$SPAD/input schaum2.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.84 ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2\sqrt{ax + b}}{a}

— * —

)set break resume
)spool schaum2.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 98
aa:=integrate(1/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R          +-------+
--R        2\|a x + b
--R   (1)  -----------
--R             a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 98
bb:=(2*sqrt(a*x+b))/a
--R
--R
--R          +-------+
--R        2\|a x + b
--R   (2)  -----------
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 98      14:84 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.85 ∫ \frac{x dx}{\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{x}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2(ax − 2b)}{3a^{2}} \sqrt{ax + b}

— * —

)clear all
--S 4 of 98
aa:=integrate(x/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R                    +-------+
--R        (2a x - 4b)\|a x + b
--R   (1)  ---------------------
--R                   2
--R                 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 98
bb:=(2*(a*x-2*b))/(3*a^2)*sqrt(a*x+b)
--R
--R
--R                    +-------+
--R        (2a x - 4b)\|a x + b
--R   (2)  ---------------------
--R                   2
--R                 3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 98      14:85 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.86 ∫ \frac{x^{2} dx}{\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{x}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2(3a^{2}x^{2} − 4abx + 8b^{2})}{15a^{2}} \sqrt{ax + b}

— * —

)clear all
--S 7 of 98
aa:=integrate(x^2/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           2 2               2  +-------+
--R        (6a x  - 8a b x + 16b )\|a x + b
--R   (1)  ---------------------------------
--R                          3
--R                       15a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 98
bb:=(2*(3*a^2*x^2-4*a*b*x+8*b^2))/(15*a^3)*sqrt(a*x+b)
--R
--R
--R           2 2               2  +-------+
--R        (6a x  - 8a b x + 16b )\|a x + b
--R   (2)  ---------------------------------
--R                          3
--R                       15a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 98      14:86 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.87 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{ax + b}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{b}} & ln & (\frac{\sqrt{ax + b} − \sqrt{b}}{\sqrt{ax + b} + \sqrt{b}}) \\ \frac{2}{\sqrt{−b}} & tan & −1 & \sqrt{\frac{ax + b}{−b}} \end{matrix}

Note: the first answer assumes b > 0 and the second assumes b < 0. — * —

)clear all
--S 10 of 98
aa:=integrate(1/(x*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R                  +-------+              +-+           +---+ +-------+
--R             - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b           \|- b \|a x + b
--R         log(-------------------------------)   2atan(----------------)
--R                            x                                 b
--R   (1)  [------------------------------------,- -----------------------]
--R                          +-+                             +---+
--R                         \|b                             \|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

———-

Cleary Spiegel’s first answer assumes b > 0:

— * —

--S 11 of 98
bb1:=1/sqrt(b)*log((sqrt(a*x+b)-sqrt(b))/(sqrt(a*x+b)+sqrt(b)))
--R
--R
--R             +-------+    +-+
--R            \|a x + b  - \|b
--R        log(-----------------)
--R             +-------+    +-+
--R            \|a x + b  + \|b
--R   (2)  ----------------------
--R                  +-+
--R                 \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So we try the difference of the two results — * —

--S 12 of 98
cc11:=aa.1-bb1
--R
--R               +-------+    +-+             +-------+              +-+
--R              \|a x + b  - \|b         - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b
--R        - log(-----------------) + log(-------------------------------)
--R               +-------+    +-+                       x
--R              \|a x + b  + \|b
--R   (3)  ---------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                      \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

But the results don’t simplify to 0. So we try some other tricks.

Since both functions are of the form log(f(x))/sqrt(b) we extract the f(x) from each. First we get the function from Axiom’s first answer:

— * —

--S 13 of 98
ff:=exp(aa.1*sqrt(b))
--R
--R             +-------+              +-+
--R        - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b
--R   (4)  -------------------------------
--R                       x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and we get the same form from Spiegel’s answer — * —

--S 14 of 98
gg:=exp(bb1*sqrt(b))
--R
--R         +-------+    +-+
--R        \|a x + b  - \|b
--R   (5)  -----------------
--R         +-------+    +-+
--R        \|a x + b  + \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

We can change Spiegel’s form into Axiom’s form. They differ by the constant a*sqrt(b). To see this we multiply the numerator and denominator by 1 == (sqrt(a ∗ x + b) − sqrt(b))/(sqrt(a ∗ x + b) − sqrt(b)).

