$SPAD/input schaum34.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.646 ∫ sinh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ sinh^{−1} \frac{x}{a} = x sinh^{−1} \frac{x}{a} − \sqrt{x^{2} + a^{2}}

— * —

)set break resume
)spool schaum34.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 156
aa:=integrate(asinh(x/a),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R           +-------+           | 2    2           +-------+
--R           | 2    2     2     \|x  + a   + x      | 2    2     2    2
--R        (x\|x  + a   - x )log(--------------) + x\|x  + a   - x  - a
--R                                     a
--R   (1)  -------------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                                 | 2    2
--R                                \|x  + a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 156
bb:=x*asinh(x/a)-sqrt(x^2+a^2)
--R
--R           +-------+
--R           | 2    2            x
--R   (2)  - \|x  + a   + x asinh(-)
--R                               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  + a   + x            x
--R   (3)  x log(--------------) - x asinh(-)
--R                     a                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 4 of 156
asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (4)  asinh(x) == log(\|x  + 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 5 of 156
dd:=asinhlogrule cc
--R
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                        |x  + a
--R               +-------+              a |-------  + x
--R               | 2    2                 |    2
--R              \|x  + a   + x           \|   a
--R   (5)  x log(--------------) - x log(---------------)
--R                     a                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 156
ee:=expandLog dd
--R
--R                                        +-------+
--R               +-------+                | 2    2
--R               | 2    2                 |x  + a
--R   (6)  x log(\|x  + a   + x) - x log(a |-------  + x)
--R                                        |    2
--R                                       \|   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 156      14:646 Schaums and Axiom agree
ff:=rootSimp ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.647 ∫ x sinh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x sinh^{−1} \frac{x}{a} = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4} ) sinh^{−1} \frac{x}{a} − \frac{x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{4}

— * —

)clear all
--S 8 of 156
aa:=integrate(x*asinh(x/a),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                       +-------+
--R                     +-------+                         | 2    2
--R           3     2   | 2    2      4     2 2    4     \|x  + a   + x
--R       ((4x  + 2a x)\|x  + a   - 4x  - 4a x  - a )log(--------------)
--R                                                             a
--R     +
--R                   +-------+
--R          3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (2x  + a x)\|x  + a   - 2x  - 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     8x\|x  + a   - 8x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 156
bb:=(x^2/2+a^2/4)*asinh(x/a)-(x*sqrt(x^2+a^2))/4
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2       2    2       x
--R        - x\|x  + a   + (2x  + a )asinh(-)
--R                                        a
--R   (2)  ----------------------------------
--R                         4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R                       +-------+
--R                       | 2    2
--R           2    2     \|x  + a   + x         2    2       x
--R        (2x  + a )log(--------------) + (- 2x  - a )asinh(-)

--R                             a                            a
--R   (3)  ----------------------------------------------------
--R                                  4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 156
asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (4)  asinh(x) == log(\|x  + 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 12 of 156
dd:=asinhlogrule cc
--R
--R                                                          +-------+
--R                                                          | 2    2
--R                                                          |x  + a
--R                       +-------+                        a |-------  + x
--R                       | 2    2                           |    2
--R           2    2     \|x  + a   + x         2    2      \|   a
--R        (2x  + a )log(--------------) + (- 2x  - a )log(---------------)
--R                             a                                 a
--R   (5)  ----------------------------------------------------------------
--R                                        4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 13 of 156
ee:=expandLog dd
--R
--R                                                          +-------+
--R                       +-------+                          | 2    2
--R           2    2      | 2    2              2    2       |x  + a
--R        (2x  + a )log(\|x  + a   + x) + (- 2x  - a )log(a |-------  + x)
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   a
--R   (6)  ----------------------------------------------------------------
--R                                        4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 14 of 156     14:647 Schaums and Axiom agree
ff:=rootSimp ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

3 [?]:14.648 ∫ x^{2} sinh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{2} sinh^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{3}}{3} sinh^{−1} \frac{x}{a} + \frac{(2a^{2} − x^{2})\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{9}

— * —

)clear all
--S 15 of 156
aa:=integrate(x^2*asinh(x/a),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                     +-------+
--R                       +-------+                     | 2    2
--R            5     2 3  | 2    2       6     2 4     \|x  + a   + x
--R       ((12x  + 3a x )\|x  + a   - 12x  - 9a x )log(--------------)
--R                                                           a
--R     +
--R                            +-------+
--R          5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R       (4x  - 5a x  - 6a x)\|x  + a   - 4x  + 3a x  + 9a x  + 2a
--R  /
--R                  +-------+
--R         2     2  | 2    2       3      2
--R     (36x  + 9a )\|x  + a   - 36x  - 27a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 16 of 156
bb:=x^3/3*asinh(x/a)+((2*a^2-x^2)*sqrt(x^2+a^2))/9
--R
--R                     +-------+
--R            2     2  | 2    2      3      x
--R        (- x  + 2a )\|x  + a   + 3x asinh(-)
--R                                          a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                          9
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 156
cc:=aa-bb

--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R         3    \|x  + a   + x     3      x
--R        x log(--------------) - x asinh(-)
--R                     a                  a
--R   (3)  ----------------------------------
--R                         3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 156
asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (4)  asinh(x) == log(\|x  + 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 19 of 156
dd:=asinhlogrule cc
--R
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                        |x  + a
--R               +-------+              a |-------  + x
--R               | 2    2                 |    2
--R         3    \|x  + a   + x     3     \|   a
--R        x log(--------------) - x log(---------------)
--R                     a                       a
--R   (5)  ----------------------------------------------
--R                               3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 156
ee:=expandLog dd
--R
--R                                        +-------+
--R               +-------+                | 2    2
--R         3     | 2    2          3      |x  + a
--R        x log(\|x  + a   + x) - x log(a |-------  + x)
--R                                        |    2
--R                                       \|   a
--R   (6)  ----------------------------------------------
--R                               3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 21 of 156     14:648 Schaums and Axiom agree
ff:=rootSimp ee
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.649 ∫ \frac{sinh^{−1}(x/a)}{x} dx

