$SPAD/input schaum16.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.325 ∫ \frac{dx}{x(x^{n} + a^{n})}

∫ \frac{1}{x(x^{n} + a^{n})} = \frac{1}{na^{n}} ln \frac{x^{n}}{x^{n} + a^{n}}

— * —

)set break resume
)spool schaum16.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 45
aa:=integrate(1/(x*(x^n+a^n)),x)
--R
--R                n log(x)    n
--R        - log(%e         + a ) + n log(x)
--R   (1)  ---------------------------------
--R                          n
--R                       n a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 45
bb:=1/(n*a^n)*log(x^n/(x^n+a^n))
--R
--R                n
--R               x
--R        log(-------)
--R             n    n
--R            x  + a
--R   (2)  ------------
--R               n
--R            n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 45
cc:=aa-bb
--R
--R                                         n
--R                n log(x)    n           x
--R        - log(%e         + a ) - log(-------) + n log(x)
--R                                      n    n
--R                                     x  + a
--R   (3)  ------------------------------------------------
--R                                 n

--R                              n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 45
dd:=expandLog cc
--R
--R                n log(x)    n         n    n         n
--R        - log(%e         + a ) + log(x  + a ) - log(x ) + n log(x)
--R   (4)  ----------------------------------------------------------
--R                                      n
--R                                   n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 45      14:325 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.326 ∫ \frac{x^{n−1} dx}{x^{n} + a^{n}}

∫ \frac{x^{n−1}}{x^{n} + a^{n}} = \frac{1}{n} ln(x^{n} + a^{n})

— * —

)clear all
--S 8 of 45
aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n+a^n),x)
--R
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         + a )
--R   (1)  --------------------
--R                  n
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 45
bb:=1/n*log(x^n+a^n)
--R
--R             n    n

--R        log(x  + a )
--R   (2)  ------------
--R              n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 45
cc:=aa-bb
--R
--R              n log(x)    n         n    n
--R        log(%e         + a ) - log(x  + a )
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 45
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 12 of 45     14:326 Schaums and Axiom agree
dd:=explog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.327 ∫ \frac{x^{m} dx}{(x^{n} + a^{n})^{r}}

∫ \frac{x^{m}}{(x^{n} + a^{n})^{r}} = ∫ \frac{x^{m−n}}{(x^{n} + a^{n})^{r−1}} − a^{n} ∫ \frac{x^{m−n}}{(x^{n} + a^{n})^{r}}

— * —

)clear all
--S 13 of 45     14:327 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(x^n+a^n)^r,x)
--R
--R
--R           x       m
--I         ++      %J

--I   (1)   |   ----------- d%J
--R        ++     n     n r
--I             (a  + %J )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

4 [?]:14.328 ∫ \frac{dx}{x^{m}(x^{n} + a^{n})^{r}}

∫ \frac{1}{x^{m}(x^{n} + a^{n})^{r}} = \frac{1}{a^{n}} ∫ \frac{1}{x^{m}(x^{n} + a^{n})^{r−1}} − \frac{1}{a^{n}} ∫ \frac{1}{x^{m−n}(x^{n} + a^{n})^{r}}

— * —

)clear all
--S 14 of 45     14:328 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^n+a^n)^r),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%J
--R        ++     m  n     n r
--I             %J (a  + %J )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.329 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{n} + a^{n}}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{x^{n} + a^{n}}} = \frac{1}{n\sqrt{a^{n}}} ln (\frac{\sqrt{x^{n} + a^{n}} − \sqrt{a^{n}}}{\sqrt{x^{n} + a^{n}} + \sqrt{a^{n}}} )

— * —

)clear all
--S 15 of 45
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n+a^n)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R              +---------------+                      +--+

