$SPAD/input schaum19.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.399 ∫ sin ax cos ax dx

∫ sin ax cos ax = \frac{sin^{2} ax}{2a}

— * —

)set break resume
)spool schaum19.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)*cos(a*x),x)
--R
--R
--R                  2
--R          cos(a x)
--R   (1)  - ---------
--R              2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 185
bb:=sin(a*x)^2/(2*a)
--R
--R                2
--R        sin(a x)
--R   (2)  ---------
--R            2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                  2           2
--R        - sin(a x)  - cos(a x)
--R   (3)  -----------------------
--R                   2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 185
cossqrrule:=rule(cos(a)^2 == 1-sin(a)^2)
--R
--R              2            2
--R   (4)  cos(a)  == - sin(a)  + 1

--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 5 of 185      14:399 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=cossqrrule cc
--R
--R           1
--R   (5)  - --
--R          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.400 ∫ sin px cos qx dx

∫ sin px cos qx = −\frac{cos(p − q)x}{2(p − q)} − \frac{cos(p + q)x}{2(p + q)}

— * —

)clear all
--S 6 of 185
aa:=integrate(sin(p*x)*cos(q*x),x)
--R
--R
--R        q sin(p x)sin(q x) + p cos(p x)cos(q x)
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                         2    2
--R                        q  - p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 7 of 185
bb:=-cos((p-q)*x)/(2*(p-q))-cos((p+q)*x)/(2*(p+q))
--R
--R        (- q + p)cos((q + p)x) + (q + p)cos((q - p)x)
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                            2     2
--R                          2q  - 2p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R       2q sin(p x)sin(q x) + (q - p)cos((q + p)x) + 2p cos(p x)cos(q x)

--R     +
--R       (- q - p)cos((q - p)x)
--R  /
--R       2     2
--R     2q  - 2p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 185      14:400 Schaums and Axiom agree
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.401 ∫ sin^{n} ax cos ax dx provided n ≠ −1

∫ sin^{n} ax cos ax = \frac{sin^{n+1} ax}{(n + 1)a}

— * —

)clear all
--S 10 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)^n*cos(a*x),x)
--R
--R
--R                  n log(sin(a x))
--R        sin(a x)%e
--R   (1)  -------------------------
--R                 a n + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 11 of 185
bb:=sin(a*x)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                n + 1
--R        sin(a x)
--R   (2)  -------------
--R           a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 185
cc:=aa-bb

--R
--R                  n log(sin(a x))           n + 1
--R        sin(a x)%e                - sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------------------
--R                         a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 13 of 185
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 14 of 185
dd:=explog cc
--R
--R                  n + 1                   n
--R        - sin(a x)      + sin(a x)sin(a x)
--R   (5)  -----------------------------------
--R                      a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 185     14:401 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.402 ∫ cos^{n} ax ∗ sinax dx provided n ≠ −1

∫ cos^{n} ax ∗ sinax = −\frac{cos^{n+1} ax}{(n + 1)a}

— * —

)clear all
--S 16 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)^n*sin(a*x),x)
--R
--R
--R                    n log(cos(a x))

--R          cos(a x)%e
--R   (1)  - -------------------------
--R                   a n + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 185
bb:=-cos(a*x)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                  n + 1
--R          cos(a x)
--R   (2)  - -------------
--R             a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                    n log(cos(a x))           n + 1
--R        - cos(a x)%e                + cos(a x)
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                          a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 185
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 20 of 185
dd:=explog cc
--R
--R                n + 1                   n
--R        cos(a x)      - cos(a x)cos(a x)
--R   (5)  ---------------------------------
--R                     a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 185     14:402 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.403 ∫ sin^{2} ax cos^{2} ax

∫ sin^{2} ax cos^{2} ax = \frac{x}{8} − \frac{sin 4ax}{32a}

— * —

)clear all
--S 22 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)^2*cos(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                    3
--R        (- 2cos(a x)  + cos(a x))sin(a x) + a x
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 23 of 185
bb:=x/8-sin(4*a*x)/(32*a)
--R
--R        - sin(4a x) + 4a x
--R   (2)  ------------------
--R                32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                                3
--R        sin(4a x) + (- 8cos(a x)  + 4cos(a x))sin(a x)
--R   (3)  ----------------------------------------------
--R                              32a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 185     14:403 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.404 ∫ \frac{dx}{sin ax cos ax}

∫ \frac{1}{sin ax cos ax} = \frac{1}{a} ln tan ax

— * —

)clear all
--S 26 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)*cos(a*x)),x)
--R
--R
--R              sin(a x)              2cos(a x)
--R        log(------------) - log(- ------------)
--R            cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 27 of 185
bb:=1/a*log(tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x))
--R   (2)  -------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                                sin(a x)              2cos(a x)
--R        - log(tan(a x)) + log(------------) - log(- ------------)
--R                              cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (3)  ---------------------------------------------------------
--R                                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))

--E
--S 30 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R              sin(a x)          sin(a x)              2cos(a x)
--R        - log(--------) + log(------------) - log(- ------------)
--R              cos(a x)        cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (5)  ---------------------------------------------------------
--R                                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 185     14:404 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=expandLog dd
--R
--R          log(- 2)
--R   (6)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.405 ∫ \frac{dx}{sin^{2} ax cos ax}

∫ \frac{1}{sin^{2} ax cos ax} = \frac{1}{a} ln tan (\frac{π}{4} + \frac{ax}{2}) − \frac{1}{a sin ax}

— * —

)clear all
--S 32 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)^2*cos(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                   sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       sin(a x)log(-----------------------)
--R                         cos(a x) + 1
--R     +
--R                     sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - sin(a x)log(-----------------------) - 1
--R                           cos(a x) + 1
--R  /
--R     a sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 33 of 185
bb:=1/a*log(tan(%pi/4+(a*x)/2))-1/(a*sin(a*x))
--R
--R                        2a x + %pi
--R        sin(a x)log(tan(----------)) - 1
--R                             4
--R   (2)  --------------------------------
--R                   a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 36 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------)

--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     +
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------))
--R                      4                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 185     14:405 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize %
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.406 ∫ \frac{dx}{sin ax cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{sin ax cos^{2} ax} = \frac{1}{a} ln tan \frac{ax}{2} + \frac{1}{a cos ax}

— * —

)clear all
--S 39 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R                      sin(a x)
--R        cos(a x)log(------------) + cos(a x) + 1

