 2b
--R   (2)  ----------------------------
--R                    +--------------+
--R                 2  |   2
--R        (4a c - b )\|a x  + b x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 97 of 131
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                           +--------------+
--R                       +-+ |   2                2
--R                    4b\|c \|a x  + b x + c  - 2b x - 4b c
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                  +--------------+
--R        2     2   |   2                            3         2     2   +-+
--R   (8a c  - 2b c)\|a x  + b x + c  + ((- 4a b c + b )x - 8a c  + 2b c)\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 98 of 131     14:290 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=ratDenom cc
--R
--R              +-+
--R           2b\|c
--R   (4)  -----------
--R            2    2
--R        4a c  - b c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.291 ∫ \frac{x dx}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

∫ \frac{x}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}} = \frac{2(bx + 2c)}{(b^{2} − 4ac)\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 99 of 131
aa:=integrate(x/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x)
--R
--R
--R                                   2 +-+
--R                                 2x \|c
--R   (1)  --------------------------------------------------------
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2                    2              2
--R        (b x + 2c)\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 100 of 131
bb:=(2*(b*x+2*c))/((b^2-4*a*c)*sqrt(a*x^2+b*x+c))
--R
--R                 - 2b x - 4c
--R   (2)  ----------------------------
--R                    +--------------+
--R                 2  |   2
--R        (4a c - b )\|a x  + b x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 131
cc:=aa-bb

--R
--R   (3)
--R                            +--------------+
--R                        +-+ |   2                         2
--R                   - 8c\|c \|a x  + b x + c  + 4b c x + 8c
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                  +--------------+
--R        2     2   |   2                            3         2     2   +-+
--R   (8a c  - 2b c)\|a x  + b x + c  + ((- 4a b c + b )x - 8a c  + 2b c)\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 102 of 131    14:291 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=ratDenom cc
--R
--R              +-+
--R            4\|c
--R   (4)  - ---------
--R                  2
--R          4a c - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.292 ∫ \frac{x^{2} dx}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

∫ \frac{x^{2}}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}} = \frac{(2b^{2} − 4ac)x + 2bc}{a(4ac − b^{2})\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + \frac{1}{a} ∫ \frac{1}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 103 of 131
aa:=integrate(x^2/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                           +--------------+
--R                       +-+ |   2                    2              2
--R           ((b x + 2c)\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c )
--R        *
--R           log
--R                                     +--------------+
--R                     +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                  (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c

--R                +
--R                         2             +-+
--R                  (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R             /
--R                      +--------------+
--R                  +-+ |   2
--R                2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       +
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2                     2         +-+ +-+
--R         2c x\|a \|a x  + b x + c  + (- 2b x  - 2c x)\|a \|c
--R    /
--R                                +--------------+
--R                        +-+ +-+ |   2
--R         (a b x + 2a c)\|a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R              2   2                  2  +-+
--R         (- 2a c x  - 2a b c x - 2a c )\|a
--R     ,
--R
--R                            +--------------+
--R                        +-+ |   2                    2              2
--R           ((2b x + 4c)\|c \|a x  + b x + c  - 4a c x  - 4b c x - 4c )
--R        *
--R                       +--------------+
--R                 +---+ |   2               +---+ +-+
--R                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R           atan(------------------------------------)
--R                                 a x
--R       +
--R                    +--------------+
--R              +---+ |   2                     2         +---+ +-+
--R         2c x\|- a \|a x  + b x + c  + (- 2b x  - 2c x)\|- a \|c
--R    /
--R                                  +--------------+
--R                        +---+ +-+ |   2
--R         (a b x + 2a c)\|- a \|c \|a x  + b x + c
--R       +
--R              2   2                  2  +---+
--R         (- 2a c x  - 2a b c x - 2a c )\|- a
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 104 of 131
t1:=integrate(1/sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log

--R                                 +--------------+
--R                 +-+ +-+         |   2                   +-+
--R              (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R            +
--R                     2             +-+
--R              (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R         /
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R    /
--R        +-+
--R       \|a
--R     ,
--R                 +--------------+
--R           +---+ |   2               +---+ +-+
--R          \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R    2atan(------------------------------------)
--R                           a x
--R    -------------------------------------------]
--R                        +---+
--R                       \|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 105 of 131
bb1:=((2*b^2-4*a*c)*x+2*b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/a*t1.1
--R
--R   (3)
--R                     +--------------+
--R                  2  |   2
--R         (4a c - b )\|a x  + b x + c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                    2           +-+
--R       ((- 4a c + 2b )x + 2b c)\|a
--R  /
--R                       +--------------+
--R        2       2  +-+ |   2

