$SPAD/input schaum18.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.369 ∫ cos ax dx

∫ cos ax = \frac{sin ax}{a}

— * —

)set break resume
)spool schaum18.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 127
aa:=integrate(cos(a*x),x)
--R
--R
--R        sin(a x)
--R   (1)  --------
--R            a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 127
bb:=sin(a*x)/a
--R
--R        sin(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 127      14:369 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.370 ∫ x cos ax dx

∫ x cos ax = \frac{cos ax}{a^{2}} + \frac{x sin ax}{a}

— * —

)clear all
--S 4 of 127
aa:=integrate(x*cos(a*x),x)
--R
--R
--R        a x sin(a x) + cos(a x)
--R   (1)  -----------------------
--R                    2
--R                   a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 127
bb:=cos(a*x)/a^2+(x*sin(a*x))/a
--R
--R        a x sin(a x) + cos(a x)
--R   (2)  -----------------------
--R                    2
--R                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 127      14:370 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.371 ∫ x^{2} cos ax dx

∫ x^{2} cos ax = \frac{2x}{a^{2}} cos ax + (\frac{x^{2}}{a} − \frac{2}{a^{3}} ) sin ax

— * —

)clear all
--S 7 of 127
aa:=integrate(x^2*cos(a*x),x)
--R
--R
--R          2 2
--R        (a x  - 2)sin(a x) + 2a x cos(a x)
--R   (1)  ----------------------------------
--R                         3

--R                        a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 127
bb:=(2*x)/a^2*cos(a*x)+(x^2/a-2/a^3)*sin(a*x)
--R
--R          2 2
--R        (a x  - 2)sin(a x) + 2a x cos(a x)
--R   (2)  ----------------------------------
--R                         3
--R                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 127      14:371 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.372 ∫ x^{3} cos ax dx

∫ x^{3} cos ax = (\frac{3x^{2}}{a^{2}} − \frac{6}{a^{4}} ) cos ax + (\frac{x^{3}}{a} − \frac{6x}{a^{3}}) sin ax

— * —

)clear all
--S 10 of 127
aa:=integrate(x^3*cos(a*x),x)
--R
--R
--R          3 3                      2 2
--R        (a x  - 6a x)sin(a x) + (3a x  - 6)cos(a x)
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                              4
--R                             a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 11 of 127
bb:=((3*x^2)/a^2-6/a^4)*cos(a*x)+(x^3/a-(6*x)/a^3)*sin(a*x)
--R
--R          3 3                      2 2

--R        (a x  - 6a x)sin(a x) + (3a x  - 6)cos(a x)
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                              4
--R                             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 127     14:372 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.373 ∫ \frac{cos ax}{x} dx

∫ \frac{cos ax}{x} = ln x − \frac{(ax)^{2}}{2 · 2!} + \frac{(ax)^{4}}{4 · 4!} − \frac{(ax)^{6}}{6 · 6!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 13 of 127     14:373 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(cos(x)/x,x)
--R
--R
--R   (1)  Ci(x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

6 [?]:14.374 ∫ \frac{cos ax}{x^{2}} dx

∫ \frac{cos ax}{x^{2}} = −\frac{cos ax}{x} − a ∫ \frac{sin ax}{x}

— * —

)clear all
--S 14 of 127     14:374 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cos(a*x)/x^2,x)
--R

--R
--R           x
--I         ++  cos(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--R        ++        2
--I                %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.375 ∫ \frac{dx}{cos ax}

∫ \frac{1}{cos ax} = \frac{1}{a} ln(sec ax − tan ax) = \frac{1}{a} ln tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 15 of 127
aa:=integrate(1/cos(a*x),x)
--R
--R
--R            sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R        log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                  cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                     a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 127
bb1:=1/a*log(sec(a*x)+tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x) + sec(a x))
--R   (2)  ------------------------
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 127
bb2:=1/a*log(tan(%pi/4+(a*x)/2))
--R
--R                2a x + %pi
--R        log(tan(----------))
--R                     4
--R   (3)  --------------------

--R                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 127
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)
--R                                        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(a x) + sec(a x)) + log(-----------------------)
--R                                              cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 127
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 127     14:375 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize cc1
--R
--R        log(- 1)
--R   (6)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.376 ∫ \frac{x dx}{cos ax}

∫ \frac{x}{cos ax} = \frac{1}{a^{2}} \{\frac{(ax)^{2}}{2} + \frac{(ax)^{4}}{8} + \frac{5(ax)^{6}}{144} + ⋯ + \frac{E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n + 2)(2n)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 21 of 127     14:376 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x/cos(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++      %I
--I   (1)   |   --------- d%I
--I        ++   cos(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

9 [?]:14.377 ∫ cos^{2} ax dx

∫ cos^{2} ax = \frac{x}{2} + \frac{sin 2ax}{4a}

— * —

)clear all
--S 22 of 127
aa:=integrate(cos(a*x)^2,x)
--R
--R
--R        cos(a x)sin(a x) + a x
--R   (1)  ----------------------
--R                  2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 23 of 127
bb:=x/2+sin(2*a*x)/(4*a)
--R
--R        sin(2a x) + 2a x
--R   (2)  ----------------
--R               4a

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R        - sin(2a x) + 2cos(a x)sin(a x)
--R   (3)  -------------------------------
--R                       4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 127
cossinrule:=rule(cos(b)*sin(a) == 1/2*(sin(a-b)+sin(a+b)))
--R
--R
--I                           %M sin(b + a) - %M sin(b - a)
--I   (4)  %M cos(b)sin(a) == -----------------------------
--R                                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 26 of 127     14:377 Schaums and Axiom agree
dd:=cossinrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.378 ∫ x cos^{2} ax dx

∫ x cos^{2} ax = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x sin 2ax}{4a} + \frac{cos 2ax}{8a^{2}}