First we multiply the numerator by (sqrt(a ∗ x + b) − sqrt(b))

— * —

--S 15 of 98
gg1:=gg*(sqrt(a*x+b) - sqrt(b))
--R
--R            +-+ +-------+
--R        - 2\|b \|a x + b  + a x + 2b
--R   (6)  ----------------------------
--R               +-------+    +-+
--R              \|a x + b  + \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Now we multiply the denominator by (sqrt(a ∗ x + b) − sqrt(b))

— * —

--S 16 of 98
gg2:=gg1/(sqrt(a*x+b) - sqrt(b))
--R
--R            +-+ +-------+
--R        - 2\|b \|a x + b  + a x + 2b
--R   (7)  ----------------------------
--R                     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and now we multiply by the integration constant a ∗ sqrt(b)

— * —

--S 17 of 98
gg3:=gg2*(a*sqrt(b))
--R
--R             +-------+              +-+
--R        - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b
--R   (8)  -------------------------------
--R                       x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and when we difference this with ff, the Axiom answer we get:

— * —

--S 18 of 98     14:87a Schaums and Axiom differ by a constant
ff-gg3
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So the constant of integration difference is a ∗ sqrt(b)

Now we look at the second equations. We difference Axiom’s second answer from Spiegel’s answer:

— * —

--S 19 of 98
t1:=aa.2-bb1
--R
--R                      +-------+    +-+               +---+ +-------+
--R            +---+    \|a x + b  - \|b       +-+     \|- b \|a x + b
--R         - \|- b log(-----------------) - 2\|b atan(----------------)

--R                      +-------+    +-+                      b
--R                     \|a x + b  + \|b
--R   (10)  ------------------------------------------------------------
--R                                   +---+ +-+
--R                                  \|- b \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and again they do not simplify to zero. But we can show that both answers differ by a constant because the derivative is zero:

— * —

--S 20 of 98
D(t1,x)
--R
--R   (11)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Rather than find the constant this time we will differentiate both answers and compare them with the original equation.

— * —

--S 21 of 98
target:=1/(x*sqrt(a*x+b))
--R
--R              1
--R   (12)  -----------
--R           +-------+
--R         x\|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and we select the second Axiom solution — * —

--S 22 of 98
aa2:=aa.2
--R
--R                  +---+ +-------+
--R                 \|- b \|a x + b
--R           2atan(----------------)
--R                         b
--R   (13)  - -----------------------
--R                     +---+
--R                    \|- b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

take its derivative — * —

--S 23 of 98
ad2:=D(aa2,x)
--R
--R              1
--R   (14)  -----------
--R           +-------+
--R         x\|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

When we take the difference of Axiom’s input and the derivative of the output we see: — * —

--S 24 of 98
ad2-target
--R
--R   (15)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Thus the original equation and Axiom’s derivative of the integral are equal.

Now we do the same with Spiegel’s answer. We take the derivative of his answer. — * —

--S 25 of 98
ab1:=D(bb1,x)
--R
--R                +-------+    +-+
--R               \|a x + b  + \|b
--R   (16)  ----------------------------
--R           +-+ +-------+      2
--R         x\|b \|a x + b  + a x  + b x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and we difference it from the original equation — * —

--S 26 of 98     14:87b Schaums and Axiom differ by a constant
ab1-target
--R
--R   (17)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Thus the original equation and Spiegel’s derivative of the integral are equal.

So we can conclude that both second answers are correct although they differ by a constant of integration.

5 [?]:14.88 ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{x^{2}\sqrt{ax + b}} = −\frac{\sqrt{ax + b}}{bx} − \frac{a}{2b} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 27 of 98
aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R               +-------+              +-+
--R            2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+
--R    a x log(-----------------------------) - 2\|b \|a x + b
--R                          x
--R   [--------------------------------------------------------,
--R                                 +-+
--R                            2b x\|b
--R              +---+ +-------+
--R             \|- b \|a x + b      +---+ +-------+
--R    a x atan(----------------) - \|- b \|a x + b
--R                     b
--R    ---------------------------------------------]
--R                          +---+
--R                      b x\|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