--R     (4a c - a b )\|a \|a x  + b x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 106 of 131
bb2:=((2*b^2-4*a*c)*x+2*b*c)/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/a*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                                +--------------+
--R                    +--------------+      +---+ |   2               +---+ +-+
--R                 2  |   2                \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R       (8a c - 2b )\|a x  + b x + c atan(------------------------------------)
--R                                                          a x
--R     +
--R                    2           +---+
--R       ((- 4a c + 2b )x + 2b c)\|- a
--R  /
--R                         +--------------+
--R        2       2  +---+ |   2
--R     (4a c - a b )\|- a \|a x  + b x + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 107 of 131
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                              +--------------+
--R                          +-+ |   2                2          2
--R                     4b c\|c \|a x  + b x + c  - 2b c x - 4b c
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                    +--------------+
--R      2 2       2   |   2                    2         3       2 2       2   +-+
--R   (8a c  - 2a b c)\|a x  + b x + c  + ((- 4a b c + a b )x - 8a c  + 2a b c)\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 108 of 131
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                                  +--------------+
--R                  2     2   +---+ |   2
--R           (- 8a c  + 2b c)\|- a \|a x  + b x + c
--R         +
--R                       3         2     2   +---+ +-+
--R           ((4a b c - b )x + 8a c  - 2b c)\|- a \|c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+

--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+
--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                               +--------------+
--R                 2     2   +-+ |   2
--R           (16a c  - 4b c)\|a \|a x  + b x + c
--R         +
--R                          3          2     2   +-+ +-+
--R           ((- 8a b c + 2b )x - 16a c  + 4b c)\|a \|c
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                          +--------------+
--R            +---+ +-+ +-+ |   2                   2          2  +---+ +-+
--R       4b c\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2b c x - 4b c )\|- a \|a
--R  /
--R                                  +--------------+
--R          2 2       2   +---+ +-+ |   2
--R       (8a c  - 2a b c)\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R             2         3       2 2       2   +---+ +-+ +-+
--R       ((- 4a b c + a b )x - 8a c  + 2a b c)\|- a \|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 109 of 131
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R                                +--------------+
--R                2     2   +---+ |   2
--R           (8a c  - 2b c)\|- a \|a x  + b x + c
--R         +
--R                         3         2     2   +---+ +-+
--R           ((- 4a b c + b )x - 8a c  + 2b c)\|- a \|c
--R      *
--R         log
--R                                   +--------------+
--R                   +-+ +-+         |   2                   +-+

--R                (2\|a \|c  - 2a x)\|a x  + b x + c  + 2a x\|c
--R              +
--R                       2             +-+
--R                (- 2a x  - b x - 2c)\|a
--R           /
--R                    +--------------+
--R                +-+ |   2
--R              2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R     +
--R                                 +--------------+
--R                   2     2   +-+ |   2
--R           (- 16a c  + 4b c)\|a \|a x  + b x + c
--R         +
--R                        3          2     2   +-+ +-+
--R           ((8a b c - 2b )x + 16a c  - 4b c)\|a \|c
--R      *
--R                     +--------------+
--R               +---+ |   2               +---+ +-+
--R              \|- a \|a x  + b x + c  - \|- a \|c
--R         atan(------------------------------------)
--R                               a x
--R     +
--R                          +--------------+
--R            +---+ +-+ +-+ |   2                   2          2  +---+ +-+
--R       4b c\|- a \|a \|c \|a x  + b x + c  + (- 2b c x - 4b c )\|- a \|a
--R  /
--R                                  +--------------+
--R          2 2       2   +---+ +-+ |   2
--R       (8a c  - 2a b c)\|- a \|a \|a x  + b x + c
--R     +
--R             2         3       2 2       2   +---+ +-+ +-+
--R       ((- 4a b c + a b )x - 8a c  + 2a b c)\|- a \|a \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 110 of 131
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R                              +--------------+
--R                          +-+ |   2                2          2
--R                     4b c\|c \|a x  + b x + c  - 2b c x - 4b c
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                    +--------------+
--R      2 2       2   |   2                    2         3       2 2       2   +-+
--R   (8a c  - 2a b c)\|a x  + b x + c  + ((- 4a b c + a b )x - 8a c  + 2a b c)\|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 111 of 131    14:292 Schaums and Axiom differ by a constant

dd4:=ratDenom cc4
--R
--R              +-+
--R           2b\|c
--R   (9)  -----------
--R          2       2
--R        4a c - a b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.293 ∫ \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)^{3/2}} = \frac{1}{c\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + \frac{1}{c} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}} − \frac{b}{2c} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

