$SPAD/src/input series2.input

Clifton J. Williamson and Timothy Daly

December 3, 2016

Abstract

Contents

2

1 License

— license —

--Copyright The Numerical Algorithms Group Limited 1991.

———-

— * —

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)clear all

———-

2 Expression To Power Series

We compute series expansions of various functions using EXPR2UPS and STTF.

2.1 Power series expansions around branch points

Well not really, since we have x^{2}, not x. Otherwise, our series expansions would have fractional powers.

— * —

--S 1 of 38
f1 := taylor(1 - x**2,x = 0)
--R
--R
--R             2
--R   (1)  1 - x
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 1
--S 2 of 38
asin f1
--R
--R
--R   (2)
--R   %pi     1   2     1    4      1    6      5     8       7     10      11
--R   --- - ---- x  - ----- x  - ------ x  - ------- x  - -------- x   + O(x  )
--R    2     +-+        +-+         +-+          +-+           +-+
--R         \|2       8\|2       32\|2       512\|2       2048\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 2

--S 3 of 38
sin %
--R
--R
--R            1  4    1  6    7   8     5   10      11
--R   (3)  1 - - x  - -- x  - --- x  - ---- x   + O(x  )
--R            4      16      768      3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 3
--S 4 of 38
acos f1
--R
--R
--R          1   2     1    4      1    6      5     8       7     10      11
--R   (4)  ---- x  + ----- x  + ------ x  + ------- x  + -------- x   + O(x  )
--R         +-+        +-+         +-+          +-+           +-+
--R        \|2       8\|2       32\|2       512\|2       2048\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 4
--S 5 of 38
cos %
--R
--R
--R            1  4    1  6    7   8     5   10      11
--R   (5)  1 - - x  - -- x  - --- x  - ---- x   + O(x  )
--R            4      16      768      3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 5
--S 6 of 38
f2 := taylor(1 + x**2,x = 0)
--R
--R
--R             2
--R   (6)  1 + x
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 6
--S 7 of 38
acsc f2
--R
--R
--R   (7)
--R   %pi     1   2     5    4     43    6     177    8      2867    10      11
--R   --- - ---- x  + ----- x  - ------ x  + ------- x  - --------- x   + O(x  )
--R    2     +-+        +-+         +-+          +-+            +-+
--R         \|2       8\|2       96\|2       512\|2       10240\|2

--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 7
--S 8 of 38
csc %
--R
--R
--R            1  4    5  6   287  8   1361  10      11
--R   (8)  1 + - x  - -- x  + --- x  - ---- x   + O(x  )
--R            4      16      768      3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 8
--S 9 of 38
asec f2
--R
--R
--R          1   2     5    4     43    6     177    8      2867    10      11
--R   (9)  ---- x  - ----- x  + ------ x  - ------- x  + --------- x   + O(x  )
--R         +-+        +-+         +-+          +-+            +-+
--R        \|2       8\|2       96\|2       512\|2       10240\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 9
--S 10 of 38
sec %
--R
--R
--R             1  4    5  6   287  8   1361  10      11
--R   (10)  1 + - x  - -- x  + --- x  - ---- x   + O(x  )
--R             4      16      768      3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 10
--S 11 of 38
f3 := taylor(1 - (x - a)**2,x = a)
--R
--R
--R                    2
--R   (11)  1 - (x - a)
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 11
--S 12 of 38
asin f3
--R
--R
--R   (12)
--R     %pi     1         2     1          4      1          6      5           8
--R     --- - ---- (x - a)  - ----- (x - a)  - ------ (x - a)  - ------- (x - a)

--R      2     +-+              +-+               +-+                +-+
--R           \|2             8\|2             32\|2             512\|2
--R   +
--R           7           10            11
--R     - -------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R            +-+
--R       2048\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 12
--S 13 of 38
sin %
--R
--R
--R   (13)
--R       1        4    1        6    7         8     5         10            11
--R   1 - - (x - a)  - -- (x - a)  - --- (x - a)  - ---- (x - a)   + O((x - a)  )
--R       4            16            768            3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 13
--S 14 of 38
acos f3
--R
--R
--R   (14)
--R       1         2     1          4      1          6      5           8
--R     ---- (x - a)  + ----- (x - a)  + ------ (x - a)  + ------- (x - a)
--R      +-+              +-+               +-+                +-+
--R     \|2             8\|2             32\|2             512\|2
--R   +
--R         7           10            11
--R     -------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R          +-+
--R     2048\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 14
--S 15 of 38
cos %
--R
--R
--R   (15)
--R       1        4    1        6    7         8     5         10            11
--R   1 - - (x - a)  - -- (x - a)  - --- (x - a)  - ---- (x - a)   + O((x - a)  )
--R       4            16            768            3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 15
--S 16 of 38

