$SPAD/input schaum3.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.105 ∫ \frac{dx}{(ax + b)(px + q)}

∫ \frac{1}{(ax + b)(px + q)} = \frac{1}{bp − aq} ln (\frac{px + q}{ax + b} )

— * —

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)clear all
--S 1 of 28
aa:=integrate(1/((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R        - log(p x + q) + log(a x + b)
--R   (1)  -----------------------------
--R                  a q - b p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 28
bb:=1/(b*p-a*q)*log((p*x+q)/(a*x+b))
--R
--R
--R              p x + q
--R          log(-------)
--R              a x + b
--R   (2)  - ------------
--R            a q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 28
cc:=aa-bb
--R
--R
--R                                            p x + q
--R        - log(p x + q) + log(a x + b) + log(-------)
--R                                            a x + b
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                          a q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 28

logdiv:=rule(log(a)-log(b) == log(a/b))
--R
--R                                      a
--I   (4)  - log(b) + log(a) + %I == log(-) + %I
--R                                      b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 5 of 28
dd:=logdiv cc
--R
--R                              1
--R        log(a x + b) + log(-------)
--R                           a x + b
--R   (5)  ---------------------------
--R                 a q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 28
logmul:=rule(log(a)+log(b) == log(a*b))
--R
--I   (6)  log(b) + log(a) + %J == log(a b) + %J
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 7 of 28      14:105 Schaums and Axiom agree
ee:=logmul dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.106 ∫ \frac{x dx}{(ax + b)(px + q)}

∫ \frac{x}{(ax + b)(px + q)} = \frac{1}{bp − aq} \{\frac{b}{a} ln(ax + b) − \frac{q}{p} ln(px + q)\}

— * —

)clear all
--S 8 of 28
aa:=integrate(x/((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R

--R
--R        a q log(p x + q) - b p log(a x + b)
--R   (1)  -----------------------------------
--R                    2           2
--R                   a p q - a b p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 28
bb:=1/(b*p-a*q)*(b/a*log(a*x+b)-q/p*log(p*x+q))
--R
--R
--R        a q log(p x + q) - b p log(a x + b)
--R   (2)  -----------------------------------
--R                    2           2
--R                   a p q - a b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 28     14:106 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.107 ∫ \frac{dx}{(ax + b)^{2}(px + q)}

∫ \frac{1}{(ax + b)^{2}(px + q)} = \frac{1}{bp − aq} \{\frac{1}{ax + b} + \frac{p}{bp − aq} ln (\frac{px + q}{ax + b} )\}

— * —

)clear all
--S 11 of 28
aa:=integrate(1/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R        (a p x + b p)log(p x + q) + (- a p x - b p)log(a x + b) - a q + b p
--R   (1)  -------------------------------------------------------------------
--R                 3 2     2           2 2      2   2       2       3 2
--R               (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + b p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 12 of 28
bb:=1/(b*p-a*q)*(1/(a*x+b)+p/(b*p-a*q)*log((p*x+q)/(a*x+b)))
--R
--R
--R                                  p x + q
--R                 (a p x + b p)log(-------) - a q + b p
--R                                  a x + b
--R   (2)  ------------------------------------------------------
--R          3 2     2           2 2      2   2       2       3 2
--R        (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 13 of 28
cc:=aa-bb
--R
--R
--R                                                p x + q
--R        p log(p x + q) - p log(a x + b) - p log(-------)
--R                                                a x + b
--R   (3)  ------------------------------------------------
--R                      2 2               2 2
--R                     a q  - 2a b p q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 28
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 15 of 28     14:107 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.108 ∫ \frac{x dx}{(ax + b)^{2}(px + q)}

∫ \frac{x}{(ax + b)^{2}(px + q)} = \frac{1}{bp − aq} \{\frac{q}{bp − aq} ln (\frac{ax + b}{px + q} ) − \frac{b}{a(ax + b)}\}

— * —

)clear all
--S 16 of 28
aa:=integrate(x/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R       2                             2                                    2
--R   (- a q x - a b q)log(p x + q) + (a q x + a b q)log(a x + b) + a b q - b p
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R              4 2     3         2 2 2      3   2     2 2         3 2
--R            (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + a b p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 28
bb:=1/(b*p-a*q)*(q/(b*p-a*q)*log((a*x+b)/(p*x+q))-b/(a*(a*x+b)))
--R
--R
--R                  2                a x + b             2
--R                (a q x + a b q)log(-------) + a b q - b p
--R                                   p x + q
--R   (2)  --------------------------------------------------------
--R          4 2     3         2 2 2      3   2     2 2         3 2
--R        (a q  - 2a b p q + a b p )x + a b q  - 2a b p q + a b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 28
cc:=aa-bb
--R
--R
--R                                                  a x + b
--R        - q log(p x + q) + q log(a x + b) - q log(-------)
--R                                                  p x + q
--R   (3)  --------------------------------------------------
--R                       2 2               2 2
--R                      a q  - 2a b p q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 19 of 28
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 20 of 28     14:108 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.109 ∫ \frac{x^{2} dx}{(ax + b)^{2}(px + q)}

