$SPAD/input schaum23.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.461 ∫ csc ax dx

∫ csc ax = \frac{1}{a} ln(csc ax − cot ax) = \frac{1}{a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)set break resume
)spool schaum23.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 55
aa:=integrate(csc(a*x),x)
--R
--R
--R              sin(a x)
--R        log(------------)
--R            cos(a x) + 1
--R   (1)  -----------------
--R                a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 55
bb1:=1/a*log(csc(a*x)-cot(a*x))
--R
--R        log(csc(a x) - cot(a x))
--R   (2)  ------------------------
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 55
bb2:=1/a*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                a x
--R        log(tan(---))
--R                 2
--R   (3)  -------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 55
cc1:=aa-bb1
--R
--R              sin(a x)

--R        log(------------) - log(csc(a x) - cot(a x))
--R            cos(a x) + 1
--R   (4)  --------------------------------------------
--R                              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 55
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (5)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 6 of 55
dd1:=cotrule cc1
--R
--R              sin(a x)          csc(a x)sin(a x) - cos(a x)
--R        log(------------) - log(---------------------------)
--R            cos(a x) + 1                  sin(a x)
--R   (6)  ----------------------------------------------------
--R                                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 55
cscrule:=rule(csc(a) == 1/sin(a))
--R
--R                     1
--R   (7)  csc(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 8 of 55
ee1:=cscrule dd1
--R
--R              sin(a x)          - cos(a x) + 1
--R        log(------------) - log(--------------)
--R            cos(a x) + 1           sin(a x)
--R   (8)  ---------------------------------------
--R                           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 55
ff1:=expandLog ee1
--R

--R        2log(sin(a x)) - log(cos(a x) + 1) - log(cos(a x) - 1) - log(- 1)
--R   (9)  -----------------------------------------------------------------
--R                                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 55
gg1:=complexNormalize ff1
--R
--R           2log(- 1)
--R   (10)  - ---------
--R               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 55
cc2:=aa-bb2
--R
--R                   a x           sin(a x)
--R         - log(tan(---)) + log(------------)
--R                    2          cos(a x) + 1
--R   (11)  -----------------------------------
--R                          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 55
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                   sin(a)
--R   (12)  tan(a) == ------
--R                   cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 13 of 55
dd2:=tanrule cc2
--R
--R                                     a x
--R                                 sin(---)
--R               sin(a x)               2
--R         log(------------) - log(--------)
--R             cos(a x) + 1            a x
--R                                 cos(---)
--R                                      2
--R   (13)  ---------------------------------
--R                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 14 of 55
ee2:=expandLog dd2
--R
--R                                 a x                                 a x
--R         log(sin(a x)) - log(sin(---)) - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---))
--R                                  2                                   2
--R   (14)  -----------------------------------------------------------------
--R                                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 55     14:461 Schaums and Axiom agree
ff2:=complexNormalize ee2
--R
--R   (15)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.462 ∫ csc^{2} ax dx

∫ csc^{2} ax = −\frac{cot ax}{a}

— * —

)clear all
--S 16 of 55
aa:=integrate(csc(a*x)^2,x)
--R
--R
--R           cos(a x)
--R   (1)  - ----------
--R          a sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 55
bb:=-cot(a*x)/a
--R
--R          cot(a x)
--R   (2)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 55

cc:=aa-bb
--R
--R        cot(a x)sin(a x) - cos(a x)
--R   (3)  ---------------------------
--R                 a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 55
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 20 of 55     14:462 Schaums and Axiom agree
dd:=cotrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.463 ∫ csc^{3} ax dx

∫ csc^{3} ax = −\frac{csc ax cot ax}{2a} + \frac{1}{2a} ln tan \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 21 of 55
aa:=integrate(csc(a*x)^3,x)
--R
--R
--R                 2           sin(a x)
--R        (cos(a x)  - 1)log(------------) + cos(a x)
--R                           cos(a x) + 1
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                                2
--R                     2a cos(a x)  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 22 of 55

bb:=-(csc(a*x)*cot(a*x))/(2*a)+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2))
--R
--R                a x
--R        log(tan(---)) - cot(a x)csc(a x)
--R                 2
--R   (2)  --------------------------------
--R                       2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 55
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                  2             a x              2           sin(a x)
--R       (- cos(a x)  + 1)log(tan(---)) + (cos(a x)  - 1)log(------------)
--R                                 2                         cos(a x) + 1
--R     +
--R                2
--R       (cos(a x)  - 1)cot(a x)csc(a x) + cos(a x)
--R  /
--R                2
--R     2a cos(a x)  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 55
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 25 of 55
dd:=cotrule cc
--R
--R   (5)
--R                  2                     a x
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x)log(tan(---))
--R                                         2
--R     +
--R                2                   sin(a x)
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x)log(------------) + cos(a x)sin(a x)
--R                                  cos(a x) + 1
--R     +
--R                3
--R       (cos(a x)  - cos(a x))csc(a x)
--R  /