f4 := taylor(1 + (x - a)**2,x = a)
--R
--R
--R                    2
--R   (16)  1 + (x - a)
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 16
--S 17 of 38
acsc f4
--R
--R
--R   (17)
--R     %pi     1         2     5          4     43          6     177          8
--R     --- - ---- (x - a)  + ----- (x - a)  - ------ (x - a)  + ------- (x - a)
--R      2     +-+              +-+               +-+                +-+
--R           \|2             8\|2             96\|2             512\|2
--R   +
--R          2867          10            11
--R     - --------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R             +-+
--R       10240\|2
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 17
--S 18 of 38
csc %
--R
--R
--R   (18)
--R       1        4    5        6   287        8   1361        10            11
--R   1 + - (x - a)  - -- (x - a)  + --- (x - a)  - ---- (x - a)   + O((x - a)  )
--R       4            16            768            3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 18
--S 19 of 38
asec f4
--R
--R
--R   (19)
--R       1         2     5          4     43          6     177          8
--R     ---- (x - a)  - ----- (x - a)  + ------ (x - a)  - ------- (x - a)
--R      +-+              +-+               +-+                +-+
--R     \|2             8\|2             96\|2             512\|2
--R   +
--R        2867          10            11
--R     --------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R           +-+
--R     10240\|2

--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 19
--S 20 of 38
sec %
--R
--R
--R   (20)
--R       1        4    5        6   287        8   1361        10            11
--R   1 + - (x - a)  - -- (x - a)  + --- (x - a)  - ---- (x - a)   + O((x - a)  )
--R       4            16            768            3072
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 20
--S 21 of 38
f5 := taylor(%i + x**2,x = 0)
--R
--R
--R               2
--R   (21)  %i + x
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,0)
--E 21
--S 22 of 38
asinh f5
--R
--R
--R   (22)
--R                             +---+             +---+
--R          +---+         - %i\|2%i  + 4  2    9\|2%i  + 4 + 16%i   4
--R     log(\|2%i  + %i) + -------------- x  + -------------------- x
--R                           +---+               +---+
--R                         4\|2%i  + 4%i      64\|2%i  + 64 + 32%i
--R   +
--R                       +---+
--R       (- 239 + 106%i)\|2%i  - 312 - 96%i   6
--R     ------------------------------------- x
--R                     +---+
--R     (3072 + 1536%i)\|2%i  + 1152 + 4608%i
--R   +
--R                          +---+
--R       (- 8055 - 12814%i)\|2%i  + 4624 - 20800%i   8
--R     -------------------------------------------- x
--R                        +---+
--R     (442368 + 98304%i)\|2%i  + 344064 + 538624%i
--R   +
--R                                 +---+
--R         (36259219 - 19680060%i)\|2%i  + 55940064 + 16579392%i     10      11
--R     ------------------------------------------------------------ x   + O(x  )
--R                                +---+

--R     (2513436672 + 287440896%i)\|2%i  + 2225987584 + 2800893952%i
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,0)
--E 22
--S 23 of 38
map(normalize,sinh %)
--R
--R
--R   (23)
--R        +---+                     +---+
--R     %i\|2%i  - 1 + %i   (4 - %i)\|2%i  + 6  2
--R     ----------------- + ------------------ x
--R         +---+              +---+
--R        \|2%i  + %i       8\|2%i  + 8 + 4%i
--R   +
--R                   +---+
--R         (8 + 3%i)\|2%i  + 18%i      4
--R     ------------------------------ x
--R                 +---+
--R     (64 + 96%i)\|2%i  - 32 + 192%i
--R   +
--R                      +---+
--R       (118 + 1355%i)\|2%i  - 1216 + 1456%i    6
--R     ---------------------------------------- x
--R                      +---+
--R     (27648 + 6144%i)\|2%i  + 21504 + 33664%i
--R   +
--R                                       +---+
--R       (- 10723239267 - 22732932140%i)\|2%i  + 12009693172 - 33456171528%i   8
--R     ---------------------------------------------------------------------- x
--R                                     +---+
--R     (239050510336 + 850943508480%i)\|2%i  - 611892998144 + 1089994016768%i
--R   +
--R                                                                      +---+
--R           (11657665917190986353592000 - 5421421376459231405345859%i)\|2%i
--R         +
--R           17079087293650217758937952 + 6236244540731754948247086%i
--R      /
--R                                                                         +---+
--R           (316941898845417907672866816 + 684092114677797635744055296%i)\|2%i
--R         +
--R           - 367150215832379728071180288 + 1001034013523215543416922112%i
--R    *
--R        10
--R       x
--R   +
--R        11
--R     O(x  )
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,0)
--E 23