∫ \frac{sinh^{−1}(x/a)}{x} = \{ \begin{matrix}\frac{x}{a} − \frac{(x/a)^{3}}{2 · 3 · 3} + \frac{1 · 3(x/a)^{5}}{2 · 4 · 5 · 5} − \frac{1 · 3 · 5(x/a)^{7}}{2 · 4 · 6 · 7 · 7} + ⋯ & |x| < a \\ \frac{ln^{2}(2x/a)}{2} − \frac{(a/x)^{2}}{2 · 2 · 2} + \frac{1 · 3(a/x)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} − \frac{1 · 3 · 5(a/x)^{6}}{2 · 4 · 6 · 6 · 6} + ⋯ & x > a \\ −\frac{ln^{2}(−2x/a)}{2} + \frac{(a/x)^{2}}{2 · 2 · 2} − \frac{1 · 3(a/x)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} + \frac{1 · 3 · 5(a/x)^{6}}{2 · 4 · 6 · 6 · 6} − ⋯ & x < −a \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 22 of 156     14:649 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(asinh(x/a)/x,x)
--R
--R
--I                   %P
--R           x asinh(--)
--R         ++         a
--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.650 ∫ \frac{sinh^{−1}(x/a)}{x^{2}} dx

∫ \frac{sinh^{−1}(x/a)}{x^{2}} = −\frac{sinh^{−1}(x/a)}{x} − \frac{1}{a} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 23 of 156
aa:=integrate(asinh(x/a)/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                +-------+                   +-------+
--R                | 2    2                    | 2    2
--R       - x log(\|x  + a   - x + a) + x log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                +-------+
--R                | 2    2
--R               \|x  + a   + x
--R       - a log(--------------)
--R                      a
--R  /
--R     a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 24 of 156
bb:=-asinh(x/a)/x-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|x  + a   + a            x
--R        - x log(--------------) - a asinh(-)
--R                       x                  a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                         a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                +-------+                   +-------+
--R                | 2    2                    | 2    2
--R       - x log(\|x  + a   - x + a) + x log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                +-------+               +-------+
--R                | 2    2                | 2    2
--R               \|x  + a   + x          \|x  + a   + a            x
--R       - a log(--------------) + x log(--------------) + a asinh(-)
--R                      a                       x                  a
--R  /
--R     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 26 of 156
asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (4)  asinh(x) == log(\|x  + 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 27 of 156
dd:=asinhlogrule cc
--R
--R   (5)
--R                +-------+                   +-------+
--R                | 2    2                    | 2    2
--R       - x log(\|x  + a   - x + a) + x log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                                                                 +-------+
--R                                                                 | 2    2
--R                                                                 |x  + a
--R                +-------+               +-------+              a |-------  + x
--R                | 2    2                | 2    2                 |    2
--R               \|x  + a   + x          \|x  + a   + a           \|   a
--R       - a log(--------------) + x log(--------------) + a log(---------------)
--R                      a                       x                       a
--R  /
--R     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 156
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)
--R                +-------+               +-------+
--R                | 2    2                | 2    2
--R       - a log(\|x  + a   + x) + x log(\|x  + a   + a)
--R     +
--R                +-------+                   +-------+
--R                | 2    2                    | 2    2
--R       - x log(\|x  + a   - x + a) + x log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R               |x  + a
--R       a log(a |-------  + x) - x log(x)
--R               |    2
--R              \|   a

--R  /
--R     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 29 of 156
ff:=rootSimp ee
--R
--R   (7)
--R            +-------+             +-------+                 +-------+
--R            | 2    2              | 2    2                  | 2    2
--R       log(\|x  + a   + a) - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R       - log(x)
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 156     14:650 Schaums and Axiom differ by a constant
gg:=complexNormalize ff
--R
--R          log(- 1)
--R   (8)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.651 ∫ cosh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ cosh^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}x cosh^{−1}(x/a) − \sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1} \frac{x}{a} > 0 \\ x cosh^{−1}(x/a) + \sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1} \frac{x}{a} < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 31 of 156
aa:=integrate(acosh(x/a),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R           +-------+           | 2    2           +-------+
--R           | 2    2     2     \|x  - a   + x      | 2    2     2    2

--R        (x\|x  - a   - x )log(--------------) + x\|x  - a   - x  + a
--R                                     a
--R   (1)  -------------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                                 | 2    2
--R                                \|x  - a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 32 of 156
bb1:=x*acosh(x/a)-sqrt(x^2-a^2)
--R
--R           +-------+
--R           | 2    2            x
--R   (2)  - \|x  - a   + x acosh(-)
--R                               a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 156
bb2:=x*acosh(x/a)+sqrt(x^2-a^2)
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2            x
--R   (3)  \|x  - a   + x acosh(-)
--R                             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  - a   + x            x
--R   (4)  x log(--------------) - x acosh(-)
--R                     a                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 156
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                              +-------+
--R          +-------+           | 2    2                             +-------+
--R          | 2    2     2     \|x  - a   + x               x        | 2    2
--R       (x\|x  - a   - x )log(--------------) + (- x acosh(-) + 2x)\|x  - a
--R                                    a                     a
--R     +

--R        2      x      2     2
--R       x acosh(-) - 2x  + 2a
--R               a
--R  /
--R      +-------+
--R      | 2    2
--R     \|x  - a   - x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 156
acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (6)  acosh(x) == log(\|x  - 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 37 of 156
dd1:=acoshlogrule cc1
--R
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                        |x  - a
--R               +-------+              a |-------  + x
--R               | 2    2                 |    2
--R              \|x  - a   + x           \|   a
--R   (7)  x log(--------------) - x log(---------------)
--R                     a                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 156
ee1:=expandLog dd1
--R
--R                                        +-------+
--R               +-------+                | 2    2
--R               | 2    2                 |x  - a
--R   (8)  x log(\|x  - a   + x) - x log(a |-------  + x)
--R                                        |    2
--R                                       \|   a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 156     14:651 Schaums and Axiom agree
ff1:=rootSimp ee1
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E

