$SPAD/input schaum7.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.144 ∫ \frac{dx}{x^{2} − a^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2} − a^{2}} = \frac{1}{2a} ln (\frac{x − a}{x + a})

∫ \frac{1}{x^{2} − a^{2}} = −\frac{1}{a} coth^{−1} \frac{x}{a}

— * —

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)clear all
--S 1 of 80
aa:=integrate(1/(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R        - log(x + a) + log(x - a)
--R   (1)  -------------------------
--R                    2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 80
bb:=1/(2*a)*log((x-a)/(x+a))
--R
--R            x - a
--R        log(-----)
--R            x + a
--R   (2)  ----------
--R            2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                        x - a
--R        - log(x + a) + log(x - a) - log(-----)
--R                                        x + a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 80

divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 5 of 80      14:144 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.145 ∫ \frac{x dx}{x^{2} − a^{2}}

∫ \frac{x}{x^{2} − a^{2}} = \frac{1}{2} ln(x^{2} − a^{2})

— * —

)clear all
--S 6 of 80
aa:=integrate(x/(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R             2    2
--R        log(x  - a )
--R   (1)  ------------
--R              2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 7 of 80
bb:=1/2*log(x^2-a^2)
--R
--R             2    2
--R        log(x  - a )
--R   (2)  ------------
--R              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 8 of 80      14:145 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.146 ∫ \frac{x^{2} dx}{x^{2} − a^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{x^{2} − a^{2}} = x + \frac{a}{2} ln (\frac{x − a}{x + a})

— * —

)clear all
--S 9 of 80
aa:=integrate(x^2/(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R        - a log(x + a) + a log(x - a) + 2x
--R   (1)  ----------------------------------
--R                         2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 10 of 80
bb:=x+a/2*log((x-a)/(x+a))
--R
--R              x - a
--R        a log(-----) + 2x
--R              x + a
--R   (2)  -----------------
--R                2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                              x - a
--R        - a log(x + a) + a log(x - a) - a log(-----)
--R                                              x + a
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                              2

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 12 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 13 of 80     14:146 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.147 ∫ \frac{x^{3} dx}{x^{2} − a^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{x^{2} − a^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2} ln(x^{2} − a^{2})

— * —

)clear all
--S 14 of 80
aa:=integrate(x^3/(x^2-a^2),x)
--R
--R
--R         2     2    2     2
--R        a log(x  - a ) + x
--R   (1)  -------------------
--R                 2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 15 of 80
bb:=x^2/2+a^2/2*log(x^2-a^2)
--R
--R         2     2    2     2
--R        a log(x  - a ) + x
--R   (2)  -------------------

--R                 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 80     14:147 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.148 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} − a^{2})}

∫ \frac{1}{x(x^{2} − a^{2})} = \frac{1}{2a^{2}} ln (\frac{x^{2} − a^{2}}{x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 17 of 80
aa:=integrate(1/(x*(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R             2    2
--R        log(x  - a ) - 2log(x)
--R   (1)  ----------------------
--R                    2
--R                  2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 18 of 80
bb:=1/(2*a^2)*log((x^2-a^2)/x^2)
--R
--R             2    2
--R            x  - a
--R        log(-------)
--R                2
--R               x
--R   (2)  ------------
--R               2
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 19 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                      2    2
--R             2    2                  x  - a
--R        log(x  - a ) - 2log(x) - log(-------)
--R                                         2
--R                                        x
--R   (3)  -------------------------------------
--R                           2
--R                         2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 21 of 80
dd:=divlog cc
--R
--R             2
--R        log(x ) - 2log(x)
--R   (5)  -----------------
--R                 2
--R               2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 80
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 23 of 80     14:148 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.149 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} − a^{2})}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} − a^{2})} = \frac{1}{a^{2}x} + \frac{1}{2a^{3}} ln (\frac{x − a}{x + a})