— * —

)clear all
--S 112 of 131
aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                     +--------------+
--R                     |   2                     2              +-+
--R         ((b x + 2c)\|a x  + b x + c  + (- 2a x  - 2b x - 2c)\|c )
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                              +-+
--R                           2x\|c
--R     +
--R            +--------------+
--R            |   2                     2         +-+
--R       2b x\|a x  + b x + c  + (- 2a x  - 2b x)\|c
--R  /
--R                       +--------------+
--R                2  +-+ |   2                  2 2       2      3
--R     (b c x + 2c )\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 113 of 131

t1:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x
--R   (2)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 114 of 131
t2:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x)
--R
--R                          +--------------+
--R                          |   2                 +-+
--R                     - 2x\|a x  + b x + c  + 2x\|c
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2                    2              2
--R        (b x + 2c)\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 115 of 131
bb:=1/(c*sqrt(a*x^2+b*x+c))+1/c*t1-b/(2*c)*t2
--R
--R   (4)
--R                                    +--------------+
--R                  2              2  |   2
--R           (2a c x  + 2b c x + 2c )\|a x  + b x + c
--R         +
--R                   3              2  2              2  +-+
--R           (- a b x  + (- 2a c - b )x  - 3b c x - 2c )\|c
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R             +--------------+
--R           2 |   2                      3            2  2             2  +-+
--R       - 2c \|a x  + b x + c  + (- a b x  + (2a c - b )x  + b c x + 2c )\|c
--R  /
--R                                    +--------------+
--R            2 2       2      3  +-+ |   2                   2 3
--R       (2a c x  + 2b c x + 2c )\|c \|a x  + b x + c  - a b c x

--R     +
--R              3    2 2  2       3      4
--R       (- 2a c  - b c )x  - 3b c x - 2c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 116 of 131
cc:=aa-bb
--R
--R   (5)
--R                                            +--------------+
--R                       2  2              2  |   2
--R           ((- 4a c - b )x  - 8b c x - 8c )\|a x  + b x + c
--R         +
--R                  3             2  2               2  +-+
--R           (4a b x  + (8a c + 4b )x  + 12b c x + 8c )\|c
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                                          +--------------+
--R                     2  2              2  |   2
--R           ((4a c + b )x  + 8b c x + 8c )\|a x  + b x + c
--R         +
--R                    3               2  2               2  +-+
--R           (- 4a b x  + (- 8a c - 4b )x  - 12b c x - 8c )\|c
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                              +-+
--R                           2x\|c
--R     +
--R                                      +--------------+
--R                 2  2              2  |   2
--R       ((4a c + b )x  + 8b c x + 8c )\|a x  + b x + c
--R     +
--R                3               2  2               2  +-+
--R       (- 4a b x  + (- 8a c - 4b )x  - 12b c x - 8c )\|c
--R  /
--R                                            +--------------+
--R             2    2   2       2      3  +-+ |   2                    2 3
--R       ((4a c  + b c)x  + 8b c x + 8c )\|c \|a x  + b x + c  - 4a b c x
--R     +
--R              3     2 2  2        3      4
--R       (- 8a c  - 4b c )x  - 12b c x - 8c

--S 117 of 131
dd:=ratDenom cc
--R
--R   (6)
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R          +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       - \|c log(---------------------------------)
--R                                 x
--R     +
--R                  +--------------+
--R                  |   2                           +-+
--R        +-+    2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c      +-+
--R       \|c log(--------------------------------------) + \|c
--R                                2c x
--R  /
--R      2
--R     c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 118 of 131
ee:=expandLog dd
--R
--R   (7)
--R                       +--------------+
--R          +-+      +-+ |   2
--R       - \|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R     +
--R                  +--------------+
--R        +-+       |   2                           +-+
--R       \|c log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c )
--R     +
--R                               +-+
--R       (- log(c) - log(2) + 1)\|c
--R  /
--R      2
--R     c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 131    14:293 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R                                 +-+
--R        (- log(c) - 2log(2) + 2)\|c
--R   (8)  ----------------------------

--R                       2
--R                     2c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.294 ∫ \frac{dx}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(ax^{2} + bx + c)^{3/2}} = −\frac{ax^{2} + bx + c}{c^{2}x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

+\frac{b^{2} − 2ac}{2c^{2}} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{3/2}}

