$SPAD/input schaum8.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.163 ∫ \frac{dx}{a^{2} − x^{2}}

∫ \frac{1}{a^{2} − x^{2}} = \frac{1}{2a} ln (\frac{a − x}{a + x})

∫ \frac{1}{a^{2} − x^{2}} = −\frac{1}{a} coth^{−1} \frac{x}{a}

— * —

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)clear all
--S 1 of 99
aa:=integrate(1/(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R        log(x + a) - log(x - a)
--R   (1)  -----------------------
--R                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 99
bb:=1/(2*a)*log((a+x)/(a-x))
--R
--R            - x - a
--R        log(-------)
--R             x - a
--R   (2)  ------------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                                      - x - a
--R        log(x + a) - log(x - a) - log(-------)
--R                                       x - a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 99

divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 5 of 99
dd:=divlog cc
--R
--R        log(x + a) - log(- x - a)
--R   (5)  -------------------------
--R                    2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 6 of 99
logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1))
--R
--I   (6)  log(x + a) - log(- x - a) + %I == log(- 1) + %I
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 7 of 99      14:163 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=logminus dd
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

2 [?]:14.164 ∫ \frac{x dx}{a^{2} − x^{2}}

∫ \frac{x}{a^{2} − x^{2}} = −\frac{1}{2} ln(a^{2} − x^{2})

— * —

)clear all
--S 8 of 99
aa:=integrate(x/(a^2-x^2),x)
--R

--R
--R               2    2
--R          log(x  - a )
--R   (1)  - ------------
--R                2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 99
bb:=-1/2*log(a^2-x^2)
--R
--R                 2    2
--R          log(- x  + a )
--R   (2)  - --------------
--R                 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R               2    2           2    2
--R        - log(x  - a ) + log(- x  + a )
--R   (3)  -------------------------------
--R                       2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 11 of 99
logminus1:=rule(-log(x^2-a^2)+log(-x^2+a^2) == log(-1))
--R
--R               2    2           2    2
--I   (4)  - log(x  - a ) + log(- x  + a ) + %H == log(- 1) + %H
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 12 of 99     14:164 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminus1 cc
--R
--R        log(- 1)
--R   (5)  --------
--R            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.165 ∫ \frac{x^{2} dx}{a^{2} − x^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} = −x + \frac{a}{2} ln (\frac{a + x}{a − x})

— * —

)clear all
--S 13 of 99
aa:=integrate(x^2/(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R        a log(x + a) - a log(x - a) - 2x
--R   (1)  --------------------------------
--R                        2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 99
bb:=-x+a/2*log((a+x)/(a-x))
--R
--R              - x - a
--R        a log(-------) - 2x
--R               x - a
--R   (2)  -------------------
--R                 2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                                            - x - a
--R        a log(x + a) - a log(x - a) - a log(-------)
--R                                             x - a
--R   (3)  --------------------------------------------
--R                              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 16 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))

--E
--S 17 of 99
dd:=divlog cc
--R
--R        a log(x + a) - a log(- x - a)
--R   (5)  -----------------------------
--R                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 18 of 99
logminusa:=rule(b*log(x + a) - b*log(- x - a) == b*log(-1))
--R
--I   (6)  b log(x + a) - b log(- x - a) + %M == b log(- 1) + %M
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 19 of 99     14:165 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=logminusa dd
--R
--R        a log(- 1)
--R   (7)  ----------
--R             2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.166 ∫ \frac{x^{3} dx}{a^{2} − x^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{a^{2} − x^{2}} = −\frac{x^{2}}{2} − \frac{a^{2}}{2} ln(a^{2} − x^{2})

— * —

)clear all
--S 20 of 99
aa:=integrate(x^3/(a^2-x^2),x)
--R
--R
--R           2     2    2     2
--R        - a log(x  - a ) - x
--R   (1)  ---------------------
--R                  2
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 21 of 99
bb:=-x^2/2-a^2/2*log(a^2-x^2)
--R
--R           2       2    2     2
--R        - a log(- x  + a ) - x
--R   (2)  -----------------------
--R                   2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 22 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R           2     2    2     2       2    2
--R        - a log(x  - a ) + a log(- x  + a )
--R   (3)  -----------------------------------
--R                         2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 99
logminus1b:=rule(-b*log(x^2-a^2)+b*log(-x^2+a^2) == b*log(-1))
--R
--R                 2    2             2    2
--I   (4)  - b log(x  - a ) + b log(- x  + a ) + %N == b log(- 1) + %N
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 24 of 99     14:166 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminus1b cc
--R
--R         2
--R        a log(- 1)
--R   (5)  ----------
--R             2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.167 ∫ \frac{dx}{x(a^{2} − x^{2})}

