$SPAD/input schaum28.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.562 ∫ cosh ax dx

∫ cosh ax = \frac{sinh ax}{a}

— * —

)set break resume
)spool schaum28.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 139
aa:=integrate(cosh(a*x),x)
--R
--R
--R        sinh(a x)
--R   (1)  ---------
--R            a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 139
bb:=sinh(a*x)/a
--R
--R        sinh(a x)
--R   (2)  ---------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 139      14:562 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.563 ∫ x cosh ax dx

∫ x cosh ax = \frac{x sinh ax}{a} − \frac{cosh ax}{a^{2}}

— * —

)clear all
--S 4 of 139
aa:=integrate(x*cosh(a*x),x)
--R
--R
--R        a x sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (1)  -------------------------
--R                     2
--R                    a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 139
bb:=(x*sinh(a*x))/a-cosh(a*x)/a^2
--R
--R        a x sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (2)  -------------------------
--R                     2
--R                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 139      14:563 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.564 ∫ x^{2} cosh ax dx

∫ x^{2} cosh ax = −\frac{2x cosh ax}{a^{2}} + (\frac{x^{2}}{a} + \frac{2}{a^{3}} ) sinh ax

— * —

)clear all
--S 7 of 139
aa:=integrate(x^2*cosh(a*x),x)
--R
--R
--R          2 2
--R        (a x  + 2)sinh(a x) - 2a x cosh(a x)
--R   (1)  ------------------------------------
--R                          3

--R                         a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 139
bb:=-(2*x*cosh(a*x))/a^2+(x^2/a+2/a^3)*sinh(a*x)
--R
--R          2 2
--R        (a x  + 2)sinh(a x) - 2a x cosh(a x)
--R   (2)  ------------------------------------
--R                          3
--R                         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 139      14:564 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.565 ∫ \frac{cosh ax}{x} dx

∫ \frac{cosh ax}{x} = ln x + \frac{(ax)^{2}}{2 · 2!} + \frac{(ax)^{4}}{4 · 4!} + \frac{(ax)^{6}}{6 · 6!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 10 of 139     14:565 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cosh(a*x)/x,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  cosh(%N a)
--I   (1)   |   ---------- d%N
--I        ++       %N
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.566 ∫ \frac{cosh ax}{x^{2}} dx

∫ \frac{cosh ax}{x^{2}} = −\frac{cosh ax}{x} + a ∫ \frac{sinh ax}{a}

— * —

)clear all
--S 11 of 139     14:566 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cosh(a*x)/x^2,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  cosh(%N a)
--I   (1)   |   ---------- d%N
--R        ++         2
--I                 %N
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

6 [?]:14.567 ∫ \frac{dx}{cosh ax} dx

∫ \frac{1}{cosh ax} = \frac{2}{a} tan^{−1} e^{ax}

— * —

)clear all
--S 12 of 139
aa:=integrate(1/cosh(a*x),x)
--R
--R
--R        2atan(sinh(a x) + cosh(a x))
--R   (1)  ----------------------------
--R                      a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 13 of 139
bb:=2/a*atan(%e^(a*x))
--R
--R                a x
--R        2atan(%e   )

--R   (2)  ------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R                                               a x
--R        2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - 2atan(%e   )
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 139     14:567 Schaums and Axiom agree
dd:=complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.568 ∫ \frac{x dx}{cosh ax} dx

∫ \frac{x}{cosh ax} = \frac{1}{a^{2}} \{\frac{(ax)^{2}}{2} − \frac{(ax)^{4}}{8} + \frac{5(ax)^{6}}{144} + ⋯ + \frac{(−1)^{n}E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n + 2)(2n)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 16 of 139     14:568 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x/cosh(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++      %N
--I   (1)   |   ---------- d%N
--I        ++   cosh(%N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

8 [?]:14.569 ∫ cosh^{2} ax dx

∫ cosh^{2} ax = \frac{x}{2} + \frac{sinh ax cosh ax}{2a}

Note that the Schaums print edition (1968 printing 3) has a typo:

∫ cosh^{2} ax = \frac{x}{2} + \frac{sinh ax cosh ax}{2}

— * —

)clear all
--S 17 of 139
aa:=integrate(cosh(a*x)^2,x)
--R
--R
--R        cosh(a x)sinh(a x) + a x
--R   (1)  ------------------------
--R                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 18 of 139
bb:=x/2+(sinh(a*x)*cosh(a*x))/(2*a)
--R
--R        cosh(a x)sinh(a x) + a x
--R   (2)  ------------------------
--R                   2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 139     14:569 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.570 ∫ x cosh^{2} ax dx

∫ x cosh^{2} ax = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x sinh 2ax}{4a} − \frac{cosh 2ax}{8a^{2}}

— * —

--S 20 of 139
aa:=integrate(x*cosh(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                   2                                      2     2 2
--R        - sinh(a x)  + 4a x cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  + 2a x
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                      2
--R                                    8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 21 of 139
bb:=x^2/4+(x*sinh(2*a*x))/(4*a)-cosh(2*a*x)/(8*a^2)
--R
--R                                         2 2
--R        2a x sinh(2a x) - cosh(2a x) + 2a x
--R   (2)  ------------------------------------
--R                           2
--R                         8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                    2
--R       - 2a x sinh(2a x) - sinh(a x)  + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x)
--R     +
--R                  2
--R       - cosh(a x)
--R  /
--R       2
--R     8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 139
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (4)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 24 of 139

dd:=sinhsqrrule cc
--R
--R   (5)
--R                                                                        2
--R   - 4a x sinh(2a x) + 8a x cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) - 2cosh(a x)  + 1
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                         2
--R                                      16a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 139
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (6)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 26 of 139
ee:=coshsqrrule dd
--R
--R        - x sinh(2a x) + 2x cosh(a x)sinh(a x)
--R   (7)  --------------------------------------
--R                          4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                             %S sinh(y + x) - %S sinh(y - x)
--I   (8)  %S cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                            2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 28 of 139     14:570 Schaums and Axiom agree
ff:=sinhcoshrule ee
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.571 ∫ \frac{dx}{cosh^{2} ax} dx

∫ \frac{1}{cosh^{2} ax} = \frac{tanh ax}{a}

— * —

)clear all
--S 29 of 139
aa:=integrate(1/cosh(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                                     2
--R   (1)  - -------------------------------------------------------
--R                     2                                      2
--R          a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 139
bb:=tanh(a*x)/a
--R
--R        tanh(a x)
--R   (2)  ---------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R                    2                                  2
--R        (- sinh(a x)  - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  - 1)tanh(a x) - 2
--R   (3)  ------------------------------------------------------------------
--R                         2                                      2
--R              a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 139     14:571 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R          1
--R   (4)  - -
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.572 ∫ cosh ax cosh px dx

∫ cosh ax cosh px = \frac{sinh(a − p)x}{2(a − p)} + \frac{sinh(a + p)x}{2(a + p)}

— * —

)clear all
--S 33  of 139
aa:=integrate(cosh(a*x)*cosh(p*x),x)
--R
--R
--R        - p cosh(a x)sinh(p x) + a cosh(p x)sinh(a x)
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R           2    2          2       2    2          2
--R         (p  - a )sinh(a x)  + (- p  + a )cosh(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 139
bb:=(sinh(a-p)*x)/(2*(a-p))+(sinh(a+p)*x)/(2*(a+p))
--R
--R        (p - a)x sinh(p + a) + (p + a)x sinh(p - a)
--R   (2)  -------------------------------------------
--R                           2     2
--R                         2p  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R       - 2p cosh(a x)sinh(p x)
--R     +
--R                                                                 2
--R       ((- p + a)x sinh(p + a) + (- p - a)x sinh(p - a))sinh(a x)
--R     +
--R                                                 2
--R       2a cosh(p x)sinh(a x) + (p - a)x cosh(a x) sinh(p + a)
--R     +
--R                         2
--R       (p + a)x cosh(a x) sinh(p - a)
--R  /
--R        2     2          2        2     2          2