--R            n |  n log(x)    n       n log(x)     n  | n
--R        - 2a \|%e         + a   + (%e         + 2a )\|a
--R    log(-------------------------------------------------)
--R                              n log(x)
--R                            %e
--R   [------------------------------------------------------,
--R                              +--+
--R                              | n
--R                            n\|a
--R             +----+ +---------------+
--R             |   n  |  n log(x)    n
--R            \|- a  \|%e         + a
--R      2atan(-------------------------)
--R                         n
--R                        a
--R    - --------------------------------]
--R                    +----+
--R                    |   n
--R                  n\|- a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 16 of 45
bb:=1/(n*sqrt(a^n))*log((sqrt(x^n+a^n)-sqrt(a^n))/(sqrt(x^n+a^n)+sqrt(a^n)))
--R
--R             +-------+    +--+
--R             | n    n     | n
--R            \|x  + a   - \|a
--R        log(------------------)
--R             +-------+    +--+
--R             | n    n     | n
--R            \|x  + a   + \|a
--R   (2)  -----------------------
--R                   +--+
--R                   | n
--R                 n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 45
cc1:=aa.1-bb
--R
--R   (3)
--R                 +---------------+                      +--+
--R               n |  n log(x)    n       n log(x)     n  | n
--R           - 2a \|%e         + a   + (%e         + 2a )\|a
--R       log(-------------------------------------------------)
--R                                 n log(x)
--R                               %e
--R     +

--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n
--R             \|x  + a   - \|a
--R       - log(------------------)
--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n
--R             \|x  + a   + \|a
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 45
dd1:=expandLog cc1
--R
--R   (4)
--R               +---------------+                        +--+
--R             n |  n log(x)    n         n log(x)     n  | n
--R       log(2a \|%e         + a   + (- %e         - 2a )\|a  )
--R     +
--R            +-------+    +--+         +-------+    +--+
--R            | n    n     | n          | n    n     | n
--R       log(\|x  + a   + \|a  ) - log(\|x  + a   - \|a  ) - n log(x) + log(- 1)
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 45
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (5)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 20 of 45
ee1:=explog dd1
--R
--R   (6)
--R               +-------+                +--+         +-------+    +--+
--R             n | n    n        n     n  | n          | n    n     | n
--R       log(2a \|x  + a   + (- x  - 2a )\|a  ) + log(\|x  + a   + \|a  )
--R     +
--R              +-------+    +--+
--R              | n    n     | n

--R       - log(\|x  + a   - \|a  ) - n log(x) + log(- 1)
--R  /
--R       +--+
--R       | n
--R     n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 45
ff1:=complexNormalize ee1
--R
--R        n log(a) + 4log(- 1)
--R   (7)  --------------------
--R              +----------+
--R              |  n log(a)
--R           2n\|%e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 45     14:329 Schaums and Axiom differ by a constant
gg1:=explog ff1
--R
--R        n log(a) + 4log(- 1)
--R   (8)  --------------------
--R                  +--+
--R                  | n
--R               2n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.330 ∫ \frac{dx}{x(x^{n} − a^{n})}

∫ \frac{1}{x(x^{n} − a^{n})} = \frac{1}{na^{n}} ln (\frac{x^{n} − a^{n}}{x^{n}} )

— * —

)clear all
--S 23 of 45
aa:=integrate(1/(x*(x^n-a^n)),x)
--R
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         - a ) - n log(x)
--R   (1)  -------------------------------

--R                         n
--R                      n a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 24 of 45
bb:=1/(n*a^n)*log((x^n-a^n)/x^n)
--R
--R             n    n
--R            x  - a
--R        log(-------)
--R                n
--R               x
--R   (2)  ------------
--R               n
--R            n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 45
cc:=aa-bb
--R
--R                                    n    n
--R              n log(x)    n        x  - a
--R        log(%e         - a ) - log(-------) - n log(x)
--R                                       n
--R                                      x
--R   (3)  ----------------------------------------------
--R                                n
--R                             n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 45
dd:=expandLog cc
--R
--R              n log(x)    n         n         n    n
--R        log(%e         - a ) + log(x ) - log(x  - a ) - n log(x)
--R   (4)  --------------------------------------------------------
--R                                     n
--R                                  n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 45
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (5)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))

--E
--S 28 of 45
ee:=explog dd
--R
--R             n
--R        log(x ) - n log(x)
--R   (6)  ------------------
--R                  n
--R               n a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 45
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (7)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 30 of 45     14:330 Schaums and Axiom agree
ff:=logpow ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.331 ∫ \frac{x^{n−1}dx}{x^{n} − a^{n}}

∫ \frac{x^{n−1}}{x^{n} − a^{n}} = \frac{1}{n} ln(x^{n} − a^{n})

