$SPAD/input schaum21.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.440 ∫ cot ax dx

∫ cot ax = \frac{1}{a} ln sin ax

— * —

)set break resume
)spool schaum21.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 53
aa:=integrate(cot(a*x),x)
--R
--R
--R               sin(2a x)                2
--R        2log(-------------) - log(-------------)
--R             cos(2a x) + 1        cos(2a x) + 1
--R   (1)  ----------------------------------------
--R                           2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 53
bb:=1/a*log(sin(a*x))
--R
--R        log(sin(a x))
--R   (2)  -------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R               sin(2a x)                                 2
--R        2log(-------------) - 2log(sin(a x)) - log(-------------)
--R             cos(2a x) + 1                         cos(2a x) + 1
--R   (3)  ---------------------------------------------------------
--R                                    2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 53
dd:=expandLog cc
--R
--R        2log(sin(2a x)) - 2log(sin(a x)) - log(cos(2a x) + 1) - log(2)

--R   (4)  --------------------------------------------------------------
--R                                      2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 53      14:440 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.441 ∫ cot^{2} ax dx

∫ cot^{2} ax = −\frac{cot ax}{a} − x

— * —

)clear all
--S 6 of 53
aa:=integrate(cot(a*x)^2,x)
--R
--R
--R        - a x sin(2a x) - cos(2a x) - 1
--R   (1)  -------------------------------
--R                  a sin(2a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 7 of 53
bb:=-cot(a*x)/a-x
--R
--R        - cot(a x) - a x
--R   (2)  ----------------
--R                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R        cot(a x)sin(2a x) - cos(2a x) - 1
--R   (3)  ---------------------------------
--R                   a sin(2a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 9 of 53
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 10 of 53
dd:=cotrule cc
--R
--R        cos(a x)sin(2a x) + (- cos(2a x) - 1)sin(a x)
--R   (5)  ---------------------------------------------
--R                     a sin(a x)sin(2a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 53     14:441 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.442 ∫ cot^{3} ax dx

∫ cot^{3} ax = −\frac{cot^{2} ax}{2a} − \frac{1}{a} ln sin ax

— * —

)clear all
--S 12 of 53
aa:=integrate(cot(a*x)^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                               sin(2a x)                               2
--R       (- 2cos(2a x) + 2)log(-------------) + (cos(2a x) - 1)log(-------------)
--R                             cos(2a x) + 1                       cos(2a x) + 1
--R     +
--R       cos(2a x) + 1
--R  /

--R     2a cos(2a x) - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 13 of 53
bb:=-cot(a*x)^2/(2*a)-1/a*log(sin(a*x))
--R
--R                                   2
--R        - 2log(sin(a x)) - cot(a x)
--R   (2)  ----------------------------
--R                     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                               sin(2a x)
--R       (- 2cos(2a x) + 2)log(-------------) + (2cos(2a x) - 2)log(sin(a x))
--R                             cos(2a x) + 1
--R     +
--R                                2                                 2
--R       (cos(2a x) - 1)log(-------------) + (cos(2a x) - 1)cot(a x)  + cos(2a x)
--R                          cos(2a x) + 1
--R     +
--R       1
--R  /
--R     2a cos(2a x) - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 53
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 16 of 53
dd:=cotrule cc
--R
--R   (5)
--R                                 2      sin(2a x)
--R       (- 2cos(2a x) + 2)sin(a x) log(-------------)
--R                                      cos(2a x) + 1
--R     +
--R                               2

--R       (2cos(2a x) - 2)sin(a x) log(sin(a x))
--R     +
--R                              2          2                                 2
--R       (cos(2a x) - 1)sin(a x) log(-------------) + (cos(2a x) + 1)sin(a x)
--R                                   cos(2a x) + 1
--R     +
--R               2                    2
--R       cos(a x) cos(2a x) - cos(a x)
--R  /
--R                                2
--R     (2a cos(2a x) - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 53
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R                                 2
--R       (- 2cos(2a x) + 2)sin(a x) log(sin(2a x))
--R     +
--R                               2
--R       (2cos(2a x) - 2)sin(a x) log(sin(a x))
--R     +
--R                              2
--R       (cos(2a x) - 1)sin(a x) log(cos(2a x) + 1)
--R     +
--R                                                   2           2
--R       ((log(2) + 1)cos(2a x) - log(2) + 1)sin(a x)  + cos(a x) cos(2a x)
--R     +
--R                 2
--R       - cos(a x)
--R  /
--R                                2
--R     (2a cos(2a x) - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 53     14:442 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.443 ∫ cot^{n} ax csc^{2} ax dx