— * —

)clear all
--S 27 of 127
aa:=integrate(x*cos(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                                        2    2 2
--R        2a x cos(a x)sin(a x) + cos(a x)  + a x
--R   (1)  ----------------------------------------
--R                             2
--R                           4a

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 28 of 127
bb:=x^2/4+(x*sin(2*a*x))/(4*a)+cos(2*a*x)/(8*a^2)
--R
--R                                       2 2
--R        2a x sin(2a x) + cos(2a x) + 2a x
--R   (2)  ----------------------------------
--R                          2
--R                        8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R                                                                        2
--R        - 2a x sin(2a x) + 4a x cos(a x)sin(a x) - cos(2a x) + 2cos(a x)
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                         2
--R                                       8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 127
cossinrule:=rule(cos(b)*sin(a) == 1/2*(sin(a-b)+sin(a+b)))
--R
--R
--I                           %N sin(b + a) - %N sin(b - a)
--I   (4)  %N cos(b)sin(a) == -----------------------------
--R                                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 31 of 127
dd:=cossinrule cc
--R
--R                               2
--R        - cos(2a x) + 2cos(a x)
--R   (5)  ------------------------
--R                     2
--R                   8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 127
coscosrule:=rule(cos(a)*cos(b) == 1/2*(cos(a-b)+cos(a+b)))
--R
--R

--I                           %O cos(b + a) + %O cos(b - a)
--I   (6)  %O cos(a)cos(b) == -----------------------------
--I                                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 33 of 127
ee:=coscosrule dd
--R
--R                               2
--R        - cos(2a x) + 2cos(a x)
--R   (7)  ------------------------
--R                     2
--R                   8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 127
cossqrrule1:=rule(cos(a)^2 == 1/2+1/2*cos(2*a))
--R
--R              2    cos(2a) + 1
--R   (8)  cos(a)  == -----------
--R                        2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 35 of 127     14:378 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=cossqrrule1 ee
--R
--R         1
--R   (9)  ---
--R          2
--R        8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.379 ∫ cos^{3} ax dx

∫ cos^{3} ax = \frac{sin ax}{a} − \frac{sin^{3} ax}{3a}

— * —

)clear all
--S 36 of 127
aa:=integrate(cos(a*x)^3,x)

--R
--R
--R                 2
--R        (cos(a x)  + 2)sin(a x)
--R   (1)  -----------------------
--R                   3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 37 of 127
bb:=sin(a*x)/a-sin(a*x)^3/(3*a)
--R
--R                  3
--R        - sin(a x)  + 3sin(a x)
--R   (2)  -----------------------
--R                   3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R                3            2
--R        sin(a x)  + (cos(a x)  - 1)sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 127
cossqrrule:=rule(cos(a)^2 == 1-sin(a)^2)
--R
--R              2            2
--R   (4)  cos(a)  == - sin(a)  + 1
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 40 of 127     14:379 Schaums and Axiom agree
dd:=cossqrrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.380 ∫ cos^{4} ax dx

∫ cos^{4} ax = \frac{3x}{8} + \frac{sin 2ax}{4a} + \frac{sin 4ax}{32a}

— * —

)clear all
--S 41 of 127
aa:=integrate(cos(a*x)^4,x)
--R
--R
--R                  3
--R        (2cos(a x)  + 3cos(a x))sin(a x) + 3a x
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 42 of 127
bb:=(3*x)/8+sin(2*a*x)/(4*a)+sin(4*a*x)/(32*a)
--R
--R        sin(4a x) + 8sin(2a x) + 12a x
--R   (2)  ------------------------------
--R                      32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R                                             3
--R        - sin(4a x) - 8sin(2a x) + (8cos(a x)  + 12cos(a x))sin(a x)
--R   (3)  ------------------------------------------------------------
--R                                     32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 127     14:380 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.381 ∫ \frac{dx}{cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{cos^{2} ax} = \frac{tan ax}{a}

— * —

)clear all
--S 45 of 127
aa:=integrate(1/cos(a*x)^2,x)
--R
--R
--R         sin(a x)
--R   (1)  ----------
--R        a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 46 of 127
bb:=tan(a*x)/a
--R
--R        tan(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R        - cos(a x)tan(a x) + sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------
--R                  a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 127
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 49 of 127     14:381 Schaums and Axiom agree
dd:=tanrule cc

--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.382 ∫ \frac{dx}{cos^{3} ax}

∫ \frac{1}{cos^{3} ax} = \frac{sin ax}{2a cos^{2} ax} + \frac{1}{2a} ln tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 50 of 127
aa:=integrate(1/cos(a*x)^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2    sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - cos(a x) log(-----------------------) + sin(a x)
--R                            cos(a x) + 1
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 51 of 127
bb:=sin(a*x)/(2*a*cos(a*x)^2)+1/(2*a)*log(tan(%pi/4+(a*x)/2))
--R
--R                2        2a x + %pi
--R        cos(a x) log(tan(----------)) + sin(a x)
--R                              4
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                                 2
--R                      2a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 127
cc:=aa-bb

--R
--R   (3)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 53 of 127     14:382 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize cc
--R
--R        log(- 1)
--R   (4)  --------
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.383 ∫ cos px cos qx dx

∫ cos ax cos px = \frac{sin (a − p)x}{2(a − p)} + \frac{sin (a + p)x}{2(a + p)}

— * —

)clear all
--S 54 of 127
aa:=integrate(cos(a*x)*cos(p*x),x)
--R
--R        p cos(a x)sin(p x) - a cos(p x)sin(a x)
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                         2    2
--R                        p  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 55 of 127
bb:=(sin((a-p)*x))/(2*(a-p))+(sin((a+p)*x))/(2*(a+p))
--R
--R        (p - a)sin((p + a)x) + (p + a)sin((p - a)x)
--R   (2)  -------------------------------------------

--R                           2     2
--R                         2p  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R       (- p + a)sin((p + a)x) + 2p cos(a x)sin(p x) + (- p - a)sin((p - a)x)
--R     +
--R       - 2a cos(p x)sin(a x)
--R  /
--R       2     2
--R     2p  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 127     14:383 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.384 ∫ \frac{dx}{1 − cos ax}

