$SPAD/input schaum5.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.120 ∫ \frac{dx}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}

∫ \frac{1}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}} = \{ \begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{ap}} & ln & (\sqrt{a(px + q)} + \sqrt{p(ax + b)}) \\ \frac{2}{\sqrt{−ap}} & tan & −1 & \sqrt{\frac{−p(ax+b)}{a(px+b)}} \end{matrix}

— * —

)set break resume
)spool schaum5.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all
--S 1 of 45
aa:=integrate(1/sqrt((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R       log
--R                                       +---------------------------+
--R                 +---+ +---+           |     2
--R              (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R            +
--R                     +---+            2                          +---+
--R              2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R         /
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R            2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R    /
--R        +---+
--R       \|a p
--R     ,
--R                   +---------------------------+
--R           +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R          \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R    2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                   a p x
--R    --------------------------------------------------------------]
--R                                +-----+
--R                               \|- a p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 2 of 45
aa1:=aa.1

--R
--R   (2)
--R     log
--R                                     +---------------------------+
--R               +---+ +---+           |     2
--R            (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R          +
--R                   +---+            2                          +---+
--R            2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R       /
--R                  +---------------------------+
--R            +---+ |     2
--R          2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R  /
--R      +---+
--R     \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 45
aa2:=aa.2
--R
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R        2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R   (3)  --------------------------------------------------------------
--R                                    +-----+
--R                                   \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 45
bb1:=2/sqrt(a*p)*log(sqrt(a*(p*x+q))+sqrt(p*(a*x+b)))
--R
--R              +-----------+    +-----------+
--R        2log(\|a p x + a q  + \|a p x + b p )
--R   (4)  -------------------------------------
--R                         +---+
--R                        \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 5 of 45
bb2:=2/sqrt(-a*p)*atan(sqrt((-p*(a*x+b))/(a*(p*x+q))))
--R
--R               +-------------+
--R               |- a p x - b p
--R        2atan( |------------- )

--R              \| a p x + a q
--R   (5)  -----------------------
--R                 +-----+
--R                \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 45
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (6)
--R               +-----------+    +-----------+
--R       - 2log(\|a p x + a q  + \|a p x + b p )
--R     +
--R       log
--R                                       +---------------------------+
--R                 +---+ +---+           |     2
--R              (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R            +
--R                     +---+            2                          +---+
--R              2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R         /
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R            2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R  /
--R      +---+
--R     \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 45
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (7)
--R          +-----+
--R         \|- a p
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +

--R                      +-------------+
--R           +---+      |- a p x - b p
--R       - 2\|a p atan( |------------- )
--R                     \| a p x + a q
--R  /
--R      +-----+ +---+
--R     \|- a p \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 8 of 45
cc3:=aa2-bb1
--R
--R   (8)
--R           +-----+     +-----------+    +-----------+
--R       - 2\|- a p log(\|a p x + a q  + \|a p x + b p )
--R     +
--R                            +---------------------------+
--R                    +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R         +---+     \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R       2\|a p atan(-------------------------------------------------------)
--R                                            a p x
--R  /
--R      +-----+ +---+
--R     \|- a p \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 45      14:120 Axiom cannot simplify these answers
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (9)
--R                      +---------------------------+
--R              +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R             \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R       2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                      a p x
--R     +
--R                +-------------+
--R                |- a p x - b p
--R       - 2atan( |------------- )
--R               \| a p x + a q
--R  /
--R      +-----+
--R     \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.121 ∫ \frac{x dx}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}

∫ \frac{x}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}} = \frac{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}{ap} − \frac{bp + aq}{2ap} ∫ \frac{1}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}

— * —

)clear all
--S 10 of 45
aa:=integrate(x/sqrt((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                                 +---------------------------+
--R                           +---+ |     2
--R             (2a q + 2b p)\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                 2 2               2 2           2     2
--R             (- a q  - 2a b p q - b p )x - 2a b q  - 2b p q
--R        *
--R           log
--R                                           +---------------------------+
--R                     +---+ +---+           |     2
--R                  (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R                +
--R                           +---+            2                          +---+
--R                  - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R             /
--R                        +---------------------------+
--R                  +---+ |     2
--R                2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R       +
--R                                +---------------------------+
--R                          +---+ |     2
--R         (- 2a q - 2b p)x\|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                2                   +---+ +---+
--R         (4a p x  + (2a q + 2b p)x)\|a p \|b q
--R    /
--R                          +---------------------------+
--R              +---+ +---+ |     2
--R         4a p\|a p \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R               2            2               +---+
--R         ((- 2a p q - 2a b p )x - 4a b p q)\|a p
--R     ,