--R     (2p  - 2a )sinh(a x)  + (- 2p  + 2a )cosh(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 139
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (4)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 37 of 139
dd:=sinhsqrrule cc
--R
--R   (5)
--R       - 4p cosh(a x)sinh(p x) + 4a cosh(p x)sinh(a x)
--R     +
--R                                                    2
--R       ((- p + a)x cosh(2a x) + (2p - 2a)x cosh(a x)  + (p - a)x)sinh(p + a)
--R     +
--R                                                    2
--R       ((- p - a)x cosh(2a x) + (2p + 2a)x cosh(a x)  + (p + a)x)sinh(p - a)
--R  /
--R        2     2                   2     2          2     2     2
--R     (2p  - 2a )cosh(2a x) + (- 4p  + 4a )cosh(a x)  - 2p  + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 139
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (6)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 39 of 139
ee:=coshsqrrule dd
--R
--R   (7)
--R       2p cosh(a x)sinh(p x) - 2a cosh(p x)sinh(a x) + (- p + a)x sinh(p + a)
--R     +
--R       (- p - a)x sinh(p - a)
--R  /
--R       2     2
--R     2p  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 40 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                             %V sinh(y + x) - %V sinh(y - x)
--I   (8)  %V cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                            2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 41 of 139     14:572 Axiom cannot simplify this expression
ff:=sinhcoshrule ee
--R
--R   (9)
--R       (p - a)sinh((p + a)x) + (p + a)sinh((p - a)x) + (- p + a)x sinh(p + a)
--R     +
--R       (- p - a)x sinh(p - a)
--R  /
--R       2     2
--R     2p  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.573 ∫ cosh ax sin px dx

∫ cosh ax sin px = \frac{a sinh ax sin px − p cosh ax cos px}{a^{2} + p^{2}}

— * —

)clear all
--S 42 of 139
aa:=integrate(cosh(a*x)*sin(p*x),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                         2
--R       (a sin(p x) - p cos(p x))sinh(a x)
--R     +
--R       (2a cosh(a x)sin(p x) - 2p cos(p x)cosh(a x))sinh(a x)
--R     +
--R                   2                                   2
--R       (a cosh(a x)  - a)sin(p x) - p cos(p x)cosh(a x)  - p cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2

--R     (2p  + 2a )sinh(a x) + (2p  + 2a )cosh(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 43 of 139
bb:=(a*sinh(a*x)*sin(p*x)-p*cosh(a*x)*cos(p*x))/(a^2+p^2)
--R
--R        a sin(p x)sinh(a x) - p cos(p x)cosh(a x)
--R   (2)  -----------------------------------------
--R                          2    2
--R                         p  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                           2               2
--R       (- a sin(p x) - p cos(p x))sinh(a x)  + (a cosh(a x)  - a)sin(p x)
--R     +
--R                          2
--R       p cos(p x)cosh(a x)  - p cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2
--R     (2p  + 2a )sinh(a x) + (2p  + 2a )cosh(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 139
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (4)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 46 of 139
dd:=coshsqrrule cc
--R
--R   (5)
--R                                             2
--R       (- 2a sin(p x) - 2p cos(p x))sinh(a x)  + (a cosh(2a x) - a)sin(p x)
--R     +
--R       p cos(p x)cosh(2a x) - p cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2
--R     (4p  + 4a )sinh(a x) + (4p  + 4a )cosh(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 47 of 139
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (6)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 48 of 139     14:573 Schaums and Axiom agree
ee:=sinhsqrrule dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.574 ∫ cosh ax cos px dx

∫ cosh ax cos px = \frac{a sinh ax cos px + p cosh ax sin px}{a^{2} + p^{2}}

— * —

)clear all
--S 49 of 139
aa:=integrate(cosh(a*x)*cos(p*x),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                         2
--R       (p sin(p x) + a cos(p x))sinh(a x)
--R     +
--R       (2p cosh(a x)sin(p x) + 2a cos(p x)cosh(a x))sinh(a x)
--R     +
--R                   2                                   2
--R       (p cosh(a x)  + p)sin(p x) + a cos(p x)cosh(a x)  - a cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2
--R     (2p  + 2a )sinh(a x) + (2p  + 2a )cosh(a x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 50 of 139
bb:=(a*sinh(a*x)*cos(p*x)+p*cosh(a*x)*sin(p*x))/(a^2+p^2)

--R
--R        a cos(p x)sinh(a x) + p cosh(a x)sin(p x)
--R   (2)  -----------------------------------------
--R                          2    2
--R                         p  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                         2                 2
--R       (p sin(p x) - a cos(p x))sinh(a x)  + (- p cosh(a x)  + p)sin(p x)
--R     +
--R                          2
--R       a cos(p x)cosh(a x)  - a cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2
--R     (2p  + 2a )sinh(a x) + (2p  + 2a )cosh(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 139
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (4)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 53 of 139
dd:=coshsqrrule cc
--R
--R   (5)
--R                                           2
--R       (2p sin(p x) - 2a cos(p x))sinh(a x)  + (- p cosh(2a x) + p)sin(p x)
--R     +
--R       a cos(p x)cosh(2a x) - a cos(p x)
--R  /
--R        2     2                2     2
--R     (4p  + 4a )sinh(a x) + (4p  + 4a )cosh(a x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 139
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1

--R   (6)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 55 of 139     14:574 Schaums and Axiom agree
ee:=sinhsqrrule dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.575 ∫ \frac{dx}{cosh ax + 1}

∫ \frac{1}{cosh ax + 1} = \frac{1}{a} tanh \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 56 of 139
aa:=integrate(1/(cosh(a*x)+1),x)
--R
--R
--R                        2
--R   (1)  - -----------------------------
--R          a sinh(a x) + a cosh(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 57 of 139
bb:=1/a*tanh((a*x)/2)
--R
--R             a x
--R        tanh(---)
--R              2
--R   (2)  ---------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 58 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R                                          a x

--R        (- sinh(a x) - cosh(a x) - 1)tanh(---) - 2
--R                                           2
--R   (3)  ------------------------------------------
--R               a sinh(a x) + a cosh(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 59 of 139
tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x))
--R
--R                   sinh(x)
--R   (4)  tanh(x) == -------
--R                   cosh(x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 60 of 139
dd:=tanhrule cc
--R
--R               a x                                   a x          a x
--R        - sinh(---)sinh(a x) + (- cosh(a x) - 1)sinh(---) - 2cosh(---)
--R                2                                     2            2
--R   (5)  --------------------------------------------------------------
--R                  a x                    a x                    a x
--R           a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(---)cosh(a x) + a cosh(---)
--R                   2                      2                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                              %BC sinh(y + x) - %BC sinh(y - x)
--I   (6)  %BC cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 62 of 139
ee:=sinhcoshrule dd
--R
--R                  3a x          a x                  a x          a x
--R           - sinh(----) - 2sinh(---)sinh(a x) - sinh(---) - 4cosh(---)
--R                    2            2                    2            2
--R   (7)  -----------------------------------------------------------------
--R               3a x           a x            a x                     a x
--R        a sinh(----) + a sinh(---) + 2a cosh(---)cosh(a x) + 2a cosh(---)
--R                 2             2              2                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 63 of 139
sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y)))
--R
--I                              %BD sinh(y + x) - %BD sinh(y - x)
--I   (8)  %BD cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 64 of 139
ff:=sinhsinhrule ee
--R
--R                       3a x         a x         3a x          a x
--R                - sinh(----) - sinh(---) - cosh(----) - 3cosh(---)
--R                         2           2            2            2
--R   (9)  -----------------------------------------------------------------
--R               3a x           a x            a x                     a x
--R        a sinh(----) + a sinh(---) + 2a cosh(---)cosh(a x) + 2a cosh(---)
--R                 2             2              2                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 139
coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y)))
--R
--I                               %BC cosh(y + x) + %BC cosh(y - x)
--I   (10)  %BC cosh(x)cosh(y) == ---------------------------------
--R                                               2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 66 of 139     14:575 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=coshcoshrule ff
--R
--R           1
--R   (11)  - -
--R           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.576 ∫ \frac{dx}{cosh ax − 1}

