$SPAD/src/input series.input

Clifton J. Williamson and Timothy Daly

December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

———-

— * —

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)spool series.output
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)set message auto off
)clear all

———-

2 Expression To Power Series

We compute series expansions of various functions using EXPR2UPS.

Test functions in EXPR2UPS: — * —

--S 1 of 20
xT := taylor(x)
--R
--R
--R   (1)  x
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 1
--S 2 of 20
sin(tan(xT))
--R
--R
--R            1  3    1  5    55   7    143  9      11
--R   (2)  x + - x  - -- x  - ---- x  - ---- x  + O(x  )
--R            6      40      1008      3456
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 2
--S 3 of 20
taylor(asec(2+x))
--R
--R
--R   (3)
--R                 1          7    2     13    3      205    4      1069    5

--R     asec(2) + ----- x - ------ x  + ------ x  - -------- x  + --------- x
--R                 +-+        +-+         +-+           +-+            +-+
--R               2\|3      24\|3       72\|3       1728\|3       12960\|3
--R   +
--R          1877    6      10043    7      54593     8      33437     9
--R     - --------- x  + ---------- x  - ----------- x  + ----------- x
--R             +-+             +-+              +-+              +-+
--R       31104\|3       217728\|3       1492992\|3       1119744\|3
--R   +
--R          5034373     10      11
--R     - ------------- x   + O(x  )
--R                 +-+
--R       201553920\|3
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 3
--S 4 of 20
sec %
--R
--R
--R                   11
--R   (4)  2 + x + O(x  )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 4
--S 5 of 20
taylor(sin(x),x = %pi/4)
--R
--R
--R   (5)
--R      +-+    +-+              +-+               +-+               +-+
--R     \|2    \|2       %pi    \|2       %pi 2   \|2       %pi 3   \|2       %pi 4
--R     ---- + ---- (x - ---) - ---- (x - ---)  - ---- (x - ---)  + ---- (x - ---)
--R       2      2        4       4        4       12        4       48        4
--R   +
--R      +-+               +-+                +-+                +-+
--R     \|2       %pi 5   \|2       %pi 6    \|2       %pi 7    \|2       %pi 8
--R     ---- (x - ---)  - ---- (x - ---)  - ----- (x - ---)  + ----- (x - ---)
--R      240       4      1440       4      10080       4      80640       4
--R   +
--R       +-+                  +-+
--R      \|2        %pi 9     \|2        %pi 10          %pi 11
--R     ------ (x - ---)  - ------- (x - ---)   + O((x - ---)  )
--R     725760       4      7257600       4               4
--R                    Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,%pi/4)
--E 5
--S 6 of 20
xL := laurent(x)
--R

--R
--R   (6)  x
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 6
--S 7 of 20
1/xL - cot(xL)
--R
--R
--R        1      1  3    2   5     1   7     2    9      1382    11      12
--R   (7)  - x + -- x  + --- x  + ---- x  + ----- x  + --------- x   + O(x  )
--R        3     45      945      4725      93555      638512875
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 7
--S 8 of 20
laurent(csc(x))
--R
--R
--R         - 1   1      7   3     31   5     127   7      73    9      10
--R   (8)  x    + - x + --- x  + ----- x  + ------ x  + ------- x  + O(x  )
--R               6     360      15120      604800      3421440
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 8
--S 9 of 20
laurent(1/log(x),x = 1)
--R
--R
--R   (9)
--R            - 1   1    1            1        2    19        3    3         4
--R     (x - 1)    + - - -- (x - 1) + -- (x - 1)  - --- (x - 1)  + --- (x - 1)
--R                  2   12           24            720            160
--R   +
--R        863         5    275         6    33953         7     8183         8
--R     - ----- (x - 1)  + ----- (x - 1)  - ------- (x - 1)  + ------- (x - 1)
--R       60480            24192            3628800            1036800
--R   +
--R        3250433         9            10
--R     - --------- (x - 1)  + O((x - 1)  )
--R       479001600
--R                       Type: UnivariateLaurentSeries(Expression(Integer),x,1)
--E 9
--S 10 of 20
xP := puiseux(x)
--R
--R
--R   (10)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)