———-

7 [?]:14.652 ∫ x cosh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x cosh^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{4}(2x^{2} − a^{2}) cosh^{−1}(x/a) − \frac{1}{4}x\sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{1}{4}(2x^{2} − a^{2}) cosh^{−1}(x/a) + \frac{1}{4}x\sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 40 of 156
aa:=integrate(x*acosh(x/a),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                       +-------+
--R                     +-------+                         | 2    2
--R           3     2   | 2    2      4     2 2    4     \|x  - a   + x
--R       ((4x  - 2a x)\|x  - a   - 4x  + 4a x  - a )log(--------------)
--R                                                             a
--R     +
--R                   +-------+
--R          3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (2x  - a x)\|x  - a   - 2x  + 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     8x\|x  - a   - 8x  + 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 41 of 156
bb1:=1/4*(2*x^2-a^2)*acosh(x/a)-1/4*x*sqrt(x^2-a^2)
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2       2    2       x
--R        - x\|x  - a   + (2x  - a )acosh(-)
--R                                        a
--R   (2)  ----------------------------------
--R                         4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 42 of 156
bb2:=1/4*(2*x^2-a^2)*acosh(x/a)+1/4*x*sqrt(x^2-a^2)
--R
--R          +-------+
--R          | 2    2       2    2       x
--R        x\|x  - a   + (2x  - a )acosh(-)
--R                                      a
--R   (3)  --------------------------------
--R                        4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R                       +-------+
--R                       | 2    2
--R           2    2     \|x  - a   + x         2    2       x
--R        (2x  - a )log(--------------) + (- 2x  + a )acosh(-)
--R                             a                            a
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                                  4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 156
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                                                       +-------+
--R                     +-------+                         | 2    2
--R           3     2   | 2    2      4     2 2    4     \|x  - a   + x
--R       ((4x  - 2a x)\|x  - a   - 4x  + 4a x  - a )log(--------------)
--R                                                             a
--R     +
--R                                             +-------+
--R             3     2        x      3     2   | 2    2
--R       ((- 4x  + 2a x)acosh(-) + 4x  - 2a x)\|x  - a
--R                            a
--R     +
--R          4     2 2    4       x      4     2 2
--R       (4x  - 4a x  + a )acosh(-) - 4x  + 4a x
--R                               a
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     8x\|x  - a   - 8x  + 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 45 of 156
acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1)))
--R
--R                         +------+
--R                         | 2
--R   (6)  acosh(x) == log(\|x  - 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 46 of 156
dd1:=acoshlogrule cc1
--R
--R                                                          +-------+
--R                                                          | 2    2
--R                                                          |x  - a
--R                       +-------+                        a |-------  + x
--R                       | 2    2                           |    2
--R           2    2     \|x  - a   + x         2    2      \|   a
--R        (2x  - a )log(--------------) + (- 2x  + a )log(---------------)
--R                             a                                 a
--R   (7)  ----------------------------------------------------------------
--R                                        4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 156
ee1:=expandLog dd1
--R
--R                                                          +-------+
--R                       +-------+                          | 2    2
--R           2    2      | 2    2              2    2       |x  - a
--R        (2x  - a )log(\|x  - a   + x) + (- 2x  + a )log(a |-------  + x)
--R                                                          |    2
--R                                                         \|   a
--R   (8)  ----------------------------------------------------------------
--R                                        4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 156     14:652 Schaums and Axiom agree
ff1:=rootSimp ee1
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.653 ∫ x^{2} cosh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{2} cosh^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{3}x^{3} cosh^{−1}(x/a) − \frac{1}{9}(x^{2} + 2a^{2})\sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{1}{3}x^{3} cosh^{−1}(x/a) + \frac{1}{9}(x^{2} + 2a^{2})\sqrt{x^{2} − a^{2}}, cosh^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 49 of 156
aa:=integrate(x^2*acosh(x/a),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                     +-------+
--R                       +-------+                     | 2    2
--R            5     2 3  | 2    2       6     2 4     \|x  - a   + x
--R       ((12x  - 3a x )\|x  - a   - 12x  + 9a x )log(--------------)
--R                                                           a
--R     +
--R                            +-------+
--R          5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R       (4x  + 5a x  - 6a x)\|x  - a   - 4x  - 3a x  + 9a x  - 2a
--R  /
--R                  +-------+
--R         2     2  | 2    2       3      2
--R     (36x  - 9a )\|x  - a   - 36x  + 27a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 50 of 156
bb1:=1/3*x^3*acosh(x/a)-1/9*(x^2+2*a^2)*sqrt(x^2-a^2)
--R
--R                     +-------+
--R            2     2  | 2    2      3      x
--R        (- x  - 2a )\|x  - a   + 3x acosh(-)
--R                                          a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                          9
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 156
bb2:=1/3*x^3*acosh(x/a)+1/9*(x^2+2*a^2)*sqrt(x^2-a^2)
--R
--R                   +-------+

--R          2     2  | 2    2      3      x
--R        (x  + 2a )\|x  - a   + 3x acosh(-)
--R                                        a
--R   (3)  ----------------------------------
--R                         9
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 52 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R         3    \|x  - a   + x     3      x
--R        x log(--------------) - x acosh(-)
--R                     a                  a
--R   (4)  ----------------------------------
--R                         3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 53 of 156
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                                                     +-------+
--R                       +-------+                     | 2    2
--R            5     2 3  | 2    2       6     2 4     \|x  - a   + x
--R       ((12x  - 3a x )\|x  - a   - 12x  + 9a x )log(--------------)
--R                                                           a
--R     +
--R                                                         +-------+
--R              5     2 3       x      5      2 3      4   | 2    2
--R       ((- 12x  + 3a x )acosh(-) + 8x  + 10a x  - 12a x)\|x  - a
--R                              a
--R     +
--R           6     2 4       x      6     2 4      4 2     6
--R       (12x  - 9a x )acosh(-) - 8x  - 6a x  + 18a x  - 4a
--R                           a
--R  /
--R                  +-------+
--R         2     2  | 2    2       3      2
--R     (36x  - 9a )\|x  - a   - 36x  + 27a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 156
acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1)))
--R
--R                         +------+

--R                         | 2
--R   (6)  acosh(x) == log(\|x  - 1  + x)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 55 of 156
dd1:=acoshlogrule cc1
--R
--R                                        +-------+
--R                                        | 2    2
--R                                        |x  - a
--R               +-------+              a |-------  + x
--R               | 2    2                 |    2
--R         3    \|x  - a   + x     3     \|   a
--R        x log(--------------) - x log(---------------)
--R                     a                       a
--R   (7)  ----------------------------------------------
--R                               3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 156
ee1:=expandLog dd1
--R
--R                                        +-------+
--R               +-------+                | 2    2
--R         3     | 2    2          3      |x  - a
--R        x log(\|x  - a   + x) - x log(a |-------  + x)
--R                                        |    2
--R                                       \|   a
--R   (8)  ----------------------------------------------
--R                               3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 156     14:653 Schaums and Axiom agree
ff1:=rootSimp ee1
--R
--R   (9)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.654 ∫ \frac{cosh^{−1}(x/a)}{x} dx

∫ \frac{cosh^{−1}(x/a)}{x} = ± [\frac{1}{2} ln^{2}(2x/a) + \frac{(a/x)^{2}}{2 · 2 · 2} + \frac{1 · 3(a/x)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} + \frac{1 · 3 · 5(a/x)^{6}}{2 · 4 · 6 · 6 · 6} + ⋯] + if cosh^{−1}(x/a) > 0, −if cosh^{−1}(x/a) < 0,

