$SPAD/input schaum14.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.299 ∫ \frac{dx}{x^{3} + a^{3}}

∫ \frac{1}{x^{3} + a^{3}} = \frac{1}{6a^{2}} ln \frac{(x + a)^{2}}{x^{2} − ax + a^{2}} + \frac{1}{a^{2}\sqrt{3}} tan^{−1} \frac{2x − a}{a\sqrt{3}}

— * —

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--S 1 of 39
aa:=integrate(1/(x^3+a^3),x)
--R
--R
--R                                                                    +-+
--R           +-+     2          2      +-+                   (2x - a)\|3
--R        - \|3 log(x  - a x + a ) + 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------)
--R                                                                3a
--R   (1)  ----------------------------------------------------------------
--R                                       2 +-+
--R                                     6a \|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 39
bb:=1/(6*a^2)*log((x+a)^2/(x^2-a*x+a^2))+1/(a^2*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3)))
--R
--R             2           2                       +-+
--R            x  + 2a x + a       +-+     (2x - a)\|3
--R        log(--------------) + 2\|3 atan(------------)
--R              2          2                   3a
--R             x  - a x + a
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                               2
--R                             6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                                  2           2
--R               2          2                      x  + 2a x + a
--R        - log(x  - a x + a ) + 2log(x + a) - log(--------------)
--R                                                   2          2

--R                                                  x  - a x + a
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                   6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 39      14:299 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.300 ∫ \frac{x dx}{x^{3} + a^{3}}

∫ \frac{x}{x^{3} + a^{3}} = \frac{1}{6a} ln \frac{x^{2} − ax + a^{2}}{(x + a)^{2}} + \frac{1}{a\sqrt{3}} tan^{−1} \frac{2x − a}{a\sqrt{3}}

— * —

)clear all
--S 5 of 39
aa:=integrate(x/(x^3+a^3),x)
--R
--R
--R                                                                  +-+
--R         +-+     2          2      +-+                   (2x - a)\|3
--R        \|3 log(x  - a x + a ) - 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------)
--R                                                              3a
--R   (1)  --------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                    6a\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 6 of 39
bb:=1/(6*a)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)+1/(a*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3)))
--R
--R              2          2                       +-+
--R             x  - a x + a       +-+     (2x - a)\|3
--R        log(--------------) + 2\|3 atan(------------)
--R             2           2                   3a
--R            x  + 2a x + a
--R   (2)  ---------------------------------------------

--R                              6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                                 2          2
--R             2          2                       x  - a x + a
--R        log(x  - a x + a ) - 2log(x + a) - log(--------------)
--R                                                2           2
--R                                               x  + 2a x + a
--R   (3)  ------------------------------------------------------
--R                                  6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 39      14:300 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.301 ∫ \frac{x^{2} dx}{x^{3} + a^{3}}

∫ \frac{x^{2}}{x^{3} + a^{3}} = \frac{1}{3} ln(x^{3} + a^{3})

— * —

)clear all
--S 9 of 39
aa:=integrate(x^2/(x^3+a^3),x)
--R
--R
--R             3    3
--R        log(x  + a )
--R   (1)  ------------
--R              3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 10 of 39
bb:=1/3*log(x^3+a^3)

--R
--R             3    3
--R        log(x  + a )
--R   (2)  ------------
--R              3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 39     14:301 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.302 ∫ \frac{dx}{x(x^{3} + a^{3})}

∫ \frac{1}{x(x^{3} + a^{3})} = \frac{1}{3a^{3}} ln (\frac{x^{3}}{x^{3} + a^{3}} )

— * —

)clear all
--S 12 of 39
aa:=integrate(1/(x*(x^3+a^3)),x)
--R
--R
--R               3    3
--R        - log(x  + a ) + 3log(x)
--R   (1)  ------------------------
--R                     3
--R                   3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 13 of 39
bb:=1/(3*a^3)*log(x^3/(x^3+a^3))
--R
--R                3
--R               x
--R        log(-------)
--R             3    3
--R            x  + a
--R   (2)  ------------
--R               3

--S 14 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                           3
--R               3    3                     x
--R        - log(x  + a ) + 3log(x) - log(-------)
--R                                        3    3
--R                                       x  + a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            3
--R                          3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 39     14:302 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.303 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{3} + a^{3})} dx

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{3} + a^{3})} = −\frac{1}{a^{3}x} − \frac{1}{6a^{4}} ln \frac{x^{2} − ax + a^{2}}{(x + a)^{2}} − \frac{1}{a^{4}\sqrt{3}} tan^{−1} \frac{2x − a}{a\sqrt{3}}