--E 10
--S 11 of 20
sqrt(xP) - sqrt(sin(xP))
--R
--R
--R             5         9          13
--R             -         -          --
--R          1  2     1   2     1     2      8
--R   (11)  -- x  - ---- x  + ----- x   + O(x )
--R         12      1440      24192
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 11
--S 12 of 20
puiseux(sqrt(1 - cos(x))/x)
--R
--R
--R   (12)
--R       1       1    2       1     4        1      6         1       8
--R     ---- - ------ x  + -------- x  - ---------- x  + ------------ x
--R      +-+      +-+           +-+             +-+               +-+
--R     \|2    24\|2       1920\|2       322560\|2       92897280\|2
--R   +
--R              1         10      11
--R     - --------------- x   + O(x  )
--R                   +-+
--R       40874803200\|2
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 12
--S 13 of 20
puiseux(sqrt(1 - tan(x)),x = %pi/2)
--R
--R
--R   (13)
--R                1              1               3               5
--R              - -              -               -               -
--R          %pi   2   1      %pi 2    7      %pi 2    7      %pi 2
--R     (x - ---)    + - (x - ---)  - -- (x - ---)  + -- (x - ---)
--R           2        2       2      24       2      48       2
--R   +
--R                    7                  9
--R                    -                  -
--R        81      %pi 2    1219      %pi 2          %pi 5
--R     - --- (x - ---)  + ----- (x - ---)  + O((x - ---) )
--R       640       2      11520       2              2
--R                   Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,%pi/2)
--E 13

--S 14 of 20
xS := series(x)
--R
--R
--R   (14)  x
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 14
--S 15 of 20
sin(xS)**(1/3) - sin(xS**(1/3))
--R
--R
--R   (15)
--R              5        7                         11               13      14
--R              -        -                         --               --      --
--R   1      1   3    31  3      1    3       1      3     1921921    3       3
--R   - x - --- x  - --- x  - ------ x  + -------- x   - ---------- x   + O(x  )
--R   6     120      560      362880      39916800       6227020800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 15
--S 16 of 20
series(log(tan(x)))
--R
--R
--R                  1  2    7  4    62   6    127   8    146   10      11
--R   (16)  log(x) + - x  + -- x  + ---- x  + ----- x  + ----- x   + O(x  )
--R                  3      90      2835      18900      66825
--R                  Type: GeneralUnivariatePowerSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 16
--S 17 of 20
series(log(cot(x)),x = %pi/2)
--R
--R
--R   (17)
--R         - 2x + %pi    1      %pi 2    7      %pi 4    62       %pi 6
--R     log(----------) + - (x - ---)  + -- (x - ---)  + ---- (x - ---)
--R              2        3       2      90       2      2835       2
--R   +
--R      127       %pi 8    146       %pi 10          %pi 11
--R     ----- (x - ---)  + ----- (x - ---)   + O((x - ---)  )
--R     18900       2      66825       2               2
--R              Type: GeneralUnivariatePowerSeries(Expression(Integer),x,%pi/2)
--E 17

———-

Series can be converted to polynomials:

— * —

--S 18 of 20
a:=series(sin x, x=0)
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9       1     11      12
--R   (18)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  - -------- x   + O(x  )
--R             6      120      5040      362880      39916800
--R                       Type: UnivariatePuiseuxSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 18
--S 19 of 20
b:UnivariateTaylorSeries(Fraction Integer,x,0) := a
--R
--R
--R             1  3    1   5     1   7      1    9      11
--R   (19)  x - - x  + --- x  - ---- x  + ------ x  + O(x  )
--R             6      120      5040      362880
--R                          Type: UnivariateTaylorSeries(Fraction(Integer),x,0)
--E 19
--S 20 of 20
univariatePolynomial(b,9)
--R
--R
--R            1    9     1   7    1   5   1  3
--R   (20)  ------ x  - ---- x  + --- x  - - x  + x
--R         362880      5040      120      6
--R                              Type: UnivariatePolynomial(x,Fraction(Integer))
--E 20
)spool

)spool
)lisp (bye)

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References^{[1] nothing}

9