∫ \frac{1}{cosh ax − 1} = −\frac{1}{a} coth \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 67 of 139
aa:=integrate(1/(cosh(a*x)-1),x)
--R
--R
--R                        2
--R   (1)  - -----------------------------
--R          a sinh(a x) + a cosh(a x) - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 68 of 139
bb:=-1/a*coth((a*x)/2)
--R
--R               a x
--R          coth(---)
--R                2
--R   (2)  - ---------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R             a x                                 a x
--R        coth(---)sinh(a x) + (cosh(a x) - 1)coth(---) - 2
--R              2                                   2
--R   (3)  -------------------------------------------------
--R                  a sinh(a x) + a cosh(a x) - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 139
cothrule:=rule(coth(x) == cosh(x)/sinh(x))
--R
--R                   cosh(x)
--R   (4)  coth(x) == -------
--R                   sinh(x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 71 of 139
dd:=cothrule cc
--R
--R             a x                   a x         a x                  a x

--R        cosh(---)sinh(a x) - 2sinh(---) + cosh(---)cosh(a x) - cosh(---)
--R              2                     2           2                    2
--R   (5)  ----------------------------------------------------------------
--R                       a x                                   a x
--R                a sinh(---)sinh(a x) + (a cosh(a x) - a)sinh(---)
--R                        2                                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                              %BD sinh(y + x) - %BD sinh(y - x)
--I   (6)  %BD cosh(y)sinh(x) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 73 of 139
ee:=sinhcoshrule dd
--R
--R             3a x          a x          a x                   a x
--R        sinh(----) - 3sinh(---) + 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---)
--R               2            2            2                     2
--R   (7)  ----------------------------------------------------------
--R                   3a x            a x                     a x
--R            a sinh(----) + 2a sinh(---)sinh(a x) - 3a sinh(---)
--R                     2              2                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 74 of 139
sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y)))
--R
--I                              %BE cosh(y + x) - %BE cosh(y - x)
--I   (8)  %BE sinh(x)sinh(y) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 75 of 139
ff:=sinhsinhrule ee
--R
--R             3a x          a x          a x                   a x
--R        sinh(----) - 3sinh(---) + 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---)
--R               2            2            2                     2
--R   (9)  ----------------------------------------------------------
--R                3a x            a x           3a x           a x
--R         a sinh(----) - 3a sinh(---) + a cosh(----) - a cosh(---)
--R                  2              2              2             2

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 76 of 139
coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y)))
--R
--I                               %BF cosh(y + x) + %BF cosh(y - x)
--I   (10)  %BF cosh(x)cosh(y) == ---------------------------------
--R                                               2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 77 of 139     14:576 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=coshcoshrule ff
--R
--R         1
--R   (11)  -
--R         a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.577 ∫ \frac{x dx}{cosh ax + 1} dx

∫ \frac{x}{cosh ax + 1} = \frac{x}{a} tanh \frac{ax}{2} − \frac{2}{a^{2}} ln cosh \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 78 of 139
aa:=integrate(x/(cosh(a*x)+1),x)
--R
--R
--R   (1)
--R       (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1)
--R     +
--R       2a x sinh(a x) + 2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2             2             2
--R     a sinh(a x) + a cosh(a x) + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 79 of 139
bb:=x/a*tanh((a*x)/2)-2/a^2*log(cosh((a*x)/2))

--R
--R                    a x              a x
--R        - 2log(cosh(---)) + a x tanh(---)
--R                     2                2
--R   (2)  ---------------------------------
--R                         2
--R                        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R       (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1)
--R     +
--R                                             a x
--R       (2sinh(a x) + 2cosh(a x) + 2)log(cosh(---))
--R                                              2
--R     +
--R                                                   a x
--R       (- a x sinh(a x) - a x cosh(a x) - a x)tanh(---) + 2a x sinh(a x)
--R                                                    2
--R     +
--R       2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2             2             2
--R     a sinh(a x) + a cosh(a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 139
tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x))
--R
--R                   sinh(x)
--R   (4)  tanh(x) == -------
--R                   cosh(x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 82 of 139
dd:=tanhrule cc
--R
--R   (5)
--R                  a x                   a x                   a x
--R         (- 2cosh(---)sinh(a x) - 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---))
--R                   2                     2                     2
--R      *
--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1)
--R     +

--R              a x                   a x                   a x           a x
--R       (2cosh(---)sinh(a x) + 2cosh(---)cosh(a x) + 2cosh(---))log(cosh(---))
--R               2                     2                     2             2
--R     +
--R                   a x              a x
--R       (- a x sinh(---) + 2a x cosh(---))sinh(a x)
--R                    2                2
--R     +
--R                                   a x              a x
--R       (- a x cosh(a x) - a x)sinh(---) + 2a x cosh(---)cosh(a x)
--R                                    2                2
--R  /
--R      2     a x              2     a x              2     a x
--R     a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(---)cosh(a x) + a cosh(---)
--R             2                      2                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 83 of 139
coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y)))
--R
--I                              %BG cosh(y + x) + %BG cosh(y - x)
--I   (6)  %BG cosh(x)cosh(y) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 84 of 139
ee:=coshcoshrule dd
--R
--R   (7)
--R                  a x                   3a x          a x
--R         (- 4cosh(---)sinh(a x) - 2cosh(----) - 6cosh(---))
--R                   2                      2            2
--R      *
--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1)
--R     +
--R              a x                   3a x          a x           a x
--R       (4cosh(---)sinh(a x) + 2cosh(----) + 6cosh(---))log(cosh(---))
--R               2                      2            2             2
--R     +
--R                    a x              a x
--R       (- 2a x sinh(---) + 4a x cosh(---))sinh(a x)
--R                     2                2
--R     +
--R                                     a x              3a x              a x
--R       (- 2a x cosh(a x) - 2a x)sinh(---) + 2a x cosh(----) + 2a x cosh(---)
--R                                      2                 2                2
--R  /
--R       2     a x              2     3a x      2     a x

--R     2a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(----) + 3a cosh(---)
--R              2                       2              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                              %BH sinh(y + x) - %BH sinh(y - x)
--I   (8)  %BH cosh(y)sinh(x) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 86 of 139
ff:=sinhcoshrule ee
--R
--R   (9)
--R                  3a x          a x          3a x          a x
--R         (- 2sinh(----) - 2sinh(---) - 2cosh(----) - 6cosh(---))
--R                    2            2             2            2
--R      *
--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1)
--R     +
--R              3a x          a x          3a x          a x           a x
--R       (2sinh(----) + 2sinh(---) + 2cosh(----) + 6cosh(---))log(cosh(---))
--R                2            2             2            2             2
--R     +
--R                3a x              a x                      a x
--R       a x sinh(----) - 2a x sinh(---)sinh(a x) + a x sinh(---)
--R                  2                2                        2
--R     +
--R                 3a x              a x
--R       2a x cosh(----) + 2a x cosh(---)
--R                   2                2
--R  /
--R      2     3a x     2     a x     2     3a x      2     a x
--R     a sinh(----) + a sinh(---) + a cosh(----) + 3a cosh(---)
--R              2             2              2              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 139
sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y)))
--R
--I                               %BI cosh(y + x) - %BI cosh(y - x)
--I   (10)  %BI sinh(x)sinh(y) == ---------------------------------
--R                                               2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 88 of 139
gg:=sinhsinhrule ff
--R
--R                                                       a x
--R         - 2log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) + 2log(cosh(---)) + a x
--R                                                        2
--R   (11)  ---------------------------------------------------------
--R                                      2
--R                                     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 139     14:577 Schaums and Axiom differ by a constant
complexNormalize gg
--R
--R           2log(2)
--R   (12)  - -------
--R               2
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.578 ∫ \frac{x dx}{cosh ax − 1}

