$SPAD/input schaum17.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.339 ∫ sin ax dx

∫ sin ax = −\frac{cos ax}{a}

— * —

)set break resume
)spool schaum17.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 136
aa:=integrate(sin(a*x),x)
--R
--R
--R          cos(a x)
--R   (1)  - --------
--R              a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 136
bb:=-cos(a*x)/a
--R
--R          cos(a x)
--R   (2)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 136      14:339 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.340 ∫ x sin ax dx

∫ x sin ax = \frac{sin ax}{a^{2}} − \frac{x cos ax}{a}

— * —

)clear all
--S 4 of 136
aa:=integrate(x*sin(a*x),x)
--R
--R
--R        sin(a x) - a x cos(a x)
--R   (1)  -----------------------
--R                    2
--R                   a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 136
bb:=sin(a*x)/a^2-(x*cos(a*x))/a
--R
--R        sin(a x) - a x cos(a x)
--R   (2)  -----------------------
--R                    2
--R                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 136      14:340 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.341 ∫ x^{2} sin ax dx

∫ x^{2} sin ax = \frac{2x}{a^{2}} sin ax + (\frac{2}{a^{3}} − \frac{x^{2}}{a} ) cos ax

— * —

)clear all
--S 7 of 136
aa:=integrate(x^2*sin(a*x),x)
--R
--R
--R                            2 2
--R        2a x sin(a x) + (- a x  + 2)cos(a x)
--R   (1)  ------------------------------------
--R                          3

--R                         a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 136
bb:=(2*x)/a^2*sin(a*x)+(2/a^3-x^2/a)*cos(a*x)
--R
--R                            2 2
--R        2a x sin(a x) + (- a x  + 2)cos(a x)
--R   (2)  ------------------------------------
--R                          3
--R                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 136      14:341 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.342 ∫ x^{3} sin ax dx

∫ x^{3} sin ax = (\frac{3x^{2}}{a^{2}} − \frac{6}{a^{4}} ) sin ax + (\frac{6x}{a^{3}} − \frac{x^{3}}{a} ) cos ax

— * —

)clear all
--S 10 of 136
aa:=integrate(x^3*sin(a*x),x)
--R
--R
--R           2 2                    3 3
--R        (3a x  - 6)sin(a x) + (- a x  + 6a x)cos(a x)
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R                               4
--R                              a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 11 of 136
bb:=((3*x^2)/a^2-6/a^4)*sin(a*x)+(6*x/a^3-x^3/a)*cos(a*x)
--R
--R           2 2                    3 3

--R        (3a x  - 6)sin(a x) + (- a x  + 6a x)cos(a x)
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                               4
--R                              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 136     14:342 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.343 ∫ \frac{sin ax}{x} dx

∫ \frac{sin ax}{x} = ax − \frac{(ax)^{3}}{3 · 3!} + \frac{(ax)^{5}}{5 · 5!} − ⋯

— * —

)clear all
--S 13 of 136     14:343 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(sin(x)/x,x)
--R
--R
--R   (1)  Si(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

6 [?]:14.344 ∫ \frac{sin ax}{x^{2}} dx

∫ \frac{sin ax}{x^{2}} = −\frac{sin ax}{x} + a ∫ \frac{cos ax}{x}

— * —

)clear all
--S 14 of 136     14:344 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sin(a*x)/x^2,x)
--R

--R
--R           x
--I         ++  sin(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--R        ++        2
--I                %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.345 ∫ \frac{dx}{sin ax}

∫ \frac{1}{sin ax} = \frac{1}{a} ln(csc ax − cot ax) = \frac{1}{a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 15 of 136
aa:=integrate(1/sin(a*x),x)
--R
--R
--R              sin(a x)
--R        log(------------)
--R            cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------
--R                a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 136
bb:=1/a*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                a x
--R        log(tan(---))
--R                 2
--R   (2)  -------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R                  a x           sin(a x)
--R        - log(tan(---)) + log(------------)

--R                   2          cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 136     14:345 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.346 ∫ \frac{x dx}{sin ax}

∫ \frac{x}{sin ax} = \frac{1}{a^{2}} \{ax + \frac{(ax)^{3}}{18} + \frac{7(ax)^{5}}{1800} + ⋯ + \frac{2(2^{2n−1} − 1)B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n + 1)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 19 of 136     14:346 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x/sin(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++      %I
--I   (1)   |   --------- d%I
--I        ++   sin(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

9 [?]:14.347 ∫ sin^{2} ax dx

∫ sin^{2} ax = \frac{x}{2} − \frac{sin 2ax}{4a}

— * —

)clear all
--S 20 of 136

aa:=integrate(sin(a*x)^2,x)
--R
--R
--R        - cos(a x)sin(a x) + a x
--R   (1)  ------------------------
--R                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 21 of 136
bb:=x/2-sin(2*a*x)/(4*a)
--R
--R        - sin(2a x) + 2a x
--R   (2)  ------------------
--R                4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R        sin(2a x) - 2cos(a x)sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------
--R                      4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 136     14:347 Schaums and Axiom agreee
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.348 ∫ x sin^{2} ax dx

∫ x sin^{2} ax = \frac{x^{2}}{4} − \frac{x sin 2ax}{4a} − \frac{cos 2ax}{8a^{2}}

— * —

)clear all
--S 24 of 136
aa:=integrate(x*sin(a*x)^2,x)
--R
--R

--R                                          2    2 2
--R        - 2a x cos(a x)sin(a x) - cos(a x)  + a x
--R   (1)  ------------------------------------------
--R                              2
--R                            4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 25 of 136
bb:=x^2/4-(x*sin(2*a*x))/(4*a)-cos(2*a*x)/(8*a^2)
--R
--R                                         2 2
--R        - 2a x sin(2a x) - cos(2a x) + 2a x
--R   (2)  ------------------------------------
--R                           2
--R                         8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R                                                                      2
--R        2a x sin(2a x) - 4a x cos(a x)sin(a x) + cos(2a x) - 2cos(a x)
--R   (3)  ---------------------------------------------------------------
--R                                        2
--R                                      8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 136     14:348 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R           1
--R   (4)  - ---
--R            2
--R          8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.349 ∫ sin^{3} ax dx

∫ sin^{3} ax = −\frac{cos ax}{a} + \frac{cos^{3} ax}{3a}

— * —

--S 28 of 136
aa:=integrate(sin(a*x)^3,x)
--R
--R
--R                3
--R        cos(a x)  - 3cos(a x)
--R   (1)  ---------------------
--R                  3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 29 of 136
bb:=-cos(a*x)/a+cos(a*x)^3/(3*a)
--R
--R                3
--R        cos(a x)  - 3cos(a x)
--R   (2)  ---------------------
--R                  3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 136     14:349 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.350 ∫ sin^{4} ax dx

∫ sin^{4} ax = \frac{3x}{8} − \frac{sin 2ax}{4a} + \frac{sin 4ax}{32a}

— * —

)clear all
--S 31 of 136
aa:=integrate(sin(a*x)^4,x)
--R
--R
--R                  3
--R        (2cos(a x)  - 5cos(a x))sin(a x) + 3a x
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           8a

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 32 of 136
bb:=(3*x)/8-sin(2*a*x)/(4*a)+sin(4*a*x)/(32*a)
--R
--R        sin(4a x) - 8sin(2a x) + 12a x
--R   (2)  ------------------------------
--R                      32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R                                             3
--R        - sin(4a x) + 8sin(2a x) + (8cos(a x)  - 20cos(a x))sin(a x)
--R   (3)  ------------------------------------------------------------
--R                                     32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 136     14:350 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.351 ∫ \frac{dx}{sin^{2} ax}

∫ \frac{1}{sin^{2} ax} = −\frac{1}{a} cot ax

— * —

)clear all
--S 35 of 136
aa:=integrate(1/sin(a*x)^2,x)
--R
--R
--R           cos(a x)
--R   (1)  - ----------
--R          a sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 36 of 136
bb:=-1/a*cot(a*x)
--R
--R          cot(a x)
--R   (2)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R        cot(a x)sin(a x) - cos(a x)
--R   (3)  ---------------------------
--R                 a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 136     14:351 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.352 ∫ \frac{dx}{sin^{3} ax}