--R
--R                                   +---------------------------+
--R                             +---+ |     2
--R             (- 2a q - 2b p)\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R               2 2               2 2           2     2
--R             (a q  + 2a b p q + b p )x + 2a b q  + 2b p q
--R        *
--R                         +---------------------------+
--R                 +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R                \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R           atan(-------------------------------------------------------)
--R                                         a p x
--R       +
--R                                +---------------------------+
--R                        +-----+ |     2
--R         (- a q - b p)x\|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                2                 +-----+ +---+
--R         (2a p x  + (a q + b p)x)\|- a p \|b q
--R    /
--R                            +---------------------------+
--R              +-----+ +---+ |     2
--R         2a p\|- a p \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R              2           2               +-----+
--R         ((- a p q - a b p )x - 2a b p q)\|- a p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 11 of 45
bb1:=integrate(1/(sqrt(a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R   (2)
--R                                                          +--------------+
--R                      2  +-------+                        |             2
--R        (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R    log(------------------------------------------------------------------)
--R                                      p x + q
--R   [-----------------------------------------------------------------------,
--R                                +--------------+
--R                                |             2
--R                               \|- a p q + b p
--R           +------------+
--R           |           2  +-------+
--R          \|a p q - b p  \|a x + b
--R    2atan(-------------------------)
--R                  a q - b p
--R    --------------------------------]

--R              +------------+
--R              |           2
--R             \|a p q - b p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 12 of 45
bb2:=sqrt((a*x+b)*(p*x+q))/(a*p)-(b*p+a*q)/(2*a*p)
--R
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R        2\|a p x  + (a q + b p)x + b q  - a q - b p
--R   (3)  -------------------------------------------
--R                            2a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 13 of 45
bb:=bb2*bb1
--R
--R   (4)
--R   [
--R            +---------------------------+
--R            |     2
--R         (2\|a p x  + (a q + b p)x + b q  - a q - b p)
--R      *
--R                                                             +--------------+
--R                         2  +-------+                        |             2
--R           (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R       log(------------------------------------------------------------------)
--R                                         p x + q
--R    /
--R            +--------------+
--R            |             2
--R       2a p\|- a p q + b p
--R     ,
--R                                                       +------------+
--R       +---------------------------+                   |           2  +-------+
--R       |     2                                        \|a p q - b p  \|a x + b
--R    (2\|a p x  + (a q + b p)x + b q  - a q - b p)atan(-------------------------)
--R                                                              a q - b p
--R    ----------------------------------------------------------------------------
--R                                     +------------+
--R                                     |           2
--R                                 a p\|a p q - b p
--R     ]
--R                                            Type: Vector(Expression(Integer))
--E
--S 14 of 45     14:121 Axiom cannot simplify this answer

cc:=aa-bb
--R
--R   (5)
--R   [
--R                              +---+ +---+                           +---+
--R               ((2a q + 2b p)\|a p \|b q  + ((2a q + 2b p)x + 4b q)\|a p )
--R            *
--R                +---------------------------+
--R                |     2
--R               \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                      2                            +---+ +---+
--R             (- 4a p x  + (- 4a q - 4b p)x - 4b q)\|a p \|b q
--R           +
--R                  2 2               2 2           2     2     +---+
--R             ((- a q  - 2a b p q - b p )x - 2a b q  - 2b p q)\|a p
--R        *
--R                                                               +--------------+
--R                           2  +-------+                        |             2
--R             (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R         log(------------------------------------------------------------------)
--R                                           p x + q
--R       +
--R                           +--------------+       +---------------------------+
--R                           |             2  +---+ |     2
--R             (2a q + 2b p)\|- a p q + b p  \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                                                              +--------------+
--R                  2 2               2 2           2     2     |             2
--R             ((- a q  - 2a b p q - b p )x - 2a b q  - 2b p q)\|- a p q + b p
--R        *
--R           log
--R                                           +---------------------------+
--R                     +---+ +---+           |     2
--R                  (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R                +
--R                           +---+            2                          +---+
--R                  - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R             /
--R                        +---------------------------+
--R                  +---+ |     2
--R                2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R       +
--R                          +--------------+       +---------------------------+
--R                          |             2  +---+ |     2
--R         (- 2a q - 2b p)x\|- a p q + b p  \|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                                    +--------------+
--R                2                   |             2  +---+ +---+
--R         (4a p x  + (2a q + 2b p)x)\|- a p q + b p  \|a p \|b q

