$SPAD/input schaum9.input

Timothy Daly December 3, 2016

Contents

2

1 [?]:14.182 ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = sinh^{−1} \frac{x}{a}

— * —

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)clear all
--S 1 of 110
aa:=integrate(1/(sqrt(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R   (1)  - log(\|x  + a   - x)
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 2 of 110
bb:=log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R   (2)  log(\|x  + a   + x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 3 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2
--R   (3)  - log(\|x  + a   + x) - log(\|x  + a   - x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 4 of 110      14:182 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R               2
--R   (4)  - log(a )

--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

This is equal to − log(a^{2}) but Axiom cannot prove it.

2 [?]:14.183 ∫ \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \sqrt{x^{2} + a^{2}}

— * —

)clear all
--S 5 of 110
aa:=integrate(x/(sqrt(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R            +-------+
--R            | 2    2     2    2
--R        - x\|x  + a   + x  + a
--R   (1)  -----------------------
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R             \|x  + a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 6 of 110
bb:=sqrt(x^2+a^2)
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R   (2)  \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 7 of 110      14:183 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

3 [?]:14.184 ∫ \frac{x^{2} dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2} − \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 8 of 110
aa:=integrate(x^2/sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R             +-------+                   +-------+
--R          2  | 2    2      2 2    4      | 2    2
--R       (2a x\|x  + a   - 2a x  - a )log(\|x  + a   - x)
--R     +
--R                     +-------+
--R            3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (- 2x  - a x)\|x  + a   + 2x  + 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     4x\|x  + a   - 4x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 9 of 110
bb:=(x*sqrt(x^2+a^2))/2-a^2/2*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R                 +-------+          +-------+
--R           2     | 2    2           | 2    2
--R        - a log(\|x  + a   + x) + x\|x  + a
--R   (2)  -------------------------------------
--R                          2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 10 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+               +-------+
--R         2     | 2    2          2     | 2    2
--R        a log(\|x  + a   + x) + a log(\|x  + a   - x)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 11 of 110
logmul1:=rule(c*log(a)+c*log(b) == c*log(a*b))
--R
--I   (4)  c log(b) + c log(a) + %K == c log(a b) + %K
--R                       Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression(Integer))
--E
--S 12 of 110     14:184 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=logmul1 cc
--R
--R         2     2
--R        a log(a )
--R   (5)  ---------
--R            2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

4 [?]:14.185 ∫ \frac{x^{3} dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{3} − a^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}

— * —

)clear all
--S 13 of 110
aa:=integrate(x^3/sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R             5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R        (- 4x  + 5a x  + 6a x)\|x  + a   + 4x  - 3a x  - 9a x  - 2a
--R   (1)  ------------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                        2     2  | 2    2       3     2
--R                    (12x  + 3a )\|x  + a   - 12x  - 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 14 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(x^2+a^2)
--R

--R                   +-------+
--R          2     2  | 2    2
--R        (x  - 2a )\|x  + a
--R   (2)  --------------------
--R                  3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 15 of 110     14:185 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

5 [?]:14.186 ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{1}{x\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = −\frac{1}{a} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 16 of 110
aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R               +-------+                 +-------+
--R               | 2    2                  | 2    2
--R        - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a)
--R   (1)  ---------------------------------------------------
--R                                 a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 17 of 110
bb:=-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  + a   + a
--R          log(--------------)
--R                     x
--R   (2)  - -------------------
--R                   a

--S 18 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                              +-------+
--R          +-------+                 +-------+                 | 2    2
--R          | 2    2                  | 2    2                 \|x  + a   + a
--R   - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a) + log(--------------)
--R                                                                    x
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 19 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R            +-------+             +-------+                 +-------+
--R            | 2    2              | 2    2                  | 2    2
--R       log(\|x  + a   + a) - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R       - log(x)
--R  /
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 20 of 110     14:186 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (5)  - --------
--R              a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

6 [?]:14.187 ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = −\frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a^{2}x}

— * —

)clear all
--S 21 of 110
aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R                  1
--R   (1)  - ----------------
--R            +-------+
--R            | 2    2     2
--R          x\|x  + a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 22 of 110
bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(a^2*x)
--R
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R          \|x  + a
--R   (2)  - ----------
--R               2
--R              a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 23 of 110     14:187 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R           1
--R   (3)  - --
--R           2
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

7 [?]:14.188 ∫ \frac{dx}{x^{3}\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