∫ \frac{1}{sin^{3} ax} = −\frac{cos ax}{2a sin^{2} ax} + \frac{1}{2a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 39 of 136
aa:=integrate(1/sin(a*x)^3,x)
--R
--R
--R                 2           sin(a x)
--R        (cos(a x)  - 1)log(------------) + cos(a x)
--R                           cos(a x) + 1
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                                2
--R                     2a cos(a x)  - 2a

--S 40 of 136
bb:=-cos(a*x)/(2*a*sin(a*x)^2)+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                2        a x
--R        sin(a x) log(tan(---)) - cos(a x)
--R                          2
--R   (2)  ---------------------------------
--R                              2
--R                   2a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                  2             2        a x
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(tan(---))
--R                                          2
--R     +
--R                2             2      sin(a x)                      2           3
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x) log(------------) + cos(a x)sin(a x)  + cos(a x)
--R                                   cos(a x) + 1
--R     +
--R       - cos(a x)
--R  /
--R                 2              2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 136
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R                  2             2        a x
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(tan(---))
--R                                          2
--R     +
--R                2             2
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x) log(sin(a x))
--R     +
--R                  2             2                                    2
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(cos(a x) + 1) + cos(a x)sin(a x)
--R     +
--R               3
--R       cos(a x)  - cos(a x)

--R  /
--R                 2              2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 136     14:352 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.353 ∫ sin px sin qx dx

∫ sin px sin qx = \frac{sin (p − q)x}{2(p − q)} − \frac{sin (p + q)x}{2(p + q)}

— * —

)clear all
--S 44 of 136
aa:=integrate(sin(p*x)*sin(q*x),x)
--R
--R
--R        p cos(p x)sin(q x) - q cos(q x)sin(p x)
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                         2    2
--R                        q  - p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 45 of 136
bb:=sin((p-q)*x)/(2*(p-q))-sin((p+q)*x)/(2*(p+q))
--R
--R        (- q + p)sin((q + p)x) + (q + p)sin((q - p)x)
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                            2     2
--R                          2q  - 2p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)

--R       (q - p)sin((q + p)x) + 2p cos(p x)sin(q x) + (- q - p)sin((q - p)x)
--R     +
--R       - 2q cos(q x)sin(p x)
--R  /
--R       2     2
--R     2q  - 2p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 136     14:353 Schams and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.354 ∫ \frac{dx}{1 − sin ax}

∫ \frac{1}{1 − sin ax} = \frac{1}{a} tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 48 of 136
aa:=integrate(1/(1-sin(a*x)),x)
--R
--R
--R              - 2cos(a x) - 2
--R   (1)  ---------------------------
--R        a sin(a x) - a cos(a x) - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 49 of 136
bb:=1/a*tan(%pi/4+(a*x)/2)
--R
--R            2a x + %pi
--R        tan(----------)
--R                 4
--R   (2)  ---------------
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 50 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R                                       2a x + %pi
--R        (- sin(a x) + cos(a x) + 1)tan(----------) - 2cos(a x) - 2
--R                                            4
--R   (3)  ----------------------------------------------------------
--R                        a sin(a x) - a cos(a x) - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 136     14:354 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R        1
--R   (4)  -
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.355 ∫ \frac{x dx}{1 − sin ax}

∫ \frac{x}{1 − sin ax} = \frac{x}{a} tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2}) + \frac{2}{a^{2}} ln sin (\frac{π}{4} − \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 52 of 136
aa:=integrate(x/(1-sin(a*x)),x)
--R
--R   (1)
--R                                      sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       (2sin(a x) - 2cos(a x) - 2)log(-----------------------)
--R                                            cos(a x) + 1
--R     +
--R                                            2
--R       (- sin(a x) + cos(a x) + 1)log(------------) - a x sin(a x)
--R                                      cos(a x) + 1
--R     +
--R       - a x cos(a x) - a x
--R  /
--R      2            2            2
--R     a sin(a x) - a cos(a x) - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 53 of 136
bb:=x/a*tan(%pi/4+(a*x)/2)+2/a^2*log(sin(%pi/4-(a*x)/2))
--R
--R                   2a x - %pi             2a x + %pi
--R        2log(- sin(----------)) + a x tan(----------)
--R                        4                      4
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                               2
--R                              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 136     14:355 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                      sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       (2sin(a x) - 2cos(a x) - 2)log(-----------------------)
--R                                            cos(a x) + 1
--R     +
--R                                            2
--R       (- sin(a x) + cos(a x) + 1)log(------------)
--R                                      cos(a x) + 1
--R     +
--R                                              2a x - %pi
--R       (- 2sin(a x) + 2cos(a x) + 2)log(- sin(----------))
--R                                                   4
--R     +
--R                                                2a x + %pi
--R       (- a x sin(a x) + a x cos(a x) + a x)tan(----------) - a x sin(a x)
--R                                                     4
--R     +
--R       - a x cos(a x) - a x
--R  /
--R      2            2            2
--R     a sin(a x) - a cos(a x) - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.356 ∫ \frac{dx}{1 + sin ax}

∫ \frac{1}{1 + sin ax} = −\frac{1}{a} tan (\frac{π}{4} − \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 55 of 136
aa:=integrate(1/(1+sin(a*x)),x)
--R
--R              - 2cos(a x) - 2
--R   (1)  ---------------------------
--R        a sin(a x) + a cos(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 56 of 136
bb:=-1/a*tan(%pi/4-(a*x)/2)
--R
--R            2a x - %pi
--R        tan(----------)
--R                 4
--R   (2)  ---------------
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R
--R                                       2a x - %pi
--R        (- sin(a x) - cos(a x) - 1)tan(----------) - 2cos(a x) - 2
--R                                            4
--R   (3)  ----------------------------------------------------------
--R                        a sin(a x) + a cos(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 58 of 136
tanrule:=rule(tan(a/b) == sin(a)/cos(b))
--R
--R            a     sin(a)
--R   (4)  tan(-) == ------
--R            b     cos(b)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 59 of 136     14:356 Axiom cannot simplify this expression
dd:=tanrule cc
--R
--R        (- sin(a x) - cos(a x) - 1)sin(2a x - %pi) - 2cos(4)cos(a x) - 2cos(4)

--R   (5)  ----------------------------------------------------------------------
--R                    a cos(4)sin(a x) + a cos(4)cos(a x) + a cos(4)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.357 ∫ \frac{x dx}{1 + sin ax}

∫ \frac{x}{1 + sin ax} = −\frac{x}{a} tan (\frac{π}{4} − \frac{ax}{2}) + \frac{2}{a^{2}} ln sin (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 60 of 136
aa:=integrate(x/(1+sin(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                      sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       (2sin(a x) + 2cos(a x) + 2)log(-----------------------)
--R                                            cos(a x) + 1
--R     +
--R                                            2
--R       (- sin(a x) - cos(a x) - 1)log(------------) + a x sin(a x)
--R                                      cos(a x) + 1
--R     +
--R       - a x cos(a x) - a x
--R  /
--R      2            2            2
--R     a sin(a x) + a cos(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 61 of 136
bb:=-x/a*tan(%pi/4-(a*x)/2)+2/a^2*log(sin(%pi/4+(a*x)/2))
--R
--R                 2a x + %pi             2a x - %pi
--R        2log(sin(----------)) + a x tan(----------)
--R                      4                      4
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                              2
--R                             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 62 of 136     14:257 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                      sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       (2sin(a x) + 2cos(a x) + 2)log(-----------------------)
--R                                            cos(a x) + 1
--R     +
--R                                            2a x + %pi
--R       (- 2sin(a x) - 2cos(a x) - 2)log(sin(----------))
--R                                                 4
--R     +
--R                                            2
--R       (- sin(a x) - cos(a x) - 1)log(------------)
--R                                      cos(a x) + 1
--R     +
--R                                                2a x - %pi
--R       (- a x sin(a x) - a x cos(a x) - a x)tan(----------) + a x sin(a x)
--R                                                     4
--R     +
--R       - a x cos(a x) - a x
--R  /
--R      2            2            2
--R     a sin(a x) + a cos(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.358 ∫ \frac{dx}{(1 − sin ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(1 − sin ax)^{2}} = \frac{1}{2a} tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2}) + \frac{1}{6a} tan^{3} (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 63 of 136
aa:=integrate(1/(1-sin(a*x))^2,x)
--R
--R                                               2
--R             (3cos(a x) + 3)sin(a x) + cos(a x)  - 4cos(a x) - 5
--R   (1)  ------------------------------------------------------------
--R                                                2
--R        (3a cos(a x) + 6a)sin(a x) + 3a cos(a x)  - 3a cos(a x) - 6a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 64 of 136
bb:=1/(2*a)*tan(%pi/4+(a*x)/2)+1/(6*a)*tan(%pi/4+(a*x)/2)^3
--R
--R            2a x + %pi 3        2a x + %pi
--R        tan(----------)  + 3tan(----------)
--R                 4                   4
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                           2                    2a x + %pi 3
--R       ((- cos(a x) - 2)sin(a x) - cos(a x)  + cos(a x) + 2)tan(----------)
--R                                                                     4
--R     +
--R                                             2                     2a x + %pi
--R       ((- 3cos(a x) - 6)sin(a x) - 3cos(a x)  + 3cos(a x) + 6)tan(----------)
--R                                                                        4
--R     +
--R                                          2
--R       (6cos(a x) + 6)sin(a x) + 2cos(a x)  - 8cos(a x) - 10
--R  /
--R                                              2
--R     (6a cos(a x) + 12a)sin(a x) + 6a cos(a x)  - 6a cos(a x) - 12a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 136
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 67 of 136
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R                               2a x + %pi 3
--R           (- cos(a x) - 2)sin(----------)
--R                                    4
--R         +