———-

In order to write down the book answer we need to first take the integral which has two results

— * —

--S 28 of 98
dd:=integrate(1/(x*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R                  +-------+              +-+           +---+ +-------+
--R             - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b           \|- b \|a x + b

--R         log(-------------------------------)   2atan(----------------)
--R                            x                                 b
--R   (2)  [------------------------------------,- -----------------------]
--R                          +-+                             +---+
--R                         \|b                             \|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

———-

and derive two results for the book answer. The first result assumes b > 0 — * —

--S 29 of 98
bb1:=-sqrt(a*x+b)/(b*x)-a/(2*b)*dd.1
--R
--R
--R                       +-------+              +-+
--R                  - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+
--R        - a x log(-------------------------------) - 2\|b \|a x + b
--R                                 x
--R   (3)  ------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                  2b x\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and the second result assumes b < 0.

— * —

--S 30 of 98
bb2:=-sqrt(a*x+b)/(b*x)-a/(2*b)*dd.2
--R
--R
--R                  +---+ +-------+
--R                 \|- b \|a x + b      +---+ +-------+
--R        a x atan(----------------) - \|- b \|a x + b
--R                         b
--R   (4)  ---------------------------------------------
--R                              +---+
--R                          b x\|- b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So we compute the difference of Axiom’s first result with Spiegel’s first result — * —

--S 31 of 98
cc11:=bb1-aa.1
--R

--R   (5)
--R                  +-------+              +-+
--R               2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b
--R       - a log(-----------------------------)
--R                             x
--R     +
--R                    +-------+              +-+
--R               - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b
--R       - a log(-------------------------------)
--R                              x
--R  /
--R        +-+
--R     2b\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

we compute its derivative — * —

--S 32 of 98
D(cc11,x)
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and we can see that the answers differ by a constant, the constant of integration. So Axiom’s first answer should differentiate back to the target equation.

— * —

--S 33 of 98
target:=1/(x^2*sqrt(a*x+b))
--R
--R              1
--R   (7)  ------------
--R         2 +-------+
--R        x \|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

We differentiate Axiom’s first answer — * —

--S 34 of 98
ad1:=D(aa.1,x)
--R
--R                             +-+ +-------+              2
--R                  (a x + 2b)\|b \|a x + b  + 2a b x + 2b

--R   (8)  ----------------------------------------------------------
--R               3     2 2  +-------+     2 4         3     2 2  +-+
--R        (2a b x  + 2b x )\|a x + b  + (a x  + 3a b x  + 2b x )\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and subtract it from the target equation — * —

--S 35 of 98
ad1-target
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and now we do the same with first Spiegel’s answer:

— * —

--S 36 of 98
bd1:=D(bb1,x)
--R
--R                                +-+ +-------+              2
--R                   (- a x - 2b)\|b \|a x + b  + 2a b x + 2b
--R   (10)  ------------------------------------------------------------
--R                3     2 2  +-------+       2 4         3     2 2  +-+
--R         (2a b x  + 2b x )\|a x + b  + (- a x  - 3a b x  - 2b x )\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

and we subtract it from the target — * —

--S 37 of 98
bd1-target
--R
--R   (11)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

so we know that the two first answers are both correct and that their integrals differ by a constant.

Now we look at the second answers. We difference the answers and can see immediately that they are equal.

— * —

--S 38 of 98     14:88 Schaums and Axiom differ by a constant
cc22:=bb2-aa.2
--R
--R
--R   (12)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.89 ∫ \sqrt{ax + b} dx

∫ \sqrt{ax + b} = \frac{2\sqrt{(ax + b)^{3}}}{3a}

— * —

)clear all
--S 39 of 98
aa:=integrate(sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R                    +-------+
--R        (2a x + 2b)\|a x + b
--R   (1)  ---------------------
--R                  3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

— * —

--S 40 of 98
bb:=(2*sqrt((a*x+b)^3))/(3*a)
--R
--R
--R          +----------------------------+
--R          | 3 3     2   2       2     3
--R        2\|a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R   (2)  --------------------------------
--R                       3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