--S 24 of 38
acosh f1
--R
--R
--R   (24)
--R                          +---+              +---+
--R          +---+        - \|- 2  - 4  2   - 9\|- 2  - 12  4
--R     log(\|- 2  + 1) + ------------ x  + -------------- x
--R                          +---+              +---+
--R                        4\|- 2  + 4       64\|- 2  - 32
--R   +
--R          +---+                    +---+
--R      133\|- 2  - 152   6     2237\|- 2  - 3760   8
--R     ----------------- x  + -------------------- x
--R          +---+                    +---+
--R     1536\|- 2  + 2688      114688\|- 2  + 34816
--R   +
--R              +---+
--R       140517\|- 2  - 342216    10      11
--R     ------------------------- x   + O(x  )
--R              +---+
--R     18841600\|- 2  - 13475840
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 24
--S 25 of 38
map(normalize,cosh %)
--R
--R
--R   (25)
--R        +---+         +---+              +---+                 +---+
--R       \|- 2      - 3\|- 2  + 6  2    11\|- 2  + 14  4   - 453\|- 2  + 240  6
--R     ---------- + ------------- x  + -------------- x  + ----------------- x
--R      +---+          +---+              +---+                 +---+
--R     \|- 2  + 1    8\|- 2  - 4       32\|- 2  - 160      7168\|- 2  + 2176
--R   +
--R                +---+
--R     - 22730863\|- 2  + 116622452  8
--R     ---------------------------- x
--R               +---+
--R     670183424\|- 2  - 3124590592
--R   +
--R                        +---+
--R       2255055395845397\|- 2  - 186126275620338262    10      11
--R     ----------------------------------------------- x   + O(x  )
--R                         +---+
--R     2942149446728507392\|- 2  + 7713476525184163840
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 25

--S 26 of 38
asech f2
--R
--R
--R   (26)
--R                           +---+             +---+
--R          +---+        - 3\|- 2  - 4  2   31\|- 2  - 12  4
--R     log(\|- 2  + 1) + ------------- x  + ------------- x
--R                          +---+              +---+
--R                        4\|- 2  + 4       64\|- 2  - 32
--R   +
--R           +---+                   +---+
--R     - 481\|- 2  - 904  6    28397\|- 2  + 9296   8
--R     ----------------- x  + -------------------- x
--R          +---+                    +---+
--R     1536\|- 2  + 2688      114688\|- 2  + 34816
--R   +
--R                +---+
--R     - 15819247\|- 2  + 48750368  10      11
--R     --------------------------- x   + O(x  )
--R               +---+
--R      77987840\|- 2  - 245063680
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 26
--S 27 of 38
sech %
--R
--R
--R   (27)
--R                                 +---+               +---+
--R               1              (3\|- 2  + 4)sinh(log(\|- 2  + 1))  2
--R     --------------------- + ----------------------------------- x
--R               +---+            +---+               +---+      2
--R     cosh(log(\|- 2  + 1))   (4\|- 2  + 4)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R   +
--R               +---+               +---+      2
--R           (48\|- 2  - 4)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                 +---+                +---+                +---+
--R           (- 31\|- 2  + 12)cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                 +---+               +---+      2
--R           (- 24\|- 2  + 2)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R             +---+                +---+      3
--R         (64\|- 2  - 32)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R        4

--R       x
--R   +
--R                  +---+                   +---+      3
--R           (36692\|- 2  - 81184)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                    +---+                    +---+                +---+      2
--R           (- 32120\|- 2  + 120532)cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                    +---+                   +---+      2          +---+
--R           (- 23811\|- 2  + 15618)cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                  +---+                   +---+      3
--R           (16060\|- 2  - 60266)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                +---+                    +---+      4
--R         (16768\|- 2  - 159872)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R        6
--R       x
--R   +
--R                            +---+                             +---+      4
--R           (917040033820768\|- 2  + 769478330788000)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                 +---+                             +---+
--R             (- 2024826947095704\|- 2  - 971819819460816)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+      3
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                              +---+                             +---+      2
--R             (561327386270964\|- 2  - 572600834130900)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+      2
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                               +---+                             +---+      3
--R             (1159287723524931\|- 2  + 817645948038654)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                              +---+                           +---+      4
--R           (- 624553705818270\|- 2  - 2253956980050)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                           +---+                            +---+      5
--R         (2124490945165312\|- 2  - 79521392875520)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R        8
--R       x
--R   +