--R                   2a x + %pi 2                2a x + %pi 2     2a x + %pi
--R           (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------)
--R                        4                           4                4
--R         +
--R                2a x + %pi 3                2a x + %pi 3
--R           6cos(----------) cos(a x) + 6cos(----------)
--R                     4                           4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R                  2                    2a x + %pi 3
--R       (- cos(a x)  + cos(a x) + 2)sin(----------)
--R                                            4
--R     +
--R                  2a x + %pi 2        2        2a x + %pi 2
--R           - 3cos(----------) cos(a x)  + 3cos(----------) cos(a x)
--R                       4                            4
--R         +
--R                2a x + %pi 2
--R           6cos(----------)
--R                     4
--R      *
--R             2a x + %pi
--R         sin(----------)
--R                  4
--R     +
--R          2a x + %pi 3        2        2a x + %pi 3                 2a x + %pi 3
--R     2cos(----------) cos(a x)  - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------)
--R               4                            4                            4
--R  /
--R               2a x + %pi 3                   2a x + %pi 3
--R       (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x)
--R                    4                              4
--R     +
--R              2a x + %pi 3        2          2a x + %pi 3
--R       6a cos(----------) cos(a x)  - 6a cos(----------) cos(a x)
--R                   4                              4
--R     +
--R                 2a x + %pi 3
--R       - 12a cos(----------)
--R                      4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 68 of 136
sindiffrule2:=rule(sin((a-b)/4) == sin(a/4)*cos(b/4)-cos(a/4)*sin(b/4))
--R
--R
--R                  b - a               a     b            b     a
--I   (6)  - %BD sin(-----) == - %BD cos(-)sin(-) + %BD cos(-)sin(-)

--R                    4                 4     4            4     4
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 69 of 136
ee:=sindiffrule2 dd
--R
--R   (7)
--R                               2a x + %pi 3
--R           (- cos(a x) - 2)sin(----------)
--R                                    4
--R         +
--R                   2a x + %pi 2                2a x + %pi 2     2a x + %pi
--R           (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------)
--R                        4                           4                4
--R         +
--R                2a x + %pi 3                2a x + %pi 3
--R           6cos(----------) cos(a x) + 6cos(----------)
--R                     4                           4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R                  2                    2a x + %pi 3
--R       (- cos(a x)  + cos(a x) + 2)sin(----------)
--R                                            4
--R     +
--R                  2a x + %pi 2        2        2a x + %pi 2
--R           - 3cos(----------) cos(a x)  + 3cos(----------) cos(a x)
--R                       4                            4
--R         +
--R                2a x + %pi 2
--R           6cos(----------)
--R                     4
--R      *
--R             2a x + %pi
--R         sin(----------)
--R                  4
--R     +
--R          2a x + %pi 3        2        2a x + %pi 3                 2a x + %pi 3
--R     2cos(----------) cos(a x)  - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------)
--R               4                            4                            4
--R  /
--R               2a x + %pi 3                   2a x + %pi 3
--R       (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x)
--R                    4                              4
--R     +
--R              2a x + %pi 3        2          2a x + %pi 3
--R       6a cos(----------) cos(a x)  - 6a cos(----------) cos(a x)
--R                   4                              4
--R     +

--R                 2a x + %pi 3
--R       - 12a cos(----------)
--R                      4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 136
sincuberule:=rule(sin(a)^3 == 3/4*sin(a)-1/4*sin(3*a))
--R
--R              3    - sin(3a) + 3sin(a)
--R   (8)  sin(a)  == -------------------
--R                            4
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 71 of 136
ff:=sincuberule ee
--R
--R   (9)
--R                                         2                    6a x + 3%pi
--R       ((cos(a x) + 2)sin(a x) + cos(a x)  - cos(a x) - 2)sin(-----------)
--R                                                                   4
--R     +
--R                       2a x + %pi 2                      2a x + %pi 2
--R             ((- 12cos(----------)  - 3)cos(a x) - 24cos(----------)  - 6)
--R                            4                                 4
--R          *
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R         +
--R                 2a x + %pi 3                 2a x + %pi 3
--R           24cos(----------) cos(a x) + 24cos(----------)
--R                      4                            4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R                    2a x + %pi 2             2
--R           (- 12cos(----------)  - 3)cos(a x)
--R                         4
--R         +
--R                  2a x + %pi 2                      2a x + %pi 2
--R           (12cos(----------)  + 3)cos(a x) + 24cos(----------)  + 6
--R                       4                                 4
--R      *
--R             2a x + %pi
--R         sin(----------)
--R                  4
--R     +
--R            2a x + %pi 3        2         2a x + %pi 3

--R       8cos(----------) cos(a x)  - 32cos(----------) cos(a x)
--R                 4                             4
--R     +
--R               2a x + %pi 3
--R       - 40cos(----------)
--R                    4
--R  /
--R                2a x + %pi 3                   2a x + %pi 3
--R       (24a cos(----------) cos(a x) + 48a cos(----------) )sin(a x)
--R                     4                              4
--R     +
--R               2a x + %pi 3        2           2a x + %pi 3
--R       24a cos(----------) cos(a x)  - 24a cos(----------) cos(a x)
--R                    4                               4
--R     +
--R                 2a x + %pi 3
--R       - 48a cos(----------)
--R                      4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 136     14:358 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize %
--R
--R          2
--R   (10)  --
--R         3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.359 ∫ \frac{dx}{(1 + sin ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(1 + sin ax)^{2}} = −\frac{1}{2a} tan (\frac{π}{4} − \frac{ax}{2}) − \frac{1}{6a} tan^{3} (\frac{π}{4} − \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 73 of 136
aa:=integrate(1/(1+sin(a*x))^2,x)
--R
--R                                                2
--R            (- 3cos(a x) - 3)sin(a x) + cos(a x)  - 4cos(a x) - 5
--R   (1)  ------------------------------------------------------------
--R                                                2

--R        (3a cos(a x) + 6a)sin(a x) - 3a cos(a x)  + 3a cos(a x) + 6a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 74 of 136
bb:=-1/(2*a)*tan(%pi/4-(a*x)/2)-1/(6*a)*tan(%pi/4-(a*x)/2)^3
--R
--R            2a x - %pi 3        2a x - %pi
--R        tan(----------)  + 3tan(----------)
--R                 4                   4
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                           2                    2a x - %pi 3
--R       ((- cos(a x) - 2)sin(a x) + cos(a x)  - cos(a x) - 2)tan(----------)
--R                                                                     4
--R     +
--R                                             2                     2a x - %pi
--R       ((- 3cos(a x) - 6)sin(a x) + 3cos(a x)  - 3cos(a x) - 6)tan(----------)
--R                                                                        4
--R     +
--R                                            2
--R       (- 6cos(a x) - 6)sin(a x) + 2cos(a x)  - 8cos(a x) - 10
--R  /
--R                                              2
--R     (6a cos(a x) + 12a)sin(a x) - 6a cos(a x)  + 6a cos(a x) + 12a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 136
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 77 of 136
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R                               2a x - %pi 3
--R           (- cos(a x) - 2)sin(----------)

