$SPAD/input schaum6.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.125 ∫ \frac{dx}{x^{2} + a^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

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)clear all
--S 1 of 68
aa:=integrate(1/(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R             x
--R        atan(-)
--R             a
--R   (1)  -------
--R           a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 68
bb:=(1/a)*atan(x/a)
--R
--R             x
--R        atan(-)
--R             a
--R   (2)  -------
--R           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 68      14:125 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.126 ∫ \frac{x dx}{x^{2} + a^{2}}

∫ \frac{x}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{2} ln(x^{2} + a^{2})

— * —

)clear all
--S 4 of 68
aa:=integrate(x/(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R             2    2
--R        log(x  + a )
--R   (1)  ------------
--R              2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 5 of 68
bb:=(1/2)*log(x^2+a^2)
--R
--R             2    2
--R        log(x  + a )
--R   (2)  ------------
--R              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 68      14:126 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.127 ∫ \frac{x^{2} dx}{x^{2} + a^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} = x − a tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 7 of 68
aa:=integrate(x^2/(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R                 x
--R   (1)  - a atan(-) + x
--R                 a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 8 of 68
bb:=x-a*atan(x/a)
--R
--R                 x
--R   (2)  - a atan(-) + x
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 9 of 68      14:127 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.128 ∫ \frac{x^{3} dx}{x^{2} + a^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{x^{2} + a^{2}} = \frac{x^{2}}{2} − \frac{a^{2}}{2} ln(x^{2} + a^{2})

— * —

)clear all
--S 10 of 68
aa:=integrate(x^3/(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R           2     2    2     2
--R        - a log(x  + a ) + x
--R   (1)  ---------------------
--R                  2

--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 11 of 68
bb:=x^2/2-a^2/2*log(x^2+a^2)
--R
--R           2     2    2     2
--R        - a log(x  + a ) + x
--R   (2)  ---------------------
--R                  2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 68     14:128 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.129 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} + a^{2})}

∫ \frac{1}{x(x^{2} + a^{2})} = \frac{1}{2a^{2}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 13 of 68
aa:=integrate(1/(x*(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R               2    2
--R        - log(x  + a ) + 2log(x)
--R   (1)  ------------------------
--R                     2
--R                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 68
bb:=1/(2*a^2)*log(x^2/(x^2+a^2))
--R
--R                2
--R               x

--R        log(-------)
--R             2    2
--R            x  + a
--R   (2)  ------------
--R               2
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 68
cc:=aa-bb
--R
--R                                           2
--R               2    2                     x
--R        - log(x  + a ) + 2log(x) - log(-------)
--R                                        2    2
--R                                       x  + a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            2
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 68
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 17 of 68
dd:=divlog cc
--R
--R               2
--R        - log(x ) + 2log(x)
--R   (5)  -------------------
--R                  2
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 68
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 19 of 68     14:129 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.130 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} + a^{2})}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} + a^{2})} = −\frac{1}{a^{2}x} − \frac{1}{a^{3}} tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 20 of 68
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R                 x
--R        - x atan(-) - a
--R                 a
--R   (1)  ---------------
--R               3
--R              a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 21 of 68
bb:=-1/(a^2*x)-1/a^3*atan(x/a)
--R
--R                 x
--R        - x atan(-) - a
--R                 a
--R   (2)  ---------------
--R               3
--R              a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 68     14:130 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R

--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.131 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} + a^{2})}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} + a^{2})} = −\frac{1}{2a^{2}x^{2}} − \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 23 of 68
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R         2     2    2      2          2
--R        x log(x  + a ) - 2x log(x) - a
--R   (1)  -------------------------------
--R                       4 2
--R                     2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 24 of 68
bb:=-1/(2*a^2*x^2)-1/(2*a^4)*log(x^2/(x^2+a^2))
--R
--R                    2
--R           2       x        2
--R        - x log(-------) - a
--R                 2    2
--R                x  + a
--R   (2)  ---------------------
--R                  4 2
--R                2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 25 of 68
cc:=aa-bb
--R
--R                                         2
--R             2    2                     x
--R        log(x  + a ) - 2log(x) + log(-------)