--R                    cos(a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------------------
--R                       a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 40 of 185
bb:=1/a*log(tan((a*x)/2))+1/(a*cos(a*x))
--R
--R                        a x
--R        cos(a x)log(tan(---)) + 1
--R                         2
--R   (2)  -------------------------
--R                a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                  a x           sin(a x)
--R        - log(tan(---)) + log(------------) + 1
--R                   2          cos(a x) + 1
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 43 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R                                    a x
--R                                sin(---)
--R              sin(a x)               2
--R        log(------------) - log(--------) + 1
--R            cos(a x) + 1            a x
--R                                cos(---)
--R                                     2
--R   (5)  -------------------------------------
--R                          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 44 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R                                a x                                 a x
--R        log(sin(a x)) - log(sin(---)) - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---)) + 1
--R                                 2                                   2
--R   (6)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 185     14:406 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R        1
--R   (7)  -
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.407 ∫ \frac{dx}{sin^{2} ax cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{sin^{2} ax cos^{2} ax} = −\frac{2 cot 2ax}{a}

— * —

)clear all
--S 46 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)^2*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R                    2
--R         - 2cos(a x)  + 1
--R   (1)  ------------------
--R        a cos(a x)sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 47 of 185
bb:=-(2*cot(2*a*x))/a
--R
--R          2cot(2a x)

--R   (2)  - ----------
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                                              2
--R        2cos(a x)cot(2a x)sin(a x) - 2cos(a x)  + 1
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                     a cos(a x)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 185
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 50 of 185
dd:=cotrule cc
--R
--R                    2
--R        (- 2cos(a x)  + 1)sin(2a x) + 2cos(a x)cos(2a x)sin(a x)
--R   (5)  --------------------------------------------------------
--R                       a cos(a x)sin(a x)sin(2a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 185     14:407 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.408 ∫ \begin{matrix}sin & 2 & ax \\ cos & ax \end{matrix} dx

∫ \begin{matrix}sin & 2 & ax \\ cos & ax \end{matrix} = −\frac{sin ax}{a} + \frac{1}{a} ln tan (\frac{ax}{2} + \frac{π}{4} )

— * —

)clear all
--S 52 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)^2/cos(a*x),x)
--R
--R
--R            sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R        log(-----------------------) - log(-----------------------) - sin(a x)
--R                  cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------------------------------------------------
--R                                           a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 53 of 185
bb:=-sin(a*x)/a+1/a*log(tan((a*x)/2+%pi/4))
--R
--R                2a x + %pi
--R        log(tan(----------)) - sin(a x)
--R                     4
--R   (2)  -------------------------------
--R                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 55 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)

--S 56 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------)
--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     +
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------))
--R                      4                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 58 of 185     14:408 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.409 ∫ \begin{matrix}cos & 2 & ax \\ sin & ax \end{matrix} dx

∫ \begin{matrix}cos & 2 & ax \\ sin & ax \end{matrix} = \frac{cos ax}{a} + \frac{1}{a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 59 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)^2/sin(a*x),x)
--R
--R
--R              sin(a x)
--R        log(------------) + cos(a x)
--R            cos(a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------
--R                      a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 60 of 185
bb:=cos(a*x)/a+1/a*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                a x
--R        log(tan(---)) + cos(a x)
--R                 2
--R   (2)  ------------------------
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                  a x           sin(a x)
--R        - log(tan(---)) + log(------------)
--R                   2          cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------

--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 63 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R                                    a x
--R                                sin(---)
--R              sin(a x)               2
--R        log(------------) - log(--------)
--R            cos(a x) + 1            a x
--R                                cos(---)
--R                                     2
--R   (5)  ---------------------------------
--R                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 64 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R                                a x                                 a x
--R        log(sin(a x)) - log(sin(---)) - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---))
--R                                 2                                   2
--R   (6)  -----------------------------------------------------------------
--R                                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 185     14:409 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.410 ∫ \frac{dx}{cos ax(1 ± sin ax)}

∫ \frac{1}{cos ax(1 ± sin ax)} = ∓\frac{1}{2a(1 ± sin ax)} + \frac{1}{2a} ln tan (\frac{ax}{2} + \frac{π}{4} )

— * —

)clear all

--S 66 of 185
aa:=integrate(1/(cos(a*x)*(1+sin(a*x))),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       (sin(a x) + 1)log(-----------------------)
--R                               cos(a x) + 1
--R     +
--R                           sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       (- sin(a x) - 1)log(-----------------------) + sin(a x)
--R                                 cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a sin(a x) + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 67 of 185
bb:=-1/(2*a*(1+sin(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2+%pi/4))
--R
--R                              2a x + %pi
--R        (sin(a x) + 1)log(tan(----------)) - 1
--R                                   4
--R   (2)  --------------------------------------
--R                   2a sin(a x) + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 68 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------) + 1
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)

--S 70 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------) + 1
--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 71 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     +
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) + 1
--R                      4                      4
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 185
ff:=complexNormalize ee
--R
--R        log(- 1) + 1
--R   (7)  ------------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 73 of 185
aa:=integrate(1/(cos(a*x)*(1-sin(a*x))),x)

--R
--R
--R   (1)
--R                         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       (sin(a x) - 1)log(-----------------------)
--R                               cos(a x) + 1
--R     +
--R                           sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       (- sin(a x) + 1)log(-----------------------) - sin(a x)
--R                                 cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a sin(a x) - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 74 of 185
bb:=1/(2*a*(1-sin(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2+%pi/4))
--R
--R                              2a x + %pi
--R        (sin(a x) - 1)log(tan(----------)) - 1
--R                                   4
--R   (2)  --------------------------------------
--R                   2a sin(a x) - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------) - 1
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 77 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------) - 1
--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 78 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     +
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) - 1
--R                      4                      4
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 79 of 185     14:410 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R        log(- 1) - 1
--R   (7)  ------------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.411 ∫ \frac{dx}{sin ax(1 ± cos ax)}

∫ \frac{1}{sin ax(1 ± cos ax)} = ±\frac{1}{2a(1 ± cos ax)} + \frac{1}{2a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 80 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)*(1+cos(a*x))),x)
--R
--R
--R                             sin(a x)
--R        (2cos(a x) + 2)log(------------) - cos(a x) + 1
--R                           cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------
--R                        4a cos(a x) + 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 81 of 185
bb:=1/(2*a*(1+cos(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                              a x
--R        (cos(a x) + 1)log(tan(---)) + 1
--R                               2
--R   (2)  -------------------------------
--R                2a cos(a x) + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                   a x            sin(a x)
--R        - 2log(tan(---)) + 2log(------------) - 1
--R                    2           cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------------
--R                            4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 83 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------