--R                                    4
--R         +
--R                   2a x - %pi 2                2a x - %pi 2     2a x - %pi
--R           (- 3cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------) )sin(----------)
--R                        4                           4                4
--R         +
--R                  2a x - %pi 3                2a x - %pi 3
--R           - 6cos(----------) cos(a x) - 6cos(----------)
--R                       4                           4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R                2                    2a x - %pi 3
--R       (cos(a x)  - cos(a x) - 2)sin(----------)
--R                                          4
--R     +
--R                2a x - %pi 2        2        2a x - %pi 2
--R           3cos(----------) cos(a x)  - 3cos(----------) cos(a x)
--R                     4                            4
--R         +
--R                  2a x - %pi 2
--R           - 6cos(----------)
--R                       4
--R      *
--R             2a x - %pi
--R         sin(----------)
--R                  4
--R     +
--R          2a x - %pi 3        2        2a x - %pi 3                 2a x - %pi 3
--R     2cos(----------) cos(a x)  - 8cos(----------) cos(a x) - 10cos(----------)
--R               4                            4                            4
--R  /
--R               2a x - %pi 3                   2a x - %pi 3
--R       (6a cos(----------) cos(a x) + 12a cos(----------) )sin(a x)
--R                    4                              4
--R     +
--R                2a x - %pi 3        2          2a x - %pi 3
--R       - 6a cos(----------) cos(a x)  + 6a cos(----------) cos(a x)
--R                     4                              4
--R     +
--R               2a x - %pi 3
--R       12a cos(----------)
--R                    4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 78 of 136
sindiffrule2:=rule(sin((a-b)/4) == sin(a/4)*cos(b/4)-cos(a/4)*sin(b/4))
--R
--R

--I                 b - a              a     b           b     a
--I   (6)  - %U sin(-----) == - %U cos(-)sin(-) + %U cos(-)sin(-)
--I                   4                4     4           4     4
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 79 of 136
ee:=sindiffrule2 dd
--R
--R   (7)
--R                +-+    2a x - %pi 2             +-+    2a x - %pi 2     a x
--R           (- 3\|2 cos(----------) cos(a x) - 6\|2 cos(----------) )sin(---)
--R                            4                               4            2
--R         +
--R                                2a x - %pi 3
--R           (- 2cos(a x) - 4)sin(----------)
--R                                     4
--R         +
--R              +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R           (3\|2 cos(----------) cos(---) - 12cos(----------) )cos(a x)
--R                          4           2                4
--R         +
--R             +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R           6\|2 cos(----------) cos(---) - 12cos(----------)
--R                         4           2                4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R            +-+    2a x - %pi 2             +-+    2a x - %pi 2     a x
--R       (- 3\|2 cos(----------) cos(a x) - 6\|2 cos(----------) )sin(---)
--R                        4                               4            2
--R     +
--R                 2                     2a x - %pi 3
--R       (2cos(a x)  - 2cos(a x) - 4)sin(----------)
--R                                            4
--R     +
--R            2a x - %pi 2        2    2a x - %pi         2a x - %pi 3        2
--R       6cos(----------) cos(a x) sin(----------) + 4cos(----------) cos(a x)
--R                 4                        4                  4
--R     +
--R          +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R       (3\|2 cos(----------) cos(---) - 16cos(----------) )cos(a x)
--R                      4           2                4
--R     +
--R         +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R       6\|2 cos(----------) cos(---) - 20cos(----------)
--R                     4           2                4
--R  /
--R                2a x - %pi 3                   2a x - %pi 3
--R       (12a cos(----------) cos(a x) + 24a cos(----------) )sin(a x)

--R                     4                              4
--R     +
--R                 2a x - %pi 3        2           2a x - %pi 3
--R       - 12a cos(----------) cos(a x)  + 12a cos(----------) cos(a x)
--R                      4                               4
--R     +
--R               2a x - %pi 3
--R       24a cos(----------)
--R                    4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 136
sincuberule:=rule(sin(a)^3 == 3/4*sin(a)-1/4*sin(3*a))
--R
--R              3    - sin(3a) + 3sin(a)
--R   (8)  sin(a)  == -------------------
--R                            4
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 81 of 136
ff:=sincuberule ee
--R
--R   (9)
--R                                         2                    6a x - 3%pi
--R       ((cos(a x) + 2)sin(a x) - cos(a x)  + cos(a x) + 2)sin(-----------)
--R                                                                   4
--R     +
--R                +-+    2a x - %pi 2              +-+    2a x - %pi 2     a x
--R           (- 6\|2 cos(----------) cos(a x) - 12\|2 cos(----------) )sin(---)
--R                            4                                4            2
--R         +
--R                                2a x - %pi
--R           (- 3cos(a x) - 6)sin(----------)
--R                                     4
--R         +
--R              +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R           (6\|2 cos(----------) cos(---) - 24cos(----------) )cos(a x)
--R                          4           2                4
--R         +
--R              +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R           12\|2 cos(----------) cos(---) - 24cos(----------)
--R                          4           2                4
--R      *
--R         sin(a x)
--R     +
--R            +-+    2a x - %pi 2              +-+    2a x - %pi 2     a x
--R       (- 6\|2 cos(----------) cos(a x) - 12\|2 cos(----------) )sin(---)
--R                        4                                4            2

--R     +
--R               2a x - %pi 2             2                     2a x - %pi
--R       ((12cos(----------)  + 3)cos(a x)  - 3cos(a x) - 6)sin(----------)
--R                    4                                              4
--R     +
--R            2a x - %pi 3        2
--R       8cos(----------) cos(a x)
--R                 4
--R     +
--R          +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R       (6\|2 cos(----------) cos(---) - 32cos(----------) )cos(a x)
--R                      4           2                4
--R     +
--R          +-+    2a x - %pi 2    a x          2a x - %pi 3
--R       12\|2 cos(----------) cos(---) - 40cos(----------)
--R                      4           2                4
--R  /
--R                2a x - %pi 3                   2a x - %pi 3
--R       (24a cos(----------) cos(a x) + 48a cos(----------) )sin(a x)
--R                     4                              4
--R     +
--R                 2a x - %pi 3        2           2a x - %pi 3
--R       - 24a cos(----------) cos(a x)  + 24a cos(----------) cos(a x)
--R                      4                               4
--R     +
--R               2a x - %pi 3
--R       48a cos(----------)
--R                    4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 136     14:359 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize %
--R
--R            2
--R   (10)  - --
--R           3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.360 ∫ \frac{dx}{p + q sin ax}

∫ \frac{1}{p + q sin ax} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{a\sqrt{p^{2} − q^{q}}} & tan & −1 & \frac{p tan \frac{1}{2}ax + q}{\sqrt{p^{2} − q^{2}}} \\ \frac{1}{a\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & ln & (\frac{p tan \frac{1}{2}ax + q − \sqrt{q^{2} − p^{2}}}{p tan \frac{1}{2}ax + q + \sqrt{q^{2} − p^{2}}} ) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 83 of 136
aa:=integrate(1/(p+q*sin(a*x)),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                                      +-------+
--R                                2    2             2  | 2    2
--R              (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R            +
--R                    2    3                3    2              3    2
--R              (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R         /
--R            q sin(a x) + p
--R    /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R       a\|q  - p
--R     ,
--R                                          +---------+
--R                                          |   2    2
--R            (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R      2atan(-----------------------------------------)
--R                     2    2             2    2
--R                   (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R    - ------------------------------------------------]
--R                          +---------+
--R                          |   2    2
--R                        a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 84 of 136
bb1:=2/(a*sqrt(p^2-q^2))*atan((p*tan(a*x/2)+q)/sqrt(p^2-q^2))
--R

--R                    a x
--R              p tan(---) + q
--R                     2
--R        2atan(--------------)
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R               \|- q  + p
--R   (2)  ---------------------
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R            a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 136
bb2:=1/(a*sqrt(q^2-p^2))*log((p*tan((a*x)/2)+q-sqrt(q^2-p^2))/_
     (p*tan((a*x)/2)+q+sqrt(q^2-p^2)))
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2          a x
--R            - \|q  - p   + p tan(---) + q
--R                                  2
--R        log(-----------------------------)
--R              +-------+
--R              | 2    2          a x
--R             \|q  - p   + p tan(---) + q
--R                                 2
--R   (3)  ----------------------------------
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R                    a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 136
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /

