$SPAD/input schaum32.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.626 ∫ sech ax dx

∫ sech ax = \frac{2}{a} tanh^{−1} e^{ax}

— * —

)set break resume
)spool schaum32.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 52
aa:=integrate(sech(a*x),x)
--R
--R
--R        2atan(sinh(a x) + cosh(a x))
--R   (1)  ----------------------------
--R                      a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 52
bb:=2/a*atan(%e^(a*x))
--R
--R                a x
--R        2atan(%e   )
--R   (2)  ------------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R                                               a x
--R        2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - 2atan(%e   )
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 52
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                            - x + %i
--R                     %i log(--------)
--R                             x + %i

--R   (4)  atan(x) == - ----------------
--R                             2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 5 of 52
dd:=atanrule cc
--R
--R                   a x
--R               - %e    + %i           - sinh(a x) - cosh(a x) + %i
--R        %i log(------------) - %i log(----------------------------)
--R                  a x                  sinh(a x) + cosh(a x) + %i
--R                %e    + %i
--R   (5)  -----------------------------------------------------------
--R                                     a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 6 of 52
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       %i log(sinh(a x) + cosh(a x) + %i) - %i log(sinh(a x) + cosh(a x) - %i)
--R     +
--R                  a x                  a x
--R       - %i log(%e    + %i) + %i log(%e    - %i)
--R  /
--R     a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 7 of 52      14:626 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

2 [?]:14.627 ∫ sech^{2} ax dx

∫ sech^{2} ax = \frac{tanh ax}{a}

— * —

)clear all

--S 8 of 52
aa:=integrate(sech(a*x)^2,x)
--R
--R
--R                                     2
--R   (1)  - -------------------------------------------------------
--R                     2                                      2
--R          a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 52
bb:=tanh(a*x)/a
--R
--R        tanh(a x)
--R   (2)  ---------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R                    2                                  2
--R        (- sinh(a x)  - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  - 1)tanh(a x) - 2
--R   (3)  ------------------------------------------------------------------
--R                         2                                      2
--R              a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 52
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (4)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 12 of 52
dd:=sinhsqrrule cc
--R
--R                                                        2
--R        (- 4cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 2cosh(a x)  - 1)tanh(a x) - 4
--R   (5)  -------------------------------------------------------------------
--R                                                                 2
--R              4a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + 2a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 13 of 52
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (6)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 14 of 52
ee:=coshsqrrule dd
--R
--R        (- 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 1)tanh(a x) - 2
--R   (7)  -----------------------------------------------------
--R               2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 52
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                             %L sinh(y + x) - %L sinh(y - x)
--I   (8)  %L cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                            2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 16 of 52
ff:=sinhcoshrule ee
--R
--R        (- sinh(2a x) - cosh(2a x) - 1)tanh(a x) - 2
--R   (9)  --------------------------------------------
--R               a sinh(2a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 52     14:627 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=complexNormalize ff
--R
--R           1
--R   (10)  - -
--R           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.628 ∫ sech^{3} ax dx

∫ sech^{3} ax = \frac{sech ax tanh ax}{2a} + \frac{1}{2a} tan^{−1} sech ax

— * —

)clear all
--S 18 of 52
aa:=integrate(sech(a*x)^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                    4                      3              2              2
--R           sinh(a x)  + 4cosh(a x)sinh(a x)  + (6cosh(a x)  + 2)sinh(a x)
--R         +
--R                      3                                   4             2
--R           (4cosh(a x)  + 4cosh(a x))sinh(a x) + cosh(a x)  + 2cosh(a x)  + 1
--R      *
--R         atan(sinh(a x) + cosh(a x))
--R     +
--R                3                      2              2
--R       sinh(a x)  + 3cosh(a x)sinh(a x)  + (3cosh(a x)  - 1)sinh(a x)
--R     +
--R                3
--R       cosh(a x)  - cosh(a x)
--R  /
--R                  4                        3                2               2
--R       a sinh(a x)  + 4a cosh(a x)sinh(a x)  + (6a cosh(a x)  + 2a)sinh(a x)
--R     +
--R                  3                                       4               2
--R     (4a cosh(a x)  + 4a cosh(a x))sinh(a x) + a cosh(a x)  + 2a cosh(a x)  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 19 of 52
bb:=(sech(a*x)*tanh(a*x))/(2*a)+1/(2*a)*atan(sinh(a*x))
--R
--R        atan(sinh(a x)) + sech(a x)tanh(a x)
--R   (2)  ------------------------------------
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 52     14:628 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)