— * —

)clear all
--S 15 of 39
aa:=integrate(1/(x^2*(x^3+a^3)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                                   +-+
--R       +-+     2          2       +-+                     (2x - a)\|3        +-+
--R   - x\|3 log(x  - a x + a ) + 2x\|3 log(x + a) - 6x atan(------------) - 6a\|3
--R                                                               3a
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                                        4  +-+
--R                                      6a x\|3

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 39
bb:=-1/(a^3*x)-1/(6*a^4)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)-1/(a^4*sqrt(3))*_
     atan((2*x-a)/(a*sqrt(3)))
--R
--R                  2          2                        +-+
--R                 x  - a x + a        +-+     (2x - a)\|3
--R        - x log(--------------) - 2x\|3 atan(------------) - 6a
--R                 2           2                    3a
--R                x  + 2a x + a
--R   (2)  -------------------------------------------------------
--R                                    4
--R                                  6a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                                   2          2
--R               2          2                       x  - a x + a
--R        - log(x  - a x + a ) + 2log(x + a) + log(--------------)
--R                                                  2           2
--R                                                 x  + 2a x + a
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                                     4
--R                                   6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 39     14:303 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.304 ∫ \frac{dx}{(x^{3} + a^{3})^{2}}

∫ \frac{1}{(x^{3} + a^{3})^{2}} = \frac{x}{3a^{3}(x^{3} + a^{3})} + \frac{1}{9a^{5}} ln \frac{(x + a)^{2}}{x^{2} − ax + a^{2}} + \frac{2}{3a^{5}\sqrt{3}} tan^{−1} \frac{2x − a}{a\sqrt{3}}

— * —

)clear all
--S 19 of 39
aa:=integrate(1/(x^3+a^3)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R           3    3  +-+     2          2       3     3  +-+
--R       (- x  - a )\|3 log(x  - a x + a ) + (2x  + 2a )\|3 log(x + a)
--R     +
--R                                +-+
--R          3     3      (2x - a)\|3       2  +-+
--R       (6x  + 6a )atan(------------) + 3a x\|3
--R                            3a
--R  /
--R        5 3     8  +-+
--R     (9a x  + 9a )\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 20 of 39
bb:=x/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(9*a^5)*log((x+a)^2/(x^2-a*x+a^2))+_
    2/(3*a^5*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3)))
--R
--R   (2)
--R                 2           2                                 +-+
--R     3    3     x  + 2a x + a        3     3  +-+     (2x - a)\|3       2
--R   (x  + a )log(--------------) + (2x  + 2a )\|3 atan(------------) + 3a x
--R                  2          2                             3a
--R                 x  - a x + a
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                                   5 3     8
--R                                 9a x  + 9a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                                  2           2
--R               2          2                      x  + 2a x + a
--R        - log(x  - a x + a ) + 2log(x + a) - log(--------------)
--R                                                   2          2
--R                                                  x  - a x + a
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                                     5
--R                                   9a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 22 of 39     14:304 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.305 ∫ \frac{x dx}{(x^{3} + a^{3})^{2}}

∫ \frac{x}{(x^{3} + a^{3})^{2}} = \frac{x^{2}}{3a^{3}(x^{3} + a^{3})} + \frac{1}{18a^{4}} ln \frac{x^{2} − ax + a^{2}}{(x + a)^{2}} + \frac{1}{3a^{4}\sqrt{3}} tan^{−1} \frac{2x − a}{a\sqrt{3}}

— * —

)clear all
--S 23 of 39
aa:=integrate(x/(x^3+a^3)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R         3    3  +-+     2          2         3     3  +-+
--R       (x  + a )\|3 log(x  - a x + a ) + (- 2x  - 2a )\|3 log(x + a)
--R     +
--R                                +-+
--R          3     3      (2x - a)\|3         2 +-+
--R       (6x  + 6a )atan(------------) + 6a x \|3
--R                            3a
--R  /
--R         4 3      7  +-+
--R     (18a x  + 18a )\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 24 of 39
bb:=x^2/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(18*a^4)*log((x^2-a*x+a^2)/(x+a)^2)+_
    1/(3*a^4*sqrt(3))*atan((2*x-a)/(a*sqrt(3)))
--R
--R   (2)
--R                  2          2                                 +-+
--R     3    3      x  - a x + a        3     3  +-+     (2x - a)\|3         2
--R   (x  + a )log(--------------) + (2x  + 2a )\|3 atan(------------) + 6a x
--R                 2           2                             3a
--R                x  + 2a x + a
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                    4 3      7

--R                                 18a x  + 18a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                                 2          2
--R             2          2                       x  - a x + a
--R        log(x  - a x + a ) - 2log(x + a) - log(--------------)
--R                                                2           2
--R                                               x  + 2a x + a
--R   (3)  ------------------------------------------------------
--R                                    4
--R                                 18a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 39     14:305 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.306 ∫ \frac{x^{2} dx}{(x^{3} + a^{3})^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(x^{3} + a^{3})^{2}} = −\frac{1}{3(x^{3} + a^{3})}