∫ \frac{1}{x(a^{2} − x^{2})} = \frac{1}{2a^{2}} ln (\frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 25 of 99
aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R               2    2
--R        - log(x  - a ) + 2log(x)
--R   (1)  ------------------------
--R                     2
--R                   2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 26 of 99
bb:=1/(2*a^2)*log(x^2/(a^2-x^2))
--R
--R                  2
--R                 x
--R        log(- -------)
--R               2    2
--R              x  - a
--R   (2)  --------------
--R                2
--R              2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                                             2
--R               2    2                       x
--R        - log(x  - a ) + 2log(x) - log(- -------)
--R                                          2    2
--R                                         x  - a
--R   (3)  -----------------------------------------
--R                             2
--R                           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 29 of 99
dd:=divlog cc
--R
--R                         2
--R        2log(x) - log(- x )
--R   (5)  -------------------
--R                  2
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 30 of 99
logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1))
--R
--R               n
--R   (6)  log(- a ) == n log(a) + log(- 1)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 31 of 99     14:167 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=logpowminus dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (7)  - --------
--R               2
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.168 ∫ \frac{dx}{x^{2}(a^{2} − x^{2})}

∫ \frac{1}{x^{2}(a^{2} − x^{2})} = \frac{1}{a^{2}x} + \frac{1}{2a^{3}} ln (\frac{a + x}{a − x})

— * —

)clear all
--S 32 of 99
aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R        x log(x + a) - x log(x - a) - 2a
--R   (1)  --------------------------------
--R                        3

--R                      2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 33 of 99
bb:=-1/(a^2*x)+1/(2*a^3)*log((a+x)/(a-x))
--R
--R              - x - a
--R        x log(-------) - 2a
--R               x - a
--R   (2)  -------------------
--R                  3
--R                2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 34 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                                      - x - a
--R        log(x + a) - log(x - a) - log(-------)
--R                                       x - a
--R   (3)  --------------------------------------
--R                            3
--R                          2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (4)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 36 of 99
dd:=divlog cc
--R
--R        log(x + a) - log(- x - a)
--R   (5)  -------------------------
--R                     3
--R                   2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 37 of 99
logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1))
--R

--I   (6)  log(x + a) - log(- x - a) + %O == log(- 1) + %O
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 38 of 99     14:168 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=logminus dd
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R             3
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.169 ∫ \frac{dx}{x^{3}(a^{2} − x^{2})}

∫ \frac{1}{x^{3}(a^{2} − x^{2})} = −\frac{1}{2a^{2}x^{2}} + \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 39 of 99
aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)),x)
--R
--R
--R           2     2    2      2          2
--R        - x log(x  - a ) + 2x log(x) - a
--R   (1)  ---------------------------------
--R                        4 2
--R                      2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 40 of 99
bb:=-1/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^4)*log(x^2/(a^2-x^2))
--R
--R                    2
--R         2         x        2
--R        x log(- -------) - a
--R                 2    2
--R                x  - a
--R   (2)  ---------------------
--R                  4 2

--R                2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 41 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 42 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R           2     2    2     2       2     2
--R        - x log(x  - a ) + x log(- x ) - a
--R   (4)  -----------------------------------
--R                         4 2
--R                       2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 43 of 99
cc:=aa-bb1
--R
--R                         2
--R        2log(x) - log(- x )
--R   (5)  -------------------
--R                  4
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 44 of 99
logminuspow:=rule(log(-x^n) == n*log(x)+log(-1))
--R
--R               n
--R   (6)  log(- x ) == n log(x) + log(- 1)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 45 of 99     14:169 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminuspow cc
--R
--R          log(- 1)
--R   (7)  - --------
--R               4
--R             2a

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.170 ∫ \frac{dx}{(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{x}{2a^{2}(a^{2} − x^{2})} + \frac{1}{4a^{3}} ln (\frac{a + x}{a − x})