--R                     4                      3               2              2
--R           2sinh(a x)  + 8cosh(a x)sinh(a x)  + (12cosh(a x)  + 4)sinh(a x)
--R         +
--R                      3                                    4             2
--R           (8cosh(a x)  + 8cosh(a x))sinh(a x) + 2cosh(a x)  + 4cosh(a x)  + 2
--R      *
--R         atan(sinh(a x) + cosh(a x))
--R     +
--R                      4                      3                2              2
--R           - sinh(a x)  - 4cosh(a x)sinh(a x)  + (- 6cosh(a x)  - 2)sinh(a x)
--R         +
--R                        3                                   4             2
--R           (- 4cosh(a x)  - 4cosh(a x))sinh(a x) - cosh(a x)  - 2cosh(a x)  - 1
--R      *
--R         atan(sinh(a x))
--R     +
--R                               4                               3
--R           - sech(a x)sinh(a x)  - 4cosh(a x)sech(a x)sinh(a x)
--R         +
--R                        2                       2
--R           (- 6cosh(a x)  - 2)sech(a x)sinh(a x)
--R         +
--R                        3
--R           (- 4cosh(a x)  - 4cosh(a x))sech(a x)sinh(a x)
--R         +
--R                       4             2
--R           (- cosh(a x)  - 2cosh(a x)  - 1)sech(a x)
--R      *
--R         tanh(a x)
--R     +
--R                 3                      2              2
--R       2sinh(a x)  + 6cosh(a x)sinh(a x)  + (6cosh(a x)  - 2)sinh(a x)
--R     +
--R                 3
--R       2cosh(a x)  - 2cosh(a x)
--R  /
--R                   4                        3                 2               2
--R       2a sinh(a x)  + 8a cosh(a x)sinh(a x)  + (12a cosh(a x)  + 4a)sinh(a x)
--R     +
--R                    3                                        4               2
--R       (8a cosh(a x)  + 8a cosh(a x))sinh(a x) + 2a cosh(a x)  + 4a cosh(a x)
--R     +
--R       2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.629 ∫ sech^{n} ax tanh ax dx

∫ sech ^{n}ax tanh ax = −\frac{sech ^{n}ax}{na}

— * —

)clear all
--S 21 of 52
aa:=integrate(sech(a*x)^n*tanh(a*x),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - sinh(n log(-------------------------------------------------))
--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R     +
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - cosh(n log(-------------------------------------------------))
--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R  /
--R     a n
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 22 of 52
bb:=-sech(a*x)^n/(n*a)
--R
--R                   n
--R          sech(a x)
--R   (2)  - ----------
--R              a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - sinh(n log(-------------------------------------------------))
--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R     +
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - cosh(n log(-------------------------------------------------))

--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R     +
--R                n
--R       sech(a x)
--R  /
--R     a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 52
sechrule:=rule(sech(x) == 1/cosh(x))
--R
--R                      1
--R   (4)  sech(x) == -------
--R                   cosh(x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 25 of 52
dd:=sechrule cc
--R
--R   (5)
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - sinh(n log(-------------------------------------------------))
--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R     +
--R                                 2sinh(a x) + 2cosh(a x)
--R       - cosh(n log(-------------------------------------------------))
--R                             2                                  2
--R                    sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1
--R     +
--R            1     n
--R       (---------)
--R        cosh(a x)
--R  /
--R     a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 52
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R       sinh
--R                           2                                  2
--R            n log(sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1)
--R          +
--R            - n log(sinh(a x) + cosh(a x)) - n log(2)

--R     +
--R       -
--R          cosh
--R                              2                                  2
--R               n log(sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1)
--R             +
--R               - n log(sinh(a x) + cosh(a x)) - n log(2)
--R     +
--R            1     n
--R       (---------)
--R        cosh(a x)
--R  /
--R     a n
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 52     14:629 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.630 ∫ \frac{dx}{sech ax} dx

∫ \frac{1}{sech ax} = \frac{sech ax}{a}

— * —

)clear all
--S 28 of 52
aa:=integrate(1/sech(a*x),x)
--R
--R
--R        sinh(a x)
--R   (1)  ---------
--R            a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 29 of 52
bb:=sinh(a*x)/a
--R
--R        sinh(a x)

--R   (2)  ---------
--R            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 52     14:630 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.631 ∫ x sech ax dx

∫ x sech ax = \frac{1}{a^{2}} \{\frac{(ax)^{2}}{2} − \frac{(ax)^{4}}{8} + \frac{5(ax)^{6}}{144} + ⋯ \frac{(−1)^{n}E_{n}(ax)^{2n+2}}{(2n + 2)(2n)!} + ⋯\}