∫ \frac{1}{1 − cos ax} = −\frac{1}{a} cot \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 58 of 127
aa:=integrate(1/(1-cos(a*x)),x)
--R
--R
--R        - cos(a x) - 1
--R   (1)  --------------
--R          a sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 59 of 127
bb:=-1/a*cot((a*x)/2)

--R
--R              a x
--R          cot(---)
--R               2
--R   (2)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 60 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R            a x
--R        cot(---)sin(a x) - cos(a x) - 1
--R             2
--R   (3)  -------------------------------
--R                   a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 127     14:384 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.385 ∫ \frac{x dx}{1 − cos ax}

∫ \frac{x}{1 − cos ax} = −\frac{x}{a} cot \frac{ax}{2} + \frac{2}{a^{2}} ln sin \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 62 of 127
aa:=integrate(x/(1-cos(a*x)),x)
--R
--R   (1)
--R                  sin(a x)                        2
--R   2sin(a x)log(------------) - sin(a x)log(------------) - a x cos(a x) - a x
--R                cos(a x) + 1                cos(a x) + 1
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                    a sin(a x)

--S 63 of 127
bb:=-x/a*cot((a*x)/2)+2/a^2*log(sin((a*x)/2))
--R
--R                 a x             a x
--R        2log(sin(---)) - a x cot(---)
--R                  2               2
--R   (2)  -----------------------------
--R                       2
--R                      a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 64 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                      sin(a x)                       a x
--R       2sin(a x)log(------------) - 2sin(a x)log(sin(---))
--R                    cos(a x) + 1                      2
--R     +
--R                           2                 a x
--R       - sin(a x)log(------------) + a x cot(---)sin(a x) - a x cos(a x) - a x
--R                     cos(a x) + 1             2
--R  /
--R      2
--R     a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 127
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 66 of 127
dd:=cotrule cc
--R
--R   (5)
--R            a x               sin(a x)           a x                 a x
--R       2sin(---)sin(a x)log(------------) - 2sin(---)sin(a x)log(sin(---))
--R             2              cos(a x) + 1          2                   2
--R     +
--R             a x                   2                 a x

--R       - sin(---)sin(a x)log(------------) + a x cos(---)sin(a x)
--R              2              cos(a x) + 1             2
--R     +
--R                                 a x
--R       (- a x cos(a x) - a x)sin(---)
--R                                  2
--R  /
--R      2    a x
--R     a sin(---)sin(a x)
--R            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 67 of 127
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R            a x                              a x                 a x
--R       2sin(---)sin(a x)log(sin(a x)) - 2sin(---)sin(a x)log(sin(---))
--R             2                                2                   2
--R     +
--R             a x
--R       - sin(---)sin(a x)log(cos(a x) + 1)
--R              2
--R     +
--R                  a x            a x                                       a x
--R     (- log(2)sin(---) + a x cos(---))sin(a x) + (- a x cos(a x) - a x)sin(---)
--R                   2              2                                         2
--R  /
--R      2    a x
--R     a sin(---)sin(a x)
--R            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 68 of 127     14:385 Schaums and Axiom agree
complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.386 ∫ \frac{dx}{1 + cos ax}

∫ \frac{1}{1 + cos ax} = \frac{1}{a} tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 69 of 127
aa:=integrate(1/(1+cos(a*x)),x)
--R
--R           sin(a x)
--R   (1)  --------------
--R        a cos(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 70 of 127
bb:=1/a*tan((a*x)/2)
--R
--R            a x
--R        tan(---)
--R             2
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 71 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R                            a x
--R        (- cos(a x) - 1)tan(---) + sin(a x)
--R                             2
--R   (3)  -----------------------------------
--R                   a cos(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 127     14:386 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.387 ∫ \frac{x dx}{1 + cos ax}

∫ \frac{x}{1 + cos ax} = \frac{x}{a} tan \frac{ax}{2} + \frac{2}{a^{2}} ln cos \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 73 of 127
aa:=integrate(x/(1+cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                                  2
--R        (- cos(a x) - 1)log(------------) + a x sin(a x)
--R                            cos(a x) + 1
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                          2            2
--R                         a cos(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 74 of 127
bb:=x/a*tan((a*x)/2)+2/a^2*log(cos((a*x)/2))
--R
--R                 a x             a x
--R        2log(cos(---)) + a x tan(---)
--R                  2               2
--R   (2)  -----------------------------
--R                       2
--R                      a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                a x                               2
--R       (- 2cos(a x) - 2)log(cos(---)) + (- cos(a x) - 1)log(------------)
--R                                 2                          cos(a x) + 1
--R     +
--R                                 a x
--R       (- a x cos(a x) - a x)tan(---) + a x sin(a x)
--R                                  2
--R  /
--R      2            2
--R     a cos(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 127
dd:=expandLog cc
--R

--R   (4)
--R                                                                  a x
--R       (cos(a x) + 1)log(cos(a x) + 1) + (- 2cos(a x) - 2)log(cos(---))
--R                                                                   2
--R     +
--R                                 a x
--R       (- a x cos(a x) - a x)tan(---) + a x sin(a x) - log(2)cos(a x) - log(2)
--R                                  2
--R  /
--R      2            2
--R     a cos(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 77 of 127     14:387 Schaums and Axiom agree
complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.388 ∫ \frac{dx}{(1 − cos ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(1 − cos ax)^{2}} = −\frac{1}{2a} cot \frac{ax}{2} − \frac{1}{6a} cot^{3} \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 78 of 127
aa:=integrate(1/(1-cos(a*x))^2,x)
--R
--R
--R                  2
--R        - cos(a x)  + cos(a x) + 2
--R   (1)  --------------------------
--R        (3a cos(a x) - 3a)sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 79 of 127
bb:=-1/(2*a)*cot((a*x)/2)-1/(6*a)*cot((a*x)/2)^3
--R
--R              a x 3        a x
--R        - cot(---)  - 3cot(---)