— * —

)clear all
--S 24 of 80
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R        - x log(x + a) + x log(x - a) + 2a
--R   (1)  ----------------------------------
--R                         3
--R                       2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 25 of 80
bb:=1/(a^2*x)+1/(2*a^3)*log((x-a)/(x+a))
--R
--R              x - a
--R        x log(-----) + 2a
--R              x + a
--R   (2)  -----------------
--R                 3
--R               2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                        x - a
--R        - log(x + a) + log(x - a) - log(-----)
--R                                        x + a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                            3
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))

--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 28 of 80     14:149 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.150 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} − a^{2})}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} − a^{2})} = \frac{1}{2a^{2}x^{2}} − \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} − a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 29 of 80
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2-a^2)),x)
--R
--R
--R         2     2    2      2          2
--R        x log(x  - a ) - 2x log(x) + a
--R   (1)  -------------------------------
--R                       4 2
--R                     2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 80
bb:=1/(2*a^2*x^2)-1/(2*a^4)*log(x^2/(x^2-a^2))
--R
--R                    2
--R           2       x        2
--R        - x log(-------) + a
--R                 2    2
--R                x  - a
--R   (2)  ---------------------
--R                  4 2

--R                2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 32 of 80
t1:=divlog bb
--R
--R           2     2     2     2    2     2
--R        - x log(x ) + x log(x  - a ) + a
--R   (4)  ---------------------------------
--R                        4 2
--R                      2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 33 of 80
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (5)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 34 of 80
t2:=logpow t1
--R
--R         2     2    2      2          2
--R        x log(x  - a ) - 2x log(x) + a
--R   (6)  -------------------------------
--R                       4 2
--R                     2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 80     14:150 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-t2
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.151 ∫ \frac{dx}{(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{(x^{2} − a^{2})^{2}} = \frac{−x}{2a^{2}(x^{2} − a^{2})} − \frac{1}{4a^{3}} ln (\frac{x − a}{x + a})

— * —

)clear all
--S 36 of 80
aa:=integrate(1/((x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2                  2    2
--R        (x  - a )log(x + a) + (- x  + a )log(x - a) - 2a x
--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                              3 2     5
--R                            4a x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 37 of 80
bb:=-x/(2*a^2*(x^2-a^2))-1/(4*a^3)*log((x-a)/(x+a))
--R
--R            2    2     x - a
--R        (- x  + a )log(-----) - 2a x
--R                       x + a
--R   (2)  ----------------------------
--R                   3 2     5
--R                 4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                      x - a
--R        log(x + a) - log(x - a) + log(-----)
--R                                      x + a
--R   (3)  ------------------------------------
--R                           3
--R                         4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 80

divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 40 of 80     14:151 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.152 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{x}{(x^{2} − a^{2})^{2}} = \frac{−1}{2(x^{2} − a^{2})}

— * —

)clear all
--S 41 of 80
aa:=integrate(x/((x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R              1
--R   (1)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 42 of 80
bb:=-1/(2*(x^2-a^2))
--R
--R              1
--R   (2)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  - 2a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E

--S 43 of 80     14:152 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.153 ∫ \frac{x^{2}dx}{(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} − a^{2})^{2}} = \frac{−x}{2(x^{2} − a^{2})} + \frac{1}{4a} ln (\frac{x − a}{x + a})

— * —

)clear all
--S 44 of 80
aa:=integrate(x^2/((x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R            2    2                2    2
--R        (- x  + a )log(x + a) + (x  - a )log(x - a) - 2a x
--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                                2     3
--R                            4a x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 45 of 80
bb:=-x/(2*(x^2-a^2))+1/(4*a)*log((x-a)/(x+a))
--R
--R          2    2     x - a
--R        (x  - a )log(-----) - 2a x
--R                     x + a
--R   (2)  --------------------------
--R                    2     3
--R                4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                        x - a
--R        - log(x + a) + log(x - a) - log(-----)

--R                                        x + a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                          4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 48 of 80     14:153 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.154 ∫ \frac{x^{3}dx}{(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} − a^{2})^{2}} = \frac{−a^{2}}{2(x^{2} − a^{2})} + \frac{1}{2} ln(x^{2} − a^{2})