∫ \frac{x}{cosh ax − 1} − \frac{x}{a} coth \frac{ax}{2} + \frac{2}{a^{2}} ln sinh \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 90 of 139
aa:=integrate(x/(cosh(a*x)-1),x)
--R
--R
--R   (1)
--R       (2sinh(a x) + 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1)
--R     +
--R       - 2a x sinh(a x) - 2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2             2             2
--R     a sinh(a x) + a cosh(a x) - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 91 of 139
bb:=-x/a*coth((a*x)/2)+2/a^2*log(sinh((a*x)/2))
--R
--R                  a x              a x
--R        2log(sinh(---)) - a x coth(---)
--R                   2                2
--R   (2)  -------------------------------
--R                        2
--R                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 139
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R       (2sinh(a x) + 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1)
--R     +
--R                                               a x
--R       (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) + 2)log(sinh(---))
--R                                                2
--R     +
--R                 a x                                               a x
--R       (a x coth(---) - 2a x)sinh(a x) + (a x cosh(a x) - a x)coth(---)
--R                  2                                                 2
--R     +
--R       - 2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2             2             2
--R     a sinh(a x) + a cosh(a x) - a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 139
cothrule:=rule(coth(x) == cosh(x)/sinh(x))
--R
--R                   cosh(x)
--R   (4)  coth(x) == -------
--R                   sinh(x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 94 of 139
dd:=cothrule cc
--R
--R   (5)
--R                a x                                  a x
--R         (2sinh(---)sinh(a x) + (2cosh(a x) - 2)sinh(---))
--R                 2                                    2
--R      *

--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1)
--R     +
--R                a x                                    a x           a x
--R       (- 2sinh(---)sinh(a x) + (- 2cosh(a x) + 2)sinh(---))log(sinh(---))
--R                 2                                      2             2
--R     +
--R                    a x             a x                                 a x
--R       (- 2a x sinh(---) + a x cosh(---))sinh(a x) - 2a x cosh(a x)sinh(---)
--R                     2               2                                   2
--R     +
--R                a x                      a x
--R       a x cosh(---)cosh(a x) - a x cosh(---)
--R                 2                        2
--R  /
--R      2     a x               2             2      a x
--R     a sinh(---)sinh(a x) + (a cosh(a x) - a )sinh(---)
--R             2                                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 95 of 139
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                              %BJ sinh(y + x) - %BJ sinh(y - x)
--I   (6)  %BJ cosh(y)sinh(x) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 96 of 139
ee:=sinhcoshrule dd
--R
--R   (7)
--R                3a x          a x                   a x
--R         (2sinh(----) + 4sinh(---)sinh(a x) - 6sinh(---))
--R                  2            2                     2
--R      *
--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1)
--R     +
--R                3a x          a x                   a x           a x
--R       (- 2sinh(----) - 4sinh(---)sinh(a x) + 6sinh(---))log(sinh(---))
--R                  2            2                     2             2
--R     +
--R                  3a x              a x                       a x
--R       - a x sinh(----) - 4a x sinh(---)sinh(a x) + 3a x sinh(---)
--R                    2                2                         2
--R     +
--R                 a x                       a x
--R       2a x cosh(---)cosh(a x) - 2a x cosh(---)
--R                  2                         2

--R  /
--R      2     3a x      2     a x               2     a x
--R     a sinh(----) + 2a sinh(---)sinh(a x) - 3a sinh(---)
--R              2              2                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 97 of 139
sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y)))
--R
--I                              %BK cosh(y + x) - %BK cosh(y - x)
--I   (8)  %BK sinh(x)sinh(y) == ---------------------------------
--R                                              2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 98 of 139
ff:=sinhsinhrule ee
--R
--R   (9)
--R                3a x          a x          3a x          a x
--R         (2sinh(----) - 6sinh(---) + 2cosh(----) - 2cosh(---))
--R                  2            2             2            2
--R      *
--R         log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1)
--R     +
--R                3a x          a x          3a x          a x           a x
--R       (- 2sinh(----) + 6sinh(---) - 2cosh(----) + 2cosh(---))log(sinh(---))
--R                  2            2             2            2             2
--R     +
--R                  3a x              a x              3a x
--R       - a x sinh(----) + 3a x sinh(---) - 2a x cosh(----)
--R                    2                2                 2
--R     +
--R                 a x
--R       2a x cosh(---)cosh(a x)
--R                  2
--R  /
--R      2     3a x      2     a x     2     3a x     2     a x
--R     a sinh(----) - 3a sinh(---) + a cosh(----) - a cosh(---)
--R              2              2              2             2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 99 of 139
coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y)))
--R
--I                               %BL cosh(y + x) + %BL cosh(y - x)
--I   (10)  %BL cosh(x)cosh(y) == ---------------------------------
--R                                               2

--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 100 of 139
gg:=coshcoshrule ff
--R
--R                                                     a x
--R         2log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) - 2log(sinh(---)) - a x
--R                                                      2
--R   (11)  -------------------------------------------------------
--R                                     2
--R                                    a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 139    14:578 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R         2log(2)
--R   (12)  -------
--R             2
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.579 ∫ \frac{dx}{(cosh ax + 1)^{2}}

∫ \frac{1}{(cosh ax + 1)^{2}} = \frac{1}{2a} tanh \frac{ax}{2} − \frac{1}{6a} tanh^{3} \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 102 of 139
aa:=integrate(1/(cosh(a*x)+1)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R     - 6sinh(a x) - 6cosh(a x) - 2
--R  /
--R                   3                               2
--R       3a sinh(a x)  + (9a cosh(a x) + 9a)sinh(a x)
--R     +
--R                    2                                              3
--R       (9a cosh(a x)  + 18a cosh(a x) + 9a)sinh(a x) + 3a cosh(a x)

--R     +
--R                   2
--R       9a cosh(a x)  + 9a cosh(a x) + 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 103 of 139
bb:=1/(2*a)*tanh((a*x)/2)-1/(6*a)*tanh((a*x)/2)^3
--R
--R               a x 3         a x
--R        - tanh(---)  + 3tanh(---)
--R                2             2
--R   (2)  -------------------------
--R                    6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 139    14:579 Axiom cannot compute this integral
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                    3                            2
--R           sinh(a x)  + (3cosh(a x) + 3)sinh(a x)
--R         +
--R                      2                                       3             2
--R           (3cosh(a x)  + 6cosh(a x) + 3)sinh(a x) + cosh(a x)  + 3cosh(a x)
--R         +
--R           3cosh(a x) + 1
--R      *
--R              a x 3
--R         tanh(---)
--R               2
--R     +
--R                       3                              2
--R           - 3sinh(a x)  + (- 9cosh(a x) - 9)sinh(a x)
--R         +
--R                        2                                         3
--R           (- 9cosh(a x)  - 18cosh(a x) - 9)sinh(a x) - 3cosh(a x)
--R         +
--R                       2
--R           - 9cosh(a x)  - 9cosh(a x) - 3
--R      *
--R              a x
--R         tanh(---)
--R               2
--R     +
--R       - 12sinh(a x) - 12cosh(a x) - 4
--R  /
--R                   3                                 2
--R       6a sinh(a x)  + (18a cosh(a x) + 18a)sinh(a x)

--R     +
--R                     2                                               3
--R       (18a cosh(a x)  + 36a cosh(a x) + 18a)sinh(a x) + 6a cosh(a x)
--R     +
--R                    2
--R       18a cosh(a x)  + 18a cosh(a x) + 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.580 ∫ \frac{dx}{(cosh ax − 1)^{2}}

