$SPAD/input schaum4.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.113 ∫ \frac{px + q}{\sqrt{ax + b}} dx

∫ \frac{px + q}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2(apx + 3aq − 2bp)}{3a^{2}} \sqrt{ax + b}

— * —

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)clear all
--S 1 of 25
aa:=integrate((p*x+q)/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R        (2a p x + 6a q - 4b p)\|a x + b
--R   (1)  --------------------------------
--R                         2
--R                       3a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 25
bb:=(2*(a*p*x+3*a*q-2*b*p))/(3*a^2)*sqrt(a*x+b)
--R
--R                               +-------+
--R        (2a p x + 6a q - 4b p)\|a x + b
--R   (2)  --------------------------------
--R                         2
--R                       3a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 25      14:113 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.114 ∫ \frac{dx}{(px + q)\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{(px + q)\sqrt{ax + b}} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{bp−aq}\sqrt{p}} & ln & (\frac{\sqrt{p(ax+b)}−\sqrt{bp−aq}}{\sqrt{p(ax+b)}+\sqrt{bp−aq}} ) \\ \frac{2}{\sqrt{aq−bp}\sqrt{p}} & tan & −1 & \sqrt{\frac{p(ax+b)}{aq−bp}} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 4 of 25
aa:=integrate(1/((p*x+q)*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                          +--------------+
--R                      2  +-------+                        |             2
--R        (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R    log(------------------------------------------------------------------)
--R                                      p x + q
--R   [-----------------------------------------------------------------------,
--R                                +--------------+
--R                                |             2
--R                               \|- a p q + b p
--R           +------------+
--R           |           2  +-------+
--R          \|a p q - b p  \|a x + b
--R    2atan(-------------------------)
--R                  a q - b p
--R    --------------------------------]
--R              +------------+
--R              |           2
--R             \|a p q - b p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 5 of 25
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                                                         +--------------+
--R                     2  +-------+                        |             2
--R       (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R   log(------------------------------------------------------------------)
--R                                     p x + q
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                               +--------------+

--R                               |             2
--R                              \|- a p q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 25
aa2:=aa.2
--R
--R               +------------+
--R               |           2  +-------+
--R              \|a p q - b p  \|a x + b
--R        2atan(-------------------------)
--R                      a q - b p
--R   (3)  --------------------------------
--R                  +------------+
--R                  |           2
--R                 \|a p q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 25
bb1:=1/sqrt(b*p-a*q)*log((sqrt(p*(a*x+b))-sqrt(b*p-a*q))/_
     (sqrt(p*(a*x+b))+sqrt(b*p-a*q)))
--R
--R             +-----------+    +-----------+
--R            \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R        log(-------------------------------)
--R             +-----------+    +-----------+
--R            \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R   (4)  ------------------------------------
--R                    +-----------+
--R                   \|- a q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 25
bb2:=2/(sqrt(a*q-b*p)*sqrt(p))*atan(sqrt((p*(a*x+b))/(a*q-b*p)))
--R
--R               +-----------+
--R               |a p x + b p
--R        2atan( |----------- )
--R              \| a q - b p
--R   (5)  ---------------------
--R            +-+ +---------+
--R           \|p \|a q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 25
cc1:=aa1-bb1

--R
--R   (6)
--R          +-----------+
--R         \|- a q + b p
--R      *
--R                                                             +--------------+
--R                         2  +-------+                        |             2
--R           (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R       log(------------------------------------------------------------------)
--R                                         p x + q
--R     +
--R          +--------------+     +-----------+    +-----------+
--R          |             2     \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a p q + b p  log(-------------------------------)
--R                               +-----------+    +-----------+
--R                              \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R  /
--R      +--------------+
--R      |             2  +-----------+
--R     \|- a p q + b p  \|- a q + b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 25
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (7)
--R          +-+ +---------+
--R         \|p \|a q - b p
--R      *
--R                                                             +--------------+
--R                         2  +-------+                        |             2
--R           (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R       log(------------------------------------------------------------------)
--R                                         p x + q
--R     +
--R           +--------------+      +-----------+
--R           |             2       |a p x + b p
--R       - 2\|- a p q + b p  atan( |----------- )
--R                                \| a q - b p
--R  /
--R      +--------------+
--R      |             2  +-+ +---------+
--R     \|- a p q + b p  \|p \|a q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 25
cc3:=aa2-bb1
--R