--S 84 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R                                      a x
--R                                  sin(---)
--R               sin(a x)                2
--R        2log(------------) - 2log(--------) - 1
--R             cos(a x) + 1             a x
--R                                  cos(---)
--R                                       2
--R   (5)  ---------------------------------------
--R                           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R                             a x                                   a x
--R   2log(sin(a x)) - 2log(sin(---)) - 2log(cos(a x) + 1) + 2log(cos(---)) - 1
--R                              2                                     2
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 185
ff:=complexNormalize ee
--R
--R           1
--R   (7)  - --
--R          4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 87 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)*(1-cos(a*x))),x)
--R
--R
--R                             sin(a x)
--R        (2cos(a x) - 2)log(------------) + cos(a x) + 1
--R                           cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------

--R                        4a cos(a x) - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 88 of 185
bb:=-1/(2*a*(1-cos(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                              a x
--R        (cos(a x) - 1)log(tan(---)) + 1
--R                               2
--R   (2)  -------------------------------
--R                2a cos(a x) - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                   a x            sin(a x)
--R        - 2log(tan(---)) + 2log(------------) + 1
--R                    2           cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------------
--R                            4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 90 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 91 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R                                      a x
--R                                  sin(---)
--R               sin(a x)                2
--R        2log(------------) - 2log(--------) + 1
--R             cos(a x) + 1             a x
--R                                  cos(---)
--R                                       2
--R   (5)  ---------------------------------------
--R                           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 92 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R                             a x                                   a x
--R   2log(sin(a x)) - 2log(sin(---)) - 2log(cos(a x) + 1) + 2log(cos(---)) + 1
--R                              2                                     2
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 185     14:411 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R         1
--R   (7)  --
--R        4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.412 ∫ \frac{dx}{sin ax ± cos ax}

∫ \frac{1}{sin ax ± cos ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}} ln tan (\frac{ax}{2} ± \frac{π}{8} )

— * —

)clear all
--S 94 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)+cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                    +-+                  +-+                 +-+
--R         +-+    (- \|2  + 1)sin(a x) + (\|2  - 1)cos(a x) + \|2  - 2
--R        \|2 log(----------------------------------------------------)
--R                                 sin(a x) + cos(a x)
--R   (1)  -------------------------------------------------------------
--R                                      2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 95 of 185
bb:=1/(a*sqrt(2))*log(tan((a*x)/2+%pi/8))
--R

--R         +-+        4a x + %pi
--R        \|2 log(tan(----------))
--R                         8
--R   (2)  ------------------------
--R                   2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 96 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R          +-+        4a x + %pi
--R       - \|2 log(tan(----------))
--R                          8
--R     +
--R                   +-+                  +-+                 +-+
--R        +-+    (- \|2  + 1)sin(a x) + (\|2  - 1)cos(a x) + \|2  - 2
--R       \|2 log(----------------------------------------------------)
--R                                sin(a x) + cos(a x)
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 97 of 185
complexNormalize cc
--R
--R                 +-+
--R         +-+    \|2  - 2
--R        \|2 log(--------)
--R                   +-+
--R                  \|2
--R   (4)  -----------------
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 98 of 185
aa:=integrate(1/(sin(a*x)-cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                    +-+                    +-+                 +-+
--R         +-+    (- \|2  + 1)sin(a x) + (- \|2  + 1)cos(a x) - \|2  + 2
--R        \|2 log(------------------------------------------------------)
--R                                  sin(a x) - cos(a x)
--R   (1)  ---------------------------------------------------------------
--R                                       2a

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 99 of 185
bb:=1/(a*sqrt(2))*log(tan((a*x)/2-%pi/8))
--R
--R         +-+        4a x - %pi
--R        \|2 log(tan(----------))
--R                         8
--R   (2)  ------------------------
--R                   2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 100 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R          +-+        4a x - %pi
--R       - \|2 log(tan(----------))
--R                          8
--R     +
--R                   +-+                    +-+                 +-+
--R        +-+    (- \|2  + 1)sin(a x) + (- \|2  + 1)cos(a x) - \|2  + 2
--R       \|2 log(------------------------------------------------------)
--R                                 sin(a x) - cos(a x)
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 185    14:412 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize cc
--R
--R         +-+     +-+
--R        \|2 log(\|2  - 1)
--R   (4)  -----------------
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.413 ∫ \frac{sin ax dx}{sin ax ± cos ax}

∫ \frac{sin ax}{sin ax ± cos ax} = \frac{x}{2} ∓ \frac{1}{2a} ln(sin ax ± cos ax)

)clear all
--S 102 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)/(sin(a*x)+cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                  2             - 2sin(a x) - 2cos(a x)
--R        log(------------) - log(-----------------------) + a x
--R            cos(a x) + 1              cos(a x) + 1
--R   (1)  ------------------------------------------------------
--R                                  2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 103 of 185
bb:=x/2-1/(2*a)*log(sin(a*x)+cos(a*x))
--R
--R        - log(sin(a x) + cos(a x)) + a x
--R   (2)  --------------------------------
--R                       2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                        2             - 2sin(a x) - 2cos(a x)
--R   log(sin(a x) + cos(a x)) + log(------------) - log(-----------------------)
--R                                  cos(a x) + 1              cos(a x) + 1
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                        2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 105 of 185
dd:=expandLog cc
--R
--R        log(sin(a x) + cos(a x)) - log(- sin(a x) - cos(a x))
--R   (4)  -----------------------------------------------------
--R                                  2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 106 of 185
ee:=complexNormalize dd
--R

--R        log(- 1)
--R   (5)  --------
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 107 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)/(sin(a*x)-cos(a*x)),x)
--R
--R
--R            2sin(a x) - 2cos(a x)              2
--R        log(---------------------) - log(------------) + a x
--R                 cos(a x) + 1            cos(a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------------------------------
--R                                 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 108 of 185
bb:=x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)-cos(a*x))
--R
--R        log(sin(a x) - cos(a x)) + a x
--R   (2)  ------------------------------
--R                      2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 109 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                    2sin(a x) - 2cos(a x)              2
--R   - log(sin(a x) - cos(a x)) + log(---------------------) - log(------------)
--R                                         cos(a x) + 1            cos(a x) + 1
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                        2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 110 of 185    14:413 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.414 ∫ \frac{cosax dx}{sin ax ± cos ax}

∫ \frac{cosax}{sin ax ± cos ax} = ±\frac{x}{2} + \frac{1}{2a} ln(sinax ± cos ax)

— * —

)clear all
--S 111 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)/(sin(a*x)+cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                    2             - 2sin(a x) - 2cos(a x)
--R        - log(------------) + log(-----------------------) + a x
--R              cos(a x) + 1              cos(a x) + 1
--R   (1)  --------------------------------------------------------
--R                                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 112 of 185
bb:=x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)+cos(a*x))
--R
--R        log(sin(a x) + cos(a x)) + a x
--R   (2)  ------------------------------
--R                      2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 113 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                          2             - 2sin(a x) - 2cos(a x)
--R   - log(sin(a x) + cos(a x)) - log(------------) + log(-----------------------)
--R                                    cos(a x) + 1              cos(a x) + 1
--R   -----------------------------------------------------------------------------
--R                                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 114 of 185
dd:=expandLog cc
--R
--R        - log(sin(a x) + cos(a x)) + log(- sin(a x) - cos(a x))
--R   (4)  -------------------------------------------------------
--R                                   2a