--R               2            2
--R   (2)  -----------------------
--R                   6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                          a x 3                      a x                      2
--R       ((cos(a x) - 1)cot(---)  + (3cos(a x) - 3)cot(---))sin(a x) - 2cos(a x)
--R                           2                          2
--R     +
--R       2cos(a x) + 4
--R  /
--R     (6a cos(a x) - 6a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 127     14:388 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.389 ∫ \frac{dx}{(1 + cos ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(1 + cos ax)^{2}} = \frac{1}{2a} tan \frac{ax}{2} + \frac{1}{6a} tan^{3} \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 82 of 127
aa:=integrate(1/(1+cos(a*x))^2,x)
--R
--R
--R             (cos(a x) + 2)sin(a x)
--R   (1)  -------------------------------
--R                   2
--R        3a cos(a x)  + 6a cos(a x) + 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 83 of 127
bb:=1/(2*a)*tan((a*x)/2)+1/(6*a)*tan((a*x)/2)^3
--R
--R            a x 3        a x
--R        tan(---)  + 3tan(---)
--R             2            2
--R   (2)  ---------------------
--R                  6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 84 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                  2                     a x 3
--R       (- cos(a x)  - 2cos(a x) - 1)tan(---)
--R                                         2
--R     +
--R                   2                     a x
--R       (- 3cos(a x)  - 6cos(a x) - 3)tan(---) + (2cos(a x) + 4)sin(a x)
--R                                          2
--R  /
--R                2
--R     6a cos(a x)  + 12a cos(a x) + 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 127     14:389 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.390 ∫ \frac{dx}{p + q cos ax}

∫ \frac{1}{p + q cos ax} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{a\sqrt{p^{2} − q^{q}}} tan^{−1} \sqrt{(p − q)/(p + q)} tan \frac{1}{2}ax \\ \frac{1}{a\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & ln & (\frac{tan \frac{1}{2}ax + \sqrt{(q + p)/(q − p)}}{tan \frac{1}{2}ax − \sqrt{(q + p)(q − p)}}) \end{matrix}

— * —

--S 86 of 127
aa:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x)
--R
--R   (1)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2        2    2
--R        (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R    log(--------------------------------------------------)
--R                          q cos(a x) + p
--R   [-------------------------------------------------------,
--R                            +-------+
--R                            | 2    2
--R                          a\|q  - p
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R            sin(a x)\|- q  + p
--R    2atan(-----------------------)
--R          (q + p)cos(a x) + q + p
--R    ------------------------------]
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R             a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 87 of 127
bb1:=2/(a*sqrt(p^2-q^2))*atan(sqrt((p-q)/(p+q))*tan(1/2*a*x))
--R
--R
--R                       +-------+
--R                  a x  |- q + p
--R        2atan(tan(---) |------- )
--R                   2  \| q + p
--R   (2)  -------------------------
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R              a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 127
bb2:=1/(a*sqrt(q^2-p^2))*log((tan(1/2*a*x)+sqrt((q+p)/(q-p)))/_
     (tan(1/2*a*x)-sqrt((q+p)/(q-p))))
--R
--R               +-----+
--R               |q + p        a x
--R            -  |-----  - tan(---)
--R              \|q - p         2

--R        log(---------------------)
--R              +-----+
--R              |q + p        a x
--R              |-----  - tan(---)
--R             \|q - p         2
--R   (3)  --------------------------
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 127
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R
--R   (4)
--R                                          +-------+
--R        +---------+                       | 2    2        2    2
--R        |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       \|- q  + p  log(--------------------------------------------------)
--R                                         q cos(a x) + p
--R     +
--R           +-------+              +-------+
--R           | 2    2          a x  |- q + p
--R       - 2\|q  - p  atan(tan(---) |------- )
--R                              2  \| q + p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 90 of 127
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R
--R                                                       +---------+
--R                         +-------+                     |   2    2
--R                    a x  |- q + p             sin(a x)\|- q  + p
--R        - 2atan(tan(---) |------- ) + 2atan(-----------------------)
--R                     2  \| q + p            (q + p)cos(a x) + q + p
--R   (5)  ------------------------------------------------------------
--R                                  +---------+
--R                                  |   2    2
--R                                a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 91 of 127
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R                +-----+
--R                |q + p        a x
--R             -  |-----  - tan(---)
--R               \|q - p         2
--R       - log(---------------------)
--R               +-----+
--R               |q + p        a x
--R               |-----  - tan(---)
--R              \|q - p         2
--R     +
--R                              +-------+
--R                              | 2    2        2    2
--R           (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       log(--------------------------------------------------)
--R                             q cos(a x) + p
--R  /
--R       +-------+
--R       | 2    2
--R     a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 127     14:390 Axiom cannot simplify these expressions
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                            +-----+
--R                            |q + p        a x
--R          +---------+    -  |-----  - tan(---)
--R          |   2    2       \|q - p         2
--R       - \|- q  + p  log(---------------------)
--R                           +-----+
--R                           |q + p        a x
--R                           |-----  - tan(---)
--R                          \|q - p         2
--R     +
--R                                  +---------+
--R         +-------+                |   2    2
--R         | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       2\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                       (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

23 [?]:14.391 ∫ \frac{dx}{(p + q cos ax)^{2}}

∫ \frac{1}{(p + q cos ax)^{2}} = \frac{q sin ax}{a(q^{2} − p^{2})(p + q cos ax)} − \frac{p}{q^{2} − p^{2}} ∫ \frac{1}{p + q cos ax}