∫ \frac{1}{(cosh ax − 1)^{2}} = \frac{1}{2a} coth \frac{ax}{2} − \frac{1}{6a} coth^{3} \frac{ax}{2}

— * —

)clear all
--S 105 of 139
aa:=integrate(1/(cosh(a*x)-1)^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R     - 6sinh(a x) - 6cosh(a x) + 2
--R  /
--R                   3                               2
--R       3a sinh(a x)  + (9a cosh(a x) - 9a)sinh(a x)
--R     +
--R                    2                                              3
--R       (9a cosh(a x)  - 18a cosh(a x) + 9a)sinh(a x) + 3a cosh(a x)
--R     +
--R                     2
--R       - 9a cosh(a x)  + 9a cosh(a x) - 3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 106 of 139
bb:=1/(2*a)*coth((a*x)/2)-1/(6*a)*coth((a*x)/2)^3
--R
--R               a x 3         a x
--R        - coth(---)  + 3coth(---)
--R                2             2
--R   (2)  -------------------------
--R                    6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 107 of 139    14:580 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R             a x 3         a x           3
--R       (coth(---)  - 3coth(---))sinh(a x)
--R              2             2
--R     +
--R                             a x 3                          a x           2
--R       ((3cosh(a x) - 3)coth(---)  + (- 9cosh(a x) + 9)coth(---))sinh(a x)
--R                              2                              2
--R     +
--R                      2                       a x 3
--R           (3cosh(a x)  - 6cosh(a x) + 3)coth(---)
--R                                               2
--R         +
--R                        2                        a x
--R           (- 9cosh(a x)  + 18cosh(a x) - 9)coth(---) - 12
--R                                                  2
--R      *
--R         sinh(a x)
--R     +
--R                 3             2                       a x 3
--R       (cosh(a x)  - 3cosh(a x)  + 3cosh(a x) - 1)coth(---)
--R                                                        2
--R     +
--R                  3             2                       a x
--R     (- 3cosh(a x)  + 9cosh(a x)  - 9cosh(a x) + 3)coth(---) - 12cosh(a x) + 4
--R                                                         2
--R  /
--R                   3                                 2
--R       6a sinh(a x)  + (18a cosh(a x) - 18a)sinh(a x)
--R     +
--R                     2                                               3
--R       (18a cosh(a x)  - 36a cosh(a x) + 18a)sinh(a x) + 6a cosh(a x)
--R     +
--R                      2
--R       - 18a cosh(a x)  + 18a cosh(a x) - 6a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.581 ∫ \frac{dx}{p + q cosh ax}

∫ \frac{1}{p + q cosh ax} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{a\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & tan & −1 & \frac{qe^{ax} + p}{\sqrt{q^{2} − p^{2}}} \\ \frac{1}{a\sqrt{p^{2} − a^{2}}} & ln & (\frac{qe^{ax} + p − \sqrt{p^{2} − q^{2}}}{qe^{ax} + p + \sqrt{p^{2} − q^{2}}} ) \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 108 of 139
aa:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                   2         2      2                              2         2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                                    2     2
--R                  2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                 3     2                 3     2                  2     3
--R              (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R         /
--R                         2                                             2
--R              q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R              2p cosh(a x) + q
--R    /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R       a\|- q  + p
--R     ,
--R                                          +-------+
--R                                          | 2    2
--R          (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R    2atan(-----------------------------------------)
--R                            2    2
--R                           q  - p

--R    ------------------------------------------------]
--R                         +-------+
--R                         | 2    2
--R                       a\|q  - p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 109 of 139
bb1:=2/(a*sqrt(q^2-p^2))*atan((q*%e^(a*x)+p)/sqrt(q^2-p^2))
--R
--R                  a x
--R              q %e    + p
--R        2atan(-----------)
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R               \|q  - p
--R   (2)  ------------------
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R            a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 110 of 139
bb2:=1/(a*sqrt(p^2-q^2))*log((q*%e^(a*x)+p-sqrt(p^2-q^2))/(q*%e^(a*x)+p+_
     sqrt(p^2-q^2)))
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2        a x
--R            - \|- q  + p   + q %e    + p
--R        log(----------------------------)
--R              +---------+
--R              |   2    2        a x
--R             \|- q  + p   + q %e    + p
--R   (3)  ---------------------------------
--R                    +---------+
--R                    |   2    2
--R                  a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 111 of 139
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  - p
--R      *
--R         log

--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R           +---------+         a x
--R           |   2    2      q %e    + p
--R       - 2\|- q  + p  atan(-----------)
--R                             +-------+
--R                             | 2    2
--R                            \|q  - p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 112 of 139
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R                                              +-------+
--R                                              | 2    2               a x
--R              (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p            q %e    + p
--R        2atan(-----------------------------------------) - 2atan(-----------)
--R                                2    2                             +-------+
--R                               q  - p                              | 2    2
--R                                                                  \|q  - p
--R   (5)  ---------------------------------------------------------------------
--R                                       +-------+
--R                                       | 2    2
--R                                     a\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 113 of 139
cc3:=aa.1-bb2

--R
--R   (6)
--R       log
--R                   2         2      2                              2         2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                                    2     2
--R                  2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                 3     2                 3     2                  2     3
--R              (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R         /
--R                         2                                             2
--R              q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R              2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                +---------+
--R                |   2    2        a x
--R             - \|- q  + p   + q %e    + p
--R       - log(----------------------------)
--R               +---------+
--R               |   2    2        a x
--R              \|- q  + p   + q %e    + p
--R  /
--R       +---------+
--R       |   2    2
--R     a\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 114 of 139    14:581 Axiom cannot simplify this expression
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R                          +---------+
--R          +-------+       |   2    2        a x
--R          | 2    2     - \|- q  + p   + q %e    + p
--R       - \|q  - p  log(----------------------------)
--R                         +---------+
--R                         |   2    2        a x
--R                        \|- q  + p   + q %e    + p
--R     +
--R                                                         +-------+
--R         +---------+                                     | 2    2
--R         |   2    2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p

--R       2\|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                           2    2
--R                                          q  - p
--R  /
--R       +---------+ +-------+
--R       |   2    2  | 2    2
--R     a\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.582 ∫ \frac{dx}{(p + q cosh ax)^{2}} dx

∫ \frac{1}{(p + q cosh ax)^{2}} = \frac{q sinh ax}{a(q^{2} − p^{2})(p + q cosh ax)} − \frac{p}{q^{2} − p^{2}} ∫ \frac{1}{p + q cosh ax}

— * —

)clear all
--S 115 of 139
aa:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x))^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                          2                       2                          2
--R             p q sinh(a x)  + (2p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x)
--R           +
--R               2
--R             2p cosh(a x) + p q
--R        *
--R           log
--R                       2         2      2
--R                      q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x)
--R                    +
--R                       2         2                     2     2
--R                      q cosh(a x)  + 2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R                 *
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                    \|- q  + p
--R                +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R             /