−\frac{3b}{2c^{2}} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

— * —

)clear all
--S 120 of 131
aa:=integrate(1/(x^2*(a*x^2+b*x+c)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                          +--------------+
--R                           3  3      2   2        2   +-+ |   2
--R           ((- 24a b c - 6b )x  - 48b c x  - 48b c x)\|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                2   4           2      3   3      2 2 2        3
--R           24a b c x  + (48a b c  + 24b c)x  + 72b c x  + 48b c x
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                              +-+
--R                           2x\|c
--R     +
--R                      3  3         2      2   2        2       3  +-+
--R         ((4a b c - 9b )x  + (64a c  - 24b c)x  + 40b c x + 32c )\|c
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c

--R     +
--R             2 2        2   4             2      3   3           3     2 2  2
--R       (- 32a c  + 24a b c)x  + (- 48a b c  + 24b c)x  + (- 80a c  + 8b c )x
--R     +
--R              3       4
--R       - 56b c x - 32c
--R  /
--R                                               +--------------+
--R              4     2 3  3        4 2      5   |   2
--R       ((16a c  + 4b c )x  + 32b c x  + 32c x)\|a x  + b x + c
--R     +
--R                 3 4           4      2 3  3        4 2      5   +-+
--R       (- 16a b c x  + (- 32a c  - 16b c )x  - 48b c x  - 32c x)\|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 121 of 131
t1:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(3/2),x)
--R
--R                          +--------------+
--R                          |   2                 +-+
--R                     - 2x\|a x  + b x + c  + 2x\|c
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2                    2              2
--R        (b x + 2c)\|c \|a x  + b x + c  - 2a c x  - 2b c x - 2c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 122 of 131
t2:=integrate(1/(x*sqrt(a*x^2+b*x+c)),x)
--R
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R            2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R        log(---------------------------------)
--R                            x
--R   (3)  --------------------------------------
--R                          +-+
--R                         \|c
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 123 of 131
bb:=-(a*x^2+2*b*x+c)/(c^2*x*sqrt(a*x^2+b*x+c))+(b^2-2*a*c)/_
     (2*c^2)*t1-(3*b)/(2*c^2)*t2
--R
--R   (4)
--R                                            +--------------+
--R                      3     2   2       2   |   2

--R           (- 6a b c x  - 6b c x  - 6b c x)\|a x  + b x + c
--R         +
--R                2 4               3  3     2   2       2   +-+
--R           (3a b x  + (6a b c + 3b )x  + 9b c x  + 6b c x)\|c
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                                                      +--------------+
--R                3        2     2   2        2      3  |   2
--R       (2a b c x  + (8a c  + 2b c)x  + 10b c x + 4c )\|a x  + b x + c
--R     +
--R                2        2  4                  3  3           2     2   2
--R           (- 8a c + 2a b )x  + (- 16a b c + 2b )x  + (- 12a c  - 6b c)x
--R         +
--R                  2      3
--R           - 12b c x - 4c
--R      *
--R          +-+
--R         \|c
--R  /
--R                                      +--------------+
--R            3 3       3 2     4   +-+ |   2                    3 4
--R       (4a c x  + 4b c x  + 4c x)\|c \|a x  + b x + c  - 2a b c x
--R     +
--R              4     2 3  3       4 2     5
--R       (- 4a c  - 2b c )x  - 6b c x  - 4c x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 124 of 131
cc:=aa-bb
--R
--R   (5)
--R                    2      4  3            2       3   2       2 2          3
--R             ((72a b c + 6b )x  + (144a b c  + 108b c)x  + 288b c x + 192b c )
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R                 2   2        3   4            2 2      4   3
--R           (- 48a b c  - 36a b c)x  + (- 240a b c  - 36b c)x
--R         +
--R                      3       3 2  2       2 3          4
--R           (- 240a b c  - 228b c )x  - 384b c x - 192b c
--R      *

--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                         2      4  3              2       3   2       2 2
--R                 (- 72a b c - 6b )x  + (- 144a b c  - 108b c)x  - 288b c x
--R               +
--R                         3
--R                 - 192b c
--R          *
--R                  +--------------+
--R              +-+ |   2
--R             \|c \|a x  + b x + c
--R         +
--R               2   2        3   4          2 2      4   3
--R           (48a b c  + 36a b c)x  + (240a b c  + 36b c)x
--R         +
--R                    3       3 2  2       2 3          4
--R           (240a b c  + 228b c )x  + 384b c x + 192b c
--R      *
--R                   +--------------+
--R               +-+ |   2
--R             2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R         log(---------------------------------)
--R                              +-+
--R                           2x\|c
--R     +
--R                  2      4  3              2      3   2       2 2          3
--R         ((- 60a b c - 5b )x  + (- 120a b c  - 90b c)x  - 240b c x - 160b c )
--R      *
--R              +--------------+
--R          +-+ |   2
--R         \|c \|a x  + b x + c
--R     +
--R           2   2        3   4          2 2      4   3            3       3 2  2
--R       (40a b c  + 30a b c)x  + (200a b c  + 30b c)x  + (200a b c  + 190b c )x
--R     +
--R           2 3          4
--R       320b c x + 160b c
--R  /
--R                  4     3 3  3         5      2 4  2         5        6
--R         ((48a b c  + 4b c )x  + (96a c  + 72b c )x  + 192b c x + 128c )
--R      *
--R          +--------------+
--R          |   2
--R         \|a x  + b x + c
--R     +
--R                 2 4        2 3  4              4      3 3  3