— * —

)clear all
--S 93 of 127
aa:=integrate(1/(p+q*cos(a*x))^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                            2
--R           (p q cos(a x) + p )
--R        *
--R                                  +-------+
--R                                  | 2    2      2    2
--R               (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R           log(------------------------------------------------)
--R                                q cos(a x) + p
--R       +
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R         q sin(a x)\|q  - p
--R    /
--R                                                +-------+
--R            3      2                  2      3  | 2    2
--R       ((a q  - a p q)cos(a x) + a p q  - a p )\|q  - p
--R     ,
--R
--R                                                +---------+
--R                                                |   2    2
--R                              2        sin(a x)\|- q  + p
--R         (- 2p q cos(a x) - 2p )atan(-----------------------)
--R                                     (q + p)cos(a x) + q + p
--R       +
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R         q sin(a x)\|- q  + p
--R    /

--R                                                +---------+
--R            3      2                  2      3  |   2    2
--R       ((a q  - a p q)cos(a x) + a p q  - a p )\|- q  + p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 94 of 127
t1:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2        2    2
--R        (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R    log(--------------------------------------------------)
--R                          q cos(a x) + p
--R   [-------------------------------------------------------,
--R                            +-------+
--R                            | 2    2
--R                          a\|q  - p
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R            sin(a x)\|- q  + p
--R    2atan(-----------------------)
--R          (q + p)cos(a x) + q + p
--R    ------------------------------]
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R             a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 95 of 127
bb1:=(q*sin(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cos(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.1
--R
--R   (3)
--R                            2
--R         (- p q cos(a x) - p )
--R      *
--R                                +-------+
--R                                | 2    2        2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R         log(--------------------------------------------------)
--R                               q cos(a x) + p
--R     +
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R       q sin(a x)\|q  - p
--R  /
--R                                              +-------+

--R          3      2                  2      3  | 2    2
--R     ((a q  - a p q)cos(a x) + a p q  - a p )\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 96 of 127
bb2:=(q*sin(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cos(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                          +---------+
--R                                          |   2    2                 +---------+
--R                        2        sin(a x)\|- q  + p                  |   2    2
--R   (- 2p q cos(a x) - 2p )atan(-----------------------) + q sin(a x)\|- q  + p
--R                               (q + p)cos(a x) + q + p
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                                                         +---------+
--R                     3      2                  2      3  |   2    2
--R                ((a q  - a p q)cos(a x) + a p q  - a p )\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 97 of 127
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                                +-------+
--R                                | 2    2      2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p log(------------------------------------------------)
--R                              q cos(a x) + p
--R     +
--R                                +-------+
--R                                | 2    2        2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       p log(--------------------------------------------------)
--R                               q cos(a x) + p
--R  /
--R                   +-------+
--R         2      2  | 2    2
--R     (a q  - a p )\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 98 of 127
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2        2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)

--R       p\|- q  + p  log(--------------------------------------------------)
--R                                          q cos(a x) + p
--R     +
--R                                     +---------+
--R            +-------+                |   2    2
--R            | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       - 2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                          (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R                   +---------+ +-------+
--R         2      2  |   2    2  | 2    2
--R     (a q  - a p )\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 99 of 127
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2      2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p\|- q  + p  log(------------------------------------------------)
--R                                         q cos(a x) + p
--R     +
--R                                   +---------+
--R          +-------+                |   2    2
--R          | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                        (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R                   +---------+ +-------+
--R         2      2  |   2    2  | 2    2
--R     (a q  - a p )\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 100 of 127    14:391 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.392 ∫ \frac{dx}{p^{2} + q^{2} cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} + q^{2} cos^{2} ax} = \frac{1}{ap\sqrt{p^{2} + q^{2}}} tan^{−1} \frac{p tan ax}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

— * —

)clear all
--S 101 of 127
aa:=integrate(1/(p^2+q^2*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                 +-------+
--R                 | 2    2                 2    2              2
--R        sin(a x)\|q  + p               ((q  - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)
--R   atan(------------------) - atan(-----------------------------------------)
--R         2p cos(a x) + 2p                                          +-------+
--R                                              2                    | 2    2
--R                                   (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|q  + p
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                      +-------+
--R                                      | 2    2
--R                                  a p\|q  + p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 102 of 127
bb:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((p*tan(a*x))/sqrt(p^2+q^2))
--R
--R             p tan(a x)
--R        atan(----------)
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|q  + p
--R   (2)  ----------------
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R          a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 103 of 127
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                     +-------+

--R                     | 2    2
--R            sin(a x)\|q  + p           p tan(a x)
--R       atan(------------------) - atan(----------)
--R             2p cos(a x) + 2p           +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                       \|q  + p
--R     +
--R                     2    2              2
--R                  ((q  - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)
--R       - atan(-----------------------------------------)
--R                                              +-------+
--R                         2                    | 2    2
--R              (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|q  + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 127
dd:=ratDenom cc
--R
--R   (4)
--R                                   +-------+
--R          +-------+                | 2    2
--R          | 2    2      p tan(a x)\|q  + p
--R       - \|q  + p  atan(--------------------)
--R                                2    2
--R                               q  + p
--R     +
--R       -
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R            \|q  + p
--R         *
--R                                                          +-------+
--R                           2    2              2          | 2    2
--R                        ((q  - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q  + p
--R            atan(--------------------------------------------------------)
--R                     2    3         2        2     3               2    3
--R                 (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R     +
--R                               +-------+
--R        +-------+              | 2    2
--R        | 2    2      sin(a x)\|q  + p
--R       \|q  + p  atan(------------------)
--R                       2p cos(a x) + 2p
--R  /
--R          2      3