— * —

--S 41 of 98
cc:=aa-bb
--R
--R            +----------------------------+
--R            | 3 3     2   2       2     3                +-------+
--R        - 2\|a x  + 3a b x  + 3a b x + b   + (2a x + 2b)\|a x + b
--R   (3)  ----------------------------------------------------------
--R                                    3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Since this didn’t simplify we could check each answer using the derivative — * —

--S 42 of 98
target:=sqrt(a*x+b)
--R
--R         +-------+
--R   (4)  \|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

We take the derivative of Axiom’s answer — * —

--S 43 of 98
t1:=D(aa,x)
--R
--R          a x + b
--R   (5)  ----------
--R         +-------+
--R        \|a x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

And we subtract the target from the derivative of Axiom’s answer — * —

--S 44 of 98
t1-target
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So they are equal. Now we do the same with Spiegel’s answer — * —

--S 45 of 98
t2:=D(bb,x)
--R
--R                2 2             2
--R               a x  + 2a b x + b
--R   (7)  -------------------------------
--R         +----------------------------+
--R         | 3 3     2   2       2     3
--R        \|a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

The numerator is — * —

--S 46 of 98
nn:=(a*x+b)^2
--R
--R         2 2             2
--R   (8)  a x  + 2a b x + b
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E

———-

— * —

--S 47 of 98
mm:=(a*x+b)^3
--R
--R         3 3     2   2       2     3
--R   (9)  a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E

———-

which expands to Spiegel’s version.

— * —

--S 48 of 98     14:89 Schaums and Axiom differ by a constant
result=nn/sqrt(mm)
--R
--R                         2 2             2
--R                        a x  + 2a b x + b
--R   (10)  result= -------------------------------
--R                  +----------------------------+
--R                  | 3 3     2   2       2     3
--R                 \|a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R                                          Type: Equation(Expression(Integer))
--E

———-

and this reduces to \sqrt{ax + b}

7 [?]:14.90 ∫ x\sqrt{ax + b} dx

∫ x\sqrt{ax + b} = \frac{2(3ax − 2b)}{15a^{2}} \sqrt{(ax + b)^{3}}

— * —

)clear all
--S 49 of 98
aa:=integrate(x*sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           2 2              2  +-------+
--R        (6a x  + 2a b x - 4b )\|a x + b
--R   (1)  --------------------------------
--R                         2
--R                      15a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 50 of 98
bb:=(2*(3*a*x-2*b))/(15*a^2)*sqrt((a*x+b)^3)
--R
--R
--R                    +----------------------------+
--R                    | 3 3     2   2       2     3
--R        (6a x - 4b)\|a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R   (2)  ------------------------------------------
--R                              2
--R                           15a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 98
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                     +----------------------------+
--R                     | 3 3     2   2       2     3
--R       (- 6a x + 4b)\|a x  + 3a b x  + 3a b x + b
--R     +
--R          2 2              2  +-------+
--R       (6a x  + 2a b x - 4b )\|a x + b
--R  /

--R        2
--R     15a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 98     14:90 Schaums and Axiom agree
dd:=rootSimp cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.91 ∫ x^{2}\sqrt{ax + b} dx

∫ x^{2}\sqrt{ax + b} = \frac{2(15a^{2}x^{2} − 12abx + 8b^{2})}{105a^{2}} \sqrt{(a + bx)^{3}}

Note: the sqrt term is almost certainly \sqrt{(ax + b)} — * —

)clear all
--S 53 of 98
aa:=integrate(x^2*sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R            3 3     2   2       2       3  +-------+
--R        (30a x  + 6a b x  - 8a b x + 16b )\|a x + b
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                                3
--R                            105a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 54 of 98
bb:=(2*(15*a^2*x^2-12*a*b*x+8*b^2))/(105*a^3)*sqrt((a+b*x)^3)
--R
--R
--R                                  +----------------------------+
--R            2 2                2  | 3 3       2 2     2       3
--R        (30a x  - 24a b x + 16b )\|b x  + 3a b x  + 3a b x + a
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R                                      3
--R                                  105a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 55 of 98     14:91 Axiom cannot simplify this expression. Schaums typo?
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                   +----------------------------+
--R             2 2                2  | 3 3       2 2     2       3
--R       (- 30a x  + 24a b x - 16b )\|b x  + 3a b x  + 3a b x + a
--R     +
--R           3 3     2   2       2       3  +-------+
--R       (30a x  + 6a b x  - 8a b x + 16b )\|a x + b
--R  /
--R         3
--R     105a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

Notice that if we factor the numerator of ’aa’ we get an expression that differs from schaums on by the order of the variables in the square root. (We can square the term (a*x+b) and drag it under the square root to get the cubic term). It appears that Schaums has a typo.