— * —

)clear all
--S 46 of 99
aa:=integrate(1/((a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2                  2    2
--R        (x  - a )log(x + a) + (- x  + a )log(x - a) - 2a x
--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                              3 2     5
--R                            4a x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 47 of 99
bb:=x/(2*a^2*(a^2-x^2))+1/(4*a^3)*log((a+x)/(a-x))
--R
--R          2    2     - x - a
--R        (x  - a )log(-------) - 2a x
--R                      x - a
--R   (2)  ----------------------------
--R                   3 2     5
--R                 4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 48 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 49 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R            2    2                2    2
--R        (- x  + a )log(x - a) + (x  - a )log(- x - a) - 2a x
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                               3 2     5
--R                             4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 99
cc:=aa-bb1
--R
--R        log(x + a) - log(- x - a)
--R   (5)  -------------------------
--R                     3
--R                   4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 99
logminus:=rule(log(x + a) - log(- x - a) == log(-1))
--R
--I   (6)  log(x + a) - log(- x - a) + %P == log(- 1) + %P
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 52 of 99     14:170 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminus cc
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R             3
--R           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.171 ∫ \frac{x dx}{(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{x}{(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{1}{2(a^{2} − x^{2})}

— * —

--S 53 of 99
aa:=integrate(x/((a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R              1
--R   (1)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 54 of 99
bb:=1/(2*(a^2-x^2))
--R
--R              1
--R   (2)  - ---------
--R            2     2
--R          2x  - 2a
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E
--S 55 of 99     14:171 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.172 ∫ \frac{x^{2}dx}{(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{2}}{(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{x}{2(a^{2} − x^{2})} − \frac{1}{4a} ln (\frac{a + x}{a − x})

— * —

)clear all
--S 56 of 99
aa:=integrate(x^2/((a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R            2    2                2    2
--R        (- x  + a )log(x + a) + (x  - a )log(x - a) - 2a x

--R   (1)  --------------------------------------------------
--R                                2     3
--R                            4a x  - 4a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 57 of 99
bb:=x/(2*(a^2-x^2))-1/(4*a)*log((a+x)/(a-x))
--R
--R            2    2     - x - a
--R        (- x  + a )log(-------) - 2a x
--R                        x - a
--R   (2)  ------------------------------
--R                      2     3
--R                  4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 58 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 59 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R          2    2                  2    2
--R        (x  - a )log(x - a) + (- x  + a )log(- x - a) - 2a x
--R   (4)  ----------------------------------------------------
--R                                 2     3
--R                             4a x  - 4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 60 of 99
cc:=aa-bb1
--R
--R        - log(x + a) + log(- x - a)
--R   (5)  ---------------------------
--R                     4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 61 of 99
logminus2:=rule(-log(x + a) + log(- x - a) == log(-1))
--R

--I   (6)  - log(x + a) + log(- x - a) + %S == log(- 1) + %S
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 62 of 99     14:172 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminus2 cc
--R
--R        log(- 1)
--R   (7)  --------
--R           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.173 ∫ \frac{x^{3}dx}{(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{x^{3}}{(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{a^{2}}{2(a^{2} − x^{2})} + \frac{1}{2} ln(a^{2} − x^{2})

— * —

)clear all
--S 63 of 99
aa:=integrate(x^3/((a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R          2    2      2    2     2
--R        (x  - a )log(x  - a ) - a
--R   (1)  --------------------------
--R                   2     2
--R                 2x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 64 of 99
bb:=a^2/(2*(a^2-x^2))+1/2*log(a^2-x^2)
--R
--R          2    2        2    2     2
--R        (x  - a )log(- x  + a ) - a
--R   (2)  ----------------------------
--R                    2     2
--R                  2x  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 99

cc:=aa-bb
--R
--R             2    2           2    2
--R        log(x  - a ) - log(- x  + a )
--R   (3)  -----------------------------
--R                      2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 99
logminus3:=rule(log(x^2-a^2)-log(-x^2+a^2) == log(-1))
--R
--R             2    2           2    2
--I   (4)  log(x  - a ) - log(- x  + a ) + %T == log(- 1) + %T
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 67 of 99     14:173 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logminus3 cc
--R
--R        log(- 1)
--R   (5)  --------
--R            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.174 ∫ \frac{dx}{x(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{2}(a^{2} − x^{2})} + \frac{1}{2a^{4}} ln (\frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 68 of 99
aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R            2    2      2    2       2     2           2
--R        (- x  + a )log(x  - a ) + (2x  - 2a )log(x) - a
--R   (1)  ------------------------------------------------
--R                             4 2     6
--R                           2a x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 69 of 99
bb:=1/(2*a^2*(a^2-x^2))+1/(2*a^4)*log(x^2/(a^2-x^2))
--R
--R                           2
--R          2    2          x        2
--R        (x  - a )log(- -------) - a
--R                        2    2
--R                       x  - a
--R   (2)  ----------------------------
--R                   4 2     6
--R                 2a x  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 70 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 71 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R            2    2      2    2      2    2        2     2
--R        (- x  + a )log(x  - a ) + (x  - a )log(- x ) - a
--R   (4)  -------------------------------------------------
--R                             4 2     6
--R                           2a x  - 2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 99
cc:=aa-bb1
--R
--R                         2
--R        2log(x) - log(- x )
--R   (5)  -------------------
--R                  4
--R                2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 73 of 99
logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1))
--R