--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R                               a x
--R           +-------+     p tan(---) + q
--R           | 2    2             2
--R       - 2\|q  - p  atan(--------------)
--R                           +---------+
--R                           |   2    2
--R                          \|- q  + p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 136
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (5)
--R                                         +---------+                a x
--R                                         |   2    2           p tan(---) + q
--R           (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p                   2
--R   - 2atan(-----------------------------------------) - 2atan(--------------)
--R                    2    2             2    2                   +---------+
--R                  (q  - p )cos(a x) + q  - p                    |   2    2
--R                                                               \|- q  + p
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                    +---------+
--R                                    |   2    2
--R                                  a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 136
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R       log
--R                                                      +-------+
--R                                2    2             2  | 2    2
--R              (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R            +
--R                    2    3                3    2              3    2
--R              (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R         /
--R            q sin(a x) + p
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2          a x

--R             - \|q  - p   + p tan(---) + q
--R                                   2
--R       - log(-----------------------------)
--R               +-------+
--R               | 2    2          a x
--R              \|q  - p   + p tan(---) + q
--R                                  2
--R  /
--R       +-------+
--R       | 2    2
--R     a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 136
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                            +-------+
--R                            | 2    2          a x
--R          +---------+    - \|q  - p   + p tan(---) + q
--R          |   2    2                           2
--R       - \|- q  + p  log(-----------------------------)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2          a x
--R                          \|q  - p   + p tan(---) + q
--R                                              2
--R     +
--R                                                       +---------+
--R           +-------+                                   |   2    2
--R           | 2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       - 2\|q  - p  atan(-----------------------------------------)
--R                                  2    2             2    2
--R                                (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 90 of 136
dd2:=ratDenom cc2
--R
--R   (8)
--R                                            +---------+
--R                                  a x       |   2    2
--R           +---------+     (p tan(---) + q)\|- q  + p
--R           |   2    2              2
--R       - 2\|- q  + p  atan(----------------------------)

--R                                       2    2
--R                                      q  - p
--R     +
--R                                                       +---------+
--R         +---------+                                   |   2    2
--R         |   2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       2\|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                  2    2             2    2
--R                                (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 91 of 136
atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x)))
--R
--R                     1                    1
--R   (9)  atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1)
--R                     2                    2
--RType: RewriteRule(Integer,Complex(Fraction(Integer)),Expression(Complex(Fraction(Integer))))
--E
--S 92 of 136
ee2:=atanrule2 dd2
--R
--R   (10)
--R                                                  +---------+
--R                                   1              |   2    2     2    2
--R          +---------+    (%i p tan(- a x) + %i q)\|- q  + p   + q  - p
--R          |   2    2               2
--R       %i\|- q  + p  log(----------------------------------------------)
--R                                              2    2
--R                                             q  - p
--R     +
--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                          +---------+
--R                                                          |   2    2
--R                   (%i p sin(a x) + %i q cos(a x) + %i q)\|- q  + p
--R                 +
--R                     2    2             2    2
--R                   (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R              /
--R                   2    2             2    2

--R                 (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                         +---------+
--R                                                         |   2    2
--R                (- %i p sin(a x) - %i q cos(a x) - %i q)\|- q  + p
--R              +
--R                  2    2             2    2
--R                (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R           /
--R                2    2             2    2
--R              (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R     +
--R                                                      +---------+
--R                                       1              |   2    2     2    2
--R            +---------+    (- %i p tan(- a x) - %i q)\|- q  + p   + q  - p
--R            |   2    2                 2
--R       - %i\|- q  + p  log(------------------------------------------------)
--R                                                 2    2
--R                                                q  - p
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 93 of 136
ff2:=expandLog ee2
--R
--R   (11)
--R            +---------+                       +---------+
--R            |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       - %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   + %i q  - %i p )
--R                                  2
--R     +
--R          +---------+                       +---------+
--R          |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   - %i q  + %i p )
--R                                2
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                            +---------+

--R                                            |   2    2
--R              (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R            +
--R                   2       2                2       2
--R              (%i q  - %i p )cos(a x) + %i q  - %i p
--R     +
--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                                               +---------+
--R                                               |   2    2
--R                 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R               +
--R                        2       2                2       2
--R                 (- %i q  + %i p )cos(a x) - %i q  + %i p
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 94 of 136
gg2:=numer(ff2)/denom(ff2)
--R
--R   (12)
--R            +---------+                       +---------+
--R            |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       - %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   + %i q  - %i p )
--R                                  2
--R     +
--R          +---------+                       +---------+
--R          |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   - %i q  + %i p )
--R                                2
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                            +---------+
--R                                            |   2    2
--R              (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R            +
--R                   2       2                2       2
--R              (%i q  - %i p )cos(a x) + %i q  - %i p
--R     +

--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                                               +---------+
--R                                               |   2    2
--R                 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R               +
--R                        2       2                2       2
--R                 (- %i q  + %i p )cos(a x) - %i q  + %i p
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--RType: Fraction(SparseMultivariatePolynomial(Complex(Fraction(Integer)),Kernel(Expression(Complex(Fraction(Integer))))))
--E
--S 95 of 136
hh2:=gg2::Expression Complex Fraction Integer
--R
--R   (13)
--R            +---------+                       +---------+
--R            |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       - %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   + %i q  - %i p )
--R                                  2
--R     +
--R          +---------+                       +---------+
--R          |   2    2            1           |   2    2        2       2
--R       %i\|- q  + p  log((p tan(- a x) + q)\|- q  + p   - %i q  + %i p )
--R                                2
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                            +---------+
--R                                            |   2    2
--R              (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R            +
--R                   2       2                2       2
--R              (%i q  - %i p )cos(a x) + %i q  - %i p
--R     +
--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log

--R                                               +---------+
--R                                               |   2    2
--R                 (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R               +
--R                        2       2                2       2
--R                 (- %i q  + %i p )cos(a x) - %i q  + %i p
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 96 of 136     14:360 Schaums and Axiom agree
complexNormalize hh2
--R
--R   (14)  0
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E

———-

23 [?]:14.361 ∫ \frac{dx}{(p + q sin ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(p + q sin ax)^{2}} = \frac{q cos ax}{a(p^{2} − q^{2})(p + q sin ax)} + \frac{p}{p^{2} − q^{2}} ∫ \frac{1}{p + q sin ax}

— * —

)clear all
--S 97 of 136
aa:=integrate(1/(p+q*sin(a*x))^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R             2              3
--R           (p q sin(a x) + p )
--R        *
--R           log
--R                                                          +-------+
--R                                    2    2             2  | 2    2
--R                  (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R                +
--R                      2    3              3    2              3    2
--R                  (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R             /
--R                q sin(a x) + p

--R       +
--R                                             +-------+
--R             2                               | 2    2
--R         (- q sin(a x) - p q cos(a x) - p q)\|q  - p
--R    /
--R                                                  +-------+
--R              3      3                2 2      4  | 2    2
--R       ((a p q  - a p q)sin(a x) + a p q  - a p )\|q  - p
--R     ,
--R
--R                                                                 +---------+
--R                                                                 |   2    2
--R            2               3      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R         (2p q sin(a x) + 2p )atan(-----------------------------------------)
--R                                            2    2             2    2
--R                                          (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R       +
--R                                             +---------+
--R             2                               |   2    2
--R         (- q sin(a x) - p q cos(a x) - p q)\|- q  + p
--R    /
--R                                                  +---------+
--R              3      3                2 2      4  |   2    2
--R       ((a p q  - a p q)sin(a x) + a p q  - a p )\|- q  + p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 98 of 136
t1:=integrate(1/(p+q*sin(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                                      +-------+
--R                                2    2             2  | 2    2
--R              (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R            +
--R                    2    3                3    2              3    2
--R              (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R         /
--R            q sin(a x) + p
--R    /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R       a\|q  - p
--R     ,
--R                                          +---------+
--R                                          |   2    2
--R            (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p

--R      2atan(-----------------------------------------)
--R                     2    2             2    2
--R                   (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R    - ------------------------------------------------]
--R                          +---------+
--R                          |   2    2
--R                        a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 99 of 136
bb1:=(q*cos(a*x))/(a*(p^2-q^2)*(p+q*sin(a*x)))+p/(p^2-q^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                            2
--R         (- p q sin(a x) - p )
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R       - q cos(a x)\|q  - p
--R  /
--R                                              +-------+
--R          3      2                  2      3  | 2    2
--R     ((a q  - a p q)sin(a x) + a p q  - a p )\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 100 of 136
bb2:=(q*cos(a*x))/(a*(p^2-q^2)*(p+q*sin(a*x)))+p/(p^2-q^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                                               +---------+
--R                                                               |   2    2
--R                          2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       (2p q sin(a x) + 2p )atan(-----------------------------------------)
--R                                          2    2             2    2
--R                                        (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R     +
--R                    +---------+
--R                    |   2    2