∫ \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = −\frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2a^{2}x^{2}} + \frac{1}{2a^{3}} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 24 of 110
aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(x^2+a^2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R            +-------+                   +-------+
--R          3 | 2    2      4    2 2      | 2    2
--R       (2x \|x  + a   - 2x  - a x )log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R              +-------+                   +-------+
--R            3 | 2    2      4    2 2      | 2    2
--R       (- 2x \|x  + a   + 2x  + a x )log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                    +-------+
--R            2    3  | 2    2        3     3
--R       (2a x  + a )\|x  + a   - 2a x  - 2a x
--R  /
--R           +-------+
--R       3 3 | 2    2      3 4     5 2
--R     4a x \|x  + a   - 4a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 25 of 110
bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^3)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R               +-------+
--R               | 2    2           +-------+
--R         2    \|x  + a   + a      | 2    2
--R        x log(--------------) - a\|x  + a
--R                     x
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         3 2
--R                       2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 26 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                            +-------+
--R        +-------+                 +-------+                 | 2    2
--R        | 2    2                  | 2    2                 \|x  + a   + a
--R   log(\|x  + a   - x + a) - log(\|x  + a   - x - a) - log(--------------)
--R                                                                  x
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                                       3

--R                                     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 27 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R              +-------+             +-------+                 +-------+
--R              | 2    2              | 2    2                  | 2    2
--R       - log(\|x  + a   + a) + log(\|x  + a   - x + a) - log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R       log(x)
--R  /
--R       3
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 28 of 110     14:188 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        log(- 1)
--R   (5)  --------
--R             3
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

8 [?]:14.189 ∫ \sqrt{x^{2} + a^{2}} dx

∫ \sqrt{x^{2} + a^{2}} = \frac{x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2} + \frac{a^{2}}{2} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 29 of 110
aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R               +-------+                   +-------+
--R            2  | 2    2      2 2    4      | 2    2
--R       (- 2a x\|x  + a   + 2a x  + a )log(\|x  + a   - x)

--R     +
--R                     +-------+
--R            3    2   | 2    2      4     2 2
--R       (- 2x  - a x)\|x  + a   + 2x  + 2a x
--R  /
--R        +-------+
--R        | 2    2      2     2
--R     4x\|x  + a   - 4x  - 2a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 30 of 110
bb:=(x*sqrt(x^2+a^2))/2+a^2/2*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R               +-------+          +-------+
--R         2     | 2    2           | 2    2
--R        a log(\|x  + a   + x) + x\|x  + a
--R   (2)  -----------------------------------
--R                         2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 31 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R                 +-------+               +-------+
--R           2     | 2    2          2     | 2    2
--R        - a log(\|x  + a   + x) - a log(\|x  + a   - x)
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 32 of 110     14:189 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R           2     2
--R          a log(a )
--R   (4)  - ---------
--R              2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

9 [?]:14.190 ∫ x\sqrt{x^{2} + a^{2}} dx

∫ x\sqrt{x^{2} + a^{2}} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 33 of 110
aa:=integrate(x*sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R                               +-------+
--R             5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2    6
--R        (- 4x  - 7a x  - 3a x)\|x  + a   + 4x  + 9a x  + 6a x  + a
--R   (1)  -----------------------------------------------------------
--R                                 +-------+
--R                        2     2  | 2    2       3     2
--R                    (12x  + 3a )\|x  + a   - 12x  - 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 34 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3
--R
--R                  +-------+
--R          2    2  | 2    2
--R        (x  + a )\|x  + a
--R   (2)  -------------------
--R                 3
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 35 of 110     14:190 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

10 [?]:14.191 ∫ x^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}} dx

∫ x^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}} = \frac{x(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{4} − \frac{a^{2}x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{8} − \frac{a^{4}}{8} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