--R     a p q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 105 of 127
atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x)))
--R
--R                     1                    1
--R   (5)  atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1)
--R                     2                    2
--RType: RewriteRule(Integer,Complex(Fraction(Integer)),Expression(Complex(Fraction(Integer))))
--E
--S 106 of 127
ee:=atanrule2 dd
--R
--R   (6)
--R                                       +-------+
--R            +-------+                  | 2    2     2    2
--R       1    | 2    2     %i p tan(a x)\|q  + p   + q  + p
--R       - %i\|q  + p  log(---------------------------------)
--R       2                               2    2
--R                                      q  + p
--R     +
--R              +-------+
--R         1    | 2    2
--R         - %i\|q  + p
--R         2
--R      *
--R         log
--R                                                           +-------+
--R                      2       2                 2          | 2    2
--R                ((%i q  - %i p )cos(a x) - 2%i p )sin(a x)\|q  + p
--R              +
--R                    2    3         2        2     3               2    3
--R                (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R           /
--R                  2    3         2        2     3               2    3
--R              (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R     +
--R                                         +-------+
--R                           1             | 2    2
--R              +-------+    - %i sin(a x)\|q  + p   + p cos(a x) + p
--R         1    | 2    2     2
--R       - - %i\|q  + p  log(----------------------------------------)
--R         2                              p cos(a x) + p
--R     +
--R                                         +-------+
--R                           1             | 2    2
--R            +-------+    - - %i sin(a x)\|q  + p   + p cos(a x) + p

--R       1    | 2    2       2
--R       - %i\|q  + p  log(------------------------------------------)
--R       2                               p cos(a x) + p
--R     +
--R       -
--R                 +-------+
--R            1    | 2    2
--R            - %i\|q  + p
--R            2
--R         *
--R            log
--R                                                                +-------+
--R                           2       2                 2          | 2    2
--R                   ((- %i q  + %i p )cos(a x) + 2%i p )sin(a x)\|q  + p
--R                 +
--R                       2    3         2        2     3               2    3
--R                   (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R              /
--R                     2    3         2        2     3               2    3
--R                 (p q  + p )cos(a x)  + (2p q  + 2p )cos(a x) + p q  + p
--R     +
--R                                           +-------+
--R              +-------+                    | 2    2     2    2
--R         1    | 2    2     - %i p tan(a x)\|q  + p   + q  + p
--R       - - %i\|q  + p  log(-----------------------------------)
--R         2                                2    2
--R                                         q  + p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  + a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 107 of 127
ff:=expandLog ee
--R
--R   (7)
--R              +-------+               +-------+
--R         1    | 2    2                | 2    2        2       2
--R       - - %i\|q  + p  log(p tan(a x)\|q  + p   + %i q  + %i p )
--R         2
--R     +
--R            +-------+               +-------+
--R       1    | 2    2                | 2    2        2       2
--R       - %i\|q  + p  log(p tan(a x)\|q  + p   - %i q  - %i p )
--R       2
--R     +
--R       -
--R                 +-------+
--R            1    | 2    2

--R            - %i\|q  + p
--R            2
--R         *
--R            log
--R                                                   +-------+
--R                    2    2              2          | 2    2
--R                 ((q  - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q  + p
--R               +
--R                        2       3         2           2        3
--R                 (%i p q  + %i p )cos(a x)  + (2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                       2       3
--R                 %i p q  + %i p
--R     +
--R              +-------+
--R         1    | 2    2
--R         - %i\|q  + p
--R         2
--R      *
--R         log
--R                                                +-------+
--R                 2    2              2          | 2    2
--R              ((q  - p )cos(a x) - 2p )sin(a x)\|q  + p
--R            +
--R                       2       3         2             2        3
--R              (- %i p q  - %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  - 2%i p )cos(a x)
--R            +
--R                      2       3
--R              - %i p q  - %i p
--R     +
--R            +-------+             +-------+
--R       1    | 2    2              | 2    2
--R       - %i\|q  + p  log(sin(a x)\|q  + p   + 2%i p cos(a x) + 2%i p)
--R       2
--R     +
--R              +-------+             +-------+
--R         1    | 2    2              | 2    2
--R       - - %i\|q  + p  log(sin(a x)\|q  + p   - 2%i p cos(a x) - 2%i p)
--R         2
--R     +
--R                                                                     +-------+
--R                   1        1       1          1                     | 2    2
--R     (%i log(%i) - - %i log(- %i) + - %i log(- - %i) - %i log(- %i))\|q  + p
--R                   2        2       2          2
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  + a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E

--S 108 of 127    14:392 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize ff
--R
--R   (8)
--R                      1        1       1          1
--R         %i log(%i) - - %i log(- %i) + - %i log(- - %i) - %i log(- %i)
--R                      2        2       2          2
--R       +
--R           1
--R         - - %i log(- 1)
--R           2
--R    *
--R        +-------+
--R        | 2    2
--R       \|q  + p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  + a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E

———-

25 [?]:14.393 ∫ \frac{dx}{p^{2} − q^{2} cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} − q^{2} cos^{2} ax} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{ap\sqrt{p^{2} − q^{2}}} & tan & −1 & \frac{p tan ax}{\sqrt{p^{2} − q^{2}}} \\ \frac{1}{2ap\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & ln & (\frac{p tan ax − \sqrt{q^{2} − p^{2}}}{p tan ax + \sqrt{q^{2} − p^{2}}} ) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 109 of 127
aa:=integrate(1/(p^2-q^2*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                   +-------+
--R           2     2         2    2  | 2    2           2     3
--R        ((q  - 2p )cos(a x)  + p )\|q  - p   + (- 2p q  + 2p )cos(a x)sin(a x)
--R    log(----------------------------------------------------------------------)
--R                                    2        2    2
--R                                   q cos(a x)  - p

--R   [---------------------------------------------------------------------------,
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                   2a p\|q  - p
--R
--R                       +---------+
--R                       |   2    2
--R              sin(a x)\|- q  + p
--R         atan(--------------------)
--R                2p cos(a x) + 2p
--R       +
--R                      2    2              2
--R                   ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)
--R         atan(-------------------------------------------)
--R                                              +---------+
--R                         2                    |   2    2
--R              (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R    /
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R       a p\|- q  + p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 110 of 127
bb1:=1/(a*p*sqrt(p^2-q^2))*atan((p*tan(a*x))/sqrt(p^2-q^2))
--R
--R              p tan(a x)
--R        atan(------------)
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R             \|- q  + p
--R   (2)  ------------------
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R          a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 111 of 127
bb2:=1/(2*a*p*sqrt(q^2-p^2))*log((p*tan(a*x)-sqrt(q^2-p^2))/_
     (p*tan(a*x)+sqrt(q^2-p^2)))
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            - \|q  - p   + p tan(a x)
--R        log(-------------------------)
--R              +-------+
--R              | 2    2