— * —

)clear all
--S 31 of 52     14:631 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*sech(a*x),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %O sech(%O a)d%O
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.632 ∫ x sech^{2} ax dx

∫ x sech^{2} ax = \frac{x tanh ax}{a} − \frac{1}{a^{2}} ln cosh ax

— * —

)clear all
--S 32 of 52
aa:=integrate(x*sech(a*x)^2,x)

--R
--R
--R   (1)
--R                     2                                  2
--R         (- sinh(a x)  - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  - 1)
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     +
--R                     2                                           2
--R       2a x sinh(a x)  + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + 2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2         2     2                      2         2    2
--R     a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 33 of 52
bb:=(x*tanh(a*x))/a-1/a^2*log(cosh(a*x))
--R
--R        - log(cosh(a x)) + a x tanh(a x)
--R   (2)  --------------------------------
--R                        2
--R                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 52
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 2                                  2
--R       (sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1)log(cosh(a x))
--R     +
--R                     2                                  2
--R         (- sinh(a x)  - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  - 1)
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     +
--R                         2                                          2
--R         (- a x sinh(a x)  - 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(a x)  - a x)
--R      *
--R         tanh(a x)
--R     +
--R                     2                                           2
--R       2a x sinh(a x)  + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + 2a x cosh(a x)
--R  /

--R      2         2     2                      2         2    2
--R     a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 52
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R                   2                                  2
--R         (sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1)
--R      *
--R         log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     +
--R                         2                                          2
--R         (- a x sinh(a x)  - 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(a x)  - a x)
--R      *
--R         tanh(a x)
--R     +
--R                                   2
--R       (- log(- 2) + 2a x)sinh(a x)  + (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x)sinh(a x)
--R     +
--R                                   2
--R       (- log(- 2) + 2a x)cosh(a x)  - log(- 2)
--R  /
--R      2         2     2                      2         2    2
--R     a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 52
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (5)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 37 of 52
ee:=sinhsqrrule dd
--R
--R   (6)
--R                                                       2
--R         (4cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 2cosh(a x)  + 1)
--R      *
--R         log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     +
--R                                                                     2
--R         (- 4a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(2a x) - 2a x cosh(a x)  - a x)

--R      *
--R         tanh(a x)
--R     +
--R       (- 4log(- 2) + 8a x)cosh(a x)sinh(a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x)
--R     +
--R                                    2
--R       (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x)  - log(- 2) - 2a x
--R  /
--R       2                      2               2         2    2
--R     4a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + 2a cosh(a x)  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 52
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (7)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 39 of 52
ff:=coshsqrrule ee
--R
--R   (8)
--R       (2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 1)log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     +
--R       (- 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(2a x) - a x)tanh(a x)
--R     +
--R       (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x)sinh(a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x)
--R     +
--R       - log(- 2)
--R  /
--R       2                      2              2
--R     2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 52
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                             %P sinh(y + x) - %P sinh(y - x)
--I   (9)  %P cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                            2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 41 of 52
gg:=sinhcoshrule ff

--R
--R   (10)
--R       (sinh(2a x) + cosh(2a x) + 1)log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     +
--R       (- a x sinh(2a x) - a x cosh(2a x) - a x)tanh(a x)
--R     +
--R       (- log(- 2) + 2a x)sinh(2a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x) - log(- 2)
--R  /
--R      2              2              2
--R     a sinh(2a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 52     14:632 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R         log(- 1) - log(- 2)
--R   (11)  -------------------
--R                   2
--R                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.633 ∫ \frac{sech ax}{x} dx

∫ \frac{sech ax}{x} = ln x − \frac{(ax)^{2}}{4} + \frac{5(ax)^{4}}{96} − \frac{61(ax)^{6}}{4320} + ⋯ \frac{(−1)^{n}E_{n}(ax)^{2n}}{2n(2n)!} + ⋯

— * —

)clear all
--S 43 of 52     14:633 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sech(a*x)/x,x)
--R
--R
--R           x
--I         ++  sech(%O a)
--I   (1)   |   ---------- d%O
--I        ++       %O
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

9 [?]:14.634 ∫ \frac{dx}{q + p sech ax} dx

∫ \frac{1}{q + p sech ax} = \frac{x}{q} − \frac{p}{q} ∫ \frac{dx}{p + q cosh ax}

— * —

)clear all
--S 44 of 52
aa:=integrate(1/(q+p*sech(a*x)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R           p
--R        *
--R           log
--R                       2         2      2
--R                      q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x)
--R                    +
--R                       2         2                     2     2
--R                      q cosh(a x)  + 2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R                 *
--R                     +---------+
--R                     |   2    2
--R                    \|- q  + p
--R                +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R             /
--R                             2                                             2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                  2p cosh(a x) + q
--R       +
--R             +---------+
--R             |   2    2
--R         a x\|- q  + p
--R    /
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R       a q\|- q  + p
--R     ,
--R                                              +-------+
--R                                              | 2    2         +-------+
--R              (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p          | 2    2
--R    - 2p atan(-----------------------------------------) + a x\|q  - p