--R    /
--R              +--------------+             +---------------------------+
--R              |             2  +---+ +---+ |     2
--R         4a p\|- a p q + b p  \|a p \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                                            +--------------+
--R               2            2               |             2  +---+
--R         ((- 2a p q - 2a b p )x - 4a b p q)\|- a p q + b p  \|a p
--R     ,
--R
--R                                   +------------+ +---------------------------+
--R                             +---+ |           2  |     2
--R             (- 2a q - 2b p)\|b q \|a p q - b p  \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                                                            +------------+
--R                2 2               2 2           2     2     |           2
--R             ((a q  + 2a b p q + b p )x + 2a b q  + 2b p q)\|a p q - b p
--R        *
--R                         +---------------------------+
--R                 +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R                \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R           atan(-------------------------------------------------------)
--R                                         a p x
--R       +
--R                              +-----+ +---+                           +-----+
--R               ((2a q + 2b p)\|- a p \|b q  + ((2a q + 2b p)x + 4b q)\|- a p )
--R            *
--R                +---------------------------+
--R                |     2
--R               \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                      2                            +-----+ +---+
--R             (- 4a p x  + (- 4a q - 4b p)x - 4b q)\|- a p \|b q
--R           +
--R                  2 2               2 2           2     2     +-----+
--R             ((- a q  - 2a b p q - b p )x - 2a b q  - 2b p q)\|- a p
--R        *
--R                 +------------+
--R                 |           2  +-------+
--R                \|a p q - b p  \|a x + b
--R           atan(-------------------------)
--R                        a q - b p
--R       +
--R                                +------------+ +---------------------------+
--R                        +-----+ |           2  |     2
--R         (- a q - b p)x\|- a p \|a p q - b p  \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                                                +------------+
--R                2                 +-----+ +---+ |           2
--R         (2a p x  + (a q + b p)x)\|- a p \|b q \|a p q - b p

--R    /
--R                            +------------+ +---------------------------+
--R              +-----+ +---+ |           2  |     2
--R         2a p\|- a p \|b q \|a p q - b p  \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                                                  +------------+
--R              2           2               +-----+ |           2
--R         ((- a p q - a b p )x - 2a b p q)\|- a p \|a p q - b p
--R     ]
--R                                            Type: Vector(Expression(Integer))
--E

———-

3 [?]:14.122 ∫ \sqrt{(ax + b)(px + q)} dx

∫ \sqrt{(ax + b)(px + q)} = \frac{2apx + bp + aq}{4ap} \sqrt{(ax + b)(px + q)}− \frac{(bp − aq)^{2}}{8ap} ∫ \frac{1}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}

— * —

)clear all
--S 15 of 45
aa:=integrate(sqrt((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R                    3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R                 (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R               +
--R                   3 2
--R                 8b p q
--R            *
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R               \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R                 4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R             (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R           +
--R                  3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4
--R             (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q
--R           +
--R                  3   3     4 2 2
--R             16a b p q  - 8b p q
--R        *
--R           log

--R                                           +---------------------------+
--R                     +---+ +---+           |     2
--R                  (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R                +
--R                           +---+            2                          +---+
--R                  - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R             /
--R                        +---------------------------+
--R                  +---+ |     2
--R                2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R       +
--R                  3   2      2   2        2 3  3
--R             (- 4a p q  - 24a b p q - 4a b p )x
--R           +
--R                  3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R             (- 2a q  - 46a b p q  - 46a b p q - 2b p )x
--R           +
--R                  2   3        2   2     3 2
--R             (- 8a b q  - 48a b p q  - 8b p q)x
--R        *
--R                  +---------------------------+
--R            +---+ |     2
--R           \|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                 3 2       2   3  4       3   2      2   2         2 3  3
--R             (16a p q + 16a b p )x  + (24a p q  + 80a b p q + 24a b p )x
--R           +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R             (6a q  + 74a b p q  + 74a b p q + 6b p )x
--R           +
--R                2   3        2   2     3 2
--R             (8a b q  + 48a b p q  + 8b p q)x
--R        *
--R            +---+ +---+
--R           \|a p \|b q
--R    /
--R                2             2                +---+ +---+
--R           ((32a p q + 32a b p )x + 64a b p q)\|a p \|b q
--R        *
--R            +---------------------------+
--R            |     2
--R           \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                  3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R             (- 8a p q  - 48a b p q - 8a b p )x  + (- 64a b p q  - 64a b p q)x
--R           +
--R                    2   2
--R             - 64a b p q
--R        *
--R            +---+