--R             \|q  - p   + p tan(a x)
--R   (3)  ------------------------------
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R                2a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 112 of 127
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                           +-------+
--R                   2     2         2    2  | 2    2
--R                ((q  - 2p )cos(a x)  + p )\|q  - p
--R              +
--R                       2     3
--R                (- 2p q  + 2p )cos(a x)sin(a x)
--R           /
--R               2        2    2
--R              q cos(a x)  - p
--R     +
--R           +-------+
--R           | 2    2       p tan(a x)
--R       - 2\|q  - p  atan(------------)
--R                          +---------+
--R                          |   2    2
--R                         \|- q  + p
--R  /
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 113 of 127
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (5)
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R            sin(a x)\|- q  + p            p tan(a x)
--R       atan(--------------------) - atan(------------)
--R              2p cos(a x) + 2p            +---------+
--R                                          |   2    2

--R                                         \|- q  + p
--R     +
--R                    2    2              2
--R                 ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)
--R       atan(-------------------------------------------)
--R                                            +---------+
--R                       2                    |   2    2
--R            (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R  /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R     a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 114 of 127
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R       log
--R                                     +-------+
--R             2     2         2    2  | 2    2           2     3
--R          ((q  - 2p )cos(a x)  + p )\|q  - p   + (- 2p q  + 2p )cos(a x)sin(a x)
--R          ----------------------------------------------------------------------
--R                                      2        2    2
--R                                     q cos(a x)  - p
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R             - \|q  - p   + p tan(a x)
--R       - log(-------------------------)
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|q  - p   + p tan(a x)
--R  /
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R     2a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 115 of 127
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                            +-------+
--R          +---------+       | 2    2
--R          |   2    2     - \|q  - p   + p tan(a x)
--R       - \|- q  + p  log(-------------------------)
--R                           +-------+

--R                           | 2    2
--R                          \|q  - p   + p tan(a x)
--R     +
--R                                +---------+
--R         +-------+              |   2    2
--R         | 2    2      sin(a x)\|- q  + p
--R       2\|q  - p  atan(--------------------)
--R                         2p cos(a x) + 2p
--R     +
--R         +-------+             2    2              2
--R         | 2    2           ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)
--R       2\|q  - p  atan(-------------------------------------------)
--R                                                       +---------+
--R                                  2                    |   2    2
--R                       (p cos(a x)  + 2p cos(a x) + p)\|- q  + p
--R  /
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 116 of 127
dd2:=ratDenom cc2
--R
--R   (8)
--R                                     +---------+
--R          +---------+                |   2    2
--R          |   2    2      p tan(a x)\|- q  + p
--R       - \|- q  + p  atan(----------------------)
--R                                   2    2
--R                                  q  - p
--R     +
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R      *
--R                                                      +---------+
--R                       2    2              2          |   2    2
--R                    ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R         atan(--------------------------------------------------------)
--R                  2    3         2        2     3               2    3
--R              (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R     +
--R                                   +---------+
--R          +---------+              |   2    2
--R          |   2    2      sin(a x)\|- q  + p
--R       - \|- q  + p  atan(--------------------)
--R                            2p cos(a x) + 2p
--R  /

--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 117 of 127
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (9)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 118 of 127
ee2:=tanrule dd2
--R
--R   (10)
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R      *
--R                                                      +---------+
--R                       2    2              2          |   2    2
--R                    ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R         atan(--------------------------------------------------------)
--R                  2    3         2        2     3               2    3
--R              (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R     +
--R                                   +---------+
--R          +---------+              |   2    2
--R          |   2    2      sin(a x)\|- q  + p
--R       - \|- q  + p  atan(--------------------)
--R                            2p cos(a x) + 2p
--R     +
--R                                     +---------+
--R          +---------+                |   2    2
--R          |   2    2      p sin(a x)\|- q  + p
--R       - \|- q  + p  atan(----------------------)
--R                               2    2
--R                             (q  - p )cos(a x)
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 127
atanrule2:=rule(atan(x) == 1/2*%i*(log(1-%i*x)-log(1+%i*x)))
--R

--R                      1                    1
--R   (11)  atan(x) == - - %i log(%i x + 1) + - %i log(- %i x + 1)
--R                      2                    2
--RType: RewriteRule(Integer,Complex(Fraction(Integer)),Expression(Complex(Fraction(Integer))))
--E
--S 120 of 127
ff2:=atanrule2 ee2
--R
--R   (12)
--R       -
--R                 +---------+
--R            1    |   2    2
--R            - %i\|- q  + p
--R            2
--R         *
--R            log
--R                                                              +---------+
--R                         2       2                 2          |   2    2
--R                   ((%i q  + %i p )cos(a x) + 2%i p )sin(a x)\|- q  + p
--R                 +
--R                       2    3         2        2     3               2    3
--R                   (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R              /
--R                     2    3         2        2     3               2    3
--R                 (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R     +
--R                                         +---------+
--R                           1             |   2    2
--R            +---------+    - %i sin(a x)\|- q  + p   + p cos(a x) + p
--R       1    |   2    2     2
--R       - %i\|- q  + p  log(------------------------------------------)
--R       2                                 p cos(a x) + p
--R     +
--R                                         +---------+
--R            +---------+                  |   2    2      2    2
--R       1    |   2    2     %i p sin(a x)\|- q  + p   + (q  - p )cos(a x)
--R       - %i\|- q  + p  log(---------------------------------------------)
--R       2                                   2    2
--R                                         (q  - p )cos(a x)
--R     +
--R                                             +---------+
--R              +---------+                    |   2    2      2    2
--R         1    |   2    2     - %i p sin(a x)\|- q  + p   + (q  - p )cos(a x)
--R       - - %i\|- q  + p  log(-----------------------------------------------)
--R         2                                    2    2
--R                                            (q  - p )cos(a x)
--R     +
--R                                             +---------+
--R                               1             |   2    2

