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Timothy Daly December 3, 2016

Abstract

This is from “A Collection of Algebraic Identities” by Titus. Piezas III[?]

Contents

2

1 Part 2. Sums of Squares

1.1 Sums of two squares

1. x^{2} + y^{2} = z^{k}

2. x^{2} + ny^{2} = z^{k}

3. ad − bc = ±1

4. x^{2} + y^{2} = z^{2} + 1

5. x^{2} + y^{2} = z^{2} − 1

6. x^{2} + y^{2} = z^{2} + nt^{2}

7. x^{2} + y^{2} = z^{2} + nt^{k}

8. x^{2} + y^{2} = mz^{2} + nt^{2}

9. c_{1}(x^{2} + ny^{2}) = c_{2}(z^{2} + nt^{2})

10. mx^{2} + ny^{2} = mz^{2} + nt^{2}

— * —

)set break resume
)sys rm -f tpiezas002.output
)spool tpiezas002.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

———-

1.2 Form: x^{2} + y^{2} = z^{k}

The smallest primitive solutions (those with a, b, c co-prime) are: {3,4,5}, {5,12,13}, {7,24,25}, {8,15,17}, etc.

Theorem: For primitive triples a^{2} + b^{2} = c^{2}, Exactly one of a,b is odd, and c is always odd Exactly one of a,b is divisible by 3 Exactly one of a,b is divisible by 4 Exactly one of a,b,c is divisible by 5

Given one triple the others can be generated. Theorem: If a^{2} + b^{2} = c^{2} then (a + 2b + 2c)^{2} + (2a + b + 2c)^{2} = (2a + 2b + 3c)^{2}

— * —

--S 1 of 71
c:=sqrt(a^2+b^2)
--R
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R   (1)  \|b  + a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 1
--S 2 of 71
t1:=(a+2*b+2*c)^2
--R
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2      2            2
--R   (2)  (8b + 4a)\|b  + a   + 8b  + 4a b + 5a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 2
--S 3 of 71
t2:=(2*a+b+2*c)^2
--R
--R
--R                  +-------+
--R                  | 2    2      2            2
--R   (3)  (4b + 8a)\|b  + a   + 5b  + 4a b + 8a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 3
--S 4 of 71
t3:=(2*a+2*b+3*c)^2
--R
--R
--R                    +-------+
--R                    | 2    2       2             2
--R   (4)  (12b + 12a)\|b  + a   + 13b  + 8a b + 13a
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 4
--S 5 of 71
t1+t2-t3
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 5

———- Starting with {a, b, c} = {±3, ±4, 5} it is possible to generate all primitive Pythagorean triples (Barning, 1963, Roberts, 1977)

Note1: There are 4 terms to generate so from {a, b, c} = {±5, ±12, 13} we see:

1. {a, b, c} = {55, 48, 73}

2. {−a, b, c} = {45, 28, 53}

3. {a, −b, c} = {7, 24, 25}

4. {−a, −b, c} = {−3, 4, 5}

— * —

)clear all
--S 6 of 71
f(a,b,c)==[(a+2*b+2*c),(2*a+b+2*c),(2*a+2*b+3*c)]
--R
--R                                                                   Type: Void
--E 6
--S 7 of 71
f(5,12,13)
--R
--R   Compiling function f with type (PositiveInteger,PositiveInteger,
--R      PositiveInteger) -> List(PositiveInteger)
--R
--R   (2)  [55,48,73]
--R                                                  Type: List(PositiveInteger)
--E 7
--S 8 of 71
f(-5,12,13)
--R
--R   Compiling function f with type (Integer,PositiveInteger,
--R      PositiveInteger) -> List(Integer)
--R
--R   (3)  [45,28,53]
--R                                                          Type: List(Integer)
--E 8
--S 9 of 71
f(5,-12,13)
--R
--R   Compiling function f with type (PositiveInteger,Integer,
--R      PositiveInteger) -> List(Integer)
--R
--R   (4)  [7,24,25]
--R                                                          Type: List(Integer)

--E 9
--S 10 of 71
f(-5,-12,13)
--R
--R   Compiling function f with type (Integer,Integer,PositiveInteger) ->
--R      List(Integer)
--R
--R   (5)  [- 3,4,5]
--R                                                          Type: List(Integer)
--E 10