— * —

--S 56 of 98
factor numer aa
--R
--R                      2 2               2  +-------+
--R   (4)  2(a x + b)(15a x  - 12a b x + 8b )\|a x + b
--RType: Factored(SparseMultivariatePolynomial(Integer,Kernel(Expression(Integer))))
--E

———-

9 [?]:14.92 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x} = 2\sqrt{ax + b} + b ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 57 of 98
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                +-+ +-------+

--R     +-+    - 2\|b \|a x + b  + a x + 2b      +-------+
--R   [\|b log(----------------------------) + 2\|a x + b ,
--R                          x
--R                   +-------+
--R        +---+     \|a x + b       +-------+
--R    - 2\|- b atan(----------) + 2\|a x + b ]
--R                     +---+
--R                    \|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 58 of 98
dd:=integrate(1/(x*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R                  +-------+              +-+           +---+ +-------+
--R             - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b           \|- b \|a x + b
--R         log(-------------------------------)   2atan(----------------)
--R                            x                                 b
--R   (2)  [------------------------------------,- -----------------------]
--R                          +-+                             +---+
--R                         \|b                             \|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 59 of 98
bb1:=2*sqrt(a*x+b)+b*dd.1
--R
--R
--R                   +-------+              +-+
--R              - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+
--R        b log(-------------------------------) + 2\|b \|a x + b
--R                             x
--R   (3)  --------------------------------------------------------
--R                                   +-+
--R                                  \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 60 of 98
bb2:=2*sqrt(a*x+b)+b*dd.2
--R
--R
--R                   +---+ +-------+
--R                  \|- b \|a x + b       +---+ +-------+
--R        - 2b atan(----------------) + 2\|- b \|a x + b
--R                          b
--R   (4)  -----------------------------------------------
--R                              +---+
--R                             \|- b

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 98
cc11:=bb1-aa.1
--R
--R
--R   (5)
--R              +-------+              +-+              +-+ +-------+
--R         - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b           - 2\|b \|a x + b  + a x + 2b
--R   b log(-------------------------------) - b log(----------------------------)
--R                        x                                       x
--R   ----------------------------------------------------------------------------
--R                                        +-+
--R                                       \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 98
cc12:=bb1-aa.2
--R
--R
--R                   +-------+              +-+                     +-------+
--R              - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +---+ +-+     \|a x + b
--R        b log(-------------------------------) + 2\|- b \|b atan(----------)
--R                             x                                      +---+
--R                                                                   \|- b
--R   (6)  --------------------------------------------------------------------
--R                                         +-+
--R                                        \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 63 of 98
cc21:=bb2-aa.1
--R
--R
--R   (7)
--R                       +-+ +-------+                        +---+ +-------+
--R      +---+ +-+    - 2\|b \|a x + b  + a x + 2b            \|- b \|a x + b
--R   - \|- b \|b log(----------------------------) - 2b atan(----------------)
--R                                 x                                 b
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                      +---+
--R                                     \|- b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 64 of 98
cc22:=bb2-aa.2

--R
--R
--R                   +---+ +-------+             +-------+
--R                  \|- b \|a x + b             \|a x + b
--R        - 2b atan(----------------) - 2b atan(----------)
--R                          b                      +---+
--R                                                \|- b
--R   (8)  -------------------------------------------------
--R                               +---+
--R                              \|- b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 98     14:92 Schaums and Axiom agree
dd22:=ratDenom cc22
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.93 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{2}} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{2}} = −\frac{\sqrt{ax + b}}{x} + \frac{a}{2} ∫ \frac{1}{x\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 65 of 98
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                 +-------+              +-+
--R            - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+
--R    a x log(-------------------------------) - 2\|b \|a x + b
--R                           x
--R   [----------------------------------------------------------,
--R                                 +-+
--R                              2x\|b
--R                +---+ +-------+
--R               \|- b \|a x + b      +---+ +-------+
--R    - a x atan(----------------) - \|- b \|a x + b
--R                       b
--R    -----------------------------------------------]