--R              +---------+    - - %i sin(a x)\|- q  + p   + p cos(a x) + p
--R         1    |   2    2       2
--R       - - %i\|- q  + p  log(--------------------------------------------)
--R         2                                  p cos(a x) + p
--R     +
--R              +---------+
--R         1    |   2    2
--R         - %i\|- q  + p
--R         2
--R      *
--R         log
--R                                                             +---------+
--R                        2       2                 2          |   2    2
--R                ((- %i q  - %i p )cos(a x) - 2%i p )sin(a x)\|- q  + p
--R              +
--R                    2    3         2        2     3               2    3
--R                (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R           /
--R                  2    3         2        2     3               2    3
--R              (p q  - p )cos(a x)  + (2p q  - 2p )cos(a x) + p q  - p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 121 of 127
gg2:=expandLog ff2
--R
--R   (13)
--R              +---------+
--R         1    |   2    2
--R         - %i\|- q  + p
--R         2
--R      *
--R         log
--R                                                +---------+
--R                 2    2              2          |   2    2
--R              ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R            +
--R                     2       3         2           2        3                  2
--R              (%i p q  - %i p )cos(a x)  + (2%i p q  - 2%i p )cos(a x) + %i p q
--R            +
--R                    3
--R              - %i p
--R     +
--R       -
--R                 +---------+
--R            1    |   2    2
--R            - %i\|- q  + p

--R            2
--R         *
--R            log
--R                                                   +---------+
--R                    2    2              2          |   2    2
--R                 ((q  + p )cos(a x) + 2p )sin(a x)\|- q  + p
--R               +
--R                          2       3         2             2        3
--R                 (- %i p q  + %i p )cos(a x)  + (- 2%i p q  + 2%i p )cos(a x)
--R               +
--R                         2       3
--R                 - %i p q  + %i p
--R     +
--R              +---------+               +---------+
--R         1    |   2    2                |   2    2         2       2
--R       - - %i\|- q  + p  log(p sin(a x)\|- q  + p   + (%i q  - %i p )cos(a x))
--R         2
--R     +
--R            +---------+               +---------+
--R       1    |   2    2                |   2    2           2       2
--R       - %i\|- q  + p  log(p sin(a x)\|- q  + p   + (- %i q  + %i p )cos(a x))
--R       2
--R     +
--R              +---------+             +---------+
--R         1    |   2    2              |   2    2
--R       - - %i\|- q  + p  log(sin(a x)\|- q  + p   + 2%i p cos(a x) + 2%i p)
--R         2
--R     +
--R            +---------+             +---------+
--R       1    |   2    2              |   2    2
--R       - %i\|- q  + p  log(sin(a x)\|- q  + p   - 2%i p cos(a x) - 2%i p)
--R       2
--R     +
--R                                           +---------+
--R        1        1       1          1      |   2    2
--R       (- %i log(- %i) - - %i log(- - %i))\|- q  + p
--R        2        2       2          2
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E
--S 122 of 127    14:393 Schaums and Axiom differ by a constant
hh2:=complexNormalize gg2
--R
--R   (14)
--R          1              1        1       1          1       1
--R       (- - %i log(%i) + - %i log(- %i) - - %i log(- - %i) + - %i log(- %i))
--R          2              2        2       2          2       2

--R    *
--R        +---------+
--R        |   2    2
--R       \|- q  + p
--R  /
--R          2      3
--R     a p q  - a p
--R                                 Type: Expression(Complex(Fraction(Integer)))
--E

———-

26 [?]:14.394 ∫ x^{m} cos ax dx

∫ x^{m} cos ax = \frac{x^{m} sin ax}{a} + \frac{mx^{m−1}}{a^{2}} cos ax − \frac{m(m − 1)}{a^{2}} ∫ x^{m−2} cos ax

— * —

)clear all
--S 123 of 127    14:394 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*cos(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++             m
--I   (1)   |   cos(%I a)%I d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

27 [?]:14.395 ∫ \frac{cos ax}{x^{n}} dx

∫ \frac{cos ax}{x^{n}} = −\frac{cos ax}{(n − 1)x^{n−1}} − \frac{a}{n − 1} ∫ \frac{sin ax}{x^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 124 of 127    14:395 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cos(a*x)/x^n,x)
--R
--R

--R           x
--I         ++  cos(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--R        ++        n
--I                %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

28 [?]:14.396 ∫ cos^{n} ax dx

∫ cos^{n} ax = \frac{sin ax cos^{n−1} ax}{an} + \frac{n − 1}{n} ∫ cos^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 125 of 127    14:396 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cos(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   cos(%I a) d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

29 [?]:14.397 ∫ \frac{1}{cos^{n} ax} dx

∫ \frac{1}{cos^{n} ax} = \frac{sin ax}{a(n − 1) cos^{n−1} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{1}{cos^{n−2} ax}

— * —

)clear all
--S 126 of 127    14:397 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(cos(a*x))^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1

--I   (1)   |   ---------- d%I
--R        ++            n
--I             cos(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

30 [?]:14.398 ∫ \frac{x dx}{cos^{n}ax}

∫ \frac{x}{cos^{n}ax} = \frac{x sin ax}{a(n − 1) cos^{n−1} ax} − \frac{1}{a^{2}(n − 1)(n − 2) cos^{n−2} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{x}{cos^{n−2} ax}

— * —

)clear all
--S 127 of 127    14:398 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x/cos(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++      %I
--I   (1)   |   ---------- d%I
--R        ++            n
--I             cos(%I a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp77-78