--R                                                              +---+
--R               - 12221152405486797005988545574943642796394656\|- 2
--R             +
--R               37637519606679038130877931502289421788636480
--R          *
--R                       +---+      5
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                            +---+
--R               17253119387520025009474512785116571944492864\|- 2
--R             +
--R               - 108013651440447643426633659223764934754997824
--R          *
--R                       +---+                +---+      4
--R             cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                            +---+
--R               15685216146928883301596685922653051925359412\|- 2
--R             +
--R               67214446812749454239537980137157117493694568
--R          *
--R                       +---+      2          +---+      3
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                              +---+
--R               - 26995359328188426534667967009323500335310964\|- 2
--R             +
--R               55273964842367651019386962337683658570477492
--R          *
--R                       +---+      3          +---+      2
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                            +---+
--R               - 386525745609157558466191079238605101103613\|- 2
--R             +
--R               - 65032045559085732400544188402961111578157364
--R          *
--R                       +---+      4          +---+
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                           +---+
--R               7027759893774203888781041210243035688470658\|- 2
--R             +
--R               12868136868984040775294141040070021247885438
--R          *
--R                       +---+      5
--R             cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                                                          +---+
--R             18629821302375761537774756048822860358942720\|- 2

--R           +
--R             94473907670457185816258586943170775874920448
--R        *
--R                     +---+      6
--R           cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R        10
--R       x
--R   +
--R        11
--R     O(x  )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 27
--S 28 of 38
acsch f1
--R
--R
--R   (28)
--R                       +-+             +-+               +-+
--R          +-+         \|2  + 2  2    9\|2  + 12  4   221\|2  + 312  6
--R     log(\|2  + 1) + --------- x  + ----------- x  + ------------- x
--R                       +-+             +-+               +-+
--R                     2\|2  + 2      16\|2  + 24      576\|2  + 816
--R   +
--R           +-+                        +-+
--R     14425\|2  + 20400  8   124515259\|2  + 176091168  10      11
--R     ----------------- x  + ------------------------- x   + O(x  )
--R           +-+                        +-+
--R     52224\|2  + 73856      602664960\|2  + 852296960
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 28
--S 29 of 38
map(normalize,csch %)
--R
--R
--R              2      11
--R   (29)  1 - x  + O(x  )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,0)
--E 29
--S 30 of 38
f6 := taylor(%i + (x - a)**2,x = a)
--R
--R
--R                     2
--R   (30)  %i + (x - a)
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,a)
--E 30

--S 31 of 38
asinh f6
--R
--R
--R   (31)
--R                             +---+                   +---+
--R          +---+         - %i\|2%i  + 4        2    9\|2%i  + 4 + 16%i         4
--R     log(\|2%i  + %i) + -------------- (x - a)  + -------------------- (x - a)
--R                           +---+                     +---+
--R                         4\|2%i  + 4%i            64\|2%i  + 64 + 32%i
--R   +
--R                       +---+
--R       (- 239 + 106%i)\|2%i  - 312 - 96%i         6
--R     ------------------------------------- (x - a)
--R                     +---+
--R     (3072 + 1536%i)\|2%i  + 1152 + 4608%i
--R   +
--R                          +---+
--R       (- 8055 - 12814%i)\|2%i  + 4624 - 20800%i         8
--R     -------------------------------------------- (x - a)
--R                        +---+
--R     (442368 + 98304%i)\|2%i  + 344064 + 538624%i
--R   +
--R                                 +---+
--R         (36259219 - 19680060%i)\|2%i  + 55940064 + 16579392%i           10
--R     ------------------------------------------------------------ (x - a)
--R                                +---+
--R     (2513436672 + 287440896%i)\|2%i  + 2225987584 + 2800893952%i
--R   +
--R              11
--R     O((x - a)  )
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,a)
--E 31
--S 32 of 38
map(normalize,sinh %)
--R
--R
--R   (32)
--R        +---+                     +---+
--R     %i\|2%i  - 1 + %i   (4 - %i)\|2%i  + 6        2
--R     ----------------- + ------------------ (x - a)
--R         +---+              +---+
--R        \|2%i  + %i       8\|2%i  + 8 + 4%i
--R   +
--R                   +---+
--R         (8 + 3%i)\|2%i  + 18%i            4
--R     ------------------------------ (x - a)
--R                 +---+

