Integrals
1
2
π
ⅈ
∫
c
-
∞
ⅈ
c
+
∞
ⅈ
Γ
(
s
+
a
)
Γ
(
b
-
s
)
z
-
s
ⅆ
s
=
Γ
(
a
+
b
)
z
a
(
1
+
z
)
a
+
b
ℜ
(
a
+
b
)
>
0
,
-
ℜ
a
<
c
<
ℜ
b
,
|
ph
z
|
<
π
.
1
2
π
∫
-
∞
∞
|
Γ
(
a
+
ⅈ
t
)
|
2
ⅇ
(
2
b
-
π
)
t
ⅆ
t
=
Γ
(
2
a
)
(
2
sin
b
)
2
a
a
>
0
,
0
<
b
<
π
.
Barnes's Beta Integral
1
2
π
∫
-
∞
∞
Γ
(
a
+
ⅈ
t
)
Γ
(
b
+
ⅈ
t
)
Γ
(
c
-
ⅈ
t
)
Γ
(
d
-
ⅈ
t
)
ⅆ
t
=
Γ
(
a
+
c
)
Γ
(
a
+
d
)
Γ
(
b
+
c
)
Γ
(
b
+
d
)
Γ
(
a
+
b
+
c
+
d
)
ℜ
a
,
ℜ
b
,
ℜ
c
,
ℜ
d
>
0
Ramanujan's Beta Integral
∫
-
∞
∞
ⅆ
t
Γ
(
a
+
t
)
Γ
(
b
+
t
)
Γ
(
c
-
t
)
Γ
(
d
-
t
)
=
Γ
(
a
+
b
+
c
+
d
-
3
)
Γ
(
a
+
c
-
1
)
Γ
(
a
+
d
-
1
)
Γ
(
b
+
c
-
1
)
Γ
(
b
+
d
-
1
)
ℜ
(
a
+
b
+
c
+
d
)
>
3
.
de Branges-Wilson Beta Integral
1
4
π
∫
-
∞
∞
∏
k
=
1
4
Γ
(
a
k
+
ⅈ
t
)
Γ
(
a
k
-
ⅈ
t
)
Γ
(
2
ⅈ
t
)
Γ
(
-
2
ⅈ
t
)
ⅆ
t
=
∏
1
≤
j
<
k
≤
4
Γ
(
a
j
+
a
k
)
Γ
(
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
)
ℜ
(
a
k
)
>
0
,
k
=
1
,
…
,
4
.
