光与物质小站首页 / 力学问题

力学问题


难度问        题

一牛顿的力有多大? 

碰撞有哪些种类呢? 能量的损失状况又是如何呢?

为什麽飞机会飞呢?

为什麽不倒翁不会倒呢?
地球自转所产生的离心力会使体重变轻吗?
地球和月球之间既然有万有引力,为什麽月球不会掉下来呢?
地球公转的速度有多快呢?
何谓克普勒叁大定律?
何谓 牛顿叁大定律?
作用力与反作用力有哪些生活实例呢?
为什麽开车要维持安全距离呢?
看了一堆符号, 到底安全距离大约有多大呢?
能否请问一下甚麽是动量等於衡量
到底是地球绕太阳转, 还是太阳绕地球转呢? 趣闻一则.
住在地球上的古人是如何知道地球绕太阳转的呢?
看看牛顿力学公式
要让地球停止转动需要多少能量呢?
要让地球停止公转需要多少能量呢?
公斤和公斤重有什麽差别?
什麽是单摆?周期如何计算?
重力加速度的测量 (实验)
身体做功效率计算(实验)

一牛顿的力有多大?
学了满久的物理学,不过却满难想像一牛顿的力到底有多大,透过下面这两个比喻大概可以让我们比较有感觉

1.使一公斤物体产生加速度 的力是一牛顿

2.用手水平提起已经喝完叁分之二的铝箔包饮料,手所需要对铝箔包施的力大概就是一牛顿。

3.把约100g的砝码放在脚上,脚所受的力约为一牛顿。

碰撞有哪些种类呢? 能量的损失状况又是如何呢?
一般以能量来区分碰撞为叁种:完全弹性、非完全弹性、完全非弹性:

在无外力作用下,碰撞前後,两物体质心速度为一定值,(因为如果我们取这两个物体为同一个系统,,碰撞的作用力属於内力。)因此就质心速度来看,不管是哪一种碰撞,势必系统在碰撞前後维持了此质心动能,(因为质心速度一定,质心动能也一定)

假设一物体 m2 静止,另一物体 m1 以速度v正面碰撞之,
我们可以算出其质心动能为:

但是就最初的总动能而言为(此例子只有m1有动能)

由前面两个式子比较可以得知Kc<Kto
这里有一部份的能量差,ΔK = Kto - Kc,我们称ΔK为内动能。


在碰撞时,碰撞的作用力必伴随碰撞物的形变,而ΔK就是参与形变发生的主角,它以动能的形式,此刻转变成形变的位能,依照碰撞後ΔK的大小我们可以分成下面叁个状况:


1.若碰撞後,此位能(就是ΔK),原封不动归还,即又变回两物体的动能,我们称此碰撞为完全弹性。

2.若ΔK全部被吸收(完全散失),则称为完全非弹性。

3.ΔK部分被吸收,称为非弹性碰撞。

为什麽飞机会飞呢?
飞机会飞是因为机翼受到气压差所造成的浮力,可以利用白努力定律来解释。

一般的说机翼的形状是上面凸底下凹,飞行的时候空气分别从上下两面流过,从上面流的速度快些,所以压强小,从下面流
的速度慢,所以压强大。(白努力定律) 因此压强大的一方要向压强小的一方产生推力,这就是机翼的升力。

你也许会有个疑问:这麽一来飞机不就可以倒着飞了?实际上的飞机机翼是有一个仰角的,而不是水平,这样即使机翼本身没有上下表面的凹凸区别,也会因为气流的冲激而产生升力。当仰角不超过一定限度的时候,仰角越大,升力也越大,这就
是为什麽飞机须要抬起机头才能起飞。

为什麽不倒翁不会倒呢?
所有的物体皆有让自身位能趋向最低的趋势,当我们推动不倒翁的时候,事实上我们使不倒翁的质心上升了,放手之後不倒翁便往质心较低的方向移动,直到最後达到平衡时,即质心位能最低的位置了。

因此只要不使不倒翁的倾斜角度太大,不倒翁都会往位能最低的位置移动,因此不倒翁就不会倒罗。

地球自转所产生的离心力会使体重变轻吗?
答案是会的。

如果纯粹是地球自转所产生的离心力,台湾(赤道地区)跟北极的重力场差为约:

我们可以做个计算(地球半径为6378.14km

圆周率=3.14159265358979


=0.0337(m/s)

如果你的体重为60公斤的话,F=ma=60*0.0337=2.02牛顿

大约等於0.207公斤(207克),也就是说,再北极上面秤重时会比在(台湾)赤道地区还要重约200克

地球和月球之间既然有万有引力,为什麽月球不会掉下来呢?
事实上月球的确有向地球落下,只是因为月球除了落下之外,还有与地球连线方向垂直的速度(月球绕地球公转),因此永远都掉不下来。

地球公转的速度有多快呢?
地球的公转速度有多快我们可以由以下简单的推导算出来:

我们知道地球与太阳之间的距离为一亿五千万公里

而大约一年地球会绕太阳一圈

一年 = 365天 = 31536000秒  ->周期

因此地球的公转速度为

2x3.14159x150000000km/31536000s = 30 km/s

因此地球公转速度为每秒30km!大约是时速10万公里,大约为高速公路行车速度的1000倍,你能想像有多快吗?