--R           \|a p
--R     ,
--R
--R                      3 3     2     2       2 2      3 3       2   3
--R                 (- 4a q  + 4a b p q  + 4a b p q - 4b p )x - 8a b q
--R               +
--R                      2   2     3 2
--R                 16a b p q  - 8b p q
--R            *
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R               \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R           +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R             (a q  + 4a b p q  - 10a b p q  + 4a b p q + b p )x
--R           +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R             (8a b q  - 8a b p q  - 8a b p q  + 8b p q)x + 8a b q  - 16a b p q
--R           +
--R               4 2 2
--R             8b p q
--R        *
--R                         +---------------------------+
--R                 +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R                \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R           atan(-------------------------------------------------------)
--R                                         a p x
--R       +
--R                  3   2      2   2        2 3  3
--R             (- 2a p q  - 12a b p q - 2a b p )x
--R           +
--R                 3 3      2     2        2 2     3 3  2
--R             (- a q  - 23a b p q  - 23a b p q - b p )x
--R           +
--R                  2   3        2   2     3 2
--R             (- 4a b q  - 24a b p q  - 4b p q)x
--R        *
--R                    +---------------------------+
--R            +-----+ |     2
--R           \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                3 2      2   3  4       3   2      2   2         2 3  3
--R             (8a p q + 8a b p )x  + (12a p q  + 40a b p q + 12a b p )x
--R           +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R             (3a q  + 37a b p q  + 37a b p q + 3b p )x
--R           +
--R                2   3        2   2     3 2
--R             (4a b q  + 24a b p q  + 4b p q)x
--R        *

--R            +-----+ +---+
--R           \|- a p \|b q
--R    /
--R                2             2                +-----+ +---+
--R           ((16a p q + 16a b p )x + 32a b p q)\|- a p \|b q
--R        *
--R            +---------------------------+
--R            |     2
--R           \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R       +
--R                  3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R             (- 4a p q  - 24a b p q - 4a b p )x  + (- 32a b p q  - 32a b p q)x
--R           +
--R                    2   2
--R             - 32a b p q
--R        *
--R            +-----+
--R           \|- a p
--R     ]
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

———-

Since there are two parts to the aa variable we split them:

— * —

--S 16 of 45
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R         +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  + 16a b p q
--R         +
--R               4 2 2
--R           - 8b p q
--R      *
--R         log

--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                         +---+            2                          +---+
--R                - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  3
--R           (- 4a p q  - 24a b p q - 4a b p )x
--R         +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R           (- 2a q  - 46a b p q  - 46a b p q - 2b p )x
--R         +
--R                2   3        2   2     3 2
--R           (- 8a b q  - 48a b p q  - 8b p q)x
--R      *
--R                +---------------------------+
--R          +---+ |     2
--R         \|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R               3 2       2   3  4       3   2      2   2         2 3  3
--R           (16a p q + 16a b p )x  + (24a p q  + 80a b p q + 24a b p )x
--R         +
--R              3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R           (6a q  + 74a b p q  + 74a b p q + 6b p )x
--R         +
--R              2   3        2   2     3 2
--R           (8a b q  + 48a b p q  + 8b p q)x
--R      *
--R          +---+ +---+
--R         \|a p \|b q
--R  /
--R              2             2                +---+ +---+
--R         ((32a p q + 32a b p )x + 64a b p q)\|a p \|b q
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R           (- 8a p q  - 48a b p q - 8a b p )x  + (- 64a b p q  - 64a b p q)x
--R         +
--R                  2   2
--R           - 64a b p q
--R      *
--R          +---+

--R         \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 17 of 45
aa2:=aa.2
--R
--R   (3)
--R                    3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (- 4a q  + 4a b p q  + 4a b p q - 4b p )x - 8a b q  + 16a b p q
--R             +
--R                   3 2
--R               - 8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R             4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (a q  + 4a b p q  - 10a b p q  + 4a b p q + b p )x
--R         +
--R              3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (8a b q  - 8a b p q  - 8a b p q  + 8b p q)x + 8a b q  - 16a b p q
--R         +
--R             4 2 2
--R           8b p q
--R      *
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R         atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  3
--R           (- 2a p q  - 12a b p q - 2a b p )x
--R         +
--R               3 3      2     2        2 2     3 3  2
--R           (- a q  - 23a b p q  - 23a b p q - b p )x
--R         +
--R                2   3        2   2     3 2
--R           (- 4a b q  - 24a b p q  - 4b p q)x
--R      *
--R                  +---------------------------+
--R          +-----+ |     2
--R         \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R              3 2      2   3  4       3   2      2   2         2 3  3
--R           (8a p q + 8a b p )x  + (12a p q  + 40a b p q + 12a b p )x
--R         +
--R              3 3      2     2        2 2      3 3  2

--R           (3a q  + 37a b p q  + 37a b p q + 3b p )x
--R         +
--R              2   3        2   2     3 2
--R           (4a b q  + 24a b p q  + 4b p q)x
--R      *
--R          +-----+ +---+
--R         \|- a p \|b q
--R  /
--R              2             2                +-----+ +---+
--R         ((16a p q + 16a b p )x + 32a b p q)\|- a p \|b q
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R           (- 4a p q  - 24a b p q - 4a b p )x  + (- 32a b p q  - 32a b p q)x
--R         +
--R                  2   2
--R           - 32a b p q
--R      *
--R          +-----+
--R         \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

We break the books answer into 3 parts, the first term, the coefficient of the second term, and the integral.