— * —

)clear all
--S 58 of 156     14:654 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(acosh(x/a)/x,x)
--R
--R
--I                   %P
--R           x acosh(--)
--R         ++         a
--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

10 [?]:14.655 ∫ \frac{cosh^{−1}(x/a)}{x^{2}} dx

∫ \frac{cosh^{−1}(x/a)}{x^{2}} = −\frac{cosh^{−1}(x/a)}{x} ∓ \frac{1}{a} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} ) − if cosh^{−1}(x/a) > 0, +if cosh^{−1}(x/a) < 0,

— * —

)clear all
--S 59 of 156
aa:=integrate(acosh(x/a)/x^2,x)
--R
--R
--R                 +-------+                 +-------+
--R                 | 2    2                  | 2    2
--R                \|x  - a   + x            \|x  - a   - x
--R        - a log(--------------) + 2x atan(--------------)
--R                       a                         a

--R   (1)  -------------------------------------------------
--R                               a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 60 of 156
bb1:=-acosh(x/a)/x-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R                \|x  + a   + a            x
--R        - x log(--------------) - a acosh(-)
--R                       x                  a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                         a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 156
bb2:=-acosh(x/a)/x+1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  + a   + a            x
--R        x log(--------------) - a acosh(-)
--R                     x                  a
--R   (3)  ----------------------------------
--R                        a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)
--R              +-------+               +-------+                 +-------+
--R              | 2    2                | 2    2                  | 2    2
--R             \|x  + a   + a          \|x  - a   + x            \|x  - a   - x
--R       x log(--------------) - a log(--------------) + 2x atan(--------------)
--R                    x                       a                         a
--R     +
--R               x
--R       a acosh(-)
--R               a
--R  /
--R     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 63 of 156     14:655 Axiom cannot simplify these expressions

cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                +-------+               +-------+                 +-------+
--R                | 2    2                | 2    2                  | 2    2
--R               \|x  + a   + a          \|x  - a   + x            \|x  - a   - x
--R       - x log(--------------) - a log(--------------) + 2x atan(--------------)
--R                      x                       a                         a
--R     +
--R               x
--R       a acosh(-)
--R               a
--R  /
--R     a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.656 ∫ tanh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ tanh^{−1} \frac{x}{a} = x tanh^{−1} \frac{x}{a} + \frac{a}{2} ln(a^{2} − x^{2})

— * —

)clear all
--S 64 of 156
aa:=integrate(atanh(x/a),x)
--R
--R
--R               2    2          - x - a
--R        a log(x  - a ) + x log(-------)
--R                                x - a
--R   (1)  -------------------------------
--R                       2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 65 of 156
bb:=x*atanh(x/a)+a/2*log(a^2-x^2)
--R
--R                 2    2             x
--R        a log(- x  + a ) + 2x atanh(-)
--R                                    a
--R   (2)  ------------------------------
--R                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 66 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R               2    2          - x - a             2    2             x
--R        a log(x  - a ) + x log(-------) - a log(- x  + a ) - 2x atanh(-)
--R                                x - a                                 a
--R   (3)  ----------------------------------------------------------------
--R                                        2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 67 of 156
atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x)))
--R
--R                        - x - 1
--R                    log(-------)
--R                         x - 1
--R   (4)  atanh(x) == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 68 of 156
dd:=atanhrule cc
--R
--R               2    2             2    2
--R        a log(x  - a ) - a log(- x  + a )
--R   (5)  ---------------------------------
--R                        2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 156     14:656 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        a log(- 1)
--R   (6)  ----------
--R             2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.657 ∫ x ∗ tanh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x ∗ tanh^{−1} \frac{x}{a} = \frac{ax}{2} + \frac{1}{2}(x^{2} − a^{2}) tanh^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 70 of 156
aa:=integrate(x*atanh(x/a),x)
--R
--R
--R          2    2     - x - a
--R        (x  - a )log(-------) + 2a x
--R                      x - a
--R   (1)  ----------------------------
--R                      4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 71 of 156
bb:=(a*x)/2+1/2*(x^2-a^2)*atanh(x/a)
--R
--R          2    2       x
--R        (x  - a )atanh(-) + a x
--R                       a
--R   (2)  -----------------------
--R                   2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R          2    2     - x - a         2     2       x
--R        (x  - a )log(-------) + (- 2x  + 2a )atanh(-)
--R                      x - a                        a
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 73 of 156
atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x)))
--R
--R                        - x - 1
--R                    log(-------)
--R                         x - 1
--R   (4)  atanh(x) == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 74 of 156     14:657 Schaums and Axiom agree
dd:=atanhrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.658 ∫ x^{2} tanh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{2} tanh^{−1} \frac{x}{a} = \frac{ax^{2}}{6} + \frac{x^{3}}{3} tanh^{−1} \frac{x}{a} + \frac{a^{3}}{6} ln(a^{2} − x^{2})

— * —

)clear all
--S 75 of 156
aa:=integrate(x^2*atanh(x/a),x)
--R
--R
--R         3     2    2     3    - x - a       2
--R        a log(x  - a ) + x log(-------) + a x
--R                                x - a
--R   (1)  --------------------------------------
--R                           6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 76 of 156
bb:=(a*x^2)/6+x^3/3*atanh(x/a)+a^3/6*log(a^2-x^2)
--R
--R         3       2    2      3      x       2
--R        a log(- x  + a ) + 2x atanh(-) + a x
--R                                    a
--R   (2)  -------------------------------------
--R                          6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 77 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R         3     2    2     3    - x - a     3       2    2      3      x
--R        a log(x  - a ) + x log(-------) - a log(- x  + a ) - 2x atanh(-)
--R                                x - a                                 a
--R   (3)  ----------------------------------------------------------------

--R                                        6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 78 of 156
atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x)))
--R
--R                        - x - 1
--R                    log(-------)
--R                         x - 1
--R   (4)  atanh(x) == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 79 of 156
dd:=atanhrule cc
--R
--R         3     2    2     3       2    2
--R        a log(x  - a ) - a log(- x  + a )
--R   (5)  ---------------------------------
--R                        6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 156     14:658 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R         3
--R        a log(- 1)
--R   (6)  ----------
--R             6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.659 ∫ \frac{tanh^{−1}(x/a)}{a} dx

∫ \frac{tanh^{−1}(x/a)}{a} = \frac{x}{a} + \frac{(x/a)^{3}}{3^{2}} + \frac{(x/a)^{5}}{5^{2}} + ⋯

— * —

)clear all
--S 81 of 156     14:659 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(atanh(x/a)/x,x)