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 115 of 185
ee:=complexNormalize dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (5)  - --------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 116 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)/(sin(a*x)-cos(a*x)),x)
--R
--R
--R            2sin(a x) - 2cos(a x)              2
--R        log(---------------------) - log(------------) - a x
--R                 cos(a x) + 1            cos(a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------------------------------
--R                                 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 117 of 185
bb:=-x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)-cos(a*x))
--R
--R        log(sin(a x) - cos(a x)) - a x
--R   (2)  ------------------------------
--R                      2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 118 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                    2sin(a x) - 2cos(a x)              2
--R   - log(sin(a x) - cos(a x)) + log(---------------------) - log(------------)
--R                                         cos(a x) + 1            cos(a x) + 1
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                        2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 185    14:414 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R

--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.415 ∫ \frac{sin ax dx}{p + q cos ax}

∫ \frac{sin ax}{p + q cos ax} = −\frac{1}{aq} ln(p + q cos ax)

— * —

)clear all
--S 120 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)/(p+q*cos(a*x)),x)
--R
--R
--R                  2             - 2q cos(a x) - 2p
--R        log(------------) - log(------------------)
--R            cos(a x) + 1           cos(a x) + 1
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                            a q
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 121 of 185
bb:=-1/(a*q)*log(p+q*cos(a*x))
--R
--R          log(q cos(a x) + p)
--R   (2)  - -------------------
--R                  a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 122 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                                        2             - 2q cos(a x) - 2p
--R        log(q cos(a x) + p) + log(------------) - log(------------------)
--R                                  cos(a x) + 1           cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                       a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 123 of 185

dd:=expandLog cc
--R
--R        log(q cos(a x) + p) - log(- q cos(a x) - p)
--R   (4)  -------------------------------------------
--R                            a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 124 of 185    14:415 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        log(- 1)
--R   (5)  --------
--R           a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.416 ∫ \frac{cos ax dx}{p + q sin ax}

∫ \frac{cos ax}{p + q sin ax} = \frac{1}{aq} ln(p + q sin ax)

— * —

)clear all
--S 125 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)/(p+q*sin(a*x)),x)
--R
--R
--R            2q sin(a x) + 2p              2
--R        log(----------------) - log(------------)
--R              cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------
--R                           a q
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 126 of 185
bb:=1/(a*q)*log(p+q*sin(a*x))
--R
--R        log(q sin(a x) + p)
--R   (2)  -------------------
--R                a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 127 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                                    2q sin(a x) + 2p              2
--R        - log(q sin(a x) + p) + log(----------------) - log(------------)
--R                                      cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                       a q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 128 of 185    14:416 Schaums and Axiom agree
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.417 ∫ \frac{sin ax dx}{(p + q cos ax)^{n}}

∫ \frac{sin ax}{(p + q cos ax)^{n}} = \frac{1}{aq(n − 1)(p + q cos ax)^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 129 of 185
aa:=integrate(sin(a*x)/(p+q*cos(a*x))^n,x)
--R
--R
--R                  q cos(a x) + p
--R   (1)  ----------------------------------
--R                     n log(q cos(a x) + p)
--R        (a n - a)q %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 130 of 185
bb:=1/(a*q*(n-1)*(p+q*cos(a*x))^(n-1))
--R
--R                        1
--R   (2)  --------------------------------
--R                                   n - 1
--R        (a n - a)q (q cos(a x) + p)

--S 131 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R            n log(q cos(a x) + p)                                   n - 1
--R        - %e                      + (q cos(a x) + p)(q cos(a x) + p)
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                        n - 1  n log(q cos(a x) + p)
--R             (a n - a)q (q cos(a x) + p)     %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 132 of 185
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 133 of 185
dd:=explog cc
--R
--R                          n                                   n - 1
--R        - (q cos(a x) + p)  + (q cos(a x) + p)(q cos(a x) + p)
--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                        n - 1                n
--R             (a n - a)q (q cos(a x) + p)     (q cos(a x) + p)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 134 of 185    14:417 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.418 ∫ \frac{cos ax dx}{(p + q sin ax)^{n}}

∫ \frac{cos ax}{(p + q sin ax)^{n}} = \frac{−1}{aq(n − 1)(p + q sin ax)^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 135 of 185
aa:=integrate(cos(a*x)/(p+q*sin(a*x))^n,x)
--R
--R
--R                 - q sin(a x) - p
--R   (1)  ----------------------------------
--R                     n log(q sin(a x) + p)
--R        (a n - a)q %e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 136 of 185
bb:=-1/(a*q*(n-1)*(p+q*sin(a*x))^(n-1))
--R
--R                          1
--R   (2)  - --------------------------------
--R                                     n - 1
--R          (a n - a)q (q sin(a x) + p)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 137 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R          n log(q sin(a x) + p)                                     n - 1
--R        %e                      + (- q sin(a x) - p)(q sin(a x) + p)
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                        n - 1  n log(q sin(a x) + p)
--R             (a n - a)q (q sin(a x) + p)     %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 138 of 185
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 139 of 185
dd:=explog cc
--R
--R                        n                                     n - 1
--R        (q sin(a x) + p)  + (- q sin(a x) - p)(q sin(a x) + p)
--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                        n - 1                n
--R             (a n - a)q (q sin(a x) + p)     (q sin(a x) + p)

--S 140 of 185    14:418 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.419 ∫ \frac{dx}{p sin ax + q cos ax}

∫ \frac{1}{p sin ax + q cos ax} = \frac{1}{a\sqrt{p^{2} + q^{2}}} ln tan (\frac{ax + tan^{−1}(q/p)}{2})

— * —

)clear all
--S 141 of 185
aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R     log
--R                                                  +-------+
--R                             2            2    2  | 2    2
--R            (p q sin(a x) - p cos(a x) - q  - p )\|q  + p
--R          +
--R                3    2                 2    3               2    3
--R            (- q  - p q)sin(a x) + (p q  + p )cos(a x) + p q  + p
--R       /
--R          p sin(a x) + q cos(a x)
--R  /
--R       +-------+
--R       | 2    2
--R     a\|q  + p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 142 of 185
bb:=1/(a*sqrt(p^2+q^2))*log(tan((a*x+atan(q/p))/2))
--R
--R                     q
--R                atan(-) + a x
--R                     p