———-

In fact, we can prove the identity in general, — * —

)clear all
--S 11 of 71
x:=(a^2-b^2)
--R
--R
--R           2    2
--R   (1)  - b  + a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 11
--S 12 of 71
y:=(2*a*b)
--R
--R
--R   (2)  2a b
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 12
--S 13 of 71
z:=(a^2+b^2)
--R
--R
--R         2    2
--R   (3)  b  + a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 13
--S 14 of 71
x^2+y^2-z^2
--R
--R
--R   (4)  0

--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 14

———-

Note 2: It is possible the divisibility by 3,4,5 is contained in just one term, as in the first term of

— * —

)clear all
--S 15 of 71
(60*v)^2+(900*v^2-1)^2 - (900*v^2+1)^2
--R
--R
--R   (1)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 15

———-

Theorem: All odd numbers and multiples of 4 appear in a primitive Pythagorean triple — * —

)clear all
--S 16 of 71
n:=2*(m^2+m)
--R
--R
--R          2
--R   (1)  2m  + 2m
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 16
--S 17 of 71
(2*m+1)^2 + n^2 - (n+1)^2
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 17
)clear all
--S 18 of 71
n:=4*m^2-1
--R
--R
--R          2
--R   (1)  4m  - 1

--S 19 of 71
(4*m)^2 + n^2 - (n+2)^2
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 19
--S 20 of 71
(a^2-b^2)^2+(2*a*b)^2-(a^2+b^2)^2
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 20
--S 21 of 71
(a^3-3*a*b^2)^2 + (3*a^2*b-b^3)^2 - (a^2+b^2)^3
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 21

———-

Working in the quaternions we note that if

(a + bi + cj + dk)^{m} = A + Bi + Cj + Dk

then

A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{m}

so for m = 3 we have:

— * —

)clear all
--S 22 of 71
t0:=quatern(a,b,c,d)^3
--R
--R
--R   (1)
--R           2       2       2    3         2      2    3     2
--R     - 3a d  - 3a c  - 3a b  + a  + (- b d  - b c  - b  + 3a b)i
--R   +
--R           2    3       2     2           3       2    2     2
--R     (- c d  - c  + (- b  + 3a )c)j + (- d  + (- c  - b  + 3a )d)k

--R                                        Type: Quaternion(Polynomial(Integer))
--E 22
--S 23 of 71
A:=real t0
--R
--R
--R              2       2       2    3
--R   (2)  - 3a d  - 3a c  - 3a b  + a
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 23
--S 24 of 71
B:=imagI t0
--R
--R
--R             2      2    3     2
--R   (3)  - b d  - b c  - b  + 3a b
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 24
--S 25 of 71
C:=imagJ t0
--R
--R
--R             2    3       2     2
--R   (4)  - c d  - c  + (- b  + 3a )c
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 25
--S 26 of 71
D:=imagK t0
--R
--R
--R           3       2    2     2
--R   (5)  - d  + (- c  - b  + 3a )d
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 26
--S 27 of 71
A^2+B^2+C^2+D^2 - (a^2+b^2+c^2+d^2)^3
--R
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 27

———-

1.3 Euler

(a^{2} + b^{2})^{2} + (b^{2} + d^{2})^{2} = (b^{2} + 8c^{2} + d^{2})^{2}

where

d = \frac{(b^{2} + 3 ∗ c^{2})}{(2 ∗ c)}

a^{2} − b^{2} = 10c^{2}

— * —

)clear all
--S 28 of 71
d:=(b^2+3*c^2)/(2*c)
--R
--R
--R          2    2
--R        3c  + b
--R   (1)  --------
--R           2c
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 28
--S 29 of 71
a:=sqrt(10*c^2+b^2)
--R
--R
--R         +---------+
--R         |   2    2
--R   (2)  \|10c  + b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 29
--S 30 of 71
(a^2+b^2)^2 + (b^2+d^2)^2 - (b^2+8*c^2+d^2)^2
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 30

———-

1.4 Piezas

A generalization of the Euler version:

— * —

)clear all
--S 31 of 71
p:=2*n^2
--R
--R
--R          2
--R   (1)  2n
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 31
--S 32 of 71
q:=n^2-1
--R
--R
--R         2
--R   (2)  n  - 1
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 32
--S 33 of 71
d:=(b^2+q*c^2)/(2*c)
--R
--R
--R         2 2    2    2
--R        c n  - c  + b
--R   (3)  --------------
--R              2c
--R                                          Type: Fraction(Polynomial(Integer))
--E 33
--S 34 of 71
a:=sqrt(n*(n^2+1)*c^2 + (n-1)*b^2)
--R
--R
--R         +----------------------+
--R         | 2 3     2    2      2
--R   (4)  \|c n  + (c  + b )n - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 34
--S 35 of 71
(a^2+b^2)^2 + (b^2+d^2)^2-(b^2+p*c^2+d^2)^2
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 35

