$SPAD/input schaum22.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.451 ∫ sec ax dx

∫ sec ax = \frac{1}{a} ln(sec ax + tan ax) = \frac{1}{a} ln tan (\frac{ax}{2} + \frac{π}{4} )

— * —

)set break resume
)spool schaum22.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 52
aa:=integrate(sec(a*x),x)
--R
--R
--R            sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R        log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                  cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                     a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 52
bb1:=1/a*log(sec(a*x)+tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x) + sec(a x))
--R   (2)  ------------------------
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 52
bb2:=1/a*log(tan((a*x)/2+%pi/4))
--R
--R                2a x + %pi
--R        log(tan(----------))
--R                     4
--R   (3)  --------------------
--R                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 52
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)

--R                                        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(a x) + sec(a x)) + log(-----------------------)
--R                                              cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 52
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (5)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 6 of 52
dd1:=tanrule cc1
--R
--R   (6)
--R             sin(a x) + cos(a x)sec(a x)        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(---------------------------) + log(-----------------------)
--R                       cos(a x)                       cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 52
secrule:=rule(sec(a) == 1/cos(a))
--R
--R                     1
--R   (7)  sec(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 8 of 52
ee1:=secrule dd1
--R
--R   (8)

--R             sin(a x) + 1        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(------------) + log(-----------------------)
--R               cos(a x)                cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 52
ff1:=expandLog ee1
--R
--R   (9)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) + 1)
--R     +
--R       - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) + log(cos(a x))
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 52
gg1:=complexNormalize ff1
--R
--R         log(- 1)
--R   (10)  --------
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 52
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (11)
--R                 2a x + %pi         sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(tan(----------)) + log(-----------------------)
--R                      4                   cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 52

dd2:=tanrule cc2
--R
--R   (12)
--R           sin(a x) + cos(a x) + 1        sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       log(-----------------------) - log(-----------------------)
--R                 cos(a x) + 1                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2a x + %pi
--R             sin(----------)
--R                      4
--R       - log(---------------)
--R                 2a x + %pi
--R             cos(----------)
--R                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 13 of 52
ee2:=expandLog dd2
--R
--R   (13)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1)
--R     +
--R                 2a x + %pi             2a x + %pi
--R       - log(sin(----------)) + log(cos(----------))
--R                      4                      4
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 52     14:451 Schaums and Axiom differ by a constant
ff2:=complexNormalize ee2
--R
--R         log(- 1)
--R   (14)  --------
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.452 ∫ sec^{2} ax dx

∫ sec^{2} ax = \frac{tan ax}{a}

— * —

)clear all
--S 15 of 52
aa:=integrate(sec(a*x)^2,x)
--R
--R
--R         sin(a x)
--R   (1)  ----------
--R        a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 52
bb:=tan(a*x)/a
--R
--R        tan(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R        - cos(a x)tan(a x) + sin(a x)
--R   (3)  -----------------------------
--R                  a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 52
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 19 of 52     14:452 Schaums and Axiom agree
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.453 ∫ sec^{3} ax dx

∫ sec^{3} ax = \frac{sec ax tan ax}{2a} + \frac{1}{2a} ln(sec ax + tan ax)

— * —

)clear all
--S 20 of 52
aa:=integrate(sec(a*x)^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2    sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - cos(a x) log(-----------------------) + sin(a x)
--R                            cos(a x) + 1
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 21 of 52
bb:=(sec(a*x)*tan(a*x))/(2*a)+1/(2*a)*log(sec(a*x)+tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x) + sec(a x)) + sec(a x)tan(a x)
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2
--R       - cos(a x) log(tan(a x) + sec(a x))
--R     +
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     +
--R                 2    sin(a x) - cos(a x) - 1            2
--R       - cos(a x) log(-----------------------) - cos(a x) sec(a x)tan(a x)