∫ cot^{n} ax csc^{2} ax = −\frac{cot^{n+1} ax}{(n + 1)a}

— * —

)clear all
--S 19 of 53
aa:=integrate(cot(a*x)^n*csc(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                          cos(a x)
--R                    n log(--------)
--R                          sin(a x)
--R          cos(a x)%e
--R   (1)  - -------------------------
--R              (a n + a)sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 20 of 53
bb:=-cot(a*x)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                  n + 1
--R          cot(a x)
--R   (2)  - -------------
--R             a n + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R                          cos(a x)
--R                    n log(--------)
--R                          sin(a x)                    n + 1
--R        - cos(a x)%e                + sin(a x)cot(a x)
--R   (3)  ---------------------------------------------------
--R                         (a n + a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 53
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x

--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 23 of 53
dd:=explog cc
--R
--R                        n + 1            cos(a x) n
--R        sin(a x)cot(a x)      - cos(a x)(--------)
--R                                         sin(a x)
--R   (5)  -------------------------------------------
--R                     (a n + a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 53
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (6)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 25 of 53
ee:=cotrule dd
--R
--R                 cos(a x) n + 1            cos(a x) n
--R        sin(a x)(--------)      - cos(a x)(--------)
--R                 sin(a x)                  sin(a x)
--R   (7)  ---------------------------------------------
--R                      (a n + a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 53     14:443 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.444 ∫ \begin{matrix}csc & 2 & ax \\ cot & ax \end{matrix} dx

∫ \begin{matrix}csc & 2 & ax \\ cot & ax \end{matrix} = −\frac{1}{a} ln cot ax

— * —

)clear all
--S 27 of 53
aa:=integrate(csc(a*x)^2/cot(a*x),x)
--R
--R
--R              sin(a x)              2cos(a x)
--R        log(------------) - log(- ------------)
--R            cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 28 of 53
bb:=-1/a*log(cot(a*x))
--R
--R          log(cot(a x))
--R   (2)  - -------------
--R                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R              sin(a x)                              2cos(a x)
--R        log(------------) + log(cot(a x)) - log(- ------------)
--R            cos(a x) + 1                          cos(a x) + 1
--R   (3)  -------------------------------------------------------
--R                                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 53
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 31 of 53
dd:=cotrule cc
--R
--R              sin(a x)          cos(a x)            2cos(a x)

--R        log(------------) + log(--------) - log(- ------------)
--R            cos(a x) + 1        sin(a x)          cos(a x) + 1
--R   (5)  -------------------------------------------------------
--R                                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 53     14:444 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=expandLog dd
--R
--R          log(- 2)
--R   (6)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.445 ∫ \frac{dx}{cot ax} dx

∫ \frac{1}{cot ax} = −\frac{1}{a} ln cos ax

— * —

)clear all
--S 33 of 53
aa:=integrate(1/cot(a*x),x)
--R
--R
--R                  2
--R        log(-------------)
--R            cos(2a x) + 1
--R   (1)  ------------------
--R                2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 53
bb:=-1/a*log(cos(a*x))
--R
--R          log(cos(a x))
--R   (2)  - -------------
--R                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 35 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R                                   2
--R        2log(cos(a x)) + log(-------------)
--R                             cos(2a x) + 1
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 53
dd:=expandLog cc
--R
--R        - log(cos(2a x) + 1) + 2log(cos(a x)) + log(2)
--R   (4)  ----------------------------------------------
--R                              2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 53     14:445 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.446 ∫ x cot ax dx

∫ x cot ax = \frac{1}{a^{2}} \{ax − \frac{(ax)^{3}}{9} − \frac{(ax)^{5}}{225} − ⋯ − \frac{2^{2n}B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n + 1)!} − ⋯\}

— * —

)clear all
--S 38 of 53     14:446 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*cot(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %I cot(%I a)d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

8 [?]:14.447 ∫ \frac{cot ax}{x} dx

∫ \frac{cot ax}{x} = −\frac{1}{ax} − \frac{ax}{3} − \frac{(ax)^{3}}{135} − ⋯ − \frac{2^{2n}B_{n}(ax)^{2n−1}}{(2n − 1)(2n)!} − ⋯

— * —

)clear all
--S 39 of 53     14:447 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cot(a*x)/x,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  cot(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--I        ++       %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