— * —

)clear all
--S 49 of 80
aa:=integrate(x^3/((x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2      2    2     2
--R        (x  - a )log(x  - a ) - a
--R   (1)  --------------------------
--R                   2     2
--R                 2x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 50 of 80
bb:=-a^2/(2*(x^2-a^2))+1/2*log(x^2-a^2)

--R
--R          2    2      2    2     2
--R        (x  - a )log(x  - a ) - a
--R   (2)  --------------------------
--R                   2     2
--R                 2x  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 80     14:154 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.155 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} − a^{2})^{2}} = \frac{−1}{2a^{2}(x^{2} − a^{2})} + \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} − a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 52 of 80
aa:=integrate(1/(x*(x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R            2    2      2    2       2     2           2
--R        (- x  + a )log(x  - a ) + (2x  - 2a )log(x) - a
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                             4 2     6
--R                           2a x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 53 of 80
bb:=-1/(2*a^2*(x^2-a^2))+1/(2*a^4)*log(x^2/(x^2-a^2))
--R
--R                         2
--R          2    2        x        2
--R        (x  - a )log(-------) - a
--R                      2    2
--R                     x  - a

--R   (2)  --------------------------
--R                  4 2     6
--R                2a x  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                           2
--R               2    2                     x
--R        - log(x  - a ) + 2log(x) - log(-------)
--R                                        2    2
--R                                       x  - a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            4
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 55 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 56 of 80
dd:=divlog cc
--R
--R               2
--R        - log(x ) + 2log(x)
--R   (5)  -------------------
--R                  4
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 57 of 80
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 58 of 80     14:155 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd

--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.156 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} − a^{2})^{2}} = −\frac{1}{a^{4}x} − \frac{x}{2a^{4}(x^{2} − a^{2})} − \frac{3}{4a^{5}} ln (\frac{x − a}{x + a})

— * —

)clear all
--S 59 of 80
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2-a^2)^2),x)
--R
--R           3     2                    3     2                   2     3
--R        (3x  - 3a x)log(x + a) + (- 3x  + 3a x)log(x - a) - 6a x  + 4a
--R   (1)  ---------------------------------------------------------------
--R                                    5 3     7
--R                                  4a x  - 4a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 60 of 80
bb:=-1/(a^4*x)-x/(2*a^4*(x^2-a^2))-3/(4*a^5)*log((x-a)/(x+a))
--R
--R             3     2      x - a        2     3
--R        (- 3x  + 3a x)log(-----) - 6a x  + 4a
--R                          x + a
--R   (2)  --------------------------------------
--R                       5 3     7
--R                     4a x  - 4a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                         x - a
--R        3log(x + a) - 3log(x - a) + 3log(-----)
--R                                         x + a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            5

--R                          4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 63 of 80     14:156 Schaums and Axiom agree
dd:=divlog cc
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.157 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} − a^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} − a^{2})^{2}} = −\frac{1}{2a^{4}x^{2}} − \frac{1}{2a^{4}(x^{2} − a^{2})} + \frac{1}{a^{6}} ln (\frac{x^{2}}{x^{2} − a^{2}} )

— * —

)clear all
--S 64 of 80
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2-a^2)^2),x)
--R
--R
--R             4     2 2      2    2       4     2 2            2 2    4
--R        (- 2x  + 2a x )log(x  - a ) + (4x  - 4a x )log(x) - 2a x  + a
--R   (1)  --------------------------------------------------------------
--R                                   6 4     8 2
--R                                 2a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 65 of 80
bb:=-1/(2*a^4*x^2)-1/(2*a^4*(x^2-a^2))+1/a^6*log(x^2/(x^2-a^2))
--R
--R                             2