--R               n
--R   (6)  log(- a ) == n log(a) + log(- 1)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 74 of 99     14:174 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logpowminus cc
--R
--R          log(- 1)
--R   (7)  - --------
--R               4
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.175 ∫ \frac{dx}{x^{2}(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(a^{2} − x^{2})^{2}} = −\frac{1}{a^{4}x} + \frac{x}{2a^{4}(a^{2} − x^{2})} + \frac{3}{4a^{5}} ln (\frac{a + x}{a − x})

— * —

)clear all
--S 75 of 99
aa:=integrate(1/(x^2*(a^2-x^2)^2),x)
--R
--R           3     2                    3     2                   2     3
--R        (3x  - 3a x)log(x + a) + (- 3x  + 3a x)log(x - a) - 6a x  + 4a
--R   (1)  ---------------------------------------------------------------
--R                                    5 3     7
--R                                  4a x  - 4a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 76 of 99
bb:=-1/(a^4*x)+x/(2*a^4*(a^2-x^2))+3/(4*a^5)*log((a+x)/(a-x))
--R
--R           3     2      - x - a        2     3
--R        (3x  - 3a x)log(-------) - 6a x  + 4a
--R                         x - a
--R   (2)  --------------------------------------
--R                       5 3     7
--R                     4a x  - 4a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 77 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 78 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R             3     2                  3     2                     2     3
--R        (- 3x  + 3a x)log(x - a) + (3x  - 3a x)log(- x - a) - 6a x  + 4a
--R   (4)  -----------------------------------------------------------------
--R                                     5 3     7
--R                                   4a x  - 4a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 79 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                                         - x - a
--R        3log(x + a) - 3log(x - a) - 3log(-------)
--R                                          x - a
--R   (5)  -----------------------------------------
--R                             5
--R                           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 99
dd:=divlog cc
--R
--R        3log(x + a) - 3log(- x - a)
--R   (6)  ---------------------------
--R                      5
--R                    4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 99
logminusb:=rule(b*log(x + a) - b*log(- x - a) == b*log(-1))
--R
--I   (7)  b log(x + a) - b log(- x - a) + %U == b log(- 1) + %U
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E

--S 82 of 99     14:175 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=logminusb dd
--R
--R        3log(- 1)
--R   (8)  ---------
--R             5
--R           4a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.176 ∫ \frac{dx}{x^{3}(a^{2} − x^{2})^{2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(a^{2} − x^{2})^{2}} = \frac{1}{2a^{4}x^{2}} + \frac{1}{2a^{4}(a^{2} − x^{2})} + \frac{1}{a^{6}} ln (\frac{x^{2}}{a^{2} − x^{2}} )