— * —

--S 18 of 45
bba:=((2*a*p*x+b*p+a*q)/(4*a*p))*sqrt((a*x+b)*(p*x+q))
--R
--R                             +---------------------------+
--R                             |     2
--R        (2a p x + a q + b p)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R   (4)  --------------------------------------------------
--R                               4a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 45
bbb:=-(b*p-a*q)^2/(8*a*p)
--R
--R           2 2               2 2
--R        - a q  + 2a b p q - b p
--R   (5)  ------------------------
--R                  8a p
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))

--E
--S 20 of 45
bbc:=integrate(1/sqrt((a*x+b)*(p*x+q)),x)
--R
--R   (6)
--R   [
--R       log
--R                                       +---------------------------+
--R                 +---+ +---+           |     2
--R              (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R            +
--R                     +---+            2                          +---+
--R              2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R         /
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R            2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R    /
--R        +---+
--R       \|a p
--R     ,
--R                   +---------------------------+
--R           +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R          \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R    2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                   a p x
--R    --------------------------------------------------------------]
--R                                +-----+
--R                               \|- a p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E

———-

Since the integral has two parts, we break them apart — * —

--S 21 of 45
bbc1:=bbc.1
--R
--R   (7)
--R     log
--R                                     +---------------------------+
--R               +---+ +---+           |     2
--R            (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R          +
--R                   +---+            2                          +---+
--R            2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R       /
--R                  +---------------------------+

--R            +---+ |     2
--R          2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R  /
--R      +---+
--R     \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 45
bbc2:=bbc.2
--R
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R        2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R   (8)  --------------------------------------------------------------
--R                                    +-----+
--R                                   \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

And now we construct the two bb answers based on the integral parts — * —

--S 23 of 45
bb1:=bba+bbb*bbc1
--R
--R   (9)
--R             2 2               2 2
--R         (- a q  + 2a b p q - b p )
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                                    +---------------------------+
--R                              +---+ |     2
--R       (4a p x + 2a q + 2b p)\|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R  /
--R          +---+

--R     8a p\|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 24 of 45
bb2:=bba+bbb*bbc2
--R
--R   (10)
--R             2 2               2 2
--R         (- a q  + 2a b p q - b p )
--R      *
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R         atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R     +
--R                                    +---------------------------+
--R                            +-----+ |     2
--R       (2a p x + a q + b p)\|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R  /
--R          +-----+
--R     4a p\|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

So there are 4 possible combinations that might yield an answer. We construct all four. — * —

--S 25 of 45
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (11)
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R         +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  + 16a b p q
--R         +

--R               4 2 2
--R           - 8b p q
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                         +---+            2                          +---+
--R                - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R         +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  + 16a b p q
--R         +
--R               4 2 2
--R           - 8b p q
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R             2   3        2   2     3 2           2 3      3   2  +---+
--R         ((8a b q  + 16a b p q  + 8b p q)x + 16a b q  + 16b p q )\|a p
--R      *
--R          +---------------------------+

--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R           (- 2a q  - 14a b p q  - 14a b p q - 2b p )x
--R         +
--R                 2   3        2   2      3 2           2 3      3   2
--R           (- 16a b q  - 32a b p q  - 16b p q)x - 16a b q  - 16b p q
--R      *
--R          +---+ +---+
--R         \|a p \|b q
--R  /
--R              2             2                +---+ +---+
--R         ((32a p q + 32a b p )x + 64a b p q)\|a p \|b q
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R           (- 8a p q  - 48a b p q - 8a b p )x  + (- 64a b p q  - 64a b p q)x
--R         +
--R                  2   2
--R           - 64a b p q
--R      *
--R          +---+
--R         \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 45
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (12)
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                            +---------------------------+
--R              +-----+ +---+ |     2
--R             \|- a p \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R                   4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R               (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R             +
--R                    3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4
--R               (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q
--R             +