--R                             2                                             2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                  2p cosh(a x) + q
--R       +
--R                                              +---------+
--R                                              |   2    2
--R         (- 2p sinh(a x) - 2p cosh(a x) - 2q)\|- q  + p
--R    /
--R               3      2           2
--R           (a q  - a p q)sinh(a x)
--R         +
--R                 3       2                    2       3
--R           ((2a q  - 2a p q)cosh(a x) + 2a p q  - 2a p )sinh(a x)
--R         +
--R               3      2           2          2       3                3      2
--R           (a q  - a p q)cosh(a x)  + (2a p q  - 2a p )cosh(a x) + a q  - a p q
--R      *
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R     ,
--R
--R                             2                         2
--R             - 2p q sinh(a x)  + (- 4p q cosh(a x) - 4p )sinh(a x)
--R           +
--R                             2     2
--R             - 2p q cosh(a x)  - 4p cosh(a x) - 2p q
--R        *
--R                                                +-------+
--R                                                | 2    2
--R                (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R           atan(-----------------------------------------)
--R                                  2    2
--R                                 q  - p
--R       +
--R                                              +-------+
--R                                              | 2    2
--R         (- 2p sinh(a x) - 2p cosh(a x) - 2q)\|q  - p
--R    /
--R               3      2           2
--R           (a q  - a p q)sinh(a x)
--R         +
--R                 3       2                    2       3
--R           ((2a q  - 2a p q)cosh(a x) + 2a p q  - 2a p )sinh(a x)
--R         +
--R               3      2           2          2       3                3      2
--R           (a q  - a p q)cosh(a x)  + (2a p q  - 2a p )cosh(a x) + a q  - a p q
--R      *
--R          +-------+

--R          | 2    2
--R         \|q  - p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 116 of 139
t1:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                   2         2      2                              2         2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                                    2     2
--R                  2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                 3     2                 3     2                  2     3
--R              (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R         /
--R                         2                                             2
--R              q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R              2p cosh(a x) + q
--R    /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R       a\|- q  + p
--R     ,
--R                                          +-------+
--R                                          | 2    2
--R          (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R    2atan(-----------------------------------------)
--R                            2    2
--R                           q  - p
--R    ------------------------------------------------]
--R                         +-------+
--R                         | 2    2
--R                       a\|q  - p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 117 of 139
bb1:=(q*sinh(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cosh(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.1
--R

--R   (3)
--R                             2
--R         (- p q cosh(a x) - p )
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R       q sinh(a x)\|- q  + p
--R  /
--R                                               +---------+
--R          3      2                   2      3  |   2    2
--R     ((a q  - a p q)cosh(a x) + a p q  - a p )\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 118 of 139
bb2:=(q*sinh(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cosh(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.2
--R
--R   (4)
--R                                                                    +-------+
--R                                                                    | 2    2
--R                             2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R       (- 2p q cosh(a x) - 2p )atan(-----------------------------------------)
--R                                                      2    2
--R                                                     q  - p
--R     +
--R                   +-------+
--R                   | 2    2
--R       q sinh(a x)\|q  - p
--R  /
--R                                               +-------+
--R          3      2                   2      3  | 2    2

--R     ((a q  - a p q)cosh(a x) + a p q  - a p )\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 119 of 139
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R               2             2           2
--R           (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x)
--R         +
--R                2         2     2                3                2         3
--R           (2p q cosh(a x)  + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x)
--R         +
--R             2           2       2     3              2
--R           3p q cosh(a x)  + (p q  + 2p )cosh(a x) + p q
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R               2             2           2
--R           (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x)
--R         +
--R                2         2     2                3                2         3
--R           (2p q cosh(a x)  + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x)
--R         +
--R             2           2       2     3              2
--R           3p q cosh(a x)  + (p q  + 2p )cosh(a x) + p q
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2

--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R              2         3        2                          2
--R           - q sinh(a x)  + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x)
--R         +
--R               2         2                     2     2
--R           (- q cosh(a x)  - 4p q cosh(a x) - q  - 2p )sinh(a x)
--R         +
--R                           2        2     2
--R           - 2p q cosh(a x)  + (- 2q  - 2p )cosh(a x) - 2p q
--R      *
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R         \|- q  + p
--R  /
--R              4      2 2                  3      3           2
--R         ((a q  - a p q )cosh(a x) + a p q  - a p q)sinh(a x)
--R       +
--R                  4       2 2          2          3       3                  2 2
--R             (2a q  - 2a p q )cosh(a x)  + (4a p q  - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q
--R           +
--R                   4
--R             - 2a p
--R        *
--R           sinh(a x)
--R       +
--R             4      2 2          3          3       3           2
--R         (a q  - a p q )cosh(a x)  + (3a p q  - 3a p q)cosh(a x)
--R       +
--R             4      2 2       4                  3      3
--R         (a q  + a p q  - 2a p )cosh(a x) + a p q  - a p q
--R    *
--R        +---------+
--R        |   2    2
--R       \|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 120 of 139
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R               2             2           2
--R           (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x)
--R         +
--R                2         2     2                3                2         3
--R           (2p q cosh(a x)  + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x)
--R         +
--R             2           2       2     3              2
--R           3p q cosh(a x)  + (p q  + 2p )cosh(a x) + p q
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  - p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                  2              2           2
--R           (- 2p q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x)
--R         +
--R                  2         2     2                3                 2         3
--R           (- 4p q cosh(a x)  - 8p q cosh(a x) - 4p )sinh(a x) - 2p q cosh(a x)
--R         +
--R               2           2          2     3               2
--R           - 6p q cosh(a x)  + (- 2p q  - 4p )cosh(a x) - 2p q
--R      *
--R                                                          +-------+
--R          +---------+                                     | 2    2
--R          |   2    2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R         \|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                            2    2

--R                                           q  - p
--R     +
--R              2         3        2                          2
--R           - q sinh(a x)  + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x)
--R         +
--R               2         2                     2     2
--R           (- q cosh(a x)  - 4p q cosh(a x) - q  - 2p )sinh(a x)
--R         +
--R                           2        2     2
--R           - 2p q cosh(a x)  + (- 2q  - 2p )cosh(a x) - 2p q
--R      *
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R         \|- q  + p  \|q  - p
--R  /
--R              4      2 2                  3      3           2
--R         ((a q  - a p q )cosh(a x) + a p q  - a p q)sinh(a x)
--R       +
--R                  4       2 2          2          3       3                  2 2
--R             (2a q  - 2a p q )cosh(a x)  + (4a p q  - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q
--R           +
--R                   4
--R             - 2a p
--R        *
--R           sinh(a x)
--R       +
--R             4      2 2          3          3       3           2
--R         (a q  - a p q )cosh(a x)  + (3a p q  - 3a p q)cosh(a x)
--R       +
--R             4      2 2       4                  3      3
--R         (a q  + a p q  - 2a p )cosh(a x) + a p q  - a p q
--R    *
--R        +---------+ +-------+
--R        |   2    2  | 2    2
--R       \|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 121 of 139
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R               2             2           2
--R           (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x)
--R         +
--R                2         2     2                3                2         3
--R           (2p q cosh(a x)  + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x)
--R         +
--R             2           2       2     3              2
--R           3p q cosh(a x)  + (p q  + 2p )cosh(a x) + p q

--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  - p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                2              2           2
--R           (2p q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x)
--R         +
--R                2         2     2                3                 2         3
--R           (4p q cosh(a x)  + 8p q cosh(a x) + 4p )sinh(a x) + 2p q cosh(a x)
--R         +
--R             2           2        2     3               2
--R           6p q cosh(a x)  + (2p q  + 4p )cosh(a x) + 2p q
--R      *
--R                                                          +-------+
--R          +---------+                                     | 2    2
--R          |   2    2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R         \|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                            2    2
--R                                           q  - p
--R     +
--R              2         3        2                          2
--R           - q sinh(a x)  + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x)
--R         +
--R               2         2                     2     2
--R           (- q cosh(a x)  - 4p q cosh(a x) - q  - 2p )sinh(a x)
--R         +
--R                           2        2     2
--R           - 2p q cosh(a x)  + (- 2q  - 2p )cosh(a x) - 2p q
--R      *
--R          +---------+ +-------+