--R       - q cos(a x)\|- q  + p
--R  /
--R                                              +---------+
--R          3      2                  2      3  |   2    2
--R     ((a q  - a p q)sin(a x) + a p q  - a p )\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 136
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R          2
--R         p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                    2    3              3    2              3    2
--R                (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R          2
--R         p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R       - q\|q  - p
--R  /
--R                     +-------+
--R           2      3  | 2    2
--R     (a p q  - a p )\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 102 of 136
cc2:=aa.2-bb1

--R
--R   (6)
--R            +---------+
--R          2 |   2    2
--R         p \|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R                                                       +---------+
--R           +-------+                                   |   2    2
--R         2 | 2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       2p \|q  - p  atan(-----------------------------------------)
--R                                  2    2             2    2
--R                                (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R     +
--R           +---------+ +-------+
--R           |   2    2  | 2    2
--R       - q\|- q  + p  \|q  - p
--R  /
--R                     +---------+ +-------+
--R           2      3  |   2    2  | 2    2
--R     (a p q  - a p )\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 103 of 136
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R            +---------+
--R          2 |   2    2
--R         p \|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                    2    3              3    2              3    2
--R                (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p

--R     +
--R                                                         +---------+
--R             +-------+                                   |   2    2
--R           2 | 2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       - 2p \|q  - p  atan(-----------------------------------------)
--R                                    2    2             2    2
--R                                  (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R     +
--R           +---------+ +-------+
--R           |   2    2  | 2    2
--R       - q\|- q  + p  \|q  - p
--R  /
--R                     +---------+ +-------+
--R           2      3  |   2    2  | 2    2
--R     (a p q  - a p )\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 136    14:361 Schaums and Axiom differ by a constant
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R                q
--R   (8)  - -------------
--R               2      3
--R          a p q  - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.362 ∫ \frac{dx}{p^{2} + q^{2} sin^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} + q^{2} sin^{2} ax} = \frac{1}{ap\sqrt{p^{2} + q^{2}}} tan^{−1} \frac{\sqrt{p^{2} + q^{2}} tan ax}{p}

— * —

)clear all
--S 105 of 136
aa:=integrate(1/(p^2+q^2*sin(a*x)^2),x)
--R
--R   (1)
--R                             +-------+
--R                             | 2    2
--R                  p sin(a x)\|q  + p
--R       atan(-------------------------------)
--R               2     2              2     2

--R            (2q  + 2p )cos(a x) + 2q  + 2p
--R     +
--R                 2    2              2     2
--R             ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)
--R       atan(-----------------------------------------)
--R                                            +-------+
--R                       2                    | 2    2
--R            (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|q  + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a p\|q  + p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 106 of 136
bb:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((sqrt(p^2+q^2)*tan(a*x))/p)
--R
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R             tan(a x)\|q  + p
--R        atan(------------------)
--R                      p
--R   (2)  ------------------------
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R              a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 107 of 136
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                       +-------+                          +-------+
--R                       | 2    2                           | 2    2
--R              tan(a x)\|q  + p                 p sin(a x)\|q  + p
--R       - atan(------------------) + atan(-------------------------------)
--R                       p                    2     2              2     2
--R                                         (2q  + 2p )cos(a x) + 2q  + 2p
--R     +
--R                 2    2              2     2
--R             ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)
--R       atan(-----------------------------------------)
--R                                            +-------+
--R                       2                    | 2    2
--R            (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|q  + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2

--R     a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 108 of 136
dd:=ratDenom cc
--R
--R   (4)
--R                                 +-------+
--R          +-------+              | 2    2
--R          | 2    2      tan(a x)\|q  + p
--R       - \|q  + p  atan(------------------)
--R                                 p
--R     +
--R                                                                  +-------+
--R        +-------+            2    2              2     2          | 2    2
--R        | 2    2         ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R       \|q  + p  atan(--------------------------------------------------------)
--R                          2    3         2        2     3               2    3
--R                      (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R     +
--R                                       +-------+
--R        +-------+                      | 2    2
--R        | 2    2            p sin(a x)\|q  + p
--R       \|q  + p  atan(-------------------------------)
--R                         2     2              2     2
--R                      (2q  + 2p )cos(a x) + 2q  + 2p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 109 of 136
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i
--R   (5)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 110 of 136
ee:=atanrule dd
--R
--R   (6)
--R       -
--R               +-------+

--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                                +-------+
--R                                | 2    2          2        2                 2
--R                   - p sin(a x)\|q  + p   + (2%i q  + 2%i p )cos(a x) + 2%i q
--R                 +
--R                        2
--R                   2%i p
--R              /
--R                              +-------+
--R                              | 2    2          2        2                 2
--R                   p sin(a x)\|q  + p   + (2%i q  + 2%i p )cos(a x) + 2%i q
--R                 +
--R                        2
--R                   2%i p
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                              +-------+
--R                         2    2              2     2          | 2    2
--R                   ((- 2q  - p )cos(a x) - 2q  - 2p )sin(a x)\|q  + p
--R                 +
--R                          2       3         2           2        3
--R                   (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R                 +
--R                         2       3
--R                   %i p q  + %i p
--R              /
--R                                                            +-------+
--R                       2    2              2     2          | 2    2
--R                   ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R                 +
--R                          2       3         2           2        3
--R                   (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R                 +
--R                         2       3
--R                   %i p q  + %i p
--R     +
--R                                  +-------+
--R          +-------+               | 2    2
--R          | 2    2     - tan(a x)\|q  + p   + %i p
--R       %i\|q  + p  log(---------------------------)
--R                                 +-------+
--R                                 | 2    2

--R                        tan(a x)\|q  + p   + %i p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  + 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 111 of 136
ff:=expandLog ee
--R
--R   (7)
--R            +-------+             +-------+
--R            | 2    2              | 2    2
--R       - %i\|q  + p  log(tan(a x)\|q  + p   + %i p)
--R     +
--R          +-------+             +-------+
--R          | 2    2              | 2    2
--R       %i\|q  + p  log(tan(a x)\|q  + p   - %i p)
--R     +
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R         %i\|q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                       +-------+
--R                  2    2              2     2          | 2    2
--R              ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R            +
--R                     2       3         2           2        3                  2
--R              (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x) + %i p q
--R            +
--R                  3
--R              %i p
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                          +-------+
--R                     2    2              2     2          | 2    2
--R                 ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R               +
--R                          2       3         2             2        3
--R                 (- %i p q  - %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                         2       3
--R                 - %i p q  - %i p
--R     +

--R            +-------+
--R            | 2    2
--R         %i\|q  + p
--R      *
--R                      +-------+
--R                      | 2    2          2        2                 2        2
--R       log(p sin(a x)\|q  + p   + (2%i q  + 2%i p )cos(a x) + 2%i q  + 2%i p )
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                            +-------+
--R                            | 2    2            2        2                 2
--R                 p sin(a x)\|q  + p   + (- 2%i q  - 2%i p )cos(a x) - 2%i q
--R               +
--R                        2
--R                 - 2%i p
--R     +
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R       - %i log(- 1)\|q  + p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  + 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 112 of 136
tanrule2:RewriteRule(INT,COMPLEX(INT),EXPR(COMPLEX(INT))):=rule(tan(a) == _
  sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (8)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 113 of 136
gg:=tanrule2 ff
--R
--R   (9)
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R         %i\|q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                       +-------+

--R                  2    2              2     2          | 2    2
--R              ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R            +
--R                     2       3         2           2        3                  2
--R              (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x) + %i p q
--R            +
--R                  3
--R              %i p
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                          +-------+
--R                     2    2              2     2          | 2    2
--R                 ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R               +
--R                          2       3         2             2        3
--R                 (- %i p q  - %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                         2       3
--R                 - %i p q  - %i p
--R     +
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R         %i\|q  + p
--R      *
--R                      +-------+
--R                      | 2    2          2        2                 2        2
--R       log(p sin(a x)\|q  + p   + (2%i q  + 2%i p )cos(a x) + 2%i q  + 2%i p )
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                            +-------+
--R                            | 2    2            2        2                 2
--R                 p sin(a x)\|q  + p   + (- 2%i q  - 2%i p )cos(a x) - 2%i q
--R               +
--R                        2
--R                 - 2%i p
--R     +
--R                                  +-------+
--R            +-------+             | 2    2
--R            | 2    2     sin(a x)\|q  + p   + %i p cos(a x)
--R       - %i\|q  + p  log(----------------------------------)