--R                    3   3     4 2 2
--R               16a b p q  - 8b p q
--R          *
--R              +-----+
--R             \|- a p
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                         +---+            2                          +---+
--R                - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3        2   3        2   2
--R               (8a q  - 8a b p q  - 8a b p q + 8b p )x + 16a b q  - 32a b p q
--R             +
--R                  3 2
--R               16b p q
--R          *
--R                          +---------------------------+
--R              +---+ +---+ |     2
--R             \|a p \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R                    4 4     3     3      2 2 2 2       3 3      4 4  2
--R               (- 2a q  - 8a b p q  + 20a b p q  - 8a b p q - 2b p )x
--R             +
--R                     3   4      2 2   3        3 2 2      4 3         2 2 4
--R               (- 16a b q  + 16a b p q  + 16a b p q  - 16b p q)x - 16a b q
--R             +
--R                    3   3      4 2 2
--R               32a b p q  - 16b p q
--R          *
--R              +---+
--R             \|a p
--R      *
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R         atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R     +
--R             2   3        2   2     3 2           2 3      3   2  +-----+ +---+
--R         ((8a b q  + 16a b p q  + 8b p q)x + 16a b q  + 16b p q )\|- a p \|a p
--R      *
--R          +---------------------------+

--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R           (- 2a q  - 14a b p q  - 14a b p q - 2b p )x
--R         +
--R                 2   3        2   2      3 2           2 3      3   2
--R           (- 16a b q  - 32a b p q  - 16b p q)x - 16a b q  - 16b p q
--R      *
--R          +-----+ +---+ +---+
--R         \|- a p \|a p \|b q
--R  /
--R              2             2                +-----+ +---+ +---+
--R         ((32a p q + 32a b p )x + 64a b p q)\|- a p \|a p \|b q
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R           (- 8a p q  - 48a b p q - 8a b p )x  + (- 64a b p q  - 64a b p q)x
--R         +
--R                  2   2
--R           - 64a b p q
--R      *
--R          +-----+ +---+
--R         \|- a p \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 45
cc3:=aa1-bb1
--R
--R   (13)
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R         +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  + 16a b p q
--R         +

--R               4 2 2
--R           - 8b p q
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  + 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                         +---+            2                          +---+
--R                - 2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                  3 3     2     2       2 2      3 3       2   3        2   2
--R               (4a q  - 4a b p q  - 4a b p q + 4b p )x + 8a b q  - 16a b p q
--R             +
--R                 3 2
--R               8b p q
--R          *
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R             \|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R         +
--R               4 4     3     3      2 2 2 2       3 3     4 4  2
--R           (- a q  - 4a b p q  + 10a b p q  - 4a b p q - b p )x
--R         +
--R                3   4     2 2   3       3 2 2     4 3        2 2 4        3   3
--R           (- 8a b q  + 8a b p q  + 8a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  + 16a b p q
--R         +
--R               4 2 2
--R           - 8b p q
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R             2   3        2   2     3 2           2 3      3   2  +---+
--R         ((8a b q  + 16a b p q  + 8b p q)x + 16a b q  + 16b p q )\|a p
--R      *
--R          +---------------------------+

--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3 3      2     2        2 2      3 3  2
--R           (- 2a q  - 14a b p q  - 14a b p q - 2b p )x
--R         +
--R                 2   3        2   2      3 2           2 3      3   2
--R           (- 16a b q  - 32a b p q  - 16b p q)x - 16a b q  - 16b p q
--R      *
--R          +---+ +---+
--R         \|a p \|b q
--R  /
--R              2             2                +---+ +---+
--R         ((32a p q + 32a b p )x + 64a b p q)\|a p \|b q
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R           (- 8a p q  - 48a b p q - 8a b p )x  + (- 64a b p q  - 64a b p q)x
--R         +
--R                  2   2
--R           - 64a b p q
--R      *
--R          +---+
--R         \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 45     14:122 Axiom cannot simplify this answer
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (14)
--R             2   3       2   2     3 2          2 3     3   2
--R         ((4a b q  + 8a b p q  + 4b p q)x + 8a b q  + 8b p q )
--R      *
--R          +---------------------------+
--R          |     2
--R         \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R               3 3     2     2       2 2     3 3  2
--R           (- a q  - 7a b p q  - 7a b p q - b p )x
--R         +
--R                2   3        2   2     3 2          2 3     3   2
--R           (- 8a b q  - 16a b p q  - 8b p q)x - 8a b q  - 8b p q
--R      *
--R          +---+
--R         \|b q
--R  /