--R        log(tan(-------------))
--R                      2
--R   (2)  -----------------------
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R              a\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 143 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                      q
--R                 atan(-) + a x
--R                      p
--R       - log(tan(-------------))
--R                       2
--R     +
--R       log
--R                                                    +-------+
--R                               2            2    2  | 2    2
--R              (p q sin(a x) - p cos(a x) - q  - p )\|q  + p
--R            +
--R                  3    2                 2    3               2    3
--R              (- q  - p q)sin(a x) + (p q  + p )cos(a x) + p q  + p
--R         /
--R            p sin(a x) + q cos(a x)
--R  /
--R       +-------+
--R       | 2    2
--R     a\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 144 of 185
dd:=normalize cc
--R
--R                            +-------+
--R                            | 2    2     2     2
--R                       - 2p\|q  + p   + q  + 2p
--R          log(------------------------------------------)
--R                            +-------+
--R                   2     3  | 2    2     4     2 2     4
--R              (3p q  + 4p )\|q  + p   - q  - 5p q  - 4p
--R   (4)  - -----------------------------------------------
--R                              +-------+
--R                              | 2    2
--R                            a\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 145 of 185    14:419 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=ratDenom dd
--R
--R                            +-------+
--R           +-------+        | 2    2     2    2
--R           | 2    2     - p\|q  + p   - q  - p
--R          \|q  + p  log(-----------------------)
--R                                4    2 2
--R                               q  + p q
--R   (5)  - --------------------------------------
--R                           2      2
--R                        a q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.420 ∫ \frac{dx}{p sin ax + q cos ax + r}

∫ \frac{1}{p sin ax + q cos ax + r} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{a\sqrt{r^{2} − p^{2} − q^{q}}} & tan & −1 & (\frac{p + (r − q) tan(ax/2)}{\sqrt{r^{2} − p^{2} − a^{2}}}) \\ \frac{1}{a\sqrt{p^{2} + q^{2} − r^{2}}} & ln & (\frac{p − \sqrt{p^{2} + q^{2} − r^{2}} + (r − q) tan (ax/2)}{p + \sqrt{p^{2} + q^{2} − r^{2}} + (r − q) tan (ax/2)}) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 146 of 185
aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)+r),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                              2          2                   2
--R                    (p r - p q)sin(a x) + (- r  + q r + p )cos(a x) - q r + q
--R                  +
--R                     2
--R                    p
--R             *
--R                 +--------------+
--R                 |   2    2    2
--R                \|- r  + q  + p

--R            +
--R                3      2       2    2      3    2
--R              (r  - q r  + (- q  - p )r + q  + p q)sin(a x)
--R            +
--R                  2      2    3               2      2    3
--R              (p r  - p q  - p )cos(a x) + p r  - p q  - p
--R         /
--R            p sin(a x) + q cos(a x) + r
--R    /
--R         +--------------+
--R         |   2    2    2
--R       a\|- r  + q  + p
--R     ,
--R                                             +------------+
--R                                             | 2    2    2
--R          ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r  - q  - p
--R    2atan(-------------------------------------------------)
--R                  2    2    2             2    2    2
--R                (r  - q  - p )cos(a x) + r  - q  - p
--R    --------------------------------------------------------]
--R                          +------------+
--R                          | 2    2    2
--R                        a\|r  - q  - p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 147 of 185
bb1:=2/(a*sqrt(r^2-p^2-q^2))*atan((p+(r-q)*tan((a*x)/2))/sqrt(r^2-p^2-q^2))
--R
--R                         a x
--R              (r - q)tan(---) + p
--R                          2
--R        2atan(-------------------)
--R                 +------------+
--R                 | 2    2    2
--R                \|r  - q  - p
--R   (2)  --------------------------
--R               +------------+
--R               | 2    2    2
--R             a\|r  - q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 148 of 185
bb2:=1/(a*sqrt(p^2+q^2-r^2))*log((p-sqrt(p^2+q^2-r^2)+(r-q)*_
     tan((a*x)/2))/(p+sqrt(p^2+q^2-r^2)+(r-q)*tan((a*x)/2)))
--R
--R               +--------------+
--R               |   2    2    2               a x
--R            - \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p

--R                                              2
--R        log(-----------------------------------------)
--R              +--------------+
--R              |   2    2    2               a x
--R             \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p
--R                                             2
--R   (3)  ----------------------------------------------
--R                        +--------------+
--R                        |   2    2    2
--R                      a\|- r  + q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 149 of 185
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +------------+
--R          | 2    2    2
--R         \|r  - q  - p
--R      *
--R         log
--R                                              2          2                   2
--R                    (p r - p q)sin(a x) + (- r  + q r + p )cos(a x) - q r + q
--R                  +
--R                     2
--R                    p
--R               *
--R                   +--------------+
--R                   |   2    2    2
--R                  \|- r  + q  + p
--R              +
--R                  3      2       2    2      3    2
--R                (r  - q r  + (- q  - p )r + q  + p q)sin(a x)
--R              +
--R                    2      2    3               2      2    3
--R                (p r  - p q  - p )cos(a x) + p r  - p q  - p
--R           /
--R              p sin(a x) + q cos(a x) + r
--R     +
--R                                           a x
--R           +--------------+     (r - q)tan(---) + p
--R           |   2    2    2                  2
--R       - 2\|- r  + q  + p  atan(-------------------)
--R                                   +------------+
--R                                   | 2    2    2
--R                                  \|r  - q  - p
--R  /
--R       +--------------+ +------------+
--R       |   2    2    2  | 2    2    2

--R     a\|- r  + q  + p  \|r  - q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 150 of 185
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (5)
--R                                                +------------+
--R                                                | 2    2    2
--R             ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r  - q  - p
--R       2atan(-------------------------------------------------)
--R                     2    2    2             2    2    2
--R                   (r  - q  - p )cos(a x) + r  - q  - p
--R     +
--R                          a x
--R               (r - q)tan(---) + p
--R                           2
--R       - 2atan(-------------------)
--R                  +------------+
--R                  | 2    2    2
--R                 \|r  - q  - p
--R  /
--R       +------------+
--R       | 2    2    2
--R     a\|r  - q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 151 of 185
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R       log
--R                                              2          2                   2
--R                    (p r - p q)sin(a x) + (- r  + q r + p )cos(a x) - q r + q
--R                  +
--R                     2
--R                    p
--R             *
--R                 +--------------+
--R                 |   2    2    2
--R                \|- r  + q  + p
--R            +
--R                3      2       2    2      3    2
--R              (r  - q r  + (- q  - p )r + q  + p q)sin(a x)
--R            +
--R                  2      2    3               2      2    3
--R              (p r  - p q  - p )cos(a x) + p r  - p q  - p
--R         /