)clear all
--S 36 of 110
aa:=integrate(x^2*sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                       +-------+                           +-------+
--R           4 3     6   | 2    2      4 4     6 2    8      | 2    2
--R       ((8a x  + 4a x)\|x  + a   - 8a x  - 8a x  - a )log(\|x  + a   - x)
--R     +
--R                                      +-------+
--R           7      2 5      4 3    6   | 2    2       8      2 6      4 4     6 2
--R     (- 16x  - 24a x  - 10a x  - a x)\|x  + a   + 16x  + 32a x  + 20a x  + 4a x
--R  /
--R                    +-------+
--R         3      2   | 2    2       4      2 2     4
--R     (64x  + 32a x)\|x  + a   - 64x  - 64a x  - 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 37 of 110
bb:=(x*(x^2+a^2)^(3/2))/4-(a^2*x*sqrt(x^2+a^2))/8-a^4/8*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R                 +-------+                    +-------+
--R           4     | 2    2            3    2   | 2    2
--R        - a log(\|x  + a   + x) + (2x  + a x)\|x  + a
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 38 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+               +-------+
--R         4     | 2    2          4     | 2    2
--R        a log(\|x  + a   + x) + a log(\|x  + a   - x)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 39 of 110     14:191 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R         4     2

--R        a log(a )
--R   (4)  ---------
--R            8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

11 [?]:14.192 ∫ x^{3}\sqrt{x^{2} + a^{2}} dx

∫ x^{3}\sqrt{x^{2} + a^{2}} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{5/2}}{5} − \frac{a^{2}(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{3}

— * —

)clear all
--S 40 of 110
aa:=integrate(x^3*sqrt(x^2+a^2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                  +-------+
--R             9      2 7     4 5      6 3      8   | 2    2       10       2 8
--R       (- 48x  - 76a x  - 3a x  + 35a x  + 10a x)\|x  + a   + 48x   + 100a x
--R     +
--R          4 6      6 4      8 2     10
--R       35a x  - 40a x  - 25a x  - 2a
--R  /
--R                              +-------+
--R          4       2 2      4  | 2    2        5       2 3      4
--R     (240x  + 180a x  + 15a )\|x  + a   - 240x  - 300a x  - 75a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 41 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(5/2)/5-(a^2*(x^2+a^2)^(3/2))/3
--R
--R                           +-------+
--R           4    2 2     4  | 2    2
--R        (3x  + a x  - 2a )\|x  + a
--R   (2)  ----------------------------
--R                     15
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 42 of 110     14:192 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R

--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

12 [?]:14.193 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} = \sqrt{x^{2} + a^{2}} − a ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 43 of 110
aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R            +-------+            +-------+
--R            | 2    2             | 2    2
--R       (- a\|x  + a   + a x)log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R          +-------+            +-------+              +-------+
--R          | 2    2             | 2    2               | 2    2     2    2
--R       (a\|x  + a   - a x)log(\|x  + a   - x - a) - x\|x  + a   + x  + a
--R  /
--R      +-------+
--R      | 2    2
--R     \|x  + a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 44 of 110
bb:=sqrt(x^2+a^2)-a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2          +-------+
--R                \|x  + a   + a     | 2    2
--R   (2)  - a log(--------------) + \|x  + a
--R                       x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 45 of 110
cc:=aa-bb
--R

--R   (3)
--R              +-------+                   +-------+
--R              | 2    2                    | 2    2
--R     - a log(\|x  + a   - x + a) + a log(\|x  + a   - x - a)
--R   +
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R           \|x  + a   + a
--R     a log(--------------)
--R                  x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 46 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R            +-------+               +-------+
--R            | 2    2                | 2    2
--R     a log(\|x  + a   + a) - a log(\|x  + a   - x + a)
--R   +
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R     a log(\|x  + a   - x - a) - a log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 47 of 110     14:193 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R   (5)  - a log(- 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

13 [?]:14.194 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x^{2}} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x^{2}} = −\frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} + ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 48 of 110
aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x^2,x)
--R

--R
--R             +-------+           +-------+
--R             | 2    2     2      | 2    2          2
--R        (- x\|x  + a   + x )log(\|x  + a   - x) - a
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                        +-------+
--R                        | 2    2     2
--R                      x\|x  + a   - x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 49 of 110
bb:=-sqrt(x^2+a^2)/x+log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R               +-------+         +-------+
--R               | 2    2          | 2    2
--R        x log(\|x  + a   + x) - \|x  + a
--R   (2)  ----------------------------------
--R                         x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 50 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2
--R   (3)  - log(\|x  + a   + x) - log(\|x  + a   - x) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 51 of 110     14:194 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R               2
--R   (4)  - log(a ) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

14 [?]:14.195 ∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x^{3}} dx

∫ \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x^{3}} = −\frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2x^{2}} − \frac{1}{2a} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