--R                                                 +---------------------------+
--R            2             2                +---+ |     2
--R       ((16a p q + 16a b p )x + 32a b p q)\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R            3   2      2   2        2 3  2         2     2        2 2
--R       (- 4a p q  - 24a b p q - 4a b p )x  + (- 32a b p q  - 32a b p q)x
--R     +
--R              2   2
--R       - 32a b p q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.123 ∫ \sqrt{\frac{px + q}{ax + b}} dx

∫ \sqrt{\frac{px + q}{ax + b}} = \frac{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}{a} + \frac{aq − bp}{2a} ∫ \frac{1}{\sqrt{(ax + b)(px + q)}}

— * —

)clear all
--S 29 of 45
aa:=integrate(sqrt((p*x+q)/(a*x+b)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R   [
--R           (a q - b p)
--R        *
--R                                                              +-------+
--R                                    +---+      2              |p x + q
--R           log((2a p x + a q + b p)\|a p  + (2a p x + 2a b p) |------- )
--R                                                             \|a x + b
--R       +
--R                     +-------+
--R                     |p x + q  +---+
--R         (2a x + 2b) |------- \|a p
--R                    \|a x + b
--R    /
--R          +---+
--R       2a\|a p
--R     ,
--R                             +-------+
--R                     +-----+ |p x + q

--R                    \|- a p  |-------                       +-------+
--R                            \|a x + b               +-----+ |p x + q
--R    (a q - b p)atan(------------------) + (a x + b)\|- a p  |-------
--R                             p                             \|a x + b
--R    -----------------------------------------------------------------]
--R                                  +-----+
--R                                a\|- a p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 30 of 45
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                                                                     +-------+
--R                                           +---+      2              |p x + q
--R       (a q - b p)log((2a p x + a q + b p)\|a p  + (2a p x + 2a b p) |------- )
--R                                                                    \|a x + b
--R     +
--R                   +-------+
--R                   |p x + q  +---+
--R       (2a x + 2b) |------- \|a p
--R                  \|a x + b
--R  /
--R        +---+
--R     2a\|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 45
aa2:=aa.2
--R
--R                                 +-------+
--R                         +-----+ |p x + q
--R                        \|- a p  |-------                       +-------+
--R                                \|a x + b               +-----+ |p x + q
--R        (a q - b p)atan(------------------) + (a x + b)\|- a p  |-------
--R                                 p                             \|a x + b
--R   (3)  -----------------------------------------------------------------
--R                                      +-----+
--R                                    a\|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 45
bba:=sqrt((a*x+b)*(p*x+q))/a
--R
--R         +---------------------------+
--R         |     2
--R        \|a p x  + (a q + b p)x + b q

--R   (4)  ------------------------------
--R                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 45
bbb:=(a*q-b*p)/(2*a)
--R
--R        a q - b p
--R   (5)  ---------
--R            2a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 34 of 45
bbc:=integrate(1/(sqrt((a*x+b)*(p*x+q))),x)
--R
--R   (6)
--R   [
--R       log
--R                                       +---------------------------+
--R                 +---+ +---+           |     2
--R              (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R            +
--R                     +---+            2                          +---+
--R              2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R         /
--R                    +---------------------------+
--R              +---+ |     2
--R            2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R    /
--R        +---+
--R       \|a p
--R     ,
--R                   +---------------------------+
--R           +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R          \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R    2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                   a p x
--R    --------------------------------------------------------------]
--R                                +-----+
--R                               \|- a p
--R                                   Type: Union(List(Expression(Integer)),...)
--E
--S 35 of 45
bbc1:=bbc.1
--R
--R   (7)
--R     log

--R                                     +---------------------------+
--R               +---+ +---+           |     2
--R            (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R          +
--R                   +---+            2                          +---+
--R            2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R       /
--R                  +---------------------------+
--R            +---+ |     2
--R          2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R  /
--R      +---+
--R     \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 36 of 45
bbc2:=bbc.2
--R
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R        2atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R   (8)  --------------------------------------------------------------
--R                                    +-----+
--R                                   \|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 45
bb1:=bba+bbb*bbc1
--R
--R   (9)
--R         (a q - b p)
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R               +---------------------------+
--R         +---+ |     2

--R       2\|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R  /
--R        +---+
--R     2a\|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 45
bb2:=bba+bbb*bbc2
--R
--R   (10)
--R                                +---------------------------+
--R                        +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R                       \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R       (a q - b p)atan(-------------------------------------------------------)
--R                                                a p x
--R     +
--R                +---------------------------+
--R        +-----+ |     2
--R       \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R  /
--R       +-----+
--R     a\|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 45
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (11)
--R                                                                     +-------+
--R                                           +---+      2              |p x + q
--R       (a q - b p)log((2a p x + a q + b p)\|a p  + (2a p x + 2a b p) |------- )
--R                                                                    \|a x + b
--R     +
--R         (- a q + b p)
--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                 +---------------------------+               +-------+