--R   (8)
--R          +------------+     +-----------+    +-----------+
--R          |           2     \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|a p q - b p  log(-------------------------------)
--R                             +-----------+    +-----------+
--R                            \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     +
--R                            +------------+
--R                            |           2  +-------+
--R         +-----------+     \|a p q - b p  \|a x + b
--R       2\|- a q + b p atan(-------------------------)
--R                                   a q - b p
--R  /
--R                    +------------+
--R      +-----------+ |           2
--R     \|- a q + b p \|a p q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 25     14:114 Axiom cannot simplify these answers
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (9)
--R                              +------------+
--R                              |           2  +-------+
--R         +-+ +---------+     \|a p q - b p  \|a x + b
--R       2\|p \|a q - b p atan(-------------------------)
--R                                     a q - b p
--R     +
--R           +------------+      +-----------+
--R           |           2       |a p x + b p
--R       - 2\|a p q - b p  atan( |----------- )
--R                              \| a q - b p
--R  /
--R                      +------------+
--R      +-+ +---------+ |           2
--R     \|p \|a q - b p \|a p q - b p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.115 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{px + q} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{px + q} = \{ \begin{matrix}\frac{2\sqrt{ax+b}}{p} + ^{\frac{\sqrt{bp−aq}}{p\sqrt{p}}} ln (^{\frac{\sqrt{p(ax+b)}−\sqrt{bp−aq}}{\sqrt{p(ax+b)}+\sqrt{bp−aq}}} ) \\ \frac{2\sqrt{ax+b}}{p} − ^{\frac{2\sqrt{aq−bp}}{p\sqrt{p}}} tan^{−1} \sqrt{\frac{p(ax+b)}{aq−bp}} \end{matrix}

— * —

)clear all
--S 13 of 25
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/(p*x+q),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                                +-----------+
--R                                |- a q + b p  +-------+
--R          +-----------+    - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R          |- a q + b p         \|     p
--R          |----------- log(-------------------------------------------------)
--R         \|     p                               p x + q
--R       +
--R           +-------+
--R         2\|a x + b
--R    /
--R       p
--R     ,
--R         +---------+       +-------+
--R         |a q - b p       \|a x + b       +-------+
--R    - 2  |--------- atan(------------ + 2\|a x + b
--R        \|    p           +---------+
--R                          |a q - b p
--R                          |---------
--R                         \|    p
--R    -----------------------------------------------]
--R                           p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 14 of 25
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                              +-----------+
--R                              |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+    - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p

--R        |- a q + b p         \|     p
--R        |----------- log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                               p x + q
--R     +
--R         +-------+
--R       2\|a x + b
--R  /
--R     p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 25
aa2:=aa.2
--R
--R             +---------+       +-------+
--R             |a q - b p       \|a x + b       +-------+
--R        - 2  |--------- atan(------------ + 2\|a x + b
--R            \|    p           +---------+
--R                              |a q - b p
--R                              |---------
--R                             \|    p
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 25
bb1:=(2*sqrt(a*x+b))/p+sqrt(b*p-a*q)/(p*sqrt(p))*log((sqrt(p*(a*x+b))-_
     sqrt(b*p-a*q))/(sqrt(p*(a*x+b))+sqrt(b*p-a*q)))
--R
--R                           +-----------+    +-----------+
--R         +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p       +-+ +-------+
--R        \|- a q + b p log(-------------------------------) + 2\|p \|a x + b
--R                           +-----------+    +-----------+
--R                          \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R   (4)  --------------------------------------------------------------------
--R                                          +-+
--R                                        p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 25
bb2:=(2*sqrt(a*x+b))/p-(2*sqrt(a*q-b*p))/(p*sqrt(p))*_
     atan(sqrt((p*(a*x+b))/(a*q-b*p)))
--R
--R                             +-----------+
--R            +---------+      |a p x + b p       +-+ +-------+
--R        - 2\|a q - b p atan( |----------- ) + 2\|p \|a x + b
--R                            \| a q - b p
--R   (5)  -----------------------------------------------------