--S 52 of 110
aa:=integrate(sqrt(x^2+a^2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R              +-------+                   +-------+
--R            3 | 2    2      4    2 2      | 2    2
--R       (- 2x \|x  + a   + 2x  + a x )log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R            +-------+                   +-------+
--R          3 | 2    2      4    2 2      | 2    2
--R       (2x \|x  + a   - 2x  - a x )log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                    +-------+
--R            2    3  | 2    2        3     3
--R       (2a x  + a )\|x  + a   - 2a x  - 2a x
--R  /
--R           +-------+
--R         3 | 2    2        4     3 2
--R     4a x \|x  + a   - 4a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 53 of 110
bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(2*x^2)-1/(2*a)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                 +-------+
--R                 | 2    2           +-------+
--R           2    \|x  + a   + a      | 2    2
--R        - x log(--------------) - a\|x  + a
--R                       x
--R   (2)  -------------------------------------
--R                            2
--R                        2a x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 54 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                              +-------+
--R          +-------+                 +-------+                 | 2    2
--R          | 2    2                  | 2    2                 \|x  + a   + a
--R   - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a) + log(--------------)
--R                                                                    x
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       2a

--S 55 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R            +-------+             +-------+                 +-------+
--R            | 2    2              | 2    2                  | 2    2
--R       log(\|x  + a   + a) - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R       - log(x)
--R  /
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 56 of 110     14:195 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (5)  - --------
--R             2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

15 [?]:14.196 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 57 of 110
aa:=integrate(1/(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                    1
--R   (1)  - ---------------------
--R            +-------+
--R            | 2    2     2    2
--R          x\|x  + a   - x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 58 of 110
bb:=x/(a^2*sqrt(x^2+a^2))
--R
--R              x
--R   (2)  ------------
--R           +-------+
--R         2 | 2    2
--R        a \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 59 of 110     14:196 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R
--R         1
--R   (3)  --
--R         2
--R        a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

16 [?]:14.197 ∫ \frac{x dx}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 60 of 110
aa:=integrate(x/(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R             +-------+
--R             | 2    2
--R            \|x  + a   - x
--R   (1)  ---------------------
--R          +-------+
--R          | 2    2     2    2
--R        x\|x  + a   - x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 61 of 110

bb:=-1/sqrt(x^2+a^2)
--R
--R               1
--R   (2)  - ----------
--R           +-------+
--R           | 2    2
--R          \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 62 of 110     14:197 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

17 [?]:14.198 ∫ \frac{x^{2}dx}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \frac{−x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} + ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 63 of 110
aa:=integrate(x^2/(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R             +-------+                +-------+
--R             | 2    2     2    2      | 2    2          2
--R        (- x\|x  + a   + x  + a )log(\|x  + a   - x) + a
--R   (1)  -------------------------------------------------
--R                        +-------+
--R                        | 2    2     2    2
--R                      x\|x  + a   - x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 64 of 110
bb:=-x/sqrt(x^2+a^2)+log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R         +-------+     +-------+
--R         | 2    2      | 2    2

--R        \|x  + a  log(\|x  + a   + x) - x
--R   (2)  ---------------------------------
--R                     +-------+
--R                     | 2    2
--R                    \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 65 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+             +-------+
--R               | 2    2              | 2    2
--R   (3)  - log(\|x  + a   + x) - log(\|x  + a   - x) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 66 of 110     14:198 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R               2
--R   (4)  - log(a ) - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

18 [?]:14.199 ∫ \frac{x^{3}dx}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{x^{3}}{(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \sqrt{x^{2} + a^{2}} + \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 67 of 110
aa:=integrate(x^3/(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R                       +-------+
--R             3     2   | 2    2      4     2 2     4
--R        (- 2x  - 4a x)\|x  + a   + 2x  + 5a x  + 2a
--R   (1)  --------------------------------------------
--R                         +-------+
--R                 2    2  | 2    2      3     2
--R              (2x  + a )\|x  + a   - 2x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)

--E
--S 68 of 110
bb:=sqrt(x^2+a^2)+a^2/sqrt(x^2+a^2)
--R
--R          2     2
--R         x  + 2a
--R   (2)  ----------
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R        \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 69 of 110     14:199 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

19 [?]:14.200 ∫ \frac{dx}{x(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \frac{1}{a^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}} − \frac{1}{a^{3}} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 70 of 110
aa:=integrate(1/(x*(x^2+a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R            +-------+                +-------+
--R            | 2    2     2    2      | 2    2
--R       (- x\|x  + a   + x  + a )log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R          +-------+                +-------+              +-------+
--R          | 2    2     2    2      | 2    2               | 2    2
--R       (x\|x  + a   - x  - a )log(\|x  + a   - x - a) - a\|x  + a   + a x
--R  /
--R         +-------+
--R      3  | 2    2     3 2    5