--R           4     2 2        x         2 2    4
--R        (2x  - 2a x )log(-------) - 2a x  + a
--R                          2    2
--R                         x  - a
--R   (2)  --------------------------------------
--R                       6 4     8 2
--R                     2a x  - 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                                           2
--R               2    2                     x
--R        - log(x  - a ) + 2log(x) - log(-------)
--R                                        2    2
--R                                       x  - a
--R   (3)  ---------------------------------------
--R                            6
--R                           a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 67 of 80
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 68 of 80
dd:=divlog cc
--R
--R               2
--R        - log(x ) + 2log(x)
--R   (5)  -------------------
--R                  6
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 80
logpow:=rule(log(a^n) == n*log(a))
--R
--R             n
--R   (6)  log(a ) == n log(a)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))

--E
--S 70 of 80     14:157 Schaums and Axiom agree
ee:=logpow dd
--R
--R   (7)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.158 ∫ \frac{dx}{(x^{2} − a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{(x^{2} − a^{2})^{n}} = \frac{−x}{2(n − 1)a^{2}(x^{2} − a^{2})^{n−1}} − \frac{2n − 3}{(2n − 2)a^{2}} ∫ \frac{1}{(x^{2} − a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 71 of 80     14:158 Axiom cannot do this integral
aa:=integrate(1/((x^2-a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++        1
--I   (1)   |   ------------- d%L
--R        ++       2     2 n
--I             (- a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

16 [?]:14.159 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} − a^{2})^{n}}

∫ \frac{x}{(x^{2} − a^{2})^{n}} = \frac{−1}{2(n − 1)(x^{2} − a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 72 of 80
aa:=integrate(x/((x^2-a^2)^n),x)

--R
--R
--R                   2    2
--R                - x  + a
--R   (1)  ------------------------
--R                         2    2
--R                  n log(x  - a )
--R        (2n - 2)%e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 73 of 80
bb:=-1/(2*(n-1)*(x^2-a^2)^(n-1))
--R
--R                     1
--R   (2)  - ----------------------
--R                    2    2 n - 1
--R          (2n - 2)(x  - a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 74 of 80
cc:=aa-bb
--R
--R                 2    2
--R          n log(x  - a )       2    2   2    2 n - 1
--R        %e               + (- x  + a )(x  - a )
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                                          2    2
--R                     2    2 n - 1  n log(x  - a )
--R           (2n - 2)(x  - a )     %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 75 of 80
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 76 of 80
dd:=explog cc
--R
--R          2    2 n       2    2   2    2 n - 1
--R        (x  - a )  + (- x  + a )(x  - a )
--R   (5)  --------------------------------------
--R                     2    2 n - 1  2    2 n
--R           (2n - 2)(x  - a )     (x  - a )

--S 77 of 80     14:159 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.160 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} − a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} − a^{2})^{n}} = \frac{−1}{2(n − 1)a^{2}(x^{2} − a^{2})^{n−1}} − \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x(x^{2} − a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 78 of 80     14:160 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x*(x^2-a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++          1
--I   (1)   |   ---------------- d%L
--R        ++          2     2 n
--I             %L (- a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

18 [?]:14.161 ∫ \frac{x^{m}dx}{(x^{2} − a^{2})^{n}}

∫ \frac{x^{m}}{(x^{2} − a^{2})^{n}} = ∫ \frac{x^{m−2}}{(x^{2} − a^{2})^{n−1}} + a^{2} ∫ \frac{x^{m−2}}{(x^{2} − a^{2})^{n}}

— * —

)clear all
--S 79 of 80     14:161 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x^m/((x^2-a^2)^n),x)

--R
--R
--R           x        m
--I         ++       %L
--I   (1)   |   ------------- d%L
--R        ++       2     2 n
--I             (- a  + %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

19 [?]:14.162 ∫ \frac{dx}{x^{m}(x^{2} − a^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x^{m}(x^{2} − a^{2})^{n}} = \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m−2}(x^{2} − a^{2})^{n}} − \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m}(x^{2} − a^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 80 of 80     14:162 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/(x^m*(x^2-a^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++          1
--I   (1)   |   ---------------- d%L
--R        ++       2     2 n  m
--I             (- a  + %L ) %L
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

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References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p65