--R                                  +-+
--R                                p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 25
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (6)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R          +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a q + b p log(-------------------------------)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R                           \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     +
--R                                  +-----------+
--R                                  |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+        - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R        |- a q + b p  +-+        \|     p
--R        |----------- \|p log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                                   p x + q
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 25
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (7)
--R                                  +-----------+
--R                                  |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+        - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R        |- a q + b p  +-+        \|     p
--R        |----------- \|p log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                                   p x + q
--R     +
--R                          +-----------+
--R         +---------+      |a p x + b p
--R       2\|a q - b p atan( |----------- )
--R                         \| a q - b p
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 25
cc3:=aa2-bb1

--R
--R   (8)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R          +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a q + b p log(-------------------------------)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R                           \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     +
--R               +---------+       +-------+
--R           +-+ |a q - b p       \|a x + b
--R       - 2\|p  |--------- atan(------------)
--R              \|    p           +---------+
--R                                |a q - b p
--R                                |---------
--R                               \|    p
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 21 of 25     14:115 Axiom cannot simplify these answers
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (9)
--R           +---------+       +-------+                        +-----------+
--R       +-+ |a q - b p       \|a x + b        +---------+      |a p x + b p
--R   - 2\|p  |--------- atan(------------) + 2\|a q - b p atan( |----------- )
--R          \|    p           +---------+                      \| a q - b p
--R                            |a q - b p
--R                            |---------
--R                           \|    p
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                     p\|p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.116 ∫ (px + b)^{n}\sqrt{ax + b} dx

∫ (px + b)^{n}\sqrt{ax + b} = \frac{2(px + q)^{n+1}\sqrt{ax + b}}{(2n + 3)p} + \frac{bp − aq}{(2n + 3)p} ∫ \frac{(px + q)^{n}}{\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all

--S 22 of 25     14:116 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate((p*x+q)^n*sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++            n +--------+
--I   (1)   |   (q + %L p) \|b + %L a d%L
--R        ++
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

5 [?]:14.117 ∫ \frac{dx}{(px + b)^{n}\sqrt{ax + b}}

∫ \frac{1}{(px + b)^{n}\sqrt{ax + b}} = \frac{\sqrt{ax + b}}{(n − 1)(aq − bp)(px + q)^{n−1}} +\frac{(2n − 3)a}{2(n − 1)(aq − bp)} ∫ \frac{1}{(px + q)^{n−1}\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 23 of 25     14:117 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/((p*x+q)^n*sqrt(a*x+b)),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++             1
--I   (1)   |   ---------------------- d%L
--R        ++             n +--------+
--I             (q + %L p) \|b + %L a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

6 [?]:14.118 ∫ \frac{(px + q)^{n}}{\sqrt{ax + b}} dx

∫ \frac{(px + q)^{n}}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2(px + q)^{n}\sqrt{ax + b}}{(2n + 1)a} + \frac{2n(aq − bp)}{(2n + 1)a} ∫ \frac{(px + q)^{n−1}}{\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 24 of 25     14:118 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate((p*x+q)^n/sqrt(a*x+b),x)
--R
--R
--R           x           n
--I         ++  (q + %L p)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++    +--------+
--I             \|b + %L a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

7 [?]:14.119 ∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{(px + q)^{n}} dx

∫ \frac{\sqrt{ax + b}}{(px + q)^{n}} = \frac{−\sqrt{ax + b}}{(n − 1)p(px + q)^{n−1}} + \frac{a}{2(n − 1)p} ∫ \frac{1}{(px + q)^{n−1}\sqrt{ax + b}}

— * —

)clear all
--S 25 of 25     14:119 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/(p*x+q)^n,x)
--R
--R
--R           x  +--------+
--I         ++  \|b + %L a
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++             n
--I             (q + %L p)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p63