--R                                      cos(a x)
--R     +
--R                              +-------+
--R        +-------+             | 2    2                                 +-------+
--R        | 2    2     sin(a x)\|q  + p   - %i p cos(a x)                | 2    2
--R     %i\|q  + p  log(----------------------------------) - %i log(- 1)\|q  + p
--R                                  cos(a x)
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  + 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 114 of 136
hh:=expandLog gg
--R
--R   (10)
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R         %i\|q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                       +-------+
--R                  2    2              2     2          | 2    2
--R              ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R            +
--R                     2       3         2           2        3                  2
--R              (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x) + %i p q
--R            +
--R                  3
--R              %i p
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                          +-------+
--R                     2    2              2     2          | 2    2
--R                 ((2q  + p )cos(a x) + 2q  + 2p )sin(a x)\|q  + p
--R               +
--R                          2       3         2             2        3
--R                 (- %i p q  - %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                         2       3
--R                 - %i p q  - %i p
--R     +
--R            +-------+
--R            | 2    2

--R         %i\|q  + p
--R      *
--R                      +-------+
--R                      | 2    2          2        2                 2        2
--R       log(p sin(a x)\|q  + p   + (2%i q  + 2%i p )cos(a x) + 2%i q  + 2%i p )
--R     +
--R       -
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            %i\|q  + p
--R         *
--R            log
--R                            +-------+
--R                            | 2    2            2        2                 2
--R                 p sin(a x)\|q  + p   + (- 2%i q  - 2%i p )cos(a x) - 2%i q
--R               +
--R                        2
--R                 - 2%i p
--R     +
--R            +-------+             +-------+
--R            | 2    2              | 2    2
--R       - %i\|q  + p  log(sin(a x)\|q  + p   + %i p cos(a x))
--R     +
--R        +-------+             +-------+                                +-------+
--R        | 2    2              | 2    2                                 | 2    2
--R     %i\|q  + p  log(sin(a x)\|q  + p   - %i p cos(a x)) - %i log(- 1)\|q  + p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  + 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 115 of 136    14:362 Schaums and Axiom differ by a constant
ii:=complexNormalize hh
--R
--R                                                   +-------+
--R                                                   | 2    2
--R         (%i log(%i) - %i log(- %i) - %i log(- 1))\|q  + p
--R   (11)  ---------------------------------------------------
--R                                 2       3
--R                           2a p q  + 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

25 [?]:14.363 ∫ \frac{dx}{p^{2} − q^{2} sin^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} − q^{2} sin^{2} ax} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{ap\sqrt{p^{2} − q^{2}}} & tan & −1 & \frac{\sqrt{p^{2} − q^{2}} tan ax}{p} \\ \frac{1}{2ap\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & ln & (\frac{\sqrt{q^{2} − p^{2}} tan ax + p}{\sqrt{q^{2} − p^{2}} tan ax − p}) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 116 of 136
aa:=integrate(1/(p^2-q^2*sin(a*x)^2),x)
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                                +-------+
--R                   2     2         2    2    2  | 2    2
--R              ((- q  + 2p )cos(a x)  + q  - p )\|q  - p
--R            +
--R                   2     3
--R              (2p q  - 2p )cos(a x)sin(a x)
--R         /
--R             2        2    2    2
--R            q cos(a x)  - q  + p
--R    /
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R       2a p\|q  - p
--R     ,
--R
--R                                +---------+
--R                                |   2    2
--R                     p sin(a x)\|- q  + p
--R         - atan(-------------------------------)
--R                   2     2              2     2
--R                (2q  - 2p )cos(a x) + 2q  - 2p
--R       +
--R                      2    2              2     2
--R                  ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)
--R         - atan(-------------------------------------------)
--R                                                +---------+
--R                           2                    |   2    2
--R                (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R    /

--R           +---------+
--R           |   2    2
--R       a p\|- q  + p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 117 of 136
bb1:=1/(a*p*sqrt(p^2-q^2))*atan((sqrt(p^2-q^2)*tan(a*x))/p)
--R
--R                      +---------+
--R                      |   2    2
--R             tan(a x)\|- q  + p
--R        atan(--------------------)
--R                       p
--R   (2)  --------------------------
--R                  +---------+
--R                  |   2    2
--R              a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 118 of 136
bb2:=1/(2*a*p*sqrt(q^2-p^2))*log((sqrt(q^2-p^2)*tan(a*x)+p)/_
     (sqrt(q^2-p^2)*tan(a*x)-p))
--R
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R            tan(a x)\|q  - p   + p
--R        log(----------------------)
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R            tan(a x)\|q  - p   - p
--R   (3)  ---------------------------
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R               2a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 136
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                  +-------+

--R                     2     2         2    2    2  | 2    2
--R                ((- q  + 2p )cos(a x)  + q  - p )\|q  - p
--R              +
--R                     2     3
--R                (2p q  - 2p )cos(a x)sin(a x)
--R           /
--R               2        2    2    2
--R              q cos(a x)  - q  + p
--R     +
--R                                  +---------+
--R           +-------+              |   2    2
--R           | 2    2      tan(a x)\|- q  + p
--R       - 2\|q  - p  atan(--------------------)
--R                                   p
--R  /
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 120 of 136
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (5)
--R                       +---------+                         +---------+
--R                       |   2    2                          |   2    2
--R              tan(a x)\|- q  + p                p sin(a x)\|- q  + p
--R       - atan(--------------------) - atan(-------------------------------)
--R                        p                     2     2              2     2
--R                                           (2q  - 2p )cos(a x) + 2q  - 2p
--R     +
--R                    2    2              2     2
--R                ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)
--R       - atan(-------------------------------------------)
--R                                              +---------+
--R                         2                    |   2    2
--R              (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R  /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R     a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 121 of 136
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R                      +-------+

--R                      | 2    2
--R             tan(a x)\|q  - p   + p
--R       - log(----------------------)
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R             tan(a x)\|q  - p   - p
--R     +
--R       log
--R                                                +-------+
--R                   2     2         2    2    2  | 2    2
--R              ((- q  + 2p )cos(a x)  + q  - p )\|q  - p
--R            +
--R                   2     3
--R              (2p q  - 2p )cos(a x)sin(a x)
--R         /
--R             2        2    2    2
--R            q cos(a x)  - q  + p
--R  /
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R     2a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 122 of 136
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                                  +-------+
--R          +---------+             | 2    2
--R          |   2    2     tan(a x)\|q  - p   + p
--R       - \|- q  + p  log(----------------------)
--R                                  +-------+
--R                                  | 2    2
--R                         tan(a x)\|q  - p   - p
--R     +
--R                                         +---------+
--R           +-------+                     |   2    2
--R           | 2    2           p sin(a x)\|- q  + p
--R       - 2\|q  - p  atan(-------------------------------)
--R                            2     2              2     2
--R                         (2q  - 2p )cos(a x) + 2q  - 2p
--R     +
--R           +-------+           2    2              2     2
--R           | 2    2        ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)
--R       - 2\|q  - p  atan(-------------------------------------------)
--R                                                         +---------+
--R                                    2                    |   2    2
--R                         (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R  /

--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 123 of 136
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (8)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 124 of 136
dd2:=tanrule cc2
--R
--R   (9)
--R                       +---------+                         +---------+
--R                       |   2    2                          |   2    2
--R              sin(a x)\|- q  + p                p sin(a x)\|- q  + p
--R       - atan(--------------------) - atan(-------------------------------)
--R                   p cos(a x)                 2     2              2     2
--R                                           (2q  - 2p )cos(a x) + 2q  - 2p
--R     +
--R                    2    2              2     2
--R                ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)
--R       - atan(-------------------------------------------)
--R                                              +---------+
--R                         2                    |   2    2
--R              (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R  /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R     a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 125 of 136
ee2:=ratDenom dd2
--R
--R   (10)
--R       -
--R             +---------+
--R             |   2    2
--R            \|- q  + p
--R         *
--R                                                            +---------+
--R                       2    2              2     2          |   2    2