--R     a x\|x  + a   - a x  - a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 71 of 110
bb:=1/(a^2*sqrt(x^2+a^2))-1/a^3*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                         +-------+
--R           +-------+     | 2    2
--R           | 2    2     \|x  + a   + a
--R        - \|x  + a  log(--------------) + a
--R                               x
--R   (2)  -----------------------------------
--R                       +-------+
--R                     3 | 2    2
--R                    a \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 72 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                              +-------+
--R          +-------+                 +-------+                 | 2    2
--R          | 2    2                  | 2    2                 \|x  + a   + a
--R   - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a) + log(--------------)
--R                                                                    x
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                        3
--R                                       a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 73 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R            +-------+             +-------+                 +-------+
--R            | 2    2              | 2    2                  | 2    2
--R       log(\|x  + a   + a) - log(\|x  + a   - x + a) + log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R       - log(x)
--R  /
--R      3
--R     a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 74 of 110     14:200 Schaums and Axiom differ by a constant

ee:=complexNormalize dd
--R
--R          log(- 1)
--R   (5)  - --------
--R              3
--R             a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

20 [?]:14.201 ∫ \frac{dx}{x^{2}(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = −\frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a^{4}x} − \frac{x}{a^{4}\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

— * —

)clear all
--S 75 of 110
aa:=integrate(1/(x^2*(x^2+a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R                           1
--R   (1)  - -----------------------------------
--R                      +-------+
--R             3    2   | 2    2      4     2 2
--R          (2x  + a x)\|x  + a   - 2x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 76 of 110
bb:=-sqrt(x^2+a^2)/(a^4*x)-x/(a^4*sqrt(x^2+a^2))
--R
--R              2    2
--R          - 2x  - a
--R   (2)  -------------
--R            +-------+
--R         4  | 2    2
--R        a x\|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 77 of 110     14:201 Schaums and Axiom differ by a constant
cc:=aa-bb
--R

--R           2
--R   (3)  - --
--R           4
--R          a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

21 [?]:14.202 ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} + a^{2})^{3/2}}

∫ \frac{1}{x^{3}(x^{2} + a^{2})^{3/2}} = \frac{−1}{2a^{2}x^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}}} − \frac{3}{2a^{4}\sqrt{x^{2} + a^{2}}} + \frac{3}{2a^{5}} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 78 of 110
aa:=integrate(1/(x^3*(x^2+a^2)^(3/2)),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                       +-------+                              +-------+
--R            5     2 3  | 2    2       6      2 4     4 2      | 2    2
--R       ((12x  + 9a x )\|x  + a   - 12x  - 15a x  - 3a x )log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R                           +-------+
--R                5     2 3  | 2    2       6      2 4     4 2
--R         ((- 12x  - 9a x )\|x  + a   + 12x  + 15a x  + 3a x )
--R      *
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R         log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                             +-------+
--R             4     3 2    5  | 2    2         5      3 3     5
--R       (12a x  + 7a x  + a )\|x  + a   - 12a x  - 13a x  - 3a x
--R  /
--R                     +-------+
--R        5 5     7 3  | 2    2      5 6      7 4     9 2
--R     (8a x  + 6a x )\|x  + a   - 8a x  - 10a x  - 2a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 79 of 110
bb:=-1/(2*a^2*x^2*sqrt(x^2+a^2))-3/(2*a^4*sqrt(x^2+a^2))+_

     3/(2*a^5)*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                          +-------+
--R            +-------+     | 2    2
--R          2 | 2    2     \|x  + a   + a        2    3
--R        3x \|x  + a  log(--------------) - 3a x  - a
--R                                x
--R   (2)  ---------------------------------------------
--R                             +-------+
--R                         5 2 | 2    2
--R                       2a x \|x  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 80 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                               +-------+
--R         +-------+                  +-------+                  | 2    2
--R         | 2    2                   | 2    2                  \|x  + a   + a
--R   3log(\|x  + a   - x + a) - 3log(\|x  + a   - x - a) - 3log(--------------)
--R                                                                     x
--R   --------------------------------------------------------------------------
--R                                         5
--R                                       2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 81 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R               +-------+              +-------+
--R               | 2    2               | 2    2
--R       - 3log(\|x  + a   + a) + 3log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R       - 3log(\|x  + a   - x - a) + 3log(x)
--R  /
--R       5
--R     2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 82 of 110     14:202 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        3log(- 1)