--R
--R
--I                   %P
--R           x atanh(--)
--R         ++         a
--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

15 [?]:14.660 ∫ \frac{tanh^{−1}(x/a)}{x^{2}} dx

∫ \frac{tanh^{−1}(x/a)}{x^{2}} = −\frac{tanh^{−1}(x/a)}{x} + \frac{1}{2a} ln (\frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 82 of 156
aa:=integrate(atanh(x/a)/x^2,x)
--R
--R
--R                 2    2                      - x - a
--R        - x log(x  - a ) + 2x log(x) - a log(-------)
--R                                              x - a
--R   (1)  ---------------------------------------------
--R                             2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 83 of 156
bb:=-atanh(x/a)/x+1/(2*a)*log(x^2/(a^2-x^2))
--R
--R                    2
--R                   x                x
--R        x log(- -------) - 2a atanh(-)
--R                 2    2             a
--R                x  - a
--R   (2)  ------------------------------
--R                     2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 84 of 156
cc:=aa-bb

--R
--R   (3)
--R                                                  2
--R                2    2                           x             - x - a
--R       - x log(x  - a ) + 2x log(x) - x log(- -------) - a log(-------)
--R                                               2    2           x - a
--R                                              x  - a
--R     +
--R                x
--R       2a atanh(-)
--R                a
--R  /
--R     2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 85 of 156
atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x)))
--R
--R                        - x - 1
--R                    log(-------)
--R                         x - 1
--R   (4)  atanh(x) == ------------
--R                          2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 86 of 156
dd:=atanhrule cc
--R
--R                                             2
--R               2    2                       x
--R        - log(x  - a ) + 2log(x) - log(- -------)
--R                                          2    2
--R                                         x  - a
--R   (5)  -----------------------------------------
--R                            2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 156     14:660 Schaums and Axiom agree
ee:=expandLog dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (6)  - --------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.661 ∫ coth^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ coth^{−1} \frac{x}{a} = x coth^{−1} x + \frac{a}{2} ln(x^{2} − a^{2})

Note that it appears there is a typo in Schaums (1968 printing 4).

∫ coth^{−1} \frac{x}{a} = x coth^{−1} x/a + \frac{a}{2} ln(x^{2} − a^{2})

— * —

)clear all
--S 88 of 156
aa:=integrate(acoth(x/a),x)
--R
--R
--R               2    2          x + a
--R        a log(x  - a ) + x log(-----)
--R                               x - a
--R   (1)  -----------------------------
--R                      2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 89 of 156
bb:=x*acoth(x/a)+a/2*log(x^2-a^2)
--R
--R               2    2             x
--R        a log(x  - a ) + 2x acoth(-)
--R                                  a
--R   (2)  ----------------------------
--R                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 90 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R              x + a             x
--R        x log(-----) - 2x acoth(-)
--R              x - a             a
--R   (3)  --------------------------
--R                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 91 of 156

acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1)))
--R
--R                        x + 1
--R                    log(-----)
--R                        x - 1
--R   (4)  acoth(x) == ----------
--R                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 92 of 156     14:661 Schaums and Axiom agree
dd:=acothrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.662 ∫ x coth^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x coth^{−1} \frac{x}{a} = \frac{ax}{2} + \frac{1}{2}(x^{2} − a^{2}) coth^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 93 of 156
aa:=integrate(x*acoth(x/a),x)
--R
--R
--R          2    2     x + a
--R        (x  - a )log(-----) + 2a x
--R                     x - a
--R   (1)  --------------------------
--R                     4
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 94 of 156
bb:=(a*x)/2+1/2*(x^2-a^2)*acoth(x/a)
--R
--R          2    2       x
--R        (x  - a )acoth(-) + a x
--R                       a
--R   (2)  -----------------------
--R                   2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 95 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R          2    2     x + a         2     2       x
--R        (x  - a )log(-----) + (- 2x  + 2a )acoth(-)
--R                     x - a                       a
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                             4
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 96 of 156
acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1)))
--R
--R                        x + 1
--R                    log(-----)
--R                        x - 1
--R   (4)  acoth(x) == ----------
--R                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 97 of 156     14:662 Schaums and Axiom agree
dd:=acothrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.663 ∫ x^{2} coth^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{2} coth^{−1} \frac{x}{a} = \frac{ax^{2}}{6} + \frac{x^{3}}{3} coth^{−1} \frac{x}{a} + \frac{a^{3}}{6} ln(x^{2} − a^{2})

— * —

)clear all
--S 98 of 156
aa:=integrate(x^2*acoth(x/a),x)
--R
--R
--R         3     2    2     3    x + a       2
--R        a log(x  - a ) + x log(-----) + a x

--R                               x - a
--R   (1)  ------------------------------------
--R                          6
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 99 of 156
bb:=(a*x^2)/6+x^3/3*acoth(x/a)+a^3/6*log(x^2-a^2)
--R
--R         3     2    2      3      x       2
--R        a log(x  - a ) + 2x acoth(-) + a x
--R                                  a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 100 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R         3    x + a      3      x
--R        x log(-----) - 2x acoth(-)
--R              x - a             a
--R   (3)  --------------------------
--R                     6
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 156
acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1)))
--R
--R                        x + 1
--R                    log(-----)
--R                        x - 1
--R   (4)  acoth(x) == ----------
--R                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 102 of 156    14:663 Schaums and Axiom agree
dd:=acothrule cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.664 ∫ \frac{coth^{−1}(x/a)}{x} dx

∫ \frac{coth^{−1}(x/a)}{x} = − (\frac{a}{x} + \frac{(a/x)^{3}}{3^{2}} + \frac{(a/x)^{5}}{5^{2}} + ⋯)

— * —

)clear all
--S 103 of 156    14:664 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(acoth(x/a)/x,x)
--R
--R
--I                   %P
--R           x acoth(--)
--R         ++         a
--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

20 [?]:14.665 ∫ \frac{coth^{−1}(x/a)}{x^{2}} dx

∫ \frac{coth^{−1}(x/a)}{x^{2}} = −\frac{coth^{−1}(x/a)}{x} + \frac{1}{2a} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} − a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 104 of 156
aa:=integrate(acoth(x/a)/x^2,x)
--R
--R
--R                 2    2                      x + a
--R        - x log(x  - a ) + 2x log(x) - a log(-----)
--R                                             x - a
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                            2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 105 of 156
bb:=-acoth(x/a)/x+1/(2*a)*log(x^2/(x^2-a^2))