--R            p sin(a x) + q cos(a x) + r
--R     +
--R                +--------------+
--R                |   2    2    2               a x
--R             - \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p
--R                                               2
--R       - log(-----------------------------------------)
--R               +--------------+
--R               |   2    2    2               a x
--R              \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p
--R                                              2
--R  /
--R       +--------------+
--R       |   2    2    2
--R     a\|- r  + q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 152 of 185
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                               +--------------+
--R                               |   2    2    2               a x
--R          +------------+    - \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p
--R          | 2    2    2                                       2
--R       - \|r  - q  - p  log(-----------------------------------------)
--R                              +--------------+
--R                              |   2    2    2               a x
--R                             \|- r  + q  + p   + (r - q)tan(---) + p
--R                                                             2
--R     +
--R                                                               +------------+
--R       +--------------+                                        | 2    2    2
--R       |   2    2    2      ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r  - q  - p
--R     2\|- r  + q  + p  atan(-------------------------------------------------)
--R                                    2    2    2             2    2    2
--R                                  (r  - q  - p )cos(a x) + r  - q  - p
--R  /
--R       +--------------+ +------------+
--R       |   2    2    2  | 2    2    2
--R     a\|- r  + q  + p  \|r  - q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 153 of 185    14:420 Schaums and Axiom agree
dd2:=normalize cc2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

23 [?]:14.421 ∫ \frac{dx}{p sin ax + q(1 + cos ax)}

∫ \frac{1}{p sin ax + q(1 + cos ax)} = \frac{1}{ap} ln (q + p tan \frac{ax}{2})

— * —

)clear all
--S 154 of 185
aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*(1+cos(a*x))),x)
--R
--R
--R            p sin(a x) + q cos(a x) + q
--R        log(---------------------------)
--R                    cos(a x) + 1
--R   (1)  --------------------------------
--R                       a p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 155 of 185
bb:=1/(a*p)*log(q+p*tan((a*x)/2))
--R
--R                  a x
--R        log(p tan(---) + q)
--R                   2
--R   (2)  -------------------
--R                a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 156 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R                    a x             p sin(a x) + q cos(a x) + q
--R        - log(p tan(---) + q) + log(---------------------------)
--R                     2                      cos(a x) + 1
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                                   a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 157 of 185

tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 158 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R                                                     a x          a x
--R                                               p sin(---) + q cos(---)
--R            p sin(a x) + q cos(a x) + q               2            2
--R        log(---------------------------) - log(-----------------------)
--R                    cos(a x) + 1                           a x
--R                                                       cos(---)
--R                                                            2
--R   (5)  ---------------------------------------------------------------
--R                                      a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 159 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R                                                    a x          a x
--R       log(p sin(a x) + q cos(a x) + q) - log(p sin(---) + q cos(---))
--R                                                     2            2
--R     +
--R                                     a x
--R       - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---))
--R                                      2
--R  /
--R     a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 160 of 185    14:421 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.422 ∫ \frac{dx}{p sin ax + q cos ax ± \sqrt{p^{2} + q^{2}}}

∫ \frac{1}{p sin ax + q cos ax ± \sqrt{p^{2} + q^{2}}} = \frac{−1}{a\sqrt{p^{2} + q^{2}}} tan (\frac{π}{4} ∓ \frac{ax + tan^{−1} (q/p)}{2})

— * —

)clear all
--S 161 of 185
aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)+sqrt(p^2+q^2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                                 +-------+
--R            5      2 3      4                5      2 3      4   | 2    2
--R       ((64q  + 64p q  + 12p q)cos(a x) + 64q  + 64p q  + 12p q)\|q  + p
--R     +
--R             6      2 4      4 2     6               6      2 4      4 2     6
--R       (- 64q  - 96p q  - 36p q  - 2p )cos(a x) - 64q  - 96p q  - 36p q  - 2p
--R  /
--R                 6        2 4        4 2      6
--R           (64a q  + 80a p q  + 24a p q  + a p )sin(a x)
--R         +
--R                   5        3 3       5                    5        3 3       5
--R         (- 32a p q  - 32a p q  - 6a p q)cos(a x) - 32a p q  - 32a p q  - 6a p q
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R               7         2 5        4 3       6
--R       (- 64a q  - 112a p q  - 56a p q  - 7a p q)sin(a x)
--R     +
--R               6        3 4        5 2      7                   6        3 4
--R       (32a p q  + 48a p q  + 18a p q  + a p )cos(a x) + 32a p q  + 48a p q
--R     +
--R            5 2      7
--R       18a p q  + a p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 162 of 185
bb:=-1/(a*sqrt(p^2+q^2))*tan(%pi/4-(a*x+atan(q/p))/2)
--R
--R                  q
--R            2atan(-) + 2a x - %pi
--R                  p

--R        tan(---------------------)
--R                      4
--R   (2)  --------------------------
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                a\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 163 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                   6      2 4      4 2    6
--R               (64q  + 80p q  + 24p q  + p )sin(a x)
--R             +
--R                       5      3 3     5                  5      3 3     5
--R               (- 32p q  - 32p q  - 6p q)cos(a x) - 32p q  - 32p q  - 6p q
--R          *
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|q  + p
--R         +
--R                 7       2 5      4 3     6
--R           (- 64q  - 112p q  - 56p q  - 7p q)sin(a x)
--R         +
--R               6      3 4      5 2    7                 6      3 4      5 2    7
--R         (32p q  + 48p q  + 18p q  + p )cos(a x) + 32p q  + 48p q  + 18p q  + p
--R      *
--R                   q
--R             2atan(-) + 2a x - %pi
--R                   p
--R         tan(---------------------)
--R                       4
--R     +
--R              6      2 4      4 2     6               6      2 4      4 2     6
--R         ((64q  + 96p q  + 36p q  + 2p )cos(a x) + 64q  + 96p q  + 36p q  + 2p )
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R             7       2 5      4 3      6                7       2 5      4 3
--R       (- 64q  - 128p q  - 76p q  - 12p q)cos(a x) - 64q  - 128p q  - 76p q
--R     +
--R            6
--R       - 12p q
--R  /
--R                 7         2 5        4 3       6
--R           (64a q  + 112a p q  + 56a p q  + 7a p q)sin(a x)