--R   (5)  ---------
--R             5
--R           2a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

22 [?]:14.203 ∫ (x^{2} + a^{2})^{3/2} dx

∫ (x^{2} + a^{2})^{3/2} = \frac{x(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{4} + \frac{3a^{2}x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{8} + \frac{3}{8}a^{4} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 83 of 110
aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R   (1)
--R                           +-------+                              +-------+
--R              4 3      6   | 2    2       4 4      6 2     8      | 2    2
--R       ((- 24a x  - 12a x)\|x  + a   + 24a x  + 24a x  + 3a )log(\|x  + a   - x)
--R     +
--R                                         +-------+
--R             7      2 5      4 3     6   | 2    2       8      2 6      4 4
--R       (- 16x  - 56a x  - 42a x  - 5a x)\|x  + a   + 16x  + 64a x  + 68a x
--R     +
--R          6 2
--R       20a x
--R  /
--R                    +-------+
--R         3      2   | 2    2       4      2 2     4
--R     (64x  + 32a x)\|x  + a   - 64x  - 64a x  - 8a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 84 of 110
bb:=(x*(x^2+a^2)^(3/2))/4+(3*a^2*x*sqrt(x^2+a^2))/8+3/8*a^4*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R                +-------+                     +-------+
--R          4     | 2    2            3     2   | 2    2
--R        3a log(\|x  + a   + x) + (2x  + 5a x)\|x  + a
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

--S 85 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R                  +-------+                +-------+
--R            4     | 2    2           4     | 2    2
--R        - 3a log(\|x  + a   + x) - 3a log(\|x  + a   - x)
--R   (3)  -------------------------------------------------
--R                                8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 86 of 110     14:203 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R            4     2
--R          3a log(a )
--R   (4)  - ----------
--R               8
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

23 [?]:14.204 ∫ x(x^{2} + a^{2})^{3/2} dx

∫ x(x^{2} + a^{2})^{3/2} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{5/2}}{5}

— * —

)clear all
--S 87 of 110
aa:=integrate(x*(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                                  +-------+
--R             9      2 7      4 5      6 3     8   | 2    2       10      2 8
--R       (- 16x  - 52a x  - 61a x  - 30a x  - 5a x)\|x  + a   + 16x   + 60a x
--R     +
--R          4 6      6 4      8 2    10
--R       85a x  + 55a x  + 15a x  + a
--R  /
--R                           +-------+
--R         4      2 2     4  | 2    2       5       2 3      4
--R     (80x  + 60a x  + 5a )\|x  + a   - 80x  - 100a x  - 25a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E

--S 88 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(5/2)/5
--R
--R                          +-------+
--R          4     2 2    4  | 2    2
--R        (x  + 2a x  + a )\|x  + a
--R   (2)  ---------------------------
--R                     5
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 89 of 110     14:204 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

24 [?]:14.205 ∫ x^{2}(x^{2} + a^{2})^{3/2} dx

∫ x^{2}(x^{2} + a^{2})^{3/2} = \frac{x(x^{2} + a^{2})^{5/2}}{6} − \frac{a^{2}x(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{24} − \frac{a^{4}x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{16} − \frac{a^{6}}{16} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

)clear all
--S 90 of 110
aa:=integrate(x^2*(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                                      +-------+
--R               6 5      8 3      10   | 2    2       6 6       8 4      10 2
--R           (96a x  + 96a x  + 18a  x)\|x  + a   - 96a x  - 144a x  - 54a  x
--R         +
--R               12
--R           - 3a
--R      *
--R              +-------+
--R              | 2    2
--R         log(\|x  + a   - x)
--R     +
--R                                                                 +-------+
--R              11       2 9       4 7       6 5      8 3     10   | 2    2
--R       (- 256x   - 832a x  - 912a x  - 404a x  - 68a x  - 3a  x)\|x  + a

