$SPAD/input schaum25.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.509 ∫ e^{ax} dx

∫ e^{ax} = \frac{e^{ax}}{a}

— * —

)set break resume
)spool schaum25.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 40
aa:=integrate(%e^(a*x),x)
--R
--R          a x
--R        %e
--R   (1)  -----
--R          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 40
bb:=%e^(a*x)/a
--R
--R          a x
--R        %e
--R   (2)  -----
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 40      14:509 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.510 ∫ xe^{ax} dx

∫ xe^{ax} = \frac{e^{ax}}{x} (x − \frac{1}{a})

— * —

)clear all
--S 4 of 40
aa:=integrate(x*%e^(a*x),x)
--R
--R                   a x
--R        (a x - 1)%e
--R   (1)  --------------
--R               2
--R              a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 40
bb:=%e^(a*x)/a*(x-1/a)
--R
--R                   a x
--R        (a x - 1)%e
--R   (2)  --------------
--R               2
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 40      14:510 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.511 ∫ x^{2}e^{ax} dx

∫ x^{2}e^{ax} = \frac{e^{ax}}{x} (x^{2} − \frac{2x}{a} + \frac{2}{a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 7 of 40
aa:=integrate(x^2*%e^(a*x),x)
--R
--R          2 2              a x
--R        (a x  - 2a x + 2)%e
--R   (1)  ----------------------
--R                   3

--R                  a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 40
bb:=%e^(a*x)/a*(x^2-(2*x)/a+2/a^2)
--R
--R          2 2              a x
--R        (a x  - 2a x + 2)%e
--R   (2)  ----------------------
--R                   3
--R                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 40      14:511 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.512 ∫ x^{n}e^{ax} dx

∫ x^{n}e^{ax} = \frac{x^{n}e^{ax}}{a} − \frac{n}{a} ∫ x^{n−1}e^{ax}

= \frac{e^{ax}}{x} (x^{n} − \frac{nx^{n−1}}{a} + \frac{n(n − 1)x^{n−2}}{a^{2}} − ⋯ \frac{(−1)^{n}n!}{a^{n}})

if n = positiveinteger

— * —

)clear all
--S 10 of 40     14:512 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^n*%e^(a*x),x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a  n
--I   (1)   |   %e    %I d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.513 ∫ \frac{e^{ax}}{x} dx

∫ \frac{e^{ax}}{x} = ln x + \frac{ax}{1 · 1!} + \frac{(ax)^{2}}{2 · 2!} + \frac{(ax)^{3}}{3 · 3!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 11 of 40     14:513 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(%e^(a*x)/x,x)
--R
--R   (1)  Ei(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

6 [?]:14.514 ∫ \frac{e^{ax}}{x^{n}} dx

∫ \frac{e^{ax}}{x^{n}} = \frac{−e^{ax}}{(n − 1)x^{n−1}} + \frac{a}{n − 1} ∫ \frac{e^{ax}}{x^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 12 of 40     14:514 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)/x^n,x)
--R
--I           x   %I a
--R         ++  %e
--I   (1)   |   ------ d%I
--R        ++       n
--I               %I
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.515 ∫ \frac{dx}{p + qe^{ax}} dx

∫ \frac{1}{p + qe^{ax}} = \frac{x}{p} − \frac{1}{ap} ln(p + qe^{ax})

— * —

--S 13 of 40
aa:=integrate(1/(p+q*%e^(a*x)),x)
--R
--R                  a x
--R        - log(q %e    + p) + a x
--R   (1)  ------------------------
--R                   a p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 40
bb:=x/p-1/(a*p)*log(p+q*%e^(a*x))
--R
--R                  a x
--R        - log(q %e    + p) + a x
--R   (2)  ------------------------
--R                   a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 40     14:515 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.516 ∫ \frac{dx}{(p + qe^{ax})^{2}} dx

∫ \frac{dx}{(p + qe^{ax})^{2}} = \frac{x}{p^{2}} + \frac{1}{ap(p + qe^{ax})} − \frac{1}{ap^{2}} ln(p + qe^{ax})

— * —

)clear all
--S 16 of 40
aa:=integrate(1/(p+q*%e^(a*x))^2,x)
--R
--R               a x             a x                a x
--R        (- q %e    - p)log(q %e    + p) + a q x %e    + a p x + p
--R   (1)  ---------------------------------------------------------
--R                               2    a x      3
--R                            a p q %e    + a p