———-

Another approach is the parameterization:

— * —

)clear all
--S 36 of 71
a:=u^2-v^2-w^2
--R
--R
--R           2    2    2
--R   (1)  - w  - v  + u
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 36
--S 37 of 71
b:=2*u*v
--R
--R
--R   (2)  2u v
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 37
--S 38 of 71
p:=u^2+v^2+w^2
--R
--R
--R         2    2    2
--R   (3)  w  + v  + u
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 38
--S 39 of 71
q:=2*u*w
--R
--R
--R   (4)  2u w
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 39
--S 40 of 71
c:=sqrt(4*u*w*(u^2+v^2+w^2)-d^2)
--R
--R
--R         +---------------------------+
--R         |    3        2     3      2
--R   (5)  \|4u w  + (4u v  + 4u )w - d
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 40

--S 41 of 71
(a^2+b^2)^2 + (c^2+d^2)^2 - (p^2+q^2)^2
--R
--R
--R   (6)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 41

———-

1.5 Fermat

Theorem: If p^{2} +(p+1)^{2} = r^{2} then q^{2} +(q +1)^{2} = (p+q +r +1)^{2}, where q = 3∗p+2∗r +1 — * —

)clear all
--S 42 of 71
q:=3*p+2*r+1
--R
--R
--R   (1)  2r + 3p + 1
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 42
--S 43 of 71
r:=sqrt(p^2+(p+1)^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         |  2
--R   (2)  \|2p  + 2p + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 43
--S 44 of 71
q^2 + (q+1)^2 - (p+q+r+1)^2
--R
--R
--R                        +------------+
--R                        |  2               2
--R   (3)  (- 4r - 8p - 4)\|2p  + 2p + 1  + 4r  + (8p + 4)r
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 44

———-

Since the last result is not zero, something is wrong.

1.6 Fibonacci

— * —

)clear all
--S 45 of 71
e:=sqrt(c^2+d^2)
--R
--R
--R         +-------+
--R         | 2    2
--R   (1)  \|d  + c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 45
--S 46 of 71
(a*c+b*d)^2 + (a*d-b*c)^2 - (a*e)^2 - (b*e)^2
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 46

———-

1.7 Volpicelli

(ac + bd)^{2} + (ad − bc)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}

where a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} — * —

)clear all
--S 47 of 71
a:=sqrt(c^2+d^2-b^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         | 2    2    2
--R   (1)  \|d  + c  - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 47
--S 48 of 71
(a*c+b*d)^2 + (a*d-b*c)^2 - (a^2 + b^2)^2
--R

--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 48

———-

1.8 Fleck

(a^{2}c − b^{2}c + 2abd)^{2} + (a^{2}d − b^{2}d − 2abc)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{3}

if a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} — * —

)clear all
--S 49 of 71
a:=sqrt(c^2+d^2-b^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         | 2    2    2
--R   (1)  \|d  + c  - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 49
--S 50 of 71
(a^2*c-b^2*c+2*a*b*d)^2 + (a^2*d-b^2*d-2*a*b*c)^2 - (a^2+b^2)^3
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 50

———-

A generalization of the above:

— * —

)clear all
--S 51 of 71
a:=sqrt(c^2+d^2-b^2)
--R
--R
--R         +------------+
--R         | 2    2    2
--R   (1)  \|d  + c  - b
--R                                                    Type: Expression(Integer)

--E 51
--S 52 of 71
t1:=(a*c^3 - 3*b*c^2*d - 3*a*c*d^2 + b*d^3)^2
--R
--R
--R   (2)
--R                                     +------------+
--R              5        3 3       5   | 2    2    2       2    2  6
--R     (- 6b c d  + 20b c d  - 6b c d)\|d  + c  - b   + (9c  + b )d
--R   +
--R        4      2 2  4        6      2 4  2    8    2 6
--R     (3c  - 15b c )d  + (- 5c  + 15b c )d  + c  - b c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 52
--S 53 of 71
t2:=(b*c^3 + 3*a*c^2*d - 3*b*c*d^2 - a*d^3)^2
--R
--R
--R   (3)
--R                                   +------------+
--R            5        3 3       5   | 2    2    2     8        2    2  6
--R     (6b c d  - 20b c d  + 6b c d)\|d  + c  - b   + d  + (- 5c  - b )d
--R   +
--R        4      2 2  4      6      2 4  2    2 6
--R     (3c  + 15b c )d  + (9c  - 15b c )d  + b c
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 53
--S 54 of 71
t1+t2-(a^2+b^2)^4
--R
--R
--R   (4)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 54

———-

1.9 Piezas

Theorem: Let F := (p^{2} + q^{2})(r^{2} + s^{2}). Then F^{k} (for k > 0) is identically the sum of two squares in k + 1 ways.