--R     +
--R           12       2 10        4 8       6 6       8 4      10 2
--R       256x   + 960a x   + 1296a x  + 772a x  + 198a x  + 18a  x
--R  /
--R                                  +-------+
--R           5        2 3       4   | 2    2         6        2 4       4 2      6
--R     (1536x  + 1536a x  + 288a x)\|x  + a   - 1536x  - 2304a x  - 864a x  - 48a
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 91 of 110
bb:=(x*(x^2+a^2)^(5/2))/6-(a^2*x*(x^2+a^2)^(3/2))/24-_
    (a^4*x*sqrt(x^2+a^2))/16-a^6/16*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R                  +-------+                              +-------+
--R            6     | 2    2            5      2 3     4   | 2    2
--R        - 3a log(\|x  + a   + x) + (8x  + 14a x  + 3a x)\|x  + a
--R   (2)  ----------------------------------------------------------
--R                                    48
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 92 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R               +-------+               +-------+
--R         6     | 2    2          6     | 2    2
--R        a log(\|x  + a   + x) + a log(\|x  + a   - x)
--R   (3)  ---------------------------------------------
--R                              16
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 93 of 110     14:205 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R         6     2
--R        a log(a )
--R   (4)  ---------
--R            16
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

25 [?]:14.206 ∫ x^{3}(x^{2} + a^{2})^{3/2} dx

∫ x^{3}(x^{2} + a^{2})^{3/2} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{7/2}}{7} − \frac{a^{2}(x^{2} + a^{2})^{5/2}}{5}

)clear all
--S 94 of 110
aa:=integrate(x^3*(x^2+a^2)^(3/2),x)
--R
--R
--R   (1)
--R                   13        2 11        4 9       6 7       8 5       10 3
--R             - 320x   - 1072a x   - 1240a x  - 467a x  + 112a x  + 105a  x
--R           +
--R                12
--R             14a  x
--R      *
--R          +-------+
--R          | 2    2
--R         \|x  + a
--R     +
--R           14        2 12        4 10       6 8      8 6       10 4      12 2
--R       320x   + 1232a x   + 1736a x   + 973a x  + 21a x  - 175a  x  - 49a  x
--R     +
--R           14
--R       - 2a
--R  /
--R                                            +-------+
--R             6        2 4       4 2      6  | 2    2         7        2 5
--R       (2240x  + 2800a x  + 840a x  + 35a )\|x  + a   - 2240x  - 3920a x
--R     +
--R              4 3       6
--R       - 1960a x  - 245a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 95 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(7/2)/7-(a^2*(x^2+a^2)^(5/2))/5
--R
--R                                   +-------+
--R           6     2 4    4 2     6  | 2    2
--R        (5x  + 8a x  + a x  - 2a )\|x  + a
--R   (2)  ------------------------------------
--R                         35
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 96 of 110     14:206 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0

———-

26 [?]:14.207 ∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x} dx

∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x} = \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{3} + a^{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}} − a^{3} ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 97 of 110
aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2)/x,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                         +-------+                      +-------+
--R              3 2     5  | 2    2       3 3     5       | 2    2
--R       ((- 12a x  - 3a )\|x  + a   + 12a x  + 9a x)log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R                       +-------+                      +-------+
--R            3 2     5  | 2    2       3 3     5       | 2    2
--R       ((12a x  + 3a )\|x  + a   - 12a x  - 9a x)log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                                +-------+
--R            5      2 3      4   | 2    2      6      2 4      4 2     6
--R       (- 4x  - 19a x  - 12a x)\|x  + a   + 4x  + 21a x  + 21a x  + 4a
--R  /
--R                  +-------+
--R         2     2  | 2    2       3     2
--R     (12x  + 3a )\|x  + a   - 12x  - 9a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 98 of 110
bb:=(x^2+a^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(x^2+a^2)-a^3*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2                    +-------+
--R            3    \|x  + a   + a      2     2  | 2    2
--R        - 3a log(--------------) + (x  + 4a )\|x  + a
--R                        x
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               3
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E
--S 99 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R              +-------+                   +-------+
--R        3     | 2    2              3     | 2    2
--R     - a log(\|x  + a   - x + a) + a log(\|x  + a   - x - a)
--R   +
--R            +-------+
--R            | 2    2
--R      3    \|x  + a   + a
--R     a log(--------------)
--R                  x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 100 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R            +-------+               +-------+
--R      3     | 2    2          3     | 2    2
--R     a log(\|x  + a   + a) - a log(\|x  + a   - x + a)
--R   +
--R            +-------+
--R      3     | 2    2              3
--R     a log(\|x  + a   - x - a) - a log(x)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 101 of 110    14:207 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R           3
--R   (5)  - a log(- 1)
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E