— * —

)clear all
--S 83 of 99
aa:=integrate(1/(x^3*(a^2-x^2)^2),x)
--R
--R
--R             4     2 2      2    2       4     2 2            2 2    4
--R        (- 2x  + 2a x )log(x  - a ) + (4x  - 4a x )log(x) - 2a x  + a
--R   (1)  --------------------------------------------------------------
--R                                   6 4     8 2
--R                                 2a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 84 of 99
bb:=-1/(2*a^4*x^2)+1/(2*a^4*(a^2-x^2))+1/a^6*log(x^2/(a^2-x^2))
--R
--R                               2
--R           4     2 2          x         2 2    4
--R        (2x  - 2a x )log(- -------) - 2a x  + a
--R                            2    2
--R                           x  - a
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                        6 4     8 2
--R                      2a x  - 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 85 of 99
divlog:=rule(log(a/b) == log(a) - log(b))
--R
--R            a
--R   (3)  log(-) == - log(b) + log(a)
--R            b
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 86 of 99
bb1:=divlog bb
--R
--R             4     2 2      2    2       4     2 2        2      2 2    4
--R        (- 2x  + 2a x )log(x  - a ) + (2x  - 2a x )log(- x ) - 2a x  + a
--R   (4)  -----------------------------------------------------------------
--R                                    6 4     8 2
--R                                  2a x  - 2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 87 of 99
cc:=aa-bb1
--R
--R                         2
--R        2log(x) - log(- x )
--R   (5)  -------------------
--R                  6
--R                 a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 88 of 99
logpowminus:=rule(log(-a^n) == n*log(a)+log(-1))
--R
--R               n
--R   (6)  log(- a ) == n log(a) + log(- 1)
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 89 of 99     14:176 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logpowminus cc
--R
--R          log(- 1)
--R   (7)  - --------
--R              6
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.177 ∫ \frac{dx}{(a^{2} − x^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{(a^{2} − x^{2})^{n}} = \frac{x}{2(n − 1)a^{2}(a^{2} − x^{2})^{n−1}} + \frac{2n − 3}{(2n − 2)a^{2}} ∫ \frac{1}{(a^{2} − x^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 90 of 99     14:177 Axiom cannot do this integration
aa:=integrate(1/((a^2-x^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++       1
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++     2     2 n
--I             (a  - %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

16 [?]:14.178 ∫ \frac{x dx}{(a^{2} − x^{2})^{n}}

∫ \frac{x}{(a^{2} − x^{2})^{n}} = \frac{1}{2(n − 1)(a^{2} − x^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 91 of 99
aa:=integrate(x/((a^2-x^2)^n),x)
--R
--R
--R                    2    2
--R                 - x  + a
--R   (1)  --------------------------
--R                           2    2
--R                  n log(- x  + a )
--R        (2n - 2)%e
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 92 of 99
bb:=1/(2*(n-1)*(a^2-x^2)^(n-1))
--R
--R                    1
--R   (2)  ------------------------
--R                    2    2 n - 1
--R        (2n - 2)(- x  + a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 99
cc:=aa-bb
--R
--R                     2    2
--R            n log(- x  + a )       2    2     2    2 n - 1
--R        - %e                 + (- x  + a )(- x  + a )
--R   (3)  --------------------------------------------------
--R                                               2    2
--R                        2    2 n - 1  n log(- x  + a )
--R            (2n - 2)(- x  + a )     %e
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 94 of 99
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 95 of 99
dd:=explog cc
--R
--R              2    2 n       2    2     2    2 n - 1
--R        - (- x  + a )  + (- x  + a )(- x  + a )
--R   (5)  --------------------------------------------
--R                        2    2 n - 1    2    2 n
--R            (2n - 2)(- x  + a )     (- x  + a )
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 96 of 99     14:178 Schaums and Axiom agree
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.179 ∫ \frac{dx}{x(a^{2} − x^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x(a^{2} − x^{2})^{n}} = \frac{1}{2(n − 1)a^{2}(a^{2} − x^{2})^{n−1}} + \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x(a^{2} − x^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 97 of 99     14:179 Axiom cannot integrate this expression
aa:=integrate(1/(x*(a^2-x^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++        2     2 n
--I             %L (a  - %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

18 [?]:14.180 ∫ \frac{x^{m}dx}{(a^{2} − x^{2})^{n}}

∫ \frac{x^{m}}{(a^{2} − x^{2})^{n}} = a^{2} ∫ \frac{x^{m−2}}{(a^{2} − x^{2})^{n}} − ∫ \frac{x^{m−2}}{(a^{2} − x^{2})^{n−1}}

— * —

)clear all
--S 98 of 99     14:180 Axiom cannot integrate this expression
aa:=integrate(x^m/((a^2-x^2)^n),x)
--R
--R
--R           x       m
--I         ++      %L
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++     2     2 n
--I             (a  - %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

———-

19 [?]:14.181 ∫ \frac{dx}{x^{m}(a^{2} − x^{2})^{n}}

∫ \frac{1}{x^{m}(a^{2} − x^{2})^{n}} = \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m}(a^{2} − x^{2})^{n−1}} + \frac{1}{a^{2}} ∫ \frac{1}{x^{m−2}(a^{2} − x^{2})^{n}}

— * —

)clear all
--S 99 of 99     14:181 Axiom cannot integrate this expression
aa:=integrate(1/(x^m*(a^2-x^2)^n),x)
--R
--R
--R           x
--R         ++         1
--I   (1)   |   -------------- d%L
--R        ++     m  2     2 n
--I             %L (a  - %L )
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p66