— * —

)clear all
--S 27 of 39
aa:=integrate(x^2/(x^3+a^3)^2,x)
--R
--R
--R              1
--R   (1)  - ---------
--R            3     3
--R          3x  + 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 28 of 39

bb:=-1/(3*(x^3+a^3))
--R
--R              1
--R   (2)  - ---------
--R            3     3
--R          3x  + 3a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 29 of 39     14:306 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.307 ∫ \frac{dx}{x(x^{3} + a^{3})^{2}}

∫ \frac{1}{x(x^{3} + a^{3})^{2}} = \frac{1}{3a^{3}(x^{3} + a^{3})} + \frac{1}{3a^{6}} ln (\frac{x^{3}}{x^{3} + a^{3}} )

— * —

)clear all
--S 30 of 39
aa:=integrate(1/(x*(x^3+a^3)^2),x)
--R
--R
--R            3    3      3    3       3     3           3
--R        (- x  - a )log(x  + a ) + (3x  + 3a )log(x) + a
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                             6 3     9
--R                           3a x  + 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 31 of 39
bb:=1/(3*a^3*(x^3+a^3))+1/(3*a^6)*log(x^3/(x^3+a^3))
--R
--R                         3
--R          3    3        x        3
--R        (x  + a )log(-------) + a
--R                      3    3
--R                     x  + a
--R   (2)  --------------------------

--R                  6 3     9
--R                3a x  + 3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 39
cc:=aa-bb
--R
--R                                           3
--R               3    3                     x
--R        - log(x  + a ) + 3log(x) - log(-------)
--R                                        3    3
--R                                       x  + a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            6
--R                          3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 39     14:307 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.308 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{3} + a^{3})^{2}} dx

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{3} + a^{3})^{2}} = −\frac{1}{a^{6}x} − \frac{x^{2}}{3a^{6}(x^{3} + a^{3})} − \frac{4}{3a^{6}} ∫ \frac{x}{x^{3} + a^{3}}

— * —

)clear all
--S 34 of 39
aa:=integrate(1/(x^2*(x^3+a^3)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R            4     3   +-+     2          2       4     3   +-+
--R       (- 2x  - 2a x)\|3 log(x  - a x + a ) + (4x  + 4a x)\|3 log(x + a)
--R     +
--R                                     +-+
--R             4      3       (2x - a)\|3             3     4  +-+
--R       (- 12x  - 12a x)atan(------------) + (- 12a x  - 9a )\|3

--R                                 3a
--R  /
--R        7 4     10   +-+
--R     (9a x  + 9a  x)\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 35 of 39
t1:=integrate(x/(x^3+a^3),x)
--R
--R                                                                  +-+
--R         +-+     2          2      +-+                   (2x - a)\|3
--R        \|3 log(x  - a x + a ) - 2\|3 log(x + a) + 6atan(------------)
--R                                                              3a
--R   (2)  --------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                    6a\|3
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 36 of 39
bb:=-1/(a^6*x)-x^2/(3*a^6*(x^3+a^3))-4/(3*a^6)*t1
--R
--R   (3)
--R            4     3   +-+     2          2       4     3   +-+
--R       (- 2x  - 2a x)\|3 log(x  - a x + a ) + (4x  + 4a x)\|3 log(x + a)
--R     +
--R                                     +-+
--R             4      3       (2x - a)\|3             3     4  +-+
--R       (- 12x  - 12a x)atan(------------) + (- 12a x  - 9a )\|3
--R                                 3a
--R  /
--R        7 4     10   +-+
--R     (9a x  + 9a  x)\|3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 39     14:308 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.309 ∫ \frac{x^{m} dx}{x^{3} + a^{3}}

∫ \frac{x^{m}}{x^{3} + a^{3}} = \frac{x^{m−2}}{m − 2} − a^{3} ∫ \frac{x^{m−3}}{x^{3} + a^{3}}

— * —

)clear all
--S 38 of 39     14:309 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(x^3+a^3),x)
--R
--R
--R           x      m
--I         ++     %L
--I   (1)   |   -------- d%L
--R        ++    3     3
--I             a  + %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

12 [?]:14.310 ∫ \frac{dx}{x^{n}(x^{3} + a^{3})}

∫ \frac{1}{x^{n}(x^{3} + a^{3})} = \frac{−1}{a^{3}(n − 1)x^{n−1}} − \frac{1}{a^{3}} ∫ \frac{1}{x^{n−3}(x^{3} + a^{3})}

— * —

)clear all
--S 39 of 39     14:310 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^n*(x^3+a^3)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++        1
--I   (1)   |   ------------- d%L
--R        ++     3     3   n
--I             (a  + %L )%L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p73