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 40
bb:=x/p^2+1/(a*p*(p+q*%e^(a*x)))-1/(a*p^2)*log(p+q*%e^(a*x))
--R
--R               a x             a x                a x
--R        (- q %e    - p)log(q %e    + p) + a q x %e    + a p x + p
--R   (2)  ---------------------------------------------------------
--R                               2    a x      3
--R                            a p q %e    + a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 40     14:516 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.517 ∫ \frac{dx}{pe^{ax} + qe^{ax}} dx

∫ \frac{dx}{pe^{ax} + qe^{ax}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{a\sqrt{pq}} & tan & −1 & (\sqrt{\frac{p}{q}}e^{ax}) \\ \frac{1}{2a\sqrt{−pq}} & ln & (\frac{e^{ax} − \sqrt{−q/p}}{e^{ax} + \sqrt{−q/p}}) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 19 of 40
aa:=integrate(1/(p*%e^(a*x)+q*%e^-(a*x)),x)
--R
--R                   a x 2      +-----+          a x
--R             (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e            a x +---+
--R         log(-------------------------------------)      %e   \|p q
--R                              a x 2                 atan(-----------)
--R                         p (%e   )  + q                       q
--R   (1)  [------------------------------------------,-----------------]
--R                            +-----+                        +---+
--R                         2a\|- p q                       a\|p q
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)

--E
--S 20 of 40
bb1:=1/(a*sqrt(p*q))*atan(sqrt(p/q)*%e^(a*x))
--R
--R                   +-+
--R               a x |p
--R        atan(%e    |- )
--R                  \|q
--R   (2)  ---------------
--R              +---+
--R            a\|p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 40
bb2:=1/(2*a*sqrt(-p*q))*log((%e^(a*x)-sqrt(-q/p))/(%e^(a*x)+sqrt(-q/p)))
--R
--R               +---+
--R               |  q      a x
--R            -  |- -  + %e
--R              \|  p
--R        log(----------------)
--R              +---+
--R              |  q      a x
--R              |- -  + %e
--R             \|  p
--R   (3)  ---------------------
--R                 +-----+
--R              2a\|- p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 40
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R                   a x 2      +-----+          a x                        +-+
--R    +---+    (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e         +-----+       a x |p
--R   \|p q log(-------------------------------------) - 2\|- p q atan(%e    |- )
--R                              a x 2                                      \|q
--R                         p (%e   )  + q
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                    +-----+ +---+
--R                                 2a\|- p q \|p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 40
cc2:=aa.2-bb1

--R
--R               a x +---+               +-+
--R             %e   \|p q            a x |p
--R        atan(-----------) - atan(%e    |- )
--R                  q                   \|q
--R   (5)  -----------------------------------
--R                        +---+
--R                      a\|p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 40
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R                                                            +---+
--R                                                            |  q      a x
--R                  a x 2      +-----+          a x        -  |- -  + %e
--R            (p (%e   )  - q)\|- p q  + 2p q %e             \|  p
--R        log(-------------------------------------) - log(----------------)
--R                             a x 2                         +---+
--R                        p (%e   )  + q                     |  q      a x
--R                                                           |- -  + %e
--R                                                          \|  p
--R   (6)  ------------------------------------------------------------------
--R                                       +-----+
--R                                    2a\|- p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 40     14:517 Axiom cannot simplify these expressions
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R                       +---+
--R                       |  q      a x
--R                    -  |- -  + %e                       a x +---+
--R           +---+      \|  p               +-----+     %e   \|p q
--R        - \|p q log(----------------) + 2\|- p q atan(-----------)
--R                      +---+                                q
--R                      |  q      a x
--R                      |- -  + %e
--R                     \|  p
--R   (7)  ----------------------------------------------------------
--R                                +-----+ +---+
--R                             2a\|- p q \|p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.518 ∫ e^{ax} sin bx dx

∫ e^{ax} sin bx = \frac{e^{ax}(a sin bx − b cos bx)}{a^{2} + b^{2}}

— * —

)clear all
--S 26 of 40
aa:=integrate(%e^(a*x)*sin(b*x),x)
--R
--R            a x                       a x
--R        a %e   sin(b x) - b cos(b x)%e
--R   (1)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 27 of 40
bb:=((%e^(a*x))*(a*sin(b*x)-b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)
--R
--R            a x                       a x
--R        a %e   sin(b x) - b cos(b x)%e
--R   (2)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 40     14:518 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.519 ∫ e^{ax} cos bx dx