--R                 2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 55
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (6)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 27 of 55
ee:=tanrule dd
--R
--R   (7)
--R                2                   sin(a x)
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x)log(------------)
--R                                  cos(a x) + 1
--R     +
--R                                        a x
--R                                    sin(---)
--R                  2                      2
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x)log(--------) + cos(a x)sin(a x)
--R                                        a x
--R                                    cos(---)
--R                                         2
--R     +
--R                3
--R       (cos(a x)  - cos(a x))csc(a x)
--R  /
--R                 2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 55
cscrule:=rule(csc(a) == 1/sin(a))
--R
--R                     1
--R   (8)  csc(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 29 of 55
ff:=cscrule ee
--R

--R   (9)
--R                2             2      sin(a x)
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x) log(------------)
--R                                   cos(a x) + 1
--R     +
--R                                         a x
--R                                     sin(---)
--R                  2             2         2                      2           3
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(--------) + cos(a x)sin(a x)  + cos(a x)
--R                                         a x
--R                                     cos(---)
--R                                          2
--R     +
--R       - cos(a x)
--R  /
--R                 2              2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 55
gg:=expandLog ff
--R
--R   (10)
--R                2             2
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x) log(sin(a x))
--R     +
--R                  2             2        a x
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(sin(---))
--R                                          2
--R     +
--R                  2             2
--R       (- cos(a x)  + 1)sin(a x) log(cos(a x) + 1)
--R     +
--R                2             2        a x                     2           3
--R       (cos(a x)  - 1)sin(a x) log(cos(---)) + cos(a x)sin(a x)  + cos(a x)
--R                                        2
--R     +
--R       - cos(a x)
--R  /
--R                 2              2
--R     (2a cos(a x)  - 2a)sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 55     14:463 Schaums and Axiom agree
hh:=complexNormalize gg
--R
--R   (11)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

4 [?]:14.464 ∫ csc^{n} ax cot ax dx

∫ csc^{n} ax cot ax = −\frac{csc^{n}ax}{na}

— * —

)clear all
--S 32 of 55
aa:=integrate(csc(a*x)^n*cot(a*x),x)
--R
--R
--R                          1
--R            n log(- -------------)
--R                            2
--R                    cos(a x)  - 1
--R            ----------------------
--R                       2
--R          %e
--R   (1)  - ------------------------
--R                     a n
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 33 of 55
bb:=-csc(a*x)^n/(n*a)
--R
--R                  n
--R          csc(a x)
--R   (2)  - ---------
--R             a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 55
cc:=aa-bb
--R
--R                          1
--R            n log(- -------------)
--R                            2
--R                    cos(a x)  - 1
--R            ----------------------
--R                       2                     n
--R        - %e                       + csc(a x)

--R   (3)  --------------------------------------
--R                          a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 55     14:464 Schaums and Axiom agree
normalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.465 ∫ \frac{dx}{csc ax} dx

∫ \frac{1}{csc ax} = −\frac{cos ax}{a}

— * —

)clear all
--S 36 of 55
aa:=integrate(1/csc(a*x),x)
--R
--R
--R          cos(a x)
--R   (1)  - --------
--R              a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 37 of 55
bb:=-cos(a*x)/a
--R
--R          cos(a x)
--R   (2)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 55     14:465 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.466 ∫ x csc ax dx

∫ x csc ax = \frac{1}{a^{2}} \{ax + \frac{(ax)^{3}}{18} + \frac{7(ax)^{5}}{1800} + ⋯ + \frac{2(2^{2n−1} − 1)B_{n}(ax)^{2n+1}}{(2n + 1)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 39 of 55     14:466 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*csc(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %H csc(%H a)d%H
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.467 ∫ \frac{csc ax}{x} dx

∫ \frac{csc ax}{x} = −\frac{1}{ax} + \frac{(ax)}{6} + \frac{7(ax)^{3}}{1800} + ⋯ + \frac{2(2^{2n−1} − 1)B_{n}(ax)^{2n−1}}{(2n − 1)(2n)!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 40 of 55     14:467 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(csc(a*x)/x,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  csc(%H a)
--I   (1)   |   --------- d%H
--I        ++       %H
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