--R           (- 32a c  - 24a b c )x  + (- 160a b c  - 24b c )x
--R         +
--R                    5       2 4  2         5        6
--R           (- 160a c  - 152b c )x  - 256b c x - 128c
--R      *
--R          +-+
--R         \|c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 125 of 131
dd:=ratDenom cc
--R
--R   (6)
--R                       +--------------+
--R                   +-+ |   2
--R          +-+    2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c
--R       6b\|c log(---------------------------------)
--R                                 x
--R     +
--R                      +--------------+
--R                      |   2                           +-+
--R            +-+    2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c        +-+
--R       - 6b\|c log(--------------------------------------) - 5b\|c
--R                                    2c x
--R  /
--R       3
--R     4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 126 of 131
ee:=expandLog dd
--R
--R   (7)
--R                       +--------------+
--R          +-+      +-+ |   2
--R       6b\|c log(2\|c \|a x  + b x + c  - b x - 2c)
--R     +
--R                      +--------------+
--R            +-+       |   2                           +-+
--R       - 6b\|c log(2c\|a x  + b x + c  + (- b x - 2c)\|c )
--R     +
--R                                    +-+
--R       (6b log(c) + 6b log(2) - 5b)\|c
--R  /
--R       3
--R     4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 127 of 131    14:294 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R                                     +-+
--R        (3b log(c) + 6b log(2) - 5b)\|c
--R   (8)  --------------------------------
--R                         3
--R                       4c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.295 ∫ (ax^{2} + bx + c)^{n+1/2} dx

\begin{aligned}∫ (ax^{2} + bx + c)^{n+1/2} = & \frac{(2ax + b)(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}}{4a(n + 1)} \\ & +\frac{(2n + 1)(4ac − b^{2})}{8a(n + 1)} ∫ (ax^{2} + bx + c)^{n−1/2} \end{aligned}

— * —

)clear all
--S 128 of 131    14:295 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate((a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x)
--R
--R
--R                              2n + 1
--R           x                  ------
--R         ++                2     2
--I   (1)   |   (c + %N b + %N a)      d%N
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

17 [?]:14.296 ∫ x(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2} dx

∫ x(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2} = \frac{(ax^{2} + bx + c)^{n+3/2}}{a(2n + 3)} − \frac{b}{2a} ∫ (ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}

— * —

--S 129 of 131    14:296 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x)
--R
--R
--R                                 2n + 1
--R           x                     ------
--R         ++                   2     2
--I   (1)   |   %N (c + %N b + %N a)      d%N
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

18 [?]:14.297 ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}}

\begin{aligned}∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}} = & \frac{2(2ax + b)}{(2n − 1)(4ac − b^{2})(ax^{2} + bx + c)^{n−1/2}} \\ & +\frac{8a(n − 1)}{(2n − 1)(4ac − b^{2})} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{n−1/2}} \end{aligned}

— * —

)clear all
--S 130 of 131    14:297 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++             1
--I   (1)   |   ----------------------- d%N
--R        ++                    2n + 1
--R                              ------
--R                           2     2
--I             (c + %N b + %N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

19 [?]:14.298 ∫ \frac{dx}{x(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}}

∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}} = \frac{1}{(2n − 1)c(ax^{2} + bx + c)^{n−1/2}}

+\frac{1}{c} ∫ \frac{1}{x(ax^{2} + bx + c)^{n−1/2}}

−\frac{b}{2c} ∫ \frac{1}{(ax^{2} + bx + c)^{n+1/2}}

— * —

)clear all
--S 131 of 131    14:298 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x*(a*x^2+b*x+c)^(n+1/2)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++               1
--I   (1)   |   -------------------------- d%N
--R        ++                       2n + 1
--R                                 ------
--R                              2     2
--I             %N (c + %N b + %N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp72-73