∫ e^{ax} cos bx = \frac{e^{ax}(a cos bx − b sin bx)}{a^{2} + b^{2}}

— * —

--S 29 of 40
aa:=integrate(%e^(a*x)*cos(b*x),x)
--R
--R            a x                       a x
--R        b %e   sin(b x) + a cos(b x)%e
--R   (1)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 40
bb:=((%e^(a*x))*(a*cos(b*x)+b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)
--R
--R            a x                       a x
--R        b %e   sin(b x) + a cos(b x)%e
--R   (2)  ---------------------------------
--R                      2    2
--R                     b  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 40     14:519 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.520 ∫ xe^{ax} sin bx dx

∫ xe^{ax} sin bx = \frac{xe^{ax}(a sin bx − b cos bx)}{a^{2} + b^{2}} − \frac{e^{ax} ((a^{2} − b^{2}) sin bx − 2ab cos bx)}{(a^{2} + b^{2})^{2}}

— * —

)clear all
--S 32 of 40
aa:=integrate(x*%e^(a*x)*sin(b*x),x)
--R
--R   (1)
--R        2    3      2    2   a x                3    2                     a x
--R   ((a b  + a )x + b  - a )%e   sin(b x) + ((- b  - a b)x + 2a b)cos(b x)%e
--R   ---------------------------------------------------------------------------

--R                                  4     2 2    4
--R                                 b  + 2a b  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 33 of 40
bb:=(x*%e^(a*x)*(a*sin(b*x)-b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)-(%e^(a*x)*((a^2-b^2)*_
    sin(b*x)-2*a*b*cos(b*x)))/(a^2+b^2)^2
--R
--R   (2)
--R        2    3      2    2   a x                3    2                     a x
--R   ((a b  + a )x + b  - a )%e   sin(b x) + ((- b  - a b)x + 2a b)cos(b x)%e
--R   ---------------------------------------------------------------------------
--R                                  4     2 2    4
--R                                 b  + 2a b  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 40     14:520 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.521 ∫ xe^{ax} cos bx dx

∫ xe^{ax} cos bx = \frac{xe^{ax}(a cos bx − b sin bx)}{a^{2} + b^{2}} − \frac{e^{ax} ((a^{2} − b^{2}) cos bx − 2ab sin bx)}{(a^{2} + b^{2})^{2}}

— * —

)clear all
--S 35 of 40
aa:=integrate(x*%e^(a*x)*cos(b*x),x)
--R
--R   (1)
--R      3    2             a x                2    3      2    2           a x
--R   ((b  + a b)x - 2a b)%e   sin(b x) + ((a b  + a )x + b  - a )cos(b x)%e
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                 4     2 2    4
--R                                b  + 2a b  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 36 of 40

bb:=(x*%e^(a*x)*(a*cos(b*x)+b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)-(%e^(a*x)*((a^2-b^2)*_
    cos(b*x)+2*a*b*sin(b*x)))/(a^2+b^2)^2
--R
--R   (2)
--R      3    2             a x                2    3      2    2           a x
--R   ((b  + a b)x - 2a b)%e   sin(b x) + ((a b  + a )x + b  - a )cos(b x)%e
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                 4     2 2    4
--R                                b  + 2a b  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 40     14:521 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.522 ∫ e^{ax} ln x dx

∫ e^{ax} ln x = \frac{e^{ax} ln x}{a} − \frac{1}{a} ∫ \frac{e^{ax}}{x}

— * —

)clear all
--S 38 of 40     14:522 Schaums and Axiom agree by definition
aa:=integrate(%e^(a*x)*log(x),x)
--R
--R          a x
--R        %e   log(x) - Ei(a x)
--R   (1)  ---------------------
--R                  a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

15 [?]:14.523 ∫ e^{ax} sin^{n} bx dx

∫ e^{ax} sin^{n} bx = \frac{e^{ax} sin^{n−1} bx}{a^{2} + n^{2}b^{2}}(a sin bx − nb cos bx) + \frac{n(n − 1)b^{2}}{a^{2} + n^{2}b^{2}} ∫ e^{ax} sin^{n−2} bx

— * —

--S 39 of 40     14:523 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)*sin(b*x)^n,x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a         n
--I   (1)   |   %e    sin(%I b) d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

16 [?]:14.524 ∫ e^{ax} cos^{n} bx dx

∫ e^{ax} cos^{n} bx = \frac{e^{ax} cos^{n−1} bx}{a^{2} + n^{2}b^{2}}(a cos bx − nb sin bx) + \frac{n(n − 1)b^{2}}{a^{2} + n^{2}b^{2}} ∫ e^{ax} cos^{n−2} bx

— * —

)clear all
--S 40 of 40     14:524 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(%e^(a*x)*cos(b*x)^n,x)
--R
--R           x
--I         ++    %I a         n
--I   (1)   |   %e    cos(%I b) d%I
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p85