--R                                      2    2
--R                                     x  + a
--R   (3)  -------------------------------------
--R                           4
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 68
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 27 of 68
dd:=divlog cc
--R
--R             2
--R        log(x ) - 2log(x)
--R   (5)  -----------------
--R                 4
--R               2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 68
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 29 of 68     14:131 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.132 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{(x^{2} + a^{2})^{2}} = \frac{x}{2a^{2}(x^{2} + a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}} tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 30 of 68
aa:=integrate(1/((x^2+a^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2      x
--R        (x  + a )atan(-) + a x
--R                      a
--R   (1)  ----------------------
--R                3 2     5
--R              2a x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 31 of 68
bb:=x/(2*a^2*(x^2+a^2))+1/(2*a^3)*atan(x/a)
--R
--R          2    2      x
--R        (x  + a )atan(-) + a x
--R                      a
--R   (2)  ----------------------
--R                3 2     5
--R              2a x  + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 68     14:132 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.133 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{x}{(x^{2} + a^{2})^{2}} = \frac{−1}{2(x^{2} + a^{2})}

— * —

)clear all
--S 33 of 68
aa:=integrate(x/((x^2+a^2)^2),x)
--R
--R
--R              1
--R   (1)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 68
bb:=-1/(2*(x^2+a^2))
--R
--R              1
--R   (2)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  + 2a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 35 of 68     14:133 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.134 ∫ \frac{x^{2}dx}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + a^{2})^{2}} = \frac{−x}{2(x^{2} + a^{2})} + \frac{1}{2a} tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

--S 36 of 68
aa:=integrate(x^2/((x^2+a^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2      x
--R        (x  + a )atan(-) - a x
--R                      a
--R   (1)  ----------------------
--R                  2     3
--R              2a x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 37 of 68
bb:=-x/(2*(x^2+a^2))+1/(2*a)*atan(x/a)
--R
--R          2    2      x
--R        (x  + a )atan(-) - a x
--R                      a
--R   (2)  ----------------------
--R                  2     3
--R              2a x  + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 68     14:134 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.135 ∫ \frac{x^{3}dx}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} + a^{2})^{2}} = \frac{a^{2}}{2(x^{2} + a^{2})} + \frac{1}{2} ln(x^{2} + a^{2})

— * —

)clear all
--S 39 of 68
aa:=integrate(x^3/((x^2+a^2)^2),x)
--R

--R
--R          2    2      2    2     2
--R        (x  + a )log(x  + a ) + a
--R   (1)  --------------------------
--R                   2     2
--R                 2x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 40 of 68
bb:=a^2/(2*(x^2+a^2))+1/2*log(x^2+a^2)
--R
--R          2    2      2    2     2
--R        (x  + a )log(x  + a ) + a
--R   (2)  --------------------------
--R                   2     2
--R                 2x  + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 68     14:135 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.136 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} + a^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}(x^{2} + a^{2})} + \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 42 of 68
aa:=integrate(1/(x*(x^2+a^2)^2),x)
--R
--R
--R            2    2      2    2       2     2           2
--R        (- x  - a )log(x  + a ) + (2x  + 2a )log(x) + a
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                             4 2     6
--R                           2a x  + 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 43 of 68
bb:=1/(2*a^2*(x^2+a^2))+1/(2*a^4)*log(x^2/(x^2+a^2))
--R
--R                         2
--R          2    2        x        2
--R        (x  + a )log(-------) + a
--R                      2    2
--R                     x  + a
--R   (2)  --------------------------
--R                  4 2     6
--R                2a x  + 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 68
cc:=aa-bb
--R
--R                                           2
--R               2    2                     x
--R        - log(x  + a ) + 2log(x) - log(-------)
--R                                        2    2
--R                                       x  + a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            4
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 68
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 46 of 68
dd:=divlog cc
--R
--R               2
--R        - log(x ) + 2log(x)
--R   (5)  -------------------
--R                  4
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 47 of 68
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 48 of 68     14:136 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.137 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} + a^{2})^{2}} = −\frac{1}{a^{4}x} − \frac{x}{2a^{4}(x^{2} + a^{2})} − \frac{3}{2a^{5}} tan^{−1} \frac{x}{a}