--R          |   2    2  | 2    2
--R         \|- q  + p  \|q  - p
--R  /
--R              4      2 2                  3      3           2
--R         ((a q  - a p q )cosh(a x) + a p q  - a p q)sinh(a x)
--R       +
--R                  4       2 2          2          3       3                  2 2
--R             (2a q  - 2a p q )cosh(a x)  + (4a p q  - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q
--R           +
--R                   4
--R             - 2a p
--R        *
--R           sinh(a x)
--R       +
--R             4      2 2          3          3       3           2
--R         (a q  - a p q )cosh(a x)  + (3a p q  - 3a p q)cosh(a x)
--R       +
--R             4      2 2       4                  3      3
--R         (a q  + a p q  - 2a p )cosh(a x) + a p q  - a p q
--R    *
--R        +---------+ +-------+
--R        |   2    2  | 2    2
--R       \|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 122 of 139    14:582 Axiom cannot simplify this expression
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)
--R          2         3        2                          2
--R       - q sinh(a x)  + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x)
--R     +
--R           2         2                     2     2                           2
--R       (- q cosh(a x)  - 4p q cosh(a x) - q  - 2p )sinh(a x) - 2p q cosh(a x)
--R     +
--R            2     2
--R       (- 2q  - 2p )cosh(a x) - 2p q
--R  /
--R            4      2 2                  3      3           2
--R       ((a q  - a p q )cosh(a x) + a p q  - a p q)sinh(a x)
--R     +
--R                4       2 2          2          3       3                  2 2
--R           (2a q  - 2a p q )cosh(a x)  + (4a p q  - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q
--R         +
--R                 4
--R           - 2a p
--R      *
--R         sinh(a x)
--R     +

--R           4      2 2          3          3       3           2
--R       (a q  - a p q )cosh(a x)  + (3a p q  - 3a p q)cosh(a x)
--R     +
--R           4      2 2       4                  3      3
--R       (a q  + a p q  - 2a p )cosh(a x) + a p q  - a p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.583 ∫ \frac{dx}{p^{2} − q^{2} cosh^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} − q^{2} cosh^{2} ax} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2ap\sqrt{p^{2} − q^{2}}} & ln & (\frac{p tanh ax + \sqrt{p^{2} − q^{2}}}{p tanh ax − \sqrt{p^{2} − q^{2}}} ) \\ \frac{1}{ap\sqrt{q^{2} − p^{2}}} & tan & −1 & \frac{p tanh ax}{\sqrt{q^{2} − p^{2}}} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 123 of 139
aa:=integrate(1/(p^2-q^2*cosh(a*x)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                   4         4     4                  3
--R                  q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R                +
--R                     4         2     4     2 2          2
--R                  (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p q )sinh(a x)
--R                +
--R                     4         3      4     2 2
--R                  (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p q )cosh(a x))sinh(a x)
--R                +
--R                   4         4      4     2 2          2    4     2 2     4
--R                  q cosh(a x)  + (2q  - 4p q )cosh(a x)  + q  - 8p q  + 8p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                     4     3 2          2          4     3 2
--R              (- 4p q  + 4p q )sinh(a x)  + (- 8p q  + 8p q )cosh(a x)sinh(a x)

--R            +
--R                     4     3 2          2       4      3 2     5
--R              (- 4p q  + 4p q )cosh(a x)  - 4p q  + 12p q  - 8p
--R         /
--R               2         4     2                  3
--R              q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                 2         2     2     2          2
--R              (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p )sinh(a x)
--R            +
--R                 2         3      2     2                        2         4
--R              (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R                 2     2          2    2
--R              (2q  - 4p )cosh(a x)  + q
--R    /
--R            +---------+
--R            |   2    2
--R       2a p\|- q  + p
--R     ,
--R
--R     -
--R          atan
--R                      2         2     2                      2         2    2
--R                     q sinh(a x)  + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x)  + q
--R                   +
--R                         2
--R                     - 2p
--R              *
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                 \|q  - p
--R            /
--R                   2     3
--R               2p q  - 2p
--R       /
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R          a p\|q  - p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 124 of 139
bb1:=1/(2*a*p*sqrt(p^2-q^2))*log((p*tanh(a*x)+sqrt(p^2-q^2))/_
     (p*tanh(a*x)-sqrt(p^2-q^2)))
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R            - \|- q  + p   - p tanh(a x)

--R        log(----------------------------)
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R             \|- q  + p   - p tanh(a x)
--R   (2)  ---------------------------------
--R                      +---------+
--R                      |   2    2
--R                 2a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 125 of 139
bb2:=-1/(a*p*sqrt(q^2-p^2))*atan((p*tanh(a*x))/sqrt(q^2-p^2))
--R
--R               p tanh(a x)
--R          atan(-----------)
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|q  - p
--R   (3)  - -----------------
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R            a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 126 of 139
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (4)
--R       log
--R                   4         4     4                  3
--R                  q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R                +
--R                     4         2     4     2 2          2
--R                  (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p q )sinh(a x)
--R                +
--R                     4         3      4     2 2
--R                  (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p q )cosh(a x))sinh(a x)
--R                +
--R                   4         4      4     2 2          2    4     2 2     4
--R                  q cosh(a x)  + (2q  - 4p q )cosh(a x)  + q  - 8p q  + 8p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                     4     3 2          2          4     3 2
--R              (- 4p q  + 4p q )sinh(a x)  + (- 8p q  + 8p q )cosh(a x)sinh(a x)
--R            +

--R                     4     3 2          2       4      3 2     5
--R              (- 4p q  + 4p q )cosh(a x)  - 4p q  + 12p q  - 8p
--R         /
--R               2         4     2                  3
--R              q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                 2         2     2     2          2
--R              (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p )sinh(a x)
--R            +
--R                 2         3      2     2                        2         4
--R              (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R                 2     2          2    2
--R              (2q  - 4p )cosh(a x)  + q
--R     +
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R             - \|- q  + p   - p tanh(a x)
--R       - log(----------------------------)
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R              \|- q  + p   - p tanh(a x)
--R  /
--R          +---------+
--R          |   2    2
--R     2a p\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 127 of 139
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (5)
--R                          +---------+
--R          +-------+       |   2    2
--R          | 2    2     - \|- q  + p   - p tanh(a x)
--R       - \|q  - p  log(----------------------------)
--R                         +---------+
--R                         |   2    2
--R                        \|- q  + p   - p tanh(a x)
--R     +
--R       -
--R              +---------+
--R              |   2    2
--R            2\|- q  + p
--R         *
--R            atan
--R                      2         2     2                      2         2    2
--R                     q sinh(a x)  + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x)  + q
--R                   +

--R                         2
--R                     - 2p
--R                *
--R                    +-------+
--R                    | 2    2
--R                   \|q  - p
--R              /
--R                     2     3
--R                 2p q  - 2p
--R  /
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 128 of 139
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (6)
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|q  - p
--R      *
--R         log
--R                     4         4     4                  3
--R                    q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R                  +
--R                       4         2     4     2 2          2
--R                    (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p q )sinh(a x)
--R                  +
--R                       4         3      4     2 2
--R                    (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p q )cosh(a x))sinh(a x)
--R                  +
--R                     4         4      4     2 2          2    4     2 2     4
--R                    q cosh(a x)  + (2q  - 4p q )cosh(a x)  + q  - 8p q  + 8p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                       4     3 2          2
--R                (- 4p q  + 4p q )sinh(a x)
--R              +
--R                       4     3 2
--R                (- 8p q  + 8p q )cosh(a x)sinh(a x)
--R              +
--R                       4     3 2          2       4      3 2     5
--R                (- 4p q  + 4p q )cosh(a x)  - 4p q  + 12p q  - 8p
--R           /