— * —

)clear all
--S 31 of 45
aa:=integrate(x^(n-1)/(x^n-a^n),x)
--R
--R
--R              n log(x)    n
--R        log(%e         - a )
--R   (1)  --------------------
--R                  n
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 32 of 45
bb:=1/n*log(x^n-a^n)
--R
--R             n    n
--R        log(x  - a )
--R   (2)  ------------
--R              n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 45
cc:=aa-bb
--R
--R              n log(x)    n         n    n
--R        log(%e         - a ) - log(x  - a )
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 45
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 35 of 45     14:331 Schaums and Axiom agree
dd:=explog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.332 ∫ \frac{x^{m} dx}{(x^{n} − a^{n})^{r}}

∫ \frac{x^{m}}{(x^{n} − a^{n})^{r}} = a^{n} ∫ \frac{x^{m−n}}{(x^{n} − a^{n})^{r}} + ∫ \frac{x^{m−n}}{(x^{n} − a^{n})^{r−1}}

— * —

)clear all

--S 36 of 45     14:332 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/(x^n-a^n)^r,x)
--R
--R
--R           x        m
--I         ++       %J
--I   (1)   |   ------------- d%J
--R        ++       n     n r
--I             (- a  + %J )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

9 [?]:14.333 ∫ \frac{dx}{x^{m}(x^{n} − a^{n})^{r}}

∫ \frac{1}{x^{m}(x^{n} − a^{n})^{r}} = \frac{1}{a^{n}} ∫ \frac{1}{x^{m−n}(x^{n} − a^{n})^{r}} − \frac{1}{a^{n}} ∫ \frac{1}{x^{m}(x^{n} − a^{n})^{r−1}}

— * —

)clear all
--S 37 of 45     14:333 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^n-a^n)^r),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++          1
--I   (1)   |   ---------------- d%J
--R        ++     m    n     n r
--I             %J (- a  + %J )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

10 [?]:14.334 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{n} − a^{n}}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{x^{n} − a^{n}}} = \frac{2}{n\sqrt{a^{n}}} cos^{−1} \sqrt{\frac{a^{n}}{x^{n}}}

— * —

)clear all
--S 38 of 45
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^n-a^n)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R            +---------------+                      +----+
--R          n |  n log(x)    n       n log(x)     n  |   n
--R        2a \|%e         - a   + (%e         - 2a )\|- a
--R    log(-------------------------------------------------)
--R                              n log(x)
--R                            %e
--R   [------------------------------------------------------,
--R                             +----+
--R                             |   n
--R                           n\|- a
--R           +--+ +---------------+
--R           | n  |  n log(x)    n
--R          \|a  \|%e         - a
--R    2atan(-----------------------)
--R                      n
--R                     a
--R    ------------------------------]
--R                  +--+
--R                  | n
--R                n\|a
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 39 of 45
bb:=2/(n*sqrt(a^n))*acos(sqrt(a^n/x^n))
--R
--R               +--+
--R               | n
--R               |a
--R        2acos( |-- )
--R               | n
--R              \|x
--R   (2)  ------------
--R             +--+
--R             | n
--R           n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 45
cc1:=aa.1-bb
--R
--R   (3)

--R                    +---------------+                      +----+
--R        +--+      n |  n log(x)    n       n log(x)     n  |   n
--R        | n     2a \|%e         - a   + (%e         - 2a )\|- a
--R       \|a  log(-------------------------------------------------)
--R                                      n log(x)
--R                                    %e
--R     +
--R                       +--+
--R           +----+      | n
--R           |   n       |a
--R       - 2\|- a  acos( |-- )
--R                       | n
--R                      \|x
--R  /
--R       +----+ +--+
--R       |   n  | n
--R     n\|- a  \|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 45     14:334 Axiom cannot simplify this expression
cc2:=aa.2-bb
--R
--R               +--+ +---------------+           +--+
--R               | n  |  n log(x)    n            | n
--R              \|a  \|%e         - a             |a
--R        2atan(-----------------------) - 2acos( |-- )
--R                          n                     | n
--R                         a                     \|x
--R   (4)  ---------------------------------------------
--R                              +--+
--R                              | n
--R                            n\|a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.335 ∫ \frac{x^{p−1} dx}{x^{2m} + a^{2m}} provided 0 < p ≤ 2m