∫ \frac{x^{2}}{(ax + b)^{2}(px + q)} =

\frac{b^{2}}{(bp − aq)a^{2}(ax + b)} + \frac{1}{(bp − aq)^{2}} \{\frac{q^{2}}{p} ln(px + q) + \frac{b(bp − 2aq)}{a^{2}} ln(ax + b)\}

— * —

)clear all
--S 21 of 28
aa:=integrate(x^2/((a*x+b)^2*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R         3 2     2   2
--R       (a q x + a b q )log(p x + q)
--R     +
--R             2           2 2         2       3 2                   2       3 2
--R       ((- 2a b p q + a b p )x - 2a b p q + b p )log(a x + b) - a b p q + b p
--R  /
--R       5   2     4   2     3 2 3      4     2     3 2 2     2 3 3
--R     (a p q  - 2a b p q + a b p )x + a b p q  - 2a b p q + a b p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 22 of 28
bb:=b^2/((b*p-a*q)*a^2*(a*x+b))+_

     1/(b*p-a*q)^2*(q^2/p*log(p*x+q)+((b*(b*p-2*a*q))/a^2)*log(a*x+b))
--R
--R
--R   (2)
--R         3 2     2   2
--R       (a q x + a b q )log(p x + q)
--R     +
--R             2           2 2         2       3 2                   2       3 2
--R       ((- 2a b p q + a b p )x - 2a b p q + b p )log(a x + b) - a b p q + b p
--R  /
--R       5   2     4   2     3 2 3      4     2     3 2 2     2 3 3
--R     (a p q  - 2a b p q + a b p )x + a b p q  - 2a b p q + a b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 28     14:109 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.110 ∫ \frac{dx}{(ax + b)^{m}(px + q)^{n}}

∫ \frac{1}{(ax + b)^{m}(px + q)^{n}} =

\frac{−1}{(n − 1)(bp − aq)} \{\frac{1}{(ax + b)^{m−1}(px + q)^{n−1}} + a(m + n − 2) ∫ \frac{1}{(ax + b)^{m}(px + q)^{n−1}} \}

— * —

)clear all
--S 24 of 28     14:110 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/((a*x+b)^m*(p*x+q)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++             1
--I   (1)   |   ---------------------- d%L
--R        ++             m          n
--I             (b + %L a) (q + %L p)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.111 ∫ \frac{ax + b}{px + q} dx

∫ \frac{ax + b}{px + q} = \frac{ax}{p} + \frac{bp − aq}{p^{2}} ln(px + q)

— * —

)clear all
--S 25 of 28
aa:=integrate((a*x+b)/(p*x+q),x)
--R
--R
--R        (- a q + b p)log(p x + q) + a p x
--R   (1)  ---------------------------------
--R                         2
--R                        p
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 26 of 28
bb:=(a*x)/p+(b*p-a*q)/p^2*log(p*x+q)
--R
--R
--R        (- a q + b p)log(p x + q) + a p x
--R   (2)  ---------------------------------
--R                         2
--R                        p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 28     14:111 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.112 ∫ \frac{(ax + b)^{m}}{(px + q)^{n}} dx

∫ \frac{(ax + b)^{m}}{(px + q)^{n}} = \{ \begin{matrix}\frac{−1}{(n−1)(bp−aq)} & \{\frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n−1}} + (n − m − 2)a ∫ \frac{(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n−1}} \} \\ \frac{−1}{(n−m−1)p} + \{\frac{(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n−1}} + m(bp − aq) ∫ \frac{(ax+b)^{m−1}}{(px+q)^{n}} \} \\ \frac{−1}{(n−1)p} & \{\frac{(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n−1}} − ma ∫ \frac{(ax+b)^{m−1}}{(px+q)^{n−1}} \} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 28 of 28     14:112 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate((a*x+b)^m/(p*x+q)^n,x)
--R
--R
--R           x           m
--I         ++  (b + %L a)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++             n
--I             (q + %L p)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
\begin{chunk}{*}
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp62-63