———-

27 [?]:14.208 ∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x^{2}} dx

∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x^{2}} = −\frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x} + \frac{3x\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{2} + \frac{3}{2}a^{2} ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}})

— * —

--S 102 of 110
aa:=integrate((x^2+a^2)^{3/2}/x^2,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                          +-------+                       +-------+
--R              2 3     4   | 2    2       2 4     4 2      | 2    2
--R       ((- 12a x  - 3a x)\|x  + a   + 12a x  + 9a x )log(\|x  + a   - x)
--R     +
--R                              +-------+
--R            5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2     6
--R       (- 4x  - 3a x  + 4a x)\|x  + a   + 4x  + 5a x  - 3a x  - 2a
--R  /
--R                  +-------+
--R        3     2   | 2    2      4     2 2
--R     (8x  + 2a x)\|x  + a   - 8x  - 6a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 103 of 110
bb:=-(x^2+a^2)^(3/2)/x+(3*x*sqrt(x^2+a^2))/2+3/2*a^2*log(x+sqrt(x^2+a^2))
--R
--R                  +-------+                   +-------+
--R          2       | 2    2           2     2  | 2    2
--R        3a x log(\|x  + a   + x) + (x  - 2a )\|x  + a
--R   (2)  -----------------------------------------------
--R                               2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 104 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R                  +-------+                +-------+
--R            2     | 2    2           2     | 2    2           2
--R        - 3a log(\|x  + a   + x) - 3a log(\|x  + a   - x) - 2a
--R   (3)  -------------------------------------------------------
--R                                   2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 105 of 110    14:208 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=complexNormalize cc
--R
--R            2     2      2
--R        - 3a log(a ) - 2a
--R   (4)  ------------------
--R                 2

———-

28 [?]:14.209 ∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x^{3}} dx

∫ \frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{x^{3}} = −\frac{(x^{2} + a^{2})^{3/2}}{2x^{2}} + \frac{3}{2}\sqrt{x^{2} + a^{2}} − \frac{3}{2}a ln (\frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x} )

— * —

)clear all
--S 106 of 110
aa:=integrate((x^2+a^2)^(3/2)/x^3,x)
--R
--R
--R   (1)
--R                           +-------+                       +-------+
--R                4     3 2  | 2    2         5     3 3      | 2    2
--R       ((- 12a x  - 3a x )\|x  + a   + 12a x  + 9a x )log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R                         +-------+                       +-------+
--R              4     3 2  | 2    2         5     3 3      | 2    2
--R       ((12a x  + 3a x )\|x  + a   - 12a x  - 9a x )log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R                              +-------+
--R            5     2 3     4   | 2    2      6     2 4     4 2    6
--R       (- 8x  - 2a x  + 3a x)\|x  + a   + 8x  + 6a x  - 3a x  - a
--R  /
--R                   +-------+
--R        4     2 2  | 2    2      5     2 3
--R     (8x  + 2a x )\|x  + a   - 8x  - 6a x
--R                                         Type: Union(Expression(Integer),...)
--E
--S 107 of 110
bb:=-(x^2+a^2)^(3/2)/(2*x^2)+3/2*sqrt(x^2+a^2)-3/2*a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x)
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2                    +-------+
--R              2    \|x  + a   + a       2    2  | 2    2
--R        - 3a x log(--------------) + (2x  - a )\|x  + a
--R                          x
--R   (2)  -------------------------------------------------
--R                                 2

--R                               2x
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 108 of 110
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                 +-------+                    +-------+
--R                 | 2    2                     | 2    2
--R       - 3a log(\|x  + a   - x + a) + 3a log(\|x  + a   - x - a)
--R     +
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R              \|x  + a   + a
--R       3a log(--------------)
--R                     x
--R  /
--R     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 109 of 110
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R               +-------+                +-------+
--R               | 2    2                 | 2    2
--R       3a log(\|x  + a   + a) - 3a log(\|x  + a   - x + a)
--R     +
--R               +-------+
--R               | 2    2
--R       3a log(\|x  + a   - x - a) - 3a log(x)
--R  /
--R     2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
--S 110 of 110    14:209 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R          3a log(- 1)
--R   (5)  - -----------
--R               2
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E
)spool
)lisp (bye)

———- 39

References

[1] Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables Schaum’s Outline Series McGraw-Hill 1968 p67-68