∫ \frac{x^{p−1}}{x^{2m} + a^{2m}} = \frac{1}{ma^{2m−p}} ∑_{k=1}^{m} sin \frac{(2k − 1)pπ}{2m} tan^{−1} (\frac{x + a cos ((2k − 1)π/2m)}{a sin ((2k − 1)π/2m)})

−\frac{1}{2ma^{2m−p}} ∑_{k=1}^{m} cos \frac{(2k − 1)pπ}{2m} ln (x^{2} + 2ax cos \frac{(2k − 1)π}{2m} + a^{2})

— * —

--S 42 of 45     14:335 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)+a^(2*m)),x)
--R
--R
--R           x     p - 1
--I         ++    %J
--I   (1)   |   ---------- d%J
--R        ++    2m     2m
--I             a   + %J
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

12 [?]:14.336 ∫ \frac{x^{p−1}dx}{x^{2m} − a^{2m}} provided 0 < p ≤ 2m

∫ \frac{x^{p−1}}{x^{2m} − a^{2m}} = \frac{1}{2ma^{2m−p}} ∑_{k=1}^{m−1} cos \frac{kpπ}{m} ln (x^{2} − 2ax cos \frac{kπ}{m} + a^{2})

−\frac{1}{ma^{2m−p}} ∑_{k=1}^{m−1} sin \frac{kpπ}{m} tan^{−1} (\frac{x − a cos(kπ/m)}{a sin(kπ/m)})

+\frac{1}{2ma^{2m−p}} (ln(x − a) + (−1)^{p} ln(x + a))

— * —

)clear all
--S 43 of 45     14:336 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m)-a^(2*m)),x)
--R
--R
--R           x       p - 1
--I         ++      %J
--I   (1)   |   - ---------- d%J
--R        ++      2m     2m
--I               a   - %J
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

13 [?]:14.337 ∫ \frac{x^{p−1} dx}{x^{2m+1} + a^{2m+1}} provided 0 < p ≤ 2m + 1

∫ \frac{x^{p−1}}{x^{2m+1} + a^{2m+1}} =

\frac{2(−1)^{p−1}}{(2m + 1)a^{2m−p+1}} ∑_{k=1}^{m} sin \frac{2kpπ}{2m + 1} tan^{−1} (\frac{x + a cos (2kπ/(2m + 1))}{a sin (2kπ/(2m + 1))})

−\frac{(−1)^{p−1}}{(2m + 1)a^{2m−p+1}} ∑_{k=1}^{m} cos \frac{2kpπ}{2m + 1} ln (x^{2} + 2ax cos \frac{2kπ}{2m + 1} + a^{2})

+\frac{(−1)^{p−1} ln(x + a)}{(2m + 1)a^{2m−p+1}}

— * —

)clear all
--S 44 of 45     14:337 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)+a^(2*m+1)),x)
--R
--R
--R           x         p - 1
--I         ++        %J
--I   (1)   |   ------------------ d%J
--R        ++    2m + 1     2m + 1
--I             a       + %J
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

14 [?]:14.338 ∫ \frac{x^{p−1} dx}{x^{2m+1} − a^{2m+1}} provided 0 < p ≤ 2m + 1

∫ \frac{x^{p−1}}{x^{2m+1} − a^{2m+1}} =

\frac{2}{(2m + 1)a^{2m−p+1}} ∑_{k=1}^{m} sin \frac{2kpπ}{2m + 1} tan^{−1} (\frac{x − a cos (2kpπ/(2m + 1))}{a sin (2kπ/(2m + 1))})

+ \frac{1}{(2m + 1)a^{2m−p+1}} ∑_{k=1}^{m} cos \frac{2kpπ}{2m + 1} ln (x^{2} − 2ax cos \frac{2kπ}{2m + 1} + a^{2})

+ \frac{ln(x − a)}{(2m + 1)a^{2m−p+1}}

— * —

)clear all
--S 45 of 45     14:338 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^(p-1)/(x^(2*m+1)-a^(2*m+1)),x)
--R
--R
--R           x           p - 1
--I         ++          %J
--I   (1)   |   - ------------------ d%J
--R        ++      2m + 1     2m + 1
--I               a       - %J
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp74-75