--R
--R                  2
--R                 x                x
--R        x log(-------) - 2a acoth(-)
--R               2    2             a
--R              x  - a
--R   (2)  ----------------------------
--R                    2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 106 of 156
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                           2
--R            2    2                      x + a             x                x
--R   - x log(x  - a ) + 2x log(x) - a log(-----) - x log(-------) + 2a acoth(-)
--R                                        x - a           2    2             a
--R                                                       x  - a
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                      2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 107 of 156
acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1)))
--R
--R                        x + 1
--R                    log(-----)
--R                        x - 1
--R   (4)  acoth(x) == ----------
--R                         2
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 108 of 156
dd:=acothrule cc
--R
--R                                           2
--R               2    2                     x
--R        - log(x  - a ) + 2log(x) - log(-------)
--R                                        2    2
--R                                       x  - a
--R   (5)  ---------------------------------------
--R                           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 109 of 156    14:665 Schaums and Axiom agree

ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.666 ∫ sech^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ sech^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}x sech^{−1}(x/a) + a sin^{−1}(x/a), sech^{−1}(x/a) > 0 \\ x sech^{−1}(x/a) − a sin^{−1}(x/a), sech^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 110 of 156
aa:=integrate(asech(x/a),x)
--R
--R
--R               +---------+                 +---------+
--R               |   2    2                  |   2    2
--R              \|- x  + a   + a            \|- x  + a   - a
--R   (1)  x log(----------------) - 2a atan(----------------)
--R                      x                           x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 111 of 156
bb1:=x*asech(x/a)+a*asin(x/a)
--R
--R               x            x
--R   (2)  a asin(-) + x asech(-)
--R               a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 112 of 156
bb2:=x*asech(x/a)-a*asin(x/a)
--R
--R                 x            x
--R   (3)  - a asin(-) + x asech(-)
--R                 a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 113 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R   (4)
--R          +---------+                 +---------+
--R          |   2    2                  |   2    2
--R         \|- x  + a   + a            \|- x  + a   - a           x            x
--R   x log(----------------) - 2a atan(----------------) - a asin(-) - x asech(-)
--R                 x                           x                  a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 114 of 156
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R          +---------+                 +---------+
--R          |   2    2                  |   2    2
--R         \|- x  + a   + a            \|- x  + a   - a           x            x
--R   x log(----------------) - 2a atan(----------------) + a asin(-) - x asech(-)
--R                 x                           x                  a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 115 of 156
asechrule:=rule(asech(x) == log(1/x+sqrt(1/x^2-1)))
--R
--R                          +--------+
--R                          |   2
--R                          |- x  + 1
--R                        x |--------  + 1
--R                          |    2
--R                         \|   x
--R   (6)  asech(x) == log(----------------)
--R                                x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 116 of 156
dd1:=asechrule cc1
--R
--R   (7)
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R               |- x  + a
--R             x |---------  + a           +---------+
--R               |     2                   |   2    2
--R              \|    x                   \|- x  + a   + a
--R     - x log(-----------------) + x log(----------------)
--R                     x                          x

--R   +
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R               \|- x  + a   - a           x
--R     - 2a atan(----------------) - a asin(-)
--R                       x                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 117 of 156
asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2)))
--R
--R                           +--------+
--R                           |   2
--R   (8)  asin(x) == %i log(\|- x  + 1  - %i x)
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E
--S 118 of 156
ee1:=asinrule dd1
--R
--R   (9)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R             x |---------  + a             a |---------  - %i x
--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R     - x log(-----------------) - %i a log(--------------------)
--R                     x                               a
--R   +
--R            +---------+                 +---------+
--R            |   2    2                  |   2    2
--R           \|- x  + a   + a            \|- x  + a   - a
--R     x log(----------------) - 2a atan(----------------)
--R                   x                           x
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 119 of 156
atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x)))
--R
--R                             - x + %i
--R                      %i log(--------)
--R                              x + %i
--R   (10)  atan(x) == - ----------------
--R                              2
--R     Type: RewriteRule(Integer,Complex(Integer),Expression(Complex(Integer)))
--E

--S 120 of 156
ff1:=atanrule ee1
--R
--R   (11)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R             x |---------  + a             a |---------  - %i x
--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R     - x log(-----------------) - %i a log(--------------------)
--R                     x                               a
--R   +
--R            +---------+                    +---------+
--R            |   2    2                     |   2    2
--R           \|- x  + a   + a             - \|- x  + a   + %i x + a
--R     x log(----------------) + %i a log(-------------------------)
--R                   x                      +---------+
--R                                          |   2    2
--R                                         \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 121 of 156
gg1:=expandLog ff1
--R
--R   (12)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R     - x log(x |---------  + a) - %i a log(a |---------  - %i x)
--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R   +
--R                 +---------+                      +---------+
--R                 |   2    2                       |   2    2
--R     - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a) + x log(\|- x  + a   + a)
--R   +
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R     %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 122 of 156
hh1:=rootSimp gg1
--R
--R   (13)
--R                   +-------+                           +-------+
--R                   | 2    2                            | 2    2

--R     - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) - %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R   +
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R     %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 123 of 156    14:666 Schaums and Axiom agree
ii1:=complexNormalize hh1
--R
--R   (14)  0
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

Note that Axiom has a built-in assumption about the sign of asech(x/a). We can see this if we simplify the cc2 value and show that it differs by a complex value of x.

— * —

--S 124 of 156
dd2:=asechrule cc2
--R
--R   (15)
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R               |- x  + a
--R             x |---------  + a           +---------+
--R               |     2                   |   2    2
--R              \|    x                   \|- x  + a   + a
--R     - x log(-----------------) + x log(----------------)
--R                     x                          x
--R   +
--R                +---------+
--R                |   2    2
--R               \|- x  + a   - a           x
--R     - 2a atan(----------------) + a asin(-)
--R                       x                  a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 125 of 156
ee2:=asinrule dd2
--R
--R   (16)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R             x |---------  + a             a |---------  - %i x