— * —

)clear all
--S 49 of 68
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2+a^2)^2),x)
--R
--R             3     2       x        2     3
--R        (- 3x  - 3a x)atan(-) - 3a x  - 2a
--R                           a
--R   (1)  -----------------------------------
--R                      5 3     7
--R                    2a x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 50 of 68
bb:=-1/(a^4*x)-x/(2*a^4*(x^2+a^2))-3/(2*a^5)*atan(x/a)
--R
--R             3     2       x        2     3
--R        (- 3x  - 3a x)atan(-) - 3a x  - 2a
--R                           a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                      5 3     7
--R                    2a x  + 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 51 of 68     14:137 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.138 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} + a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} + a^{2})^{2}} = −\frac{1}{2a^{4}x^{2}} − \frac{1}{2a^{4}(x^{2} + a^{2})} − \frac{1}{a^{6}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 52 of 68
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2+a^2)^2),x)
--R
--R
--R           4     2 2      2    2         4     2 2            2 2    4
--R        (2x  + 2a x )log(x  + a ) + (- 4x  - 4a x )log(x) - 2a x  - a
--R   (1)  --------------------------------------------------------------
--R                                   6 4     8 2
--R                                 2a x  + 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 53 of 68
bb:=-1/(2*a^4*x^2)-1/(2*a^4*(x^2+a^2))-1/a^6*log(x^2/(x^2+a^2))
--R
--R                               2
--R             4     2 2        x         2 2    4
--R        (- 2x  - 2a x )log(-------) - 2a x  - a
--R                            2    2
--R                           x  + a
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                        6 4     8 2
--R                      2a x  + 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 68
cc:=aa-bb

--R
--R                                         2
--R             2    2                     x
--R        log(x  + a ) - 2log(x) + log(-------)
--R                                      2    2
--R                                     x  + a
--R   (3)  -------------------------------------
--R                           6
--R                          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 55 of 68
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 56 of 68
dd:=divlog cc
--R
--R             2
--R        log(x ) - 2log(x)
--R   (5)  -----------------
--R                 6
--R                a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 68
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 58 of 68     14:138 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.139 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{(x^{2} + a^{2})^{n}} = \frac{x}{2(n − 1)a^{2}(x^{2} + a^{2})^{n−1}} + \frac{2n − 3}{(2n − 2)a^{2}} ∫ \frac{1}{(x^{2} + a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 59 of 68     14:139 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/((x^2+a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++     2     2 n
--I             (a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

16 [?]:14.140 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} + a^{2})^{n}}

∫ \frac{x}{(x^{2} + a^{2})^{n}} = \frac{−1}{2(n − 1)(x^{2} + a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 60 of 68
aa:=integrate(x/((x^2+a^2)^n),x)
--R
--R
--R                   2    2
--R                - x  - a
--R   (1)  ------------------------
--R                         2    2
--R                  n log(x  + a )
--R        (2n - 2)%e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 61 of 68

bb:=-1/(2*(n-1)*(x^2+a^2)^(n-1))
--R
--R                     1
--R   (2)  - ----------------------
--R                    2    2 n - 1
--R          (2n - 2)(x  + a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 68
cc:=aa-bb
--R
--R                 2    2
--R          n log(x  + a )       2    2   2    2 n - 1
--R        %e               + (- x  - a )(x  + a )
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                                          2    2
--R                     2    2 n - 1  n log(x  + a )
--R           (2n - 2)(x  + a )     %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 63 of 68
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 64 of 68
dd:=explog cc
--R
--R          2    2 n       2    2   2    2 n - 1
--R        (x  + a )  + (- x  - a )(x  + a )
--R   (5)  --------------------------------------
--R                     2    2 n - 1  2    2 n
--R           (2n - 2)(x  + a )     (x  + a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 68     14:140 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.141 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} + a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} + a^{2})^{n}} = \frac{1}{2(n − 1)a^{2}(x^{2} + a^{2})^{n−1}} + \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x(x^{2} + a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 66 of 68     14:141 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/(x*(x^2+a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++        2     2 n
--I             %L (a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

18 [?]:14.142 ∫ \frac{x^{m}dx}{(x^{2} + a^{2})^{n}}

∫ \frac{x^{m}}{(x^{2} + a^{2})^{n}} = ∫ \frac{x^{m−2}}{(x^{2} + a^{2})^{n−1}} − a^{2} ∫ \frac{x^{m−2}}{(x^{2} + a^{2})^{n}}

— * —

)clear all
--S 67 of 68     14:142 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(x^m/((x^2+a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x       m
--I         ++      %L
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++     2     2 n
--I             (a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

19 [?]:14.143 ∫ \frac{dx}{x^{m}(x^{2} + a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x^{m}(x^{2} + a^{2})^{n}} = \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m}(x^{2} + a^{2})^{n−1}} − \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m−2}(x^{2} + a^{2})^{n}}

— * —

)clear all
--S 68 of 68     14:143 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^2+a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++     m  2     2 n
--I             %L (a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p64