--R                   ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R            atan(--------------------------------------------------------)
--R                     2    3         2        2     3               2    3
--R                 (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R     +
--R                                 +---------+
--R        +---------+              |   2    2
--R        |   2    2      sin(a x)\|- q  + p
--R       \|- q  + p  atan(--------------------)
--R                             p cos(a x)
--R     +
--R                                        +---------+
--R        +---------+                     |   2    2
--R        |   2    2           p sin(a x)\|- q  + p
--R       \|- q  + p  atan(-------------------------------)
--R                           2     2              2     2
--R                        (2q  - 2p )cos(a x) + 2q  - 2p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 126 of 136
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                             - x + %i
--R                      %i log(--------)
--R                              x + %i
--R   (11)  atan(x) == - ----------------
--R                              2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 127 of 136
ff2:=atanrule ee2
--R
--R   (12)
--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                                +---------+
--R                                |   2    2          2        2                 2
--R                   - p sin(a x)\|- q  + p   + (2%i q  - 2%i p )cos(a x) + 2%i q
--R                 +
--R                          2
--R                   - 2%i p

--R              /
--R                              +---------+
--R                              |   2    2          2        2                 2
--R                   p sin(a x)\|- q  + p   + (2%i q  - 2%i p )cos(a x) + 2%i q
--R                 +
--R                          2
--R                   - 2%i p
--R     +
--R                                      +---------+
--R            +---------+               |   2    2
--R            |   2    2     - sin(a x)\|- q  + p   + %i p cos(a x)
--R       - %i\|- q  + p  log(--------------------------------------)
--R                                     +---------+
--R                                     |   2    2
--R                            sin(a x)\|- q  + p   + %i p cos(a x)
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                           +---------+
--R                      2    2              2     2          |   2    2
--R                ((- 2q  + p )cos(a x) - 2q  + 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R              +
--R                       2       3         2           2        3
--R                (%i p q  - %i p )cos(a x)  + (2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R              +
--R                      2       3
--R                %i p q  - %i p
--R           /
--R                                                         +---------+
--R                    2    2              2     2          |   2    2
--R                ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R              +
--R                       2       3         2           2        3
--R                (%i p q  - %i p )cos(a x)  + (2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R              +
--R                      2       3
--R                %i p q  - %i p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  - 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 128 of 136
gg2:=expandLog ff2
--R
--R   (13)

--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                                                          +---------+
--R                     2    2              2     2          |   2    2
--R                 ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R               +
--R                        2       3         2           2        3
--R                 (%i p q  - %i p )cos(a x)  + (2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                       2       3
--R                 %i p q  - %i p
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                       +---------+
--R                  2    2              2     2          |   2    2
--R              ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R            +
--R                       2       3         2             2        3
--R              (- %i p q  + %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R            +
--R                      2       3
--R              - %i p q  + %i p
--R     +
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R         %i\|- q  + p
--R      *
--R                      +---------+
--R                      |   2    2          2        2                 2        2
--R       log(p sin(a x)\|- q  + p   + (2%i q  - 2%i p )cos(a x) + 2%i q  - 2%i p )
--R     +
--R       -
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            %i\|- q  + p
--R         *
--R            log
--R                            +---------+
--R                            |   2    2            2        2                 2
--R                 p sin(a x)\|- q  + p   + (- 2%i q  + 2%i p )cos(a x) - 2%i q
--R               +
--R                      2

--R                 2%i p
--R     +
--R          +---------+             +---------+
--R          |   2    2              |   2    2
--R       %i\|- q  + p  log(sin(a x)\|- q  + p   + %i p cos(a x))
--R     +
--R            +---------+             +---------+
--R            |   2    2              |   2    2
--R       - %i\|- q  + p  log(sin(a x)\|- q  + p   - %i p cos(a x))
--R     +
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R       - %i log(- 1)\|- q  + p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  - 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 129 of 136
rootrule4a:RewriteRule(INT,COMPLEX(INT),EXPR(COMPLEX(INT))):=_
  rule(sqrt(p^2-q^2)==sqrt(p-q)*sqrt(q+p))
--R
--R          +---------+
--R          |   2    2      +-------+ +-----+
--R   (14)  \|- q  + p   == \|- q + p \|q + p
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 130 of 136
hh2:=rootrule4a gg2
--R
--R   (15)
--R       -
--R               +-------+ +-----+
--R            %i\|- q + p \|q + p
--R         *
--R            log
--R                     2    2              2     2          +-------+ +-----+
--R                 ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q + p \|q + p
--R               +
--R                        2       3         2           2        3
--R                 (%i p q  - %i p )cos(a x)  + (2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                       2       3
--R                 %i p q  - %i p
--R     +
--R            +-------+ +-----+
--R         %i\|- q + p \|q + p
--R      *

--R         log
--R                  2    2              2     2          +-------+ +-----+
--R              ((2q  - p )cos(a x) + 2q  - 2p )sin(a x)\|- q + p \|q + p
--R            +
--R                       2       3         2             2        3
--R              (- %i p q  + %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R            +
--R                      2       3
--R              - %i p q  + %i p
--R     +
--R            +-------+ +-----+
--R         %i\|- q + p \|q + p
--R      *
--R         log
--R                         +-------+ +-----+         2        2                 2
--R              p sin(a x)\|- q + p \|q + p  + (2%i q  - 2%i p )cos(a x) + 2%i q
--R            +
--R                     2
--R              - 2%i p
--R     +
--R       -
--R               +-------+ +-----+
--R            %i\|- q + p \|q + p
--R         *
--R            log
--R                            +-------+ +-----+           2        2
--R                 p sin(a x)\|- q + p \|q + p  + (- 2%i q  + 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                        2        2
--R                 - 2%i q  + 2%i p
--R     +
--R          +-------+ +-----+             +-------+ +-----+
--R       %i\|- q + p \|q + p log(sin(a x)\|- q + p \|q + p  + %i p cos(a x))
--R     +
--R            +-------+ +-----+             +-------+ +-----+
--R       - %i\|- q + p \|q + p log(sin(a x)\|- q + p \|q + p  - %i p cos(a x))
--R     +
--R                     +-------+ +-----+
--R       - %i log(- 1)\|- q + p \|q + p
--R  /
--R           2       3
--R     2a p q  - 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 131 of 136    14:363 Schaums and Axiom differ by a constant
ii2:=complexNormalize hh2
--R
--R                                                   +-------+ +-----+
--R         (%i log(%i) - %i log(- %i) - %i log(- 1))\|- q + p \|q + p

--R   (16)  -----------------------------------------------------------
--R                                     2       3
--R                               2a p q  - 2a p
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

26 [?]:14.364 ∫ x^{m} sin ax dx

∫ x^{m} sin ax = −\frac{x^{m} cos ax}{a} + \frac{mx^{m−1} sin ax}{a^{2}} − \frac{m(m − 1)}{a^{2}} ∫ x^{m−2} sin ax

— * —

)clear all
--S 132 of 136    14:364 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*sin(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++             m
--I   (1)   |   sin(%I a)%I d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

27 [?]:14.365 ∫ \frac{sin ax}{x^{n}} dx

∫ \frac{sin ax}{x^{n}} = −\frac{sin ax}{(n − 1)x^{n−1}} + \frac{a}{n − 1} ∫ \frac{cos ax}{x^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 133 of 136    14:365 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sin(a*x)/x^n,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  sin(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--R        ++        n

--I                %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

28 [?]:14.366 ∫ sin^{n} ax dx

∫ sin^{n} ax = −\frac{sin^{n−1} ax cos ax}{an} + \frac{n − 1}{n} ∫ sin^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 134 of 136    14:366 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sin(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   sin(%I a) d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

29 [?]:14.367 ∫ \frac{1}{sin^{n} ax} dx

∫ \frac{1}{sin^{n} ax} = \frac{− cos ax}{a(n − 1) sin^{n−1} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{1}{sin^{n−2} ax}

— * —

)clear all
--S 135 of 136    14:367 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(sin(a*x))^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1
--I   (1)   |   ---------- d%I
--R        ++            n
--I             sin(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

30 [?]:14.368 ∫ \frac{x dx}{sin^{n}ax}

∫ \frac{x}{sin^{n}ax} = \frac{−x cos ax}{a(n − 1) sin^{n−1} ax} − \frac{1}{a^{2}(n − 1)(n − 2) sin^{n−2} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{x}{sin^{n−2} ax}

— * —

)clear all
--S 136 of 136    14:368 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x/sin(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++      %I
--I   (1)   |   ---------- d%I
--R        ++            n
--I             sin(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp75-76