--R                          +---+
--R                        x\|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 66 of 98
dd:=integrate(1/(x*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R                  +-------+              +-+           +---+ +-------+
--R             - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b           \|- b \|a x + b
--R         log(-------------------------------)   2atan(----------------)
--R                            x                                 b
--R   (2)  [------------------------------------,- -----------------------]
--R                          +-+                             +---+
--R                         \|b                             \|- b
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 67 of 98
bb1:=-sqrt(a*x+b)/x+a/2*dd.1
--R
--R
--R                     +-------+              +-+
--R                - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+
--R        a x log(-------------------------------) - 2\|b \|a x + b
--R                               x
--R   (3)  ----------------------------------------------------------
--R                                     +-+
--R                                  2x\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 68 of 98
bb2:=-sqrt(a*x+b)/x+a/2*dd.2
--R
--R
--R                    +---+ +-------+
--R                   \|- b \|a x + b      +---+ +-------+
--R        - a x atan(----------------) - \|- b \|a x + b
--R                           b
--R   (4)  -----------------------------------------------
--R                              +---+
--R                            x\|- b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 98
cc11:=bb1-aa.1
--R

--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 98
cc21:=bb-aa.1
--R
--R
--R   (6)
--R                  +-------+              +-+
--R             - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b       +-+ +-------+         +-+
--R   - a x log(-------------------------------) + 2\|b \|a x + b  + 2bb x\|b
--R                            x
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                    2x\|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 71 of 98
cc12:=bb1-aa.2
--R
--R
--R   (7)
--R                   +-------+              +-+                +---+ +-------+
--R     +---+    - 2b\|a x + b  + (a x + 2b)\|b        +-+     \|- b \|a x + b
--R   a\|- b log(-------------------------------) + 2a\|b atan(----------------)
--R                             x                                      b
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                     +---+ +-+
--R                                   2\|- b \|b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 98     14:93 Schaums and Axiom agree
cc22:=bb2-aa.2
--R
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.94 ∫ \frac{x^{m}}{\sqrt{ax + b}} dx

∫ \frac{x^{m}}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2x^{m}\sqrt{ax + b}}{(2m + 1)a} − \frac{2mb}{(2m + 1)a} ∫ \frac{x^{m−1}}{\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 73 of 98     14:94 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(x^m/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           x       m
--I         ++      %L
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++    +--------+
--I             \|b + %L a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

12 [?]:14.95 ∫ \frac{dx}{x^{m}\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{x^{m}\sqrt{ax + b}} = −\frac{\sqrt{ax + b}}{(m − 1)bx^{m−1}} − \frac{(2m − 3)a}{(2m − 2)b} ∫ \frac{1}{x^{m−1}\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 74 of 98     14:95 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/(x^m*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++     m +--------+
--I             %L \|b + %L a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

13 [?]:14.96 ∫ x^{m}\sqrt{ax + b} dx

∫ x^{m}\sqrt{ax + b} = \frac{2x^{m}}{(2m + 3)a}(ax + b)^{3/2} − \frac{2mb}{(2m + 3)a} ∫ x^{m−1}\sqrt{ax + b}

— * —

)clear all
--S 75 of 98     14:96 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(x^m*sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++    m +--------+
--I   (1)   |   %L \|b + %L a d%L
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

14 [?]:14.97 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{m}} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{m}} = −\frac{\sqrt{ax + b}}{(m − 1)x^{m−1}} + \frac{a}{2(m − 1)} ∫ \frac{1}{x^{m−1}\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 76 of 98     14:97 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/x^m,x)
--R
--R
--R           x  +--------+
--I         ++  \|b + %L a
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++         m
--I                 %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

15 [?]:14.98 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{m}} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{m}} = \frac{−(ax + b)^{3/2}}{(m − 1)bx^{m−1}} − \frac{(2m − 5)a}{(2m − 2)b} ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{x^{m−1}}

Note: 14.98 is the same as 14.97 — * —

)clear all
--S 77 of 98     14:98 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/x^m,x)
--R
--R
--R           x  +--------+
--I         ++  \|b + %L a
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++         m
--I                 %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