8 [?]:14.468 ∫ x csc^{2} ax dx

∫ x csc^{2} ax = −\frac{x cot ax}{a} + \frac{1}{a^{2}} ln sin ax

— * —

)clear all
--S 41 of 55
aa:=integrate(x*csc(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                      sin(a x)                        2
--R        sin(a x)log(------------) - sin(a x)log(------------) - a x cos(a x)
--R                    cos(a x) + 1                cos(a x) + 1
--R   (1)  --------------------------------------------------------------------
--R                                      2
--R                                     a sin(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 42 of 55
bb:=-(x*cot(a*x))/a+1/a^2*log(sin(a*x))
--R
--R        log(sin(a x)) - a x cot(a x)
--R   (2)  ----------------------------
--R                      2
--R                     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 55
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                               sin(a x)
--R       - sin(a x)log(sin(a x)) + sin(a x)log(------------)
--R                                             cos(a x) + 1
--R     +
--R                           2
--R       - sin(a x)log(------------) + a x cot(a x)sin(a x) - a x cos(a x)
--R                     cos(a x) + 1
--R  /
--R      2
--R     a sin(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 44 of 55
cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a))
--R
--R                  cos(a)
--R   (4)  cot(a) == ------
--R                  sin(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 45 of 55
dd:=cotrule cc
--R
--R                                sin(a x)                2
--R        - log(sin(a x)) + log(------------) - log(------------)
--R                              cos(a x) + 1        cos(a x) + 1
--R   (5)  -------------------------------------------------------
--R                                    2
--R                                   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 55     14:468 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=expandLog dd
--R
--R          log(2)
--R   (6)  - ------
--R             2
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.469 ∫ \frac{dx}{q + p csc ax} dx

∫ \frac{1}{q + p csc ax} = \frac{x}{q} − \frac{p}{q} ∫ \frac{1}{p + q sin ax}

— * —

)clear all
--S 47 of 55
aa:=integrate(1/(q+p*csc(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [

--R           p
--R        *
--R           log
--R                                                          +-------+
--R                                    2    2             2  | 2    2
--R                  (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R                +
--R                      2    3              3    2              3    2
--R                  (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R             /
--R                q sin(a x) + p
--R       +
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R         a x\|q  - p
--R    /
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R       a q\|q  - p
--R     ,
--R                                          +---------+
--R                                          |   2    2         +---------+
--R            (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p          |   2    2
--R    2p atan(-----------------------------------------) + a x\|- q  + p
--R                     2    2             2    2
--R                   (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R    --------------------------------------------------------------------]
--R                                   +---------+
--R                                   |   2    2
--R                               a q\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 48 of 55
t1:=integrate(1/(p+q*sin(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                                                      +-------+
--R                                2    2             2  | 2    2
--R              (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R            +
--R                    2    3                3    2              3    2
--R              (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R         /
--R            q sin(a x) + p
--R    /
--R         +-------+
--R         | 2    2

--R       a\|q  - p
--R     ,
--R                                          +---------+
--R                                          |   2    2
--R            (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R      2atan(-----------------------------------------)
--R                     2    2             2    2
--R                   (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R    - ------------------------------------------------]
--R                          +---------+
--R                          |   2    2
--R                        a\|- q  + p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 49 of 55
bb1:=x/q-p/q*t1.1
--R
--R   (3)
--R       -
--R            p
--R         *
--R            log
--R                                                           +-------+
--R                                     2    2             2  | 2    2
--R                   (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R                 +
--R                         2    3                3    2              3    2
--R                   (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R              /
--R                 q sin(a x) + p
--R     +
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R       a x\|q  - p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a q\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 55
bb2:=x/q-p/q*t1.2
--R
--R                                              +---------+
--R                                              |   2    2         +---------+
--R                (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p          |   2    2
--R        2p atan(-----------------------------------------) + a x\|- q  + p
--R                         2    2             2    2

--R                       (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R   (4)  --------------------------------------------------------------------
--R                                       +---------+
--R                                       |   2    2
--R                                   a q\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 55
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R         p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                    2    3              3    2              3    2
--R                (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R         p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R  /
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a q\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 55
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R         p\|- q  + p
--R      *

--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                      2    3                3    2              3    2
--R                (- p q  + p )sin(a x) + (- q  + p q)cos(a x) - q  + p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R                                                      +---------+
--R          +-------+                                   |   2    2
--R          | 2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       2p\|q  - p  atan(-----------------------------------------)
--R                                 2    2             2    2
--R                               (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 53 of 55
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R         p\|- q  + p
--R      *
--R         log
--R                                                        +-------+
--R                                  2    2             2  | 2    2
--R                (p q sin(a x) + (q  - p )cos(a x) + q )\|q  - p
--R              +
--R                    2    3              3    2              3    2
--R                (p q  - p )sin(a x) + (q  - p q)cos(a x) + q  - p q
--R           /
--R              q sin(a x) + p
--R     +
--R                                                        +---------+
--R            +-------+                                   |   2    2
--R            | 2    2      (p sin(a x) + q cos(a x) + q)\|- q  + p
--R       - 2p\|q  - p  atan(-----------------------------------------)
--R                                   2    2             2    2
--R                                 (q  - p )cos(a x) + q  - p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2

--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 55     14:469 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.470 ∫ csc^{n} ax dx

∫ csc^{n} ax = −\frac{csc^{n−2} ax cot ax}{a(n − 1)} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ csc^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 55 of 55     14:470 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(csc(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   csc(%H a) d%H
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p82