— * —

)clear all
--S 55 of 71

a:=(p^2+q^2)*(r^2+s^2)
--R
--R
--R          2    2  2     2    2  2
--R   (1)  (q  + p )s  + (q  + p )r
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 55
--S 56 of 71
b:=(p*r+q*s)^2 + (p*s-q*r)^2
--R
--R
--R          2    2  2     2    2  2
--R   (2)  (q  + p )s  + (q  + p )r
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 56
--S 57 of 71
a-b
--R
--R
--R   (3)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 57
--S 58 of 71
c:=(p*r-q*s)^2 + (p*s+q*r)^2
--R
--R
--R          2    2  2     2    2  2
--R   (4)  (q  + p )s  + (q  + p )r
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 58
--S 59 of 71
a-c
--R
--R
--R   (5)  0
--R                                                    Type: Polynomial(Integer)
--E 59

———-

1.10 H. Mathieu

(q^{2}(p^{2} − 2))^{2} + (2q^{2})^{3} = (pq)^{4} if q^{2} − 2q^{2} = 1
((p^{4} − p^{2})/2)^{2} + p^{6} = (pq)^{4} if p^{2} − 2q^{2} = −1

— * —

)clear all
--S 60 of 71
p:=sqrt(1+2*q^2)
--R
--R
--R         +-------+
--R         |  2
--R   (1)  \|2q  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 60
--S 61 of 71
(q^2*(p^2-2))^2 + (2*q^2)^3 - (p*q)^4
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 61
)clear all
--S 62 of 71
p:=sqrt(-1+2*q^2)
--R
--R
--R         +-------+
--R         |  2
--R   (1)  \|2q  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 62
--S 63 of 71
((p^4-p^2)/2)^2 + p^6 - (p*q)^4
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 63

———-

1.11 Piezas

(4q^{2}d^{4}(p^{2} − 2))^{2} + (4 ∗ q^{2}d^{3})^{3} = (2pqd^{2})^{4} if p^{2} − dq^{2} = 1

(4 ∗ p^{2} ∗ d^{3}(p^{2} − 1))^{2} + (2 ∗ p ∗ d)^{6} = (2 ∗ p ∗ q ∗ d^{2})^{4} if p^{2} − dq^{2} = −1

— * —

)clear all
--S 64 of 71
p:=sqrt(1+d*q^2)
--R
--R
--R         +--------+
--R         |   2
--R   (1)  \|d q  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 64
--S 65 of 71
(4*q^2*d^4*(p^2-2))^2 + (4*q^2*d^3)^3 - (2*p*q*d^2)^4
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 65
)clear all
--S 66 of 71
p:=sqrt(-1+d*q^2)
--R
--R
--R         +--------+
--R         |   2
--R   (1)  \|d q  - 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 66
--S 67 of 71
(4*p^2*d^3*(p^2-1))^2 + (2*p*d)^6 - (2*p*q*d^2)^4
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 67

———-

1.12 K. Brown

p^{4} + (q^{2} − 1)^{3} = (q^{3} + 3q)^{2} if p^{2} − 3q^{2} = 1

— * —

)clear all
--S 68 of 71
p:=sqrt(1+3*q^2)
--R
--R
--R         +-------+
--R         |  2
--R   (1)  \|3q  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 68
--S 69 of 71
p^4 + (q^2-1)^3 - (q^3+3*q)^2
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 69
)clear all
--S 70 of 71
p:=sqrt(1+3*d*q^2)
--R
--R
--R         +---------+
--R         |    2
--R   (1)  \|3d q  + 1
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 70
--S 71 of 71
p^4 + (d*q^2-1)^3 - d*(d*q^3+3*q)^2
--R
--R
--R   (2)  0
--R                                                    Type: Expression(Integer)
--E 71
)spool
)lisp (bye)

———-

References

[1] Titus Piezas, “A Collection of Algebraic Identities” http://sites.google.com/site/tpiezas/002