16 [?]:14.99 ∫ (ax + b)^{m/2} dx

∫ (ax + b)^{m/2} = \frac{2(ax + b)^{(m+2)/2}}{a(m + 2)}

— * —

)clear all
--S 78 of 98
aa:=integrate((a*x+b)^(m/2),x)
--R
--R
--R                     m log(a x + b)
--R                     --------------
--R                            2
--R        (2a x + 2b)%e
--R   (1)  ---------------------------
--R                  a m + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 79 of 98

bb:=(2*(a*x+b)^((m+2)/2))/(a*(m+2))
--R
--R
--R                  m + 2
--R                  -----
--R                    2
--R        2(a x + b)
--R   (2)  ---------------
--R            a m + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 98
cc:=aa-bb
--R
--R
--R                     m log(a x + b)             m + 2
--R                     --------------             -----
--R                            2                     2
--R        (2a x + 2b)%e               - 2(a x + b)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                           a m + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 98
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 82 of 98
dd:=explog cc
--R
--R                    m + 2                       m
--R                    -----                       -
--R                      2                         2
--R        - 2(a x + b)      + (2a x + 2b)(a x + b)
--R   (5)  -----------------------------------------
--R                         a m + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 83 of 98     14:99 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

17 [?]:14.100 ∫ x(ax + b)^{m/2} dx

∫ x(ax + b)^{m/2} = \frac{2(ax + b)^{(m+4)/2}}{a^{2}(m + 4)} − \frac{2b(ax + b)^{(m+2)/2}}{a^{2}(m + 2)}

— * —

)clear all
--S 84 of 98
aa:=integrate(x*(a*x+b)^(m/2),x)
--R
--R
--R                                           m log(a x + b)
--R                                           --------------
--R            2      2  2                2          2
--R        ((2a m + 4a )x  + 2a b m x - 4b )%e
--R   (1)  -------------------------------------------------
--R                         2 2     2      2
--R                        a m  + 6a m + 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 85 of 98
bb:=(2*(a*x+b)^((m+4)/2))/(a^2*(m+4))-(2*b*(a*x+b)^((m+2)/2))/(a^2*(m+2))
--R
--R
--R                         m + 4                         m + 2
--R                         -----                         -----
--R                           2                             2
--R        (2m + 4)(a x + b)      + (- 2b m - 8b)(a x + b)
--R   (2)  ----------------------------------------------------
--R                           2 2     2      2
--R                          a m  + 6a m + 8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 98
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)
--R                                          m log(a x + b)
--R                                          --------------
--R           2      2  2                2          2

--R       ((2a m + 4a )x  + 2a b m x - 4b )%e
--R     +
--R                          m + 4                       m + 2
--R                          -----                       -----
--R                            2                           2
--R       (- 2m - 4)(a x + b)      + (2b m + 8b)(a x + b)
--R  /
--R      2 2     2      2
--R     a m  + 6a m + 8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 98
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 88 of 98
dd:=explog cc
--R
--R   (5)
--R                          m + 4                       m + 2
--R                          -----                       -----
--R                            2                           2
--R       (- 2m - 4)(a x + b)      + (2b m + 8b)(a x + b)
--R     +
--R                                                 m
--R                                                 -
--R           2      2  2                2          2
--R       ((2a m + 4a )x  + 2a b m x - 4b )(a x + b)
--R  /
--R      2 2     2      2
--R     a m  + 6a m + 8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 98     14:100 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.101 ∫ x^{2}(ax + b)^{m/2} dx

∫ x^{2}(ax + b)^{m/2} = \frac{2(ax + b)^{(m+6)/2}}{a^{3}(m + 6)} − \frac{4b(ax + b)^{(m+4)/2}}{a^{3}(m + 4)} + \frac{2b^{2}(ax + b)^{(m+2)/2}}{a^{3}(m + 2)}