--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R     - x log(-----------------) + %i a log(--------------------)
--R                     x                               a
--R   +
--R            +---------+                 +---------+
--R            |   2    2                  |   2    2
--R           \|- x  + a   + a            \|- x  + a   - a
--R     x log(----------------) - 2a atan(----------------)
--R                   x                           x
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 126 of 156
ff2:=atanrule ee2
--R
--R   (17)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R             x |---------  + a             a |---------  - %i x
--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R     - x log(-----------------) + %i a log(--------------------)
--R                     x                               a
--R   +
--R            +---------+                    +---------+
--R            |   2    2                     |   2    2
--R           \|- x  + a   + a             - \|- x  + a   + %i x + a
--R     x log(----------------) + %i a log(-------------------------)
--R                   x                      +---------+
--R                                          |   2    2
--R                                         \|- x  + a   + %i x - a
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 127 of 156
gg2:=expandLog ff2
--R
--R   (18)
--R               +---------+                   +---------+
--R               |   2    2                    |   2    2
--R               |- x  + a                     |- x  + a
--R     - x log(x |---------  + a) + %i a log(a |---------  - %i x)
--R               |     2                       |     2
--R              \|    x                       \|    a
--R   +
--R                 +---------+                      +---------+
--R                 |   2    2                       |   2    2
--R     - %i a log(\|- x  + a   + %i x - a) + x log(\|- x  + a   + a)

--R   +
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R     %i a log(\|- x  + a   - %i x - a) - %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 128 of 156
hh2:=rootSimp gg2
--R
--R   (19)
--R                   +-------+                           +-------+
--R                   | 2    2                            | 2    2
--R     - %i a log(%i\|x  - a   + %i x - a) + %i a log(%i\|x  - a   - %i x)
--R   +
--R                 +-------+
--R                 | 2    2
--R     %i a log(%i\|x  - a   - %i x - a) - %i a log(a) + %i a log(- 1)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E
--S 129 of 156
ii2:=complexNormalize hh2
--R
--R                      +-------+
--R                      | 2    2
--R   (20)  2%i a log(%i\|x  - a   - %i x) - 2%i a log(a)
--R                                           Type: Expression(Complex(Integer))
--E

———-

Thus we can conjecture that solutions that show up with x in only the imaginary part do so when the assumption of the sign of an inverse function differs.

22 [?]:14.667 ∫ x sech^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x sech^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}x^{2} sech^{−1}(x/a) − \frac{1}{2}a\sqrt{a^{2} − x^{2}}, sech^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{1}{2}x^{2} sech^{−1}(x/a) + \frac{1}{2}a\sqrt{a^{2} − x^{2}}, sech^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 130 of 156
aa:=integrate(x*asech(x/a),x)

--R
--R
--R                                    +---------+
--R            +---------+             |   2    2
--R          2 |   2    2       2     \|- x  + a   + a       2
--R        (x \|- x  + a   - a x )log(----------------) + a x
--R                                           x
--R   (1)  ---------------------------------------------------
--R                           +---------+
--R                           |   2    2
--R                         2\|- x  + a   - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 131 of 156
bb1:=1/2*x^2*asech(x/a)-1/2*a*sqrt(a^2-x^2)
--R
--R            +---------+
--R            |   2    2     2      x
--R        - a\|- x  + a   + x asech(-)
--R                                  a
--R   (2)  ----------------------------
--R                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 132 of 156
bb2:=1/2*x^2*asech(x/a)+1/2*a*sqrt(a^2-x^2)
--R
--R          +---------+
--R          |   2    2     2      x
--R        a\|- x  + a   + x asech(-)
--R                                a
--R   (3)  --------------------------
--R                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 133 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R               +---------+
--R               |   2    2
--R         2    \|- x  + a   + a     2      x     2
--R        x log(----------------) - x asech(-) - a
--R                      x                   a
--R   (4)  -----------------------------------------
--R                            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 134 of 156
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                                   +---------+
--R           +---------+             |   2    2
--R         2 |   2    2       2     \|- x  + a   + a
--R       (x \|- x  + a   - a x )log(----------------)
--R                                          x
--R     +
--R                           +---------+
--R           2      x     2  |   2    2       2      x        2    3
--R       (- x asech(-) + a )\|- x  + a   + a x asech(-) + 2a x  - a
--R                  a                                a
--R  /
--R       +---------+
--R       |   2    2
--R     2\|- x  + a   - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 135 of 156
asechrule:=rule(asech(x) == log(1/x+sqrt(1/x^2-1)))
--R
--R                          +--------+
--R                          |   2
--R                          |- x  + 1
--R                        x |--------  + 1
--R                          |    2
--R                         \|   x
--R   (6)  asech(x) == log(----------------)
--R                                x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 136 of 156
dd1:=asechrule cc1
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2    2
--R                  |- x  + a
--R                x |---------  + a           +---------+
--R                  |     2                   |   2    2
--R           2     \|    x              2    \|- x  + a   + a     2
--R        - x log(-----------------) + x log(----------------) - a
--R                        x                          x
--R   (7)  ---------------------------------------------------------
--R                                    2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 137 of 156
ee1:=expandLog dd1
--R
--R                  +---------+
--R                  |   2    2                +---------+
--R           2      |- x  + a           2     |   2    2          2
--R        - x log(x |---------  + a) + x log(\|- x  + a   + a) - a
--R                  |     2
--R                 \|    x
--R   (8)  ---------------------------------------------------------
--R                                    2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 138 of 156    14:667 Schaums and Axiom differ by a constant
ff1:=rootSimp ee1
--R
--R           2
--R          a
--R   (9)  - --
--R           2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

23 [?]:14.668 ∫ \frac{sech^{−1}(x/a)}{x} dx

∫ \frac{sech^{−1}(x/a)}{x} = \{ \begin{matrix}−\frac{1}{2} ln(a/x) ln(4a/x) − \frac{(x/a)^{2}}{2 · 2 · 2} − \frac{1 · 3(x/a)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} − ⋯, sech^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{1}{2} ln(a/x) ln(4a/x) + \frac{(x/a)^{2}}{2 · 2 · 2} + \frac{1 · 3(x/a)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} + ⋯, sech^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

This is a interesting result since Axiom gives a closed form solution to the problem but Schaums gives a series solution.