--R                                2    2
--R                               q  - p
--R    --------------------------------------------------------------------]
--R                                    +-------+
--R                                    | 2    2
--R                                a q\|q  - p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 45 of 52
t1:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x)
--R
--R   (2)
--R   [
--R       log
--R                   2         2      2                              2         2
--R                  q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                +
--R                                    2     2
--R                  2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R             *
--R                 +---------+
--R                 |   2    2
--R                \|- q  + p
--R            +
--R                 3     2                 3     2                  2     3
--R              (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R         /
--R                         2                                             2
--R              q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R            +
--R              2p cosh(a x) + q
--R    /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R       a\|- q  + p
--R     ,
--R                                          +-------+
--R                                          | 2    2
--R          (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R    2atan(-----------------------------------------)
--R                            2    2
--R                           q  - p
--R    ------------------------------------------------]
--R                         +-------+
--R                         | 2    2
--R                       a\|q  - p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

--S 46 of 52
bb1:=x/q-p/q*t1.1
--R
--R   (3)
--R       -
--R            p
--R         *
--R            log
--R                        2         2      2
--R                       q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x)
--R                     +
--R                        2         2                     2     2
--R                       q cosh(a x)  + 2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R                  *
--R                      +---------+
--R                      |   2    2
--R                     \|- q  + p
--R                 +
--R                      3     2                 3     2                  2     3
--R                   (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R              /
--R                              2                                             2
--R                   q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                 +
--R                   2p cosh(a x) + q
--R     +
--R           +---------+
--R           |   2    2
--R       a x\|- q  + p
--R  /
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R     a q\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 52
bb2:=x/q-p/q*t1.2
--R
--R                                                  +-------+
--R                                                  | 2    2         +-------+
--R                  (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p          | 2    2
--R        - 2p atan(-----------------------------------------) + a x\|q  - p
--R                                    2    2
--R                                   q  - p
--R   (4)  --------------------------------------------------------------------
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                    a q\|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 48 of 52
cc1:=aa.1-bb1
--R
--R   (5)
--R         p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R         p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R  /
--R         +---------+
--R         |   2    2

--R     a q\|- q  + p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 49 of 52
cc2:=aa.2-bb1
--R
--R   (6)
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R         p\|q  - p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                   3     2                 3     2                  2     3
--R                (2q  - 2p q)sinh(a x) + (2q  - 2p q)cosh(a x) + 2p q  - 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                                                            +-------+
--R            +---------+                                     | 2    2
--R            |   2    2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R       - 2p\|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                              2    2
--R                                             q  - p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 52
cc3:=aa.1-bb2
--R
--R   (7)
--R           +-------+
--R           | 2    2

--R         p\|q  - p
--R      *
--R         log
--R                     2         2      2                              2         2
--R                    q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R                  +
--R                                      2     2
--R                    2p q cosh(a x) - q  + 2p
--R               *
--R                   +---------+
--R                   |   2    2
--R                  \|- q  + p
--R              +
--R                     3     2                   3     2                  2     3
--R                (- 2q  + 2p q)sinh(a x) + (- 2q  + 2p q)cosh(a x) - 2p q  + 2p
--R           /
--R                           2                                             2
--R                q sinh(a x)  + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x)
--R              +
--R                2p cosh(a x) + q
--R     +
--R                                                          +-------+
--R          +---------+                                     | 2    2
--R          |   2    2      (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q  - p
--R       2p\|- q  + p  atan(-----------------------------------------)
--R                                            2    2
--R                                           q  - p
--R  /
--R         +---------+ +-------+
--R         |   2    2  | 2    2
--R     a q\|- q  + p  \|q  - p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 52     14:634 Schaums and Axiom agree
cc4:=aa.2-bb2
--R
--R   (8)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.635 ∫ sech^{n} ax dx

∫ sech^{n} ax = \frac{sech^{n−2} ax tanh ax}{a(n − 1)} + \frac{n − 2}{n − 1} ∫ sech^{n−2} ax

— * —

)clear all
--S 52 of 52     14:635 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sech(a*x)^n,x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            n
--I   (1)   |   sech(%O a) d%O
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p91