— * —

)clear all
--S 90 of 98
aa:=integrate(x^2*(a*x+b)^(m/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R           3 2      3       3  3      2   2     2     2       2         3
--R       ((2a m  + 12a m + 16a )x  + (2a b m  + 4a b m)x  - 8a b m x + 16b )
--R    *
--R         m log(a x + b)
--R         --------------
--R                2
--R       %e
--R  /
--R      3 3      3 2      3       3
--R     a m  + 12a m  + 44a m + 48a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 91 of 98
bb:=(2*(a*x+b)^((m+6)/2))/(a^3*(m+6))-_
      (4*b*(a*x+b)^((m+4)/2))/(a^3*(m+4))+_
        (2*b^2*(a*x+b)^((m+2)/2))/(a^3*(m+2))
--R
--R
--R   (2)
--R                                m + 6                                   m + 4
--R                                -----                                   -----
--R          2                       2            2                          2
--R       (2m  + 12m + 16)(a x + b)      + (- 4b m  - 32b m - 48b)(a x + b)
--R     +
--R                                      m + 2
--R                                      -----
--R          2 2      2       2            2
--R       (2b m  + 20b m + 48b )(a x + b)
--R  /
--R      3 3      3 2      3       3
--R     a m  + 12a m  + 44a m + 48a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 92 of 98
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)
--R             3 2      3       3  3      2   2     2     2       2         3
--R         ((2a m  + 12a m + 16a )x  + (2a b m  + 4a b m)x  - 8a b m x + 16b )
--R      *
--R           m log(a x + b)
--R           --------------
--R                  2
--R         %e
--R     +
--R                                  m + 6                                 m + 4
--R                                  -----                                 -----
--R            2                       2          2                          2
--R       (- 2m  - 12m - 16)(a x + b)      + (4b m  + 32b m + 48b)(a x + b)
--R     +
--R                                        m + 2
--R                                        -----
--R            2 2      2       2            2
--R       (- 2b m  - 20b m - 48b )(a x + b)
--R  /
--R      3 3      3 2      3       3
--R     a m  + 12a m  + 44a m + 48a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 98
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 94 of 98
dd:=explog cc
--R
--R   (5)
--R                                  m + 6                                 m + 4
--R                                  -----                                 -----
--R            2                       2          2                          2
--R       (- 2m  - 12m - 16)(a x + b)      + (4b m  + 32b m + 48b)(a x + b)
--R     +
--R                                        m + 2
--R                                        -----
--R            2 2      2       2            2
--R       (- 2b m  - 20b m - 48b )(a x + b)
--R     +

--R             3 2      3       3  3      2   2     2     2       2         3
--R         ((2a m  + 12a m + 16a )x  + (2a b m  + 4a b m)x  - 8a b m x + 16b )
--R      *
--R                  m
--R                  -
--R                  2
--R         (a x + b)
--R  /
--R      3 3      3 2      3       3
--R     a m  + 12a m  + 44a m + 48a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 95 of 98     14:101 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.102 ∫ \frac{(ax + b)^{m/2}}{x} dx

∫ \frac{(ax + b)^{m/2}}{x} = \frac{2(ax + b)^{m/2}}{m} + b ∫ \frac{(ax + b)^{(m−2)/2}}{x}

— * —

)clear all
--S 96 of 98     14:102 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate((a*x+b)^(m/2)/x,x)
--R
--R
--R                       m
--R                       -
--R           x           2
--I         ++  (b + %L a)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--I        ++        %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

20 [?]:14.103 ∫ \frac{(ax + b)^{m/2}}{x^{2}} dx

∫ \frac{(ax + b)^{m/2}}{x^{2}} = −\frac{(ax + b)^{(m+2)/2}}{bx} + \frac{ma}{2b} ∫ \frac{(ax + b)^{m/2}}{x}

— * —

)clear all
--S 97 of 98     14:103 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate((a*x+b)^(m/2)/x^2,x)
--R
--R
--R                       m
--R                       -
--R           x           2
--I         ++  (b + %L a)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++         2
--I                 %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

21 [?]:14.104 ∫ \frac{dx}{x(ax + b)^{m/2}}

∫ \frac{1}{x(ax + b)^{m/2}} = \frac{2}{(m − 2)b(ax + b)^{(m−2)/2}} + \frac{1}{b} ∫ \frac{1}{x(ax + b)^{(m−2)/2}}

— * —

)clear all
--S 98 of 98     14:104 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/(x*(a*x+b)^(m/2)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++                m
--R                          -
--R                          2
--I             %L (b + %L a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E )spool )lisp (bye) ———-

36

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp61-62