--R           +---+ |     2                                     |p x + q  +---+
--R       - 2\|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (2a x + 2b) |------- \|a p
--R                                                            \|a x + b
--R  /
--R        +---+
--R     2a\|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 40 of 45
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (12)
--R                     +-----+
--R         (a q - b p)\|- a p
--R      *
--R                                                            +-------+
--R                                  +---+      2              |p x + q
--R         log((2a p x + a q + b p)\|a p  + (2a p x + 2a b p) |------- )
--R                                                           \|a x + b
--R     +
--R                         +---+
--R         (- 2a q + 2b p)\|a p
--R      *
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R         atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R     +
--R                         +---------------------------+
--R           +-----+ +---+ |     2
--R       - 2\|- a p \|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                           +-------+
--R                   +-----+ |p x + q  +---+
--R       (2a x + 2b)\|- a p  |------- \|a p
--R                          \|a x + b
--R  /
--R        +-----+ +---+
--R     2a\|- a p \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 45
cc3:=aa2-bb1
--R
--R   (13)
--R                       +-----+
--R         (- a q + b p)\|- a p

--R      *
--R         log
--R                                         +---------------------------+
--R                   +---+ +---+           |     2
--R                (2\|a p \|b q  - 2a p x)\|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R              +
--R                       +---+            2                          +---+
--R                2a p x\|b q  + (- 2a p x  + (- a q - b p)x - 2b q)\|a p
--R           /
--R                      +---------------------------+
--R                +---+ |     2
--R              2\|b q \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- a q - b p)x - 2b q
--R     +
--R                                        +-------+
--R                                +-----+ |p x + q
--R                               \|- a p  |-------
--R                     +---+             \|a x + b
--R       (2a q - 2b p)\|a p atan(------------------)
--R                                        p
--R     +
--R                         +---------------------------+
--R           +-----+ +---+ |     2
--R       - 2\|- a p \|a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                           +-------+
--R                   +-----+ |p x + q  +---+
--R       (2a x + 2b)\|- a p  |------- \|a p
--R                          \|a x + b
--R  /
--R        +-----+ +---+
--R     2a\|- a p \|a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 45     14:123 Axiom cannot simplify these results
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (14)
--R         (- a q + b p)
--R      *
--R                       +---------------------------+
--R               +-----+ |     2                          +-----+ +---+
--R              \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  - \|- a p \|b q
--R         atan(-------------------------------------------------------)
--R                                       a p x
--R     +
--R                                +-------+
--R                        +-----+ |p x + q
--R                       \|- a p  |-------
--R                               \|a x + b

--R       (a q - b p)atan(------------------)
--R                                p
--R     +
--R                  +---------------------------+                     +-------+
--R          +-----+ |     2                                   +-----+ |p x + q
--R       - \|- a p \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (a x + b)\|- a p  |-------
--R                                                                   \|a x + b
--R  /
--R       +-----+
--R     a\|- a p
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.124 ∫ \frac{dx}{(px + q)\sqrt{(ax + b)(px + q)}} dx

∫ \frac{1}{(px + q)\sqrt{(ax + b)(px + q)}} = \frac{2\sqrt{ax + b}}{(aq − bp)\sqrt{px + q}}

— * —

)clear all
--S 43 of 45
aa:=integrate(1/((p*x+q)*sqrt((a*x+b)*(p*x+q))),x)
--R
--R
--R                                 2x
--R   (1)  ---------------------------------------------------
--R          +---------------------------+
--R          |     2                                     +---+
--R        q\|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (- p x - q)\|b q
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 44 of 45
bb:=(2*sqrt(a*x+b))/((a*q-b*p)*sqrt(p*x+q))
--R
--R               +-------+
--R             2\|a x + b
--R   (2)  ---------------------
--R                    +-------+
--R        (a q - b p)\|p x + q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 45 of 45     14:124 Axiom cannot simplify this result
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                      +---------------------------+
--R            +-------+ |     2                                        +-------+
--R       - 2q\|a x + b \|a p x  + (a q + b p)x + b q  + (2a q - 2b p)x\|p x + q
--R     +
--R                   +---+ +-------+
--R       (2p x + 2q)\|b q \|a x + b
--R  /
--R                                +---------------------------+
--R           2          +-------+ |     2
--R       (a q  - b p q)\|p x + q \|a p x  + (a q + b p)x + b q
--R     +
--R                      2        2          +---+ +-------+
--R       ((- a p q + b p )x - a q  + b p q)\|b q \|p x + q
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 pp63-64