--R         +
--R                     6        3 4        5 2      7                   6
--R           (- 32a p q  - 48a p q  - 18a p q  - a p )cos(a x) - 32a p q
--R         +
--R                  3 4        5 2      7
--R           - 48a p q  - 18a p q  - a p
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R               8         2 6         4 4        6 2      8
--R       (- 64a q  - 144a p q  - 104a p q  - 25a p q  - a p )sin(a x)
--R     +
--R               7        3 5        5 3       7                    7        3 5
--R       (32a p q  + 64a p q  + 38a p q  + 6a p q)cos(a x) + 32a p q  + 64a p q
--R     +
--R            5 3       7
--R       38a p q  + 6a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 164 of 185
dd:=normalize cc
--R
--R   (4)
--R                                                                  +-------+
--R               6      2 5      3 4      4 3      5 2     6     7  | 2    2
--R       (- 32p q  - 16p q  - 48p q  - 20p q  - 18p q  - 5p q - p )\|q  + p
--R     +
--R            7      2 6      3 5      4 4      5 3      6 2     7     8
--R       32p q  + 16p q  + 64p q  + 28p q  + 38p q  + 13p q  + 6p q + p
--R  /
--R                8          7         2 6        3 5         4 4        5 3
--R           64a q  + 32a p q  + 144a p q  + 64a p q  + 104a p q  + 38a p q
--R         +
--R                6 2       7       8
--R           25a p q  + 6a p q + a p
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R              9          8         2 7        3 6         4 5        5 4
--R       - 64a q  - 32a p q  - 176a p q  - 80a p q  - 168a p q  - 66a p q
--R     +
--R              6 3        7 2       8       9
--R       - 63a p q  - 19a p q  - 7a p q - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 165 of 185
ee:=ratDenom dd
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2     2    2
--R        - q\|q  + p   - q  - p
--R   (5)  -----------------------
--R                  2      3
--R             a p q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)clear all
--S 166 of 185
aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)-sqrt(p^2+q^2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                                 +-------+
--R            5      2 3      4                5      2 3      4   | 2    2
--R       ((64q  + 64p q  + 12p q)cos(a x) + 64q  + 64p q  + 12p q)\|q  + p
--R     +
--R           6      2 4      4 2     6               6      2 4      4 2     6
--R       (64q  + 96p q  + 36p q  + 2p )cos(a x) + 64q  + 96p q  + 36p q  + 2p
--R  /
--R                 6        2 4        4 2      6
--R           (64a q  + 80a p q  + 24a p q  + a p )sin(a x)
--R         +
--R                   5        3 3       5                    5        3 3       5
--R         (- 32a p q  - 32a p q  - 6a p q)cos(a x) - 32a p q  - 32a p q  - 6a p q
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R             7         2 5        4 3       6
--R       (64a q  + 112a p q  + 56a p q  + 7a p q)sin(a x)
--R     +
--R                 6        3 4        5 2      7                   6        3 4
--R       (- 32a p q  - 48a p q  - 18a p q  - a p )cos(a x) - 32a p q  - 48a p q
--R     +
--R              5 2      7
--R       - 18a p q  - a p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 167 of 185
bb:=-1/(a*sqrt(p^2+q^2))*tan(%pi/4+(a*x+atan(q/p))/2)

--R
--R                    q
--R              2atan(-) + 2a x + %pi
--R                    p
--R          tan(---------------------)
--R                        4
--R   (2)  - --------------------------
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                  a\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 168 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                   6      2 4      4 2    6
--R               (64q  + 80p q  + 24p q  + p )sin(a x)
--R             +
--R                       5      3 3     5                  5      3 3     5
--R               (- 32p q  - 32p q  - 6p q)cos(a x) - 32p q  - 32p q  - 6p q
--R          *
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|q  + p
--R         +
--R               7       2 5      4 3     6
--R           (64q  + 112p q  + 56p q  + 7p q)sin(a x)
--R         +
--R                   6      3 4      5 2    7                 6      3 4      5 2
--R           (- 32p q  - 48p q  - 18p q  - p )cos(a x) - 32p q  - 48p q  - 18p q
--R         +
--R              7
--R           - p
--R      *
--R                   q
--R             2atan(-) + 2a x + %pi
--R                   p
--R         tan(---------------------)
--R                       4
--R     +
--R              6      2 4      4 2     6               6      2 4      4 2     6
--R         ((64q  + 96p q  + 36p q  + 2p )cos(a x) + 64q  + 96p q  + 36p q  + 2p )
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R         7       2 5      4 3      6                7       2 5      4 3      6

--R     (64q  + 128p q  + 76p q  + 12p q)cos(a x) + 64q  + 128p q  + 76p q  + 12p q
--R  /
--R                 7         2 5        4 3       6
--R           (64a q  + 112a p q  + 56a p q  + 7a p q)sin(a x)
--R         +
--R                     6        3 4        5 2      7                   6
--R           (- 32a p q  - 48a p q  - 18a p q  - a p )cos(a x) - 32a p q
--R         +
--R                  3 4        5 2      7
--R           - 48a p q  - 18a p q  - a p
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R             8         2 6         4 4        6 2      8
--R       (64a q  + 144a p q  + 104a p q  + 25a p q  + a p )sin(a x)
--R     +
--R                 7        3 5        5 3       7                    7        3 5
--R       (- 32a p q  - 64a p q  - 38a p q  - 6a p q)cos(a x) - 32a p q  - 64a p q
--R     +
--R              5 3       7
--R       - 38a p q  - 6a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 169 of 185
dd:=normalize cc
--R
--R   (4)
--R                                                                  +-------+
--R               6      2 5      3 4      4 3      5 2     6     7  | 2    2
--R       (- 32p q  + 16p q  - 48p q  + 20p q  - 18p q  + 5p q - p )\|q  + p
--R     +
--R              7      2 6      3 5      4 4      5 3      6 2     7     8
--R       - 32p q  + 16p q  - 64p q  + 28p q  - 38p q  + 13p q  - 6p q + p
--R  /
--R                8          7         2 6        3 5         4 4        5 3
--R           64a q  - 32a p q  + 144a p q  - 64a p q  + 104a p q  - 38a p q
--R         +
--R                6 2       7       8
--R           25a p q  - 6a p q + a p
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  + p
--R     +
--R            9          8         2 7        3 6         4 5        5 4
--R       64a q  - 32a p q  + 176a p q  - 80a p q  + 168a p q  - 66a p q
--R     +

--R            6 3        7 2       8       9
--R       63a p q  - 19a p q  + 7a p q - a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 170 of 185    14:422 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=ratDenom dd
--R
--R          +-------+
--R          | 2    2     2    2
--R        q\|q  + p   - q  - p
--R   (5)  ---------------------
--R                 2      3
--R            a p q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

25 [?]:14.423 ∫ \frac{dx}{p^{2} sin^{2} ax + q^{2} cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} sin^{2} ax + q^{2} cos^{2} ax} = \frac{1}{apq} tan^{−1} (\frac{p tan ax}{q})