--R     (64 + 96%i)\|2%i  - 32 + 192%i
--R   +
--R                      +---+
--R       (118 + 1355%i)\|2%i  - 1216 + 1456%i          6
--R     ---------------------------------------- (x - a)
--R                      +---+
--R     (27648 + 6144%i)\|2%i  + 21504 + 33664%i
--R   +
--R                                         +---+
--R         (- 10723239267 - 22732932140%i)\|2%i  + 12009693172 - 33456171528%i
--R       ----------------------------------------------------------------------
--R                                       +---+
--R       (239050510336 + 850943508480%i)\|2%i  - 611892998144 + 1089994016768%i
--R    *
--R              8
--R       (x - a)
--R   +
--R                                                                      +---+
--R           (11657665917190986353592000 - 5421421376459231405345859%i)\|2%i
--R         +
--R           17079087293650217758937952 + 6236244540731754948247086%i
--R      /
--R                                                                         +---+
--R           (316941898845417907672866816 + 684092114677797635744055296%i)\|2%i
--R         +
--R           - 367150215832379728071180288 + 1001034013523215543416922112%i
--R    *
--R              10
--R       (x - a)
--R   +
--R              11
--R     O((x - a)  )
--R               Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Complex(Integer)),x,a)
--E 32
--S 33 of 38
acosh f3
--R
--R
--R   (33)
--R                          +---+                    +---+
--R          +---+        - \|- 2  - 4        2   - 9\|- 2  - 12        4
--R     log(\|- 2  + 1) + ------------ (x - a)  + -------------- (x - a)
--R                          +---+                    +---+
--R                        4\|- 2  + 4             64\|- 2  - 32
--R   +
--R          +---+                          +---+
--R      133\|- 2  - 152         6     2237\|- 2  - 3760         8
--R     ----------------- (x - a)  + -------------------- (x - a)
--R          +---+                          +---+

--R     1536\|- 2  + 2688            114688\|- 2  + 34816
--R   +
--R              +---+
--R       140517\|- 2  - 342216          10            11
--R     ------------------------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R              +---+
--R     18841600\|- 2  - 13475840
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 33
--S 34 of 38
map(normalize,cosh %)
--R
--R
--R   (34)
--R        +---+         +---+                    +---+
--R       \|- 2      - 3\|- 2  + 6        2    11\|- 2  + 14        4
--R     ---------- + ------------- (x - a)  + -------------- (x - a)
--R      +---+          +---+                    +---+
--R     \|- 2  + 1    8\|- 2  - 4             32\|- 2  - 160
--R   +
--R           +---+                             +---+
--R     - 453\|- 2  + 240        6   - 22730863\|- 2  + 116622452        8
--R     ----------------- (x - a)  + ---------------------------- (x - a)
--R          +---+                             +---+
--R     7168\|- 2  + 2176            670183424\|- 2  - 3124590592
--R   +
--R                        +---+
--R       2255055395845397\|- 2  - 186126275620338262          10            11
--R     ----------------------------------------------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R                         +---+
--R     2942149446728507392\|- 2  + 7713476525184163840
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 34
--S 35 of 38
asech f4
--R
--R
--R   (35)
--R                           +---+                   +---+
--R          +---+        - 3\|- 2  - 4        2   31\|- 2  - 12        4
--R     log(\|- 2  + 1) + ------------- (x - a)  + ------------- (x - a)
--R                          +---+                    +---+
--R                        4\|- 2  + 4             64\|- 2  - 32
--R   +
--R           +---+                         +---+
--R     - 481\|- 2  - 904        6    28397\|- 2  + 9296         8
--R     ----------------- (x - a)  + -------------------- (x - a)
--R          +---+                          +---+