--R                            cos(a x) + 1
--R     +
--R       sin(a x)
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 52
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 24 of 52
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R                 2    sin(a x) + cos(a x)sec(a x)
--R       - cos(a x) log(---------------------------)
--R                                cos(a x)
--R     +
--R               2    sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       cos(a x) log(-----------------------)
--R                          cos(a x) + 1
--R     +
--R               2    sin(a x) - cos(a x) - 1
--R     - cos(a x) log(-----------------------) + (- cos(a x)sec(a x) + 1)sin(a x)
--R                          cos(a x) + 1
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 52
secrule:=rule(sec(a) == 1/cos(a))
--R
--R                     1
--R   (6)  sec(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 26 of 52
ee:=secrule dd

--R
--R   (7)
--R             sin(a x) + 1        sin(a x) + cos(a x) + 1
--R       - log(------------) + log(-----------------------)
--R               cos(a x)                cos(a x) + 1
--R     +
--R             sin(a x) - cos(a x) - 1
--R       - log(-----------------------)
--R                   cos(a x) + 1
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 52
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R       log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) + 1)
--R     +
--R       - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) + log(cos(a x))
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 52     14:453 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=complexNormalize ff
--R
--R        log(- 1)
--R   (9)  --------
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.454 ∫ sec^{n} ax tan ax dx

∫ sec^{n} ax tan ax = \frac{sec^{n} ax}{na}

— * —

)clear all
--S 29 of 52
aa:=integrate(sec(a*x)^n*tan(a*x),x)
--R

--R                    1
--R          n log(---------)
--R                        2
--R                cos(a x)
--R          ----------------
--R                  2
--R        %e
--R   (1)  ------------------
--R                a n
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 52
bb:=sec(a*x)^n/(n*a)
--R
--R                n
--R        sec(a x)
--R   (2)  ---------
--R           a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R                    1
--R          n log(---------)
--R                        2
--R                cos(a x)
--R          ----------------
--R                  2                  n
--R        %e                 - sec(a x)
--R   (3)  ------------------------------
--R                      a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 52     14:454 Schaums and Axiom agree
normalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.455 ∫ \frac{dx}{sec ax} dx

∫ \frac{1}{sec ax} = \frac{sin ax}{a}

— * —

)clear all
--S 33 of 52
aa:=integrate(1/sec(a*x),x)
--R
--R
--R        sin(a x)
--R   (1)  --------
--R            a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 52
bb:=sin(a*x)/a
--R
--R        sin(a x)
--R   (2)  --------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 52     14:455 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.456 ∫ x sec ax dx

∫ x sec ax = \frac{1}{a^{2}} \{\frac{(ax)^{2}}{2} + \frac{(ax)^{4}}{8} + \frac{5(ax)^{6}}{144} + ⋯ + \frac{E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n + 2)(2n)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 36 of 52     14:456 Axiom cannot compute this integral

aa:=integrate(x*sec(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %N sec(%N a)d%N
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.457 ∫ \frac{sec ax}{x} dx

∫ \frac{sec ax}{x} = ln x + \frac{(ax)^{2}}{4} + \frac{5(ax)^{4}}{96} + \frac{61(ax)^{6}}{4320} + ⋯ + \frac{E_{n}(ax)^{2n}}{(2n)(2n)!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 37 of 52     14:457 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sec(a*x)/x,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  sec(%N a)
--I   (1)   |   --------- d%N
--I        ++       %N
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

8 [?]:14.458 ∫ x sec^{2} ax dx

∫ x sec^{2} ax = \frac{x}{a} tan ax + \frac{1}{a^{2}} ln cos ax

— * —

)clear all
--S 38 of 52
aa:=integrate(x*sec(a*x)^2,x)
--R
--R

--R   (1)
--R                       2                         2cos(a x)
--R   - cos(a x)log(------------) + cos(a x)log(- ------------) + a x sin(a x)
--R                 cos(a x) + 1                  cos(a x) + 1
--R   ------------------------------------------------------------------------
--R                                   2
--R                                  a cos(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 39 of 52
bb:=x/a*tan(a*x)+1/a^2*log(cos(a*x))
--R
--R        log(cos(a x)) + a x tan(a x)
--R   (2)  ----------------------------
--R                      2
--R                     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                   2
--R       - cos(a x)log(cos(a x)) - cos(a x)log(------------)
--R                                             cos(a x) + 1
--R     +
--R                       2cos(a x)
--R       cos(a x)log(- ------------) - a x cos(a x)tan(a x) + a x sin(a x)
--R                     cos(a x) + 1
--R  /
--R      2
--R     a cos(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 52
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 42 of 52
dd:=tanrule cc
--R
--R                                    2                 2cos(a x)