--R                 2         4     2                  3
--R                q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R              +
--R                   2         2     2     2          2
--R                (6q cosh(a x)  + 2q  - 4p )sinh(a x)
--R              +
--R                   2         3      2     2                        2         4
--R                (4q cosh(a x)  + (4q  - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                   2     2          2    2
--R                (2q  - 4p )cosh(a x)  + q
--R     +
--R         +---------+
--R         |   2    2      p tanh(a x)
--R       2\|- q  + p  atan(-----------)
--R                           +-------+
--R                           | 2    2
--R                          \|q  - p
--R  /
--R          +---------+ +-------+
--R          |   2    2  | 2    2
--R     2a p\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 129 of 139    14:583 Axiom cannot simplify this expression
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (7)
--R       -
--R          atan
--R                      2         2     2                      2         2    2
--R                     q sinh(a x)  + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x)  + q
--R                   +
--R                         2
--R                     - 2p
--R              *
--R                  +-------+
--R                  | 2    2
--R                 \|q  - p
--R            /
--R                   2     3
--R               2p q  - 2p
--R     +
--R            p tanh(a x)
--R       atan(-----------)
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|q  - p
--R  /

--R         +-------+
--R         | 2    2
--R     a p\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

23 [?]:14.584 ∫ \frac{dx}{p^{2} + q^{2} cosh^{2} ax}

∫ \frac{1}{p^{2} + q^{2} cosh^{2} ax} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2ap\sqrt{p^{2} + q^{2}}} & ln & (\frac{p tanh ax + \sqrt{p^{2} + q^{2}}}{p tanh ax − \sqrt{p^{2} + q^{2}}} ) \\ \frac{1}{ap\sqrt{p^{2} + q^{2}}} & tan & −1 & \frac{p tanh ax}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 130 of 139
aa:=integrate(1/(p^2+q^2*cosh(a*x)^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R     log
--R                 4         4     4                  3
--R                q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R              +
--R                   4         2     4     2 2          2
--R                (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p q )sinh(a x)
--R              +
--R                   4         3      4     2 2                        4         4
--R                (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p q )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                   4     2 2          2    4     2 2     4
--R                (2q  + 4p q )cosh(a x)  + q  + 8p q  + 8p
--R           *
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|q  + p
--R          +
--R                   4     3 2          2          4     3 2
--R            (- 4p q  - 4p q )sinh(a x)  + (- 8p q  - 8p q )cosh(a x)sinh(a x)
--R          +
--R                   4     3 2          2       4      3 2     5

--R            (- 4p q  - 4p q )cosh(a x)  - 4p q  - 12p q  - 8p
--R       /
--R             2         4     2                  3
--R            q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R          +
--R               2         2     2     2          2
--R            (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p )sinh(a x)
--R          +
--R               2         3      2     2                        2         4
--R            (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R          +
--R               2     2          2    2
--R            (2q  + 4p )cosh(a x)  + q
--R  /
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R     2a p\|q  + p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 131 of 139
bb1:=1/(2*a*p*sqrt(p^2+q^2))*log((p*tanh(a*x)+sqrt(p^2+q^2))/_
     (p*tanh(a*x)-sqrt(p^2+q^2)))
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R            - \|q  + p   - p tanh(a x)
--R        log(--------------------------)
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|q  + p   - p tanh(a x)
--R   (2)  -------------------------------
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R                 2a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 132 of 139
bb2:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((p*tanh(a*x))/sqrt(p^2+q^2))
--R
--R             p tanh(a x)
--R        atan(-----------)
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|q  + p
--R   (3)  -----------------
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R          a p\|q  + p

--S 133 of 139
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)
--R       log
--R                   4         4     4                  3
--R                  q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R                +
--R                     4         2     4     2 2          2
--R                  (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p q )sinh(a x)
--R                +
--R                     4         3      4     2 2
--R                  (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p q )cosh(a x))sinh(a x)
--R                +
--R                   4         4      4     2 2          2    4     2 2     4
--R                  q cosh(a x)  + (2q  + 4p q )cosh(a x)  + q  + 8p q  + 8p
--R             *
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|q  + p
--R            +
--R                     4     3 2          2          4     3 2
--R              (- 4p q  - 4p q )sinh(a x)  + (- 8p q  - 8p q )cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                     4     3 2          2       4      3 2     5
--R              (- 4p q  - 4p q )cosh(a x)  - 4p q  - 12p q  - 8p
--R         /
--R               2         4     2                  3
--R              q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                 2         2     2     2          2
--R              (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p )sinh(a x)
--R            +
--R                 2         3      2     2                        2         4
--R              (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R                 2     2          2    2
--R              (2q  + 4p )cosh(a x)  + q
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R             - \|q  + p   - p tanh(a x)
--R       - log(--------------------------)
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|q  + p   - p tanh(a x)
--R  /

--R          +-------+
--R          | 2    2
--R     2a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 134 of 139    14:584 Axiom cannot simplify this expression
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R       log
--R                   4         4     4                  3
--R                  q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R                +
--R                     4         2     4     2 2          2
--R                  (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p q )sinh(a x)
--R                +
--R                     4         3      4     2 2
--R                  (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p q )cosh(a x))sinh(a x)
--R                +
--R                   4         4      4     2 2          2    4     2 2     4
--R                  q cosh(a x)  + (2q  + 4p q )cosh(a x)  + q  + 8p q  + 8p
--R             *
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|q  + p
--R            +
--R                     4     3 2          2          4     3 2
--R              (- 4p q  - 4p q )sinh(a x)  + (- 8p q  - 8p q )cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                     4     3 2          2       4      3 2     5
--R              (- 4p q  - 4p q )cosh(a x)  - 4p q  - 12p q  - 8p
--R         /
--R               2         4     2                  3
--R              q sinh(a x)  + 4q cosh(a x)sinh(a x)
--R            +
--R                 2         2     2     2          2
--R              (6q cosh(a x)  + 2q  + 4p )sinh(a x)
--R            +
--R                 2         3      2     2                        2         4
--R              (4q cosh(a x)  + (4q  + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R                 2     2          2    2
--R              (2q  + 4p )cosh(a x)  + q
--R     +
--R               p tanh(a x)
--R       - 2atan(-----------)
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|q  + p

--R  /
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R     2a p\|q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.585 ∫ x^{m} cosh ax dx

∫ x^{m} cosh ax = \frac{x^{m} sinh ax}{a} − \frac{m}{a} ∫ x^{m−1} sinh ax

— * —

)clear all
--S 135 of 139    14:585 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*cosh(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++              m
--I   (1)   |   cosh(%N a)%N d%N
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

25 [?]:14.586 ∫ cosh^{n} ax dx

∫ cosh^{n} ax = \frac{cosh^{n−1} ax sinh ax}{an} + \frac{n − 1}{n} ∫ cosh^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 136 of 139    14:586 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cosh(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            n
--I   (1)   |   cosh(%N a) d%N

--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

26 [?]:14.587 ∫ \frac{cosh ax}{x^{n}} dx

∫ \frac{cosh ax}{x^{n}} = \frac{− cosh ax}{(n − 1)x^{n−1}} + \frac{a}{n − 1} ∫ \frac{sinh ax}{x^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 137 of 139    14:587 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(cosh(a*x)/x^n,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  cosh(%N a)
--I   (1)   |   ---------- d%N
--R        ++         n
--I                 %N
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

27 [?]:14.588 ∫ \frac{dx}{cosh^{n} ax} dx

∫ \frac{1}{cosh^{n} ax} = \frac{sinh ax}{a(n − 1) cosh^{n−1} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{1}{cosh^{n−2} ax}

— * —

)clear all
--S 138 of 139    14:588 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/cosh(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1
--I   (1)   |   ----------- d%N
--R        ++             n
--I             cosh(%N a)

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

28 [?]:14.589 ∫ \frac{x}{cosh^{n} ax} dx

∫ \frac{x}{cosh^{n} ax} = \frac{x sinh ax}{a(n − 1) cosh^{n−1} ax} + \frac{1}{(n − 1)(n − 2)a^{2} cosh^{n−2} ax} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ \frac{x}{cosh^{n−2}}

— * —

)clear all
--S 139 of 139    14:589 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/cosh(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1
--I   (1)   |   ----------- d%N
--R        ++             n
--I             cosh(%N a)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp88-89