The goal of this lesson is for students to understand and to use the concept of Successive Approximations and to learn how to use it as a measuring tool for distances, especially over complex curvilinear surfaces. The underlying mathematical bases for understanding Successive Approximations within the lesson is the “Method of Exhaustion”—the calculation of distance using the construction of a series of ever-more accurate approximations. It is important to highlight the difference between an exact measurement of a distance and the approximate estimation of distance through the method presented in this lesson. The main idea is to approximate the curved surface with a sequence of connected straight-line segments, the connection points being points on the surface. As the number of line segments increases with each iteration, the straight-line-segment approximations become closer and closer to the curved surface. Eventually, to the human eye, the two geometries — the curved surface and its piece-wise linear approximation—appear nearly identical. The lesson can be completed in a period of 1.5 to 2 hours. The materials needed are: sheets of paper, images of the Puente Atirantado (Atirantado Bridge), a ruler, a compass, a video projector, and Excel Software. As an option, one can use a sheet with the representation of a rope suspended by the sides, in a “U” shape.

Resumen
El objetivo de esta lección es que los estudiantes comprendan y utilicen el concepto de Aproximaciones Sucesivas, y que aprendan cómo usarlo como una herramienta para medir distancias, especialmente distancias curvilíneas complejas. El fundamento matemático para entender las Aproximaciones Sucesivas en esta lección es el “Método Exhaustivo”—el cálculo de la distancia por medio de la construcción de series de aproximaciones cada vez más precisas. Es importante resaltar la diferencia entre la medida exacta de una distancia y la estimación aproximada de la distancia a través del método presentado en esta lección. La idea principal es aproximar la superficie curva con una secuencia de segmentos de líneas rectas conectados, en la que los puntos de conexión son puntos en la superficie. Con cada iteración, el número de segmentos lineales se incrementa, las aproximaciones de los segmentos de líneas rectas se acercan más y más a la superficie curva. Eventualmente, para el ojo humano, las dos geometrías—la superficie curva y la aproximación de segmentos lineales- parecen casi idénticas. La lección se puede completar en un periodo de 1.5 a 2 horas. Los materiales necesarios son: hojas de papel, imágenes del Puente Atirantado, una regla, un compás, un proyector de video, y el software Excel. Como opción, se puede usar una hoja con la representación de la cuerda suspendido de ambos lados, en forma de “U”.