--R        - log(cos(a x)) - log(------------) + log(- ------------)
--R                              cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (5)  ---------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 52     14:458 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=expandLog dd
--R
--R        - log(2) + log(- 2)
--R   (6)  -------------------
--R                  2
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.459 ∫ \frac{dx}{q + p sec ax} dx

∫ \frac{1}{q + p sec ax} = \frac{x}{q} − \frac{p}{q} ∫ \frac{dx}{p + q cos ax}

— * —

)clear all
--S 44 of 52
aa:=integrate(1/(q+p*sec(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                             +-------+
--R                             | 2    2      2    2                 +-------+
--R          (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)        | 2    2
--R    p log(------------------------------------------------) + a x\|q  - p
--R                           q cos(a x) + p
--R   [-----------------------------------------------------------------------,
--R                                     +-------+
--R                                     | 2    2
--R                                 a q\|q  - p
--R                         +---------+
--R                         |   2    2          +---------+
--R                sin(a x)\|- q  + p           |   2    2
--R    - 2p atan(-----------------------) + a x\|- q  + p
--R              (q + p)cos(a x) + q + p

--R    ----------------------------------------------------]
--R                           +---------+
--R                           |   2    2
--R                       a q\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 45 of 52
t1:=integrate(1/(p+q*cos(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2        2    2
--R        (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R    log(--------------------------------------------------)
--R                          q cos(a x) + p
--R   [-------------------------------------------------------,
--R                            +-------+
--R                            | 2    2
--R                          a\|q  - p
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R            sin(a x)\|- q  + p
--R    2atan(-----------------------)
--R          (q + p)cos(a x) + q + p
--R    ------------------------------]
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R             a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 46 of 52
bb1:=x/q-p/q*t1.1
--R
--R   (3)
--R                              +-------+
--R                              | 2    2        2    2                 +-------+
--R           (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)        | 2    2
--R   - p log(--------------------------------------------------) + a x\|q  - p
--R                             q cos(a x) + p
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                      +-------+
--R                                      | 2    2
--R                                  a q\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 52
bb2:=x/q-p/q*t1.2

--R
--R                             +---------+
--R                             |   2    2          +---------+
--R                    sin(a x)\|- q  + p           |   2    2
--R        - 2p atan(-----------------------) + a x\|- q  + p
--R                  (q + p)cos(a x) + q + p
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                               +---------+
--R                               |   2    2
--R                           a q\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 52
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R                                +-------+
--R                                | 2    2      2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p log(------------------------------------------------)
--R                              q cos(a x) + p
--R     +
--R                                +-------+
--R                                | 2    2        2    2
--R             (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       p log(--------------------------------------------------)
--R                               q cos(a x) + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a q\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 52
cc2:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2      2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (q  - p )sin(a x)
--R       p\|- q  + p  log(------------------------------------------------)
--R                                         q cos(a x) + p
--R     +
--R                                   +---------+
--R          +-------+                |   2    2
--R          | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                        (q + p)cos(a x) + q + p

--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 52
cc3:=aa.2-bb1
--R
--R   (7)
--R                                           +-------+
--R         +---------+                       | 2    2        2    2
--R         |   2    2     (- p cos(a x) - q)\|q  - p   + (- q  + p )sin(a x)
--R       p\|- q  + p  log(--------------------------------------------------)
--R                                          q cos(a x) + p
--R     +
--R                                     +---------+
--R            +-------+                |   2    2
--R            | 2    2        sin(a x)\|- q  + p
--R       - 2p\|q  - p  atan(-----------------------)
--R                          (q + p)cos(a x) + q + p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 52     14:459 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.460 ∫ sec^{n} ax dx

∫ sec^{n} ax = \frac{sec^{n−2} ax tan ax}{a(n − 1)} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ sec^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 52 of 52     14:460 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sec(a*x)^n,x)

--R
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   sec(%N a) d%N
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp81-82