— * —

)clear all
--S 139 of 156    14:668 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(asech(x/a)/x,x)
--R
--R
--I                   %P
--R           x asech(--)
--R         ++         a

--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

24 [?]:14.669 ∫ csch^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ csch^{−1} \frac{x}{a} = x csch^{−1} \frac{x}{a} ± a sinh^{−1} \frac{x}{a} + if x > 0, −if x < 0

— * —

)clear all
--S 140 of 156
aa:=integrate(acsch(x/a),x)
--R
--R
--R                                         +-------+
--R                 +-------+               | 2    2
--R                 | 2    2               \|x  + a   + a
--R   (1)  - a log(\|x  + a   - x) + x log(--------------)
--R                                               x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 141 of 156
bb1:=x*acsch(x/a)+a*asinh(x/a)
--R
--R                x            x
--R   (2)  a asinh(-) + x acsch(-)
--R                a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 142 of 156
bb2:=x*acsch(x/a)-a*asinh(x/a)
--R
--R                  x            x
--R   (3)  - a asinh(-) + x acsch(-)
--R                  a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 143 of 156
cc1:=aa-bb1
--R

--R   (4)
--R                                    +-------+
--R            +-------+               | 2    2
--R            | 2    2               \|x  + a   + a            x            x
--R   - a log(\|x  + a   - x) + x log(--------------) - a asinh(-) - x acsch(-)
--R                                          x                  a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 144 of 156    14:669 Axiom cannot simplify these expressions
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                                    +-------+
--R            +-------+               | 2    2
--R            | 2    2               \|x  + a   + a            x            x
--R   - a log(\|x  + a   - x) + x log(--------------) + a asinh(-) - x acsch(-)
--R                                          x                  a            a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

25 [?]:14.670 ∫ x csch^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x csch^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{2}}{2} csch^{−1} \frac{x}{a} ± \frac{a\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2} + if x > 0, −if x < 0

— * —

)clear all
--S 145 of 156
aa:=integrate(x*acsch(x/a),x)
--R
--R
--R                                +-------+
--R            +-------+           | 2    2             +-------+
--R          2 | 2    2     3     \|x  + a   + a        | 2    2       2    3
--R        (x \|x  + a   - x )log(--------------) - a x\|x  + a   + a x  + a
--R                                      x
--R   (1)  ------------------------------------------------------------------
--R                                   +-------+
--R                                   | 2    2
--R                                 2\|x  + a   - 2x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 146 of 156
bb1:=x^2/2*acsch(x/a)+(a*sqrt(x^2+a^2))/2
--R
--R          +-------+
--R          | 2    2     2      x
--R        a\|x  + a   + x acsch(-)
--R                              a
--R   (2)  ------------------------
--R                    2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 147 of 156
bb2:=x^2/2*acsch(x/a)-(a*sqrt(x^2+a^2))/2
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2     2      x
--R        - a\|x  + a   + x acsch(-)
--R                                a
--R   (3)  --------------------------
--R                     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 148 of 156
cc1:=aa-bb1
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R         2    \|x  + a   + a     2      x
--R        x log(--------------) - x acsch(-)
--R                     x                  a
--R   (4)  ----------------------------------
--R                         2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 149 of 156    14:670 Axiom cannot simplify these expressions
cc2:=aa-bb2
--R
--R   (5)
--R                               +-------+
--R           +-------+           | 2    2                               +-------+
--R         2 | 2    2     3     \|x  + a   + a        2      x          | 2    2
--R       (x \|x  + a   - x )log(--------------) + (- x acsch(-) - 2a x)\|x  + a
--R                                     x                     a
--R     +
--R        3      x        2     3
--R       x acsch(-) + 2a x  + 2a
--R               a

--R  /
--R       +-------+
--R       | 2    2
--R     2\|x  + a   - 2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

26 [?]:14.671 ∫ \frac{csch^{−1}(x/a)}{x} dx

∫ \frac{csch^{−1}(x/a)}{x} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} ln(x/a) ln(4a/x) + \frac{1(x/a)^{2}}{2 · 2 · 2} − \frac{1 · 3(x/a)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} + ⋯ & 0 < x < a \\ \frac{1}{2} ln(−x/a) ln(−x/4a) − \frac{(x/a)^{2}}{2 · 2 · 2} + \frac{1 · 3(x/a)^{4}}{2 · 4 · 4 · 4} − ⋯ & −a < x < 0 \\ −\frac{a}{x} + \frac{(a/x)^{3}}{2 · 3 · 3} − \frac{1 · 3(a/x)^{5}}{2 · 4 · 5 · 5} + ⋯ & |x| > a \end{matrix}

Schaums gives 3 different series expansions for this integral but Axiom has computed a closed form.

— * —

)clear all
--S 150 of 156    14:671 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(acsch(x/a)/x,x)
--R
--R
--I                   %P
--R           x acsch(--)
--R         ++         a
--I   (1)   |   --------- d%P
--I        ++       %P
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

27 [?]:14.672 ∫ x^{m} sinh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} sinh^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{m+1}}{m + 1} sinh^{−1} \frac{x}{a} − \frac{1}{m + 1} ∫ \frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

— * —

--S 151 of 156    14:672 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*asinh(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   asinh(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

28 [?]:14.673 ∫ x^{m} cosh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} cosh^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}\frac{x^{m+1}}{m + 1} cosh^{−1} \frac{x}{a} − \frac{1}{m + 1} ∫ \frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} , & cosh^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{x^{m+1}}{m + 1} cosh^{−1} \frac{x}{a} + \frac{1}{m + 1} ∫ \frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} , & cosh^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 152 of 156    14:673 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*acosh(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   acosh(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

29 [?]:14.674 ∫ x^{m} tanh^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} tanh^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{m+1}}{m + 1} tanh^{−1} \frac{x}{a} − \frac{a}{m + 1} ∫ \frac{x^{m+1}}{a^{2} − x^{2}}

— * —

--S 153 of 156    14:674 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*atanh(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   atanh(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

30 [?]:14.675 ∫ x^{m} coth^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} coth^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{m+1}}{m + 1} coth^{−1} \frac{x}{a} − \frac{a}{m + 1} ∫ \frac{x^{m+1}}{a^{2} − x^{2}}

— * —

)clear all
--S 154 of 156    14:675 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*acoth(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   acoth(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

31 [?]:14.676 ∫ x^{m} sech^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} sech^{−1} \frac{x}{a} = \{ \begin{matrix}\frac{x^{m+1}}{m + 1} sech^{−1} \frac{x}{a} + \frac{a}{m + 1} ∫ \frac{x^{m}}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} & sech^{−1}(x/a) > 0 \\ \frac{x^{m+1}}{m + 1} sech^{−1} \frac{x}{a} − \frac{a}{m + 1} ∫ \frac{x^{m}}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} & sech^{−1}(x/a) < 0 \end{matrix}

— * —

--S 155 of 156    14:676 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*asech(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   asech(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

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32 [?]:14.677 ∫ x^{m} csch^{−1} \frac{x}{a} dx

∫ x^{m} csch^{−1} \frac{x}{a} = \frac{x^{m+1}}{m + 1} csch^{−1} \frac{x}{a} ± \frac{a}{m + 1} ∫ \frac{x^{m}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} + if x > 0 − if x < 0

— * —

)clear all
--S 156 of 156    14:677 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m*acsch(x/a),x)
--R
--R
--R           x
--I         ++        %P   m
--I   (1)   |   acsch(--)%P d%P
--R        ++          a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp92-93