— * —

)clear all
--S 171 of 185
aa:=integrate(1/(p^2*sin(a*x)^2+q^2*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R                   2     2              2
--R                ((q  - 2p )cos(a x) - 2p )sin(a x)            q sin(a x)
--R        - atan(-----------------------------------) + atan(----------------)
--R                           2                               2p cos(a x) + 2p
--R               p q cos(a x)  + 2p q cos(a x) + p q
--R   (1)  --------------------------------------------------------------------
--R                                        a p q
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 172 of 185
bb:=1/(a*p*q)*atan((p*tan(a*x))/q)
--R
--R             p tan(a x)
--R        atan(----------)
--R                  q

--R   (2)  ----------------
--R              a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 173 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                     2     2              2
--R              p tan(a x)          ((q  - 2p )cos(a x) - 2p )sin(a x)
--R       - atan(----------) - atan(-----------------------------------)
--R                   q                         2
--R                                 p q cos(a x)  + 2p q cos(a x) + p q
--R     +
--R               q sin(a x)
--R       atan(----------------)
--R            2p cos(a x) + 2p
--R  /
--R     a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 174 of 185    14:423 Schaums and Axiom agree
dd:=normalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

26 [?]:14.424 ∫ \frac{dx}{p^{2} sin^{2} ax − q^{2} cos^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} sin^{2} ax − q^{2} cos^{2} ax} = \frac{1}{2apq} ln (\frac{p tan ax − q}{p tan ax + q} )

— * —

)clear all
--S 175 of 185
aa:=integrate(1/(p^2*sin(a*x)^2-q^2*cos(a*x)^2),x)
--R
--R
--R            2p sin(a x) - 2q cos(a x)        - 2p sin(a x) - 2q cos(a x)

--R        log(-------------------------) - log(---------------------------)
--R                   cos(a x) + 1                      cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------------------------
--R                                      2a p q
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 176 of 185
bb:=1/(2*a*p*q)*log((p*tan(a*x)-q)/(p*tan(a*x)+q))
--R
--R            p tan(a x) - q
--R        log(--------------)
--R            p tan(a x) + q
--R   (2)  -------------------
--R               2a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 177 of 185
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R           2p sin(a x) - 2q cos(a x)        p tan(a x) - q
--R       log(-------------------------) - log(--------------)
--R                  cos(a x) + 1              p tan(a x) + q
--R     +
--R             - 2p sin(a x) - 2q cos(a x)
--R       - log(---------------------------)
--R                     cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 178 of 185
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 179 of 185
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R           2p sin(a x) - 2q cos(a x)        p sin(a x) - q cos(a x)
--R       log(-------------------------) - log(-----------------------)
--R                  cos(a x) + 1              p sin(a x) + q cos(a x)

--R     +
--R             - 2p sin(a x) - 2q cos(a x)
--R       - log(---------------------------)
--R                     cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 180 of 185
ee:=expandLog dd
--R
--R        log(p sin(a x) + q cos(a x)) - log(- p sin(a x) - q cos(a x))
--R   (6)  -------------------------------------------------------------
--R                                    2a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 181 of 185    14:424 Schaums and Axiom differ by a constant
ff:=complexNormalize ee
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R         2a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

27 [?]:14.425 ∫ sin^{m} ax cos^{n} ax dx

∫ sin^{m} ax cos^{n} ax = \{ \begin{matrix}−\frac{sin^{m−1} ax cos^{n+1} ax}{a(m + n)} + \frac{m − 1}{m + n} ∫ sin^{m−2} ax cos^{n} ax \\ \frac{sin^{m+1} ax cos^{n−1} ax}{a(m + n)} + \frac{n − 1}{m + n} ∫ sin^{m} ax cos^{n−2} ax \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 182 of 185    14:425 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sin(a*x)^m*cos(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++           n         m
--I   (1)   |   cos(%H a) sin(%H a) d%H

--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

28 [?]:14.426 ∫ \begin{matrix}sin & m & ax \\ cos & n & ax \end{matrix} dx

∫ \begin{matrix}sin & m & ax \\ cos & n & ax \end{matrix} = \{ \begin{matrix}\frac{sin^{m−1} ax}{a(n − 1) cos^{n−1} ax} − \frac{m − 1}{n − 1} ∫ \begin{matrix}sin & m−2 & ax \\ cos & n−2 & ax \end{matrix} \\ \frac{sin^{m+1} ax}{a(n − 1) cos^{n−1} ax} − \frac{m − n + 2}{n − 1} ∫ \begin{matrix}sin & m & ax \\ cos & n−2 & ax \end{matrix} \\ \frac{− sin^{m−1} ax}{a(m − n) cos^{n−1} ax} + \frac{m − 1}{m − n} ∫ \begin{matrix}sin & m−2 & ax \\ cos & n & ax \end{matrix} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 183 of 185    14:426 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sin(a*x)^m/cos(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x          m
--I         ++  sin(%H a)
--I   (1)   |   ---------- d%H
--R        ++            n
--I             cos(%H a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

29 [?]:14.427 ∫ \begin{matrix}cos & m & ax \\ sin & n & ax \end{matrix} dx

∫ \begin{matrix}cos & m & ax \\ sin & n & ax \end{matrix} = \{ \begin{matrix}\frac{− cos^{m−1} ax}{a(n − 1) sin^{n−1} ax} − \frac{m − 1}{n − 1} ∫ \begin{matrix}cos & m−2 & ax \\ sin & n−2 & ax \end{matrix} \\ \frac{− cos^{m+1} ax}{a(n − 1) sin^{n−1} ax} − \frac{m − n + 2}{n − 1} ∫ \begin{matrix}cos & m & ax \\ sin & n−2 & ax \end{matrix} \\ \frac{cos^{m−1} ax}{a(m − n) sin^{n−1} ax} + \frac{m − 1}{m − n} ∫ \begin{matrix}cos & m−2 & ax \\ sin & n & ax \end{matrix} \end{matrix}

)clear all
--S 184 of 185    14:427 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cos(a*x)^m/sin(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x          m
--I         ++  cos(%H a)
--I   (1)   |   ---------- d%H
--R        ++            n
--I             sin(%H a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

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30 [?]:14.428 ∫ \frac{dx}{sin^{m} ax cos^{n} ax}

∫ \frac{1}{sin^{m} ax cos^{n} ax} \{ \begin{matrix}\frac{1}{a(n − 1) sin^{m−1} ax cos^{n−1} ax} + \frac{m + n − 2}{n − 1} ∫ \frac{1}{sin^{m} ax cos^{n−2} ax} \\ \frac{−1}{a(m − 1) sin^{m−1} ax cos^{n−1} ax} + \frac{m + n − 2}{m − 1} ∫ \frac{1}{sin^{m−2} ax cos^{n} ax} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 185 of 185    14:428 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(sin(a*x)^m*cos(a*x)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            1
--I   (1)   |   -------------------- d%H
--R        ++            n         m
--I             cos(%H a) sin(%H a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

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References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp78-80