9 [?]:14.448 ∫ x cot^{2} ax dx

∫ x cot^{2} ax = −\frac{x cot ax}{a} + \frac{1}{a^{2}} ln sin ax − \frac{x^{2}}{2}

— * —

)clear all
--S 40 of 53
aa:=integrate(x*cot(a*x)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                       sin(2a x)                         2
--R       2sin(2a x)log(-------------) - sin(2a x)log(-------------)
--R                     cos(2a x) + 1                 cos(2a x) + 1
--R     +
--R          2 2
--R       - a x sin(2a x) - 2a x cos(2a x) - 2a x
--R  /
--R       2
--R     2a sin(2a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 41 of 53
bb:=-(x*cot(a*x))/a+1/a^2*log(sin(a*x))-x^2/2
--R
--R                                          2 2
--R        2log(sin(a x)) - 2a x cot(a x) - a x
--R   (2)  -------------------------------------
--R                           2
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                       sin(2a x)
--R       2sin(2a x)log(-------------) - 2sin(2a x)log(sin(a x))
--R                     cos(2a x) + 1
--R     +
--R                            2
--R       - sin(2a x)log(-------------) + 2a x cot(a x)sin(2a x) - 2a x cos(2a x)
--R                      cos(2a x) + 1
--R     +
--R       - 2a x
--R  /
--R       2
--R     2a sin(2a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 53
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R       2sin(2a x)log(sin(2a x)) - 2sin(2a x)log(sin(a x))
--R     +
--R       - sin(2a x)log(cos(2a x) + 1) + (2a x cot(a x) - log(2))sin(2a x)
--R     +
--R       - 2a x cos(2a x) - 2a x
--R  /
--R       2
--R     2a sin(2a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 53     14:448 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  0

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.449 ∫ \frac{dx}{p + q cot ax} dx

∫ \frac{1}{p + q cot ax} = \frac{px}{p^{2} + q^{2}} − \frac{q}{a(p^{2} + q^{2})} ln(p sin ax + q cos ax)

— * —

)clear all
--S 45 of 53
aa:=integrate(1/(p+q*cot(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R            p sin(2a x) + q cos(2a x) + q                2
--R   - 2q log(-----------------------------) + q log(-------------) + 2a p x
--R                    cos(2a x) + 1                  cos(2a x) + 1
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                                    2       2
--R                                2a q  + 2a p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 46 of 53
bb:=(p*x)/(p^2+q^2)-q/(a*(p^2+q^2))*log(p*sin(a*x)+q*cos(a*x))
--R
--R        - q log(p sin(a x) + q cos(a x)) + a p x
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                          2      2
--R                       a q  + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 53
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                p sin(2a x) + q cos(2a x) + q
--R       - 2q log(-----------------------------) + 2q log(p sin(a x) + q cos(a x))
--R                        cos(2a x) + 1
--R     +
--R                   2
--R       q log(-------------)

--R             cos(2a x) + 1
--R  /
--R         2       2
--R     2a q  + 2a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 53
sindblrule:=rule(sin(2*a) == 2*sin(a)*cos(a))
--R
--R   (4)  sin(2a) == 2cos(a)sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 49 of 53
dd:=sindblrule cc
--R
--R   (5)
--R       2q log(p sin(a x) + q cos(a x))
--R     +
--R                2p cos(a x)sin(a x) + q cos(2a x) + q                2
--R       - 2q log(-------------------------------------) + q log(-------------)
--R                            cos(2a x) + 1                      cos(2a x) + 1
--R  /
--R         2       2
--R     2a q  + 2a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 53
cosdblrule:=rule(cos(2*a) == 2*cos(a)^2-1)
--R
--R                          2
--R   (6)  cos(2a) == 2cos(a)  - 1
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 51 of 53
ee:=cosdblrule dd
--R
--R   (7)
--R                                                p sin(a x) + q cos(a x)
--R       2q log(p sin(a x) + q cos(a x)) - 2q log(-----------------------)
--R                                                        cos(a x)
--R     +
--R                 1
--R       q log(---------)
--R                     2
--R             cos(a x)
--R  /

--R         2       2
--R     2a q  + 2a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 53     14:449 Schaums and Axiom agree
ff:=expandLog %
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.450 ∫ cot^{n} ax dx

∫ cot^{n} ax = −\frac{cot^{n−1} ax}{(n − 1)a} − ∫ cos^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 53 of 53     14:450 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cot(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   cot(%I a) d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p81