--R     1536\|- 2  + 2688            114688\|- 2  + 34816
--R   +
--R                +---+
--R     - 15819247\|- 2  + 48750368        10            11
--R     --------------------------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R               +---+
--R      77987840\|- 2  - 245063680
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 35
--S 36 of 38
sech %
--R
--R
--R   (36)
--R                                 +---+               +---+
--R               1              (3\|- 2  + 4)sinh(log(\|- 2  + 1))        2
--R     --------------------- + ----------------------------------- (x - a)
--R               +---+            +---+               +---+      2
--R     cosh(log(\|- 2  + 1))   (4\|- 2  + 4)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R   +
--R               +---+               +---+      2
--R           (48\|- 2  - 4)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                 +---+                +---+                +---+
--R           (- 31\|- 2  + 12)cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                 +---+               +---+      2
--R           (- 24\|- 2  + 2)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R             +---+                +---+      3
--R         (64\|- 2  - 32)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R              4
--R       (x - a)
--R   +
--R                  +---+                   +---+      3
--R           (36692\|- 2  - 81184)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                    +---+                    +---+                +---+      2
--R           (- 32120\|- 2  + 120532)cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                    +---+                   +---+      2          +---+
--R           (- 23811\|- 2  + 15618)cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                  +---+                   +---+      3
--R           (16060\|- 2  - 60266)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                +---+                    +---+      4
--R         (16768\|- 2  - 159872)cosh(log(\|- 2  + 1))

--R    *
--R              6
--R       (x - a)
--R   +
--R                            +---+                             +---+      4
--R           (917040033820768\|- 2  + 769478330788000)sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                 +---+                             +---+
--R             (- 2024826947095704\|- 2  - 971819819460816)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+      3
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                              +---+                             +---+      2
--R             (561327386270964\|- 2  - 572600834130900)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+      2
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                               +---+                             +---+      3
--R             (1159287723524931\|- 2  + 817645948038654)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R          *
--R                       +---+
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                              +---+                           +---+      4
--R           (- 624553705818270\|- 2  - 2253956980050)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                           +---+                            +---+      5
--R         (2124490945165312\|- 2  - 79521392875520)cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R              8
--R       (x - a)
--R   +
--R                                                              +---+
--R               - 12221152405486797005988545574943642796394656\|- 2
--R             +
--R               37637519606679038130877931502289421788636480
--R          *
--R                       +---+      5
--R             sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                            +---+
--R               17253119387520025009474512785116571944492864\|- 2
--R             +
--R               - 108013651440447643426633659223764934754997824
--R          *
--R                       +---+                +---+      4
--R             cosh(log(\|- 2  + 1))sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +

--R                                                            +---+
--R               15685216146928883301596685922653051925359412\|- 2
--R             +
--R               67214446812749454239537980137157117493694568
--R          *
--R                       +---+      2          +---+      3
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                              +---+
--R               - 26995359328188426534667967009323500335310964\|- 2
--R             +
--R               55273964842367651019386962337683658570477492
--R          *
--R                       +---+      3          +---+      2
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                            +---+
--R               - 386525745609157558466191079238605101103613\|- 2
--R             +
--R               - 65032045559085732400544188402961111578157364
--R          *
--R                       +---+      4          +---+
--R             cosh(log(\|- 2  + 1)) sinh(log(\|- 2  + 1))
--R         +
--R                                                           +---+
--R               7027759893774203888781041210243035688470658\|- 2
--R             +
--R               12868136868984040775294141040070021247885438
--R          *
--R                       +---+      5
--R             cosh(log(\|- 2  + 1))
--R      /
--R                                                          +---+
--R             18629821302375761537774756048822860358942720\|- 2
--R           +
--R             94473907670457185816258586943170775874920448
--R        *
--R                     +---+      6
--R           cosh(log(\|- 2  + 1))
--R    *
--R              10
--R       (x - a)
--R   +
--R              11
--R     O((x - a)  )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 36
--S 37 of 38
acsch f3

--R
--R
--R   (37)
--R                       +-+                   +-+
--R          +-+         \|2  + 2        2    9\|2  + 12        4
--R     log(\|2  + 1) + --------- (x - a)  + ----------- (x - a)
--R                       +-+                   +-+
--R                     2\|2  + 2            16\|2  + 24
--R   +
--R         +-+                        +-+
--R     221\|2  + 312        6   14425\|2  + 20400        8
--R     ------------- (x - a)  + ----------------- (x - a)
--R         +-+                        +-+
--R     576\|2  + 816            52224\|2  + 73856
--R   +
--R               +-+
--R     124515259\|2  + 176091168        10            11
--R     ------------------------- (x - a)   + O((x - a)  )
--R               +-+
--R     602664960\|2  + 852296960
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 37
--S 38 of 38
map(normalize,csch %)
--R
--R
--R                    2            11
--R   (38)  1 - (x - a)  + O((x - a)  )
--R                        Type: UnivariateTaylorSeries(Expression(Integer),x,a)
--E 38
)spool
)lisp (bye)

———-

References^{[1] nothing}

22