何谓牛顿叁大定律?
牛顿叁大定律是古典力学的基本定律,以下为其内容的简单介绍:

牛顿第一定律:在合力为零的状况下,如果物体原本为静止,他将会维持静止状况,如果原本在座等速率运动,就会继续做等速度运动.(静者恒静,动者恒动),其实牛顿第一定律就是我们熟悉的惯性定律(law of inertial)。

牛顿第二定律:就是着名的F = ma,意思是说外力(F)与加速度成正比(a),而m为物体的质量。

牛顿第叁定律:力总是成对出现的,一个作用力一定伴随着一个反作用力

作用力与反作用力有哪些生活实例呢?
作用力与反作用力的生活实例其实很多,如穿着溜冰鞋推墙壁,会受到墙壁的推力而往後滑,游泳用手打水,可以往前进,都是作用力与反作用力的实例。

为什麽开车要维持安全距离呢?
因为如果开车时遇到紧急状况, 由反应到煞车要有一段反应时间以及减速时间, 如果没有维持安全距离, 恐怕还来不及将速度减到零, 就会撞上前面的行人或是车辆, 因此大家行车时必须要维持安全距离.

由反应到停止行车需要两段时间--反应时间以及煞车时间:

(1)反应时间:

人的眼睛接受到前方紧急煞车的光线之後, 大脑需要有一段时间来反应, 才会下达脚踏煞车的动作, 这段时间称为反应时间T , 因为这段时间内还没有踩下煞车, 因此行车的速度V还是跟原来一样快, 我们可以由下面的图得到这段时间车子所走的距离S1.

S1=黄色面积=VT

(2)煞车时间:
当你注意到前方的交通状况有异常, 而踩下煞车後, 车子就开始减速了, 但是车子并不会马上停止, 而是需要一段时间来减速, 这段时间称为煞车时间. 煞车时因为给予负的加速度a(也就是减速), 因此速度逐渐降低(如下图所示), 到时间为T+t时停止, 利用力学所学到的公式我们可以算出这段时间所走的距离.

 S2=蓝色面积=Vt/2

V=V0+at的公式我们可以计算t的大小

0=V-at (因为a是减速所以用负号)

t=V/a

可以得到S2=Vt/2=V2/2a

因此我们可以知道我们行车所需要的安全距离至少为S1+S2的距离.

看到一堆符号, 到底煞车安全距离有多大呢?

为了让大家比较有实际的感觉, 我们举个实例来算算看:

如果在高速公路上面有一辆车的行驶速度V=100km/hr, 如果人脑的反应时间T0.1秒, 而这辆车踩下煞车後可以有10m/s2的减速速度a, 我们就可以来算算看车子的驾驶至少需要多少的安全距离了:

安全距离(S)=S1+S2=VT+V2/2a

V=100km/hr=100000/3600m/s=27.8m/s ->换成相同单位

因此将a, V,T带入公式中:

S=S1+S2=27.8x0.1+27.82/(2x10)

=41.4m

可得安全距离大约为41.4公尺, 不过依照车子的性能以及个人反应力的差异, 这个数值会有所改变, 不过为了安全起见, 大家还是应该要保持比较长的安全距离.

能否请问一下甚麽是动量等於衡量?
先解释一下什麽叫做动量:
动量(p)的定义, 就是质量(m)x速度(v), 可写成

p = m v

动量=衡量的意思就是动量守衡
意思是说, 一个系统的动量总和不会改变.

到底是地球绕太阳转, 还是太阳绕地球转呢? 趣闻一则.
相信有上过小学的网友, 都知道应该是地球绕太阳转.  这个观念在16世纪时, 波兰的天文学家哥白尼便已经提出地球绕太阳运行的说法.

不过在1988年, 美国的国家科学基金会对於两千多位18岁以上的成年人所做的调查中发现, 有百分之21的受访者以为太阳是绕着地球转的! 这是否意味着大众对於科学知识的了解仍嫌不足呢?

住在地球上的古人是如何知道是地球绕太阳转的呢?

 

 

 

 

 

 

 

 

其实地球绕太阳转或是太阳绕地球转都是相同的只是观察者的问题。

假如pig住在太阳上面(如果没有变成烤乳猪的话)
pig会说, "地球真好, 绕着我转."
可是住在地球上面的就不同意了, 也有自己的看法
"明明是太阳绕地球转阿, 怎麽会是地球绕太阳转"
这就是相对的问题.

好像有点扯远了, 不过我们来看看古代人的想法.

在最早之前, 有所谓地球为宇宙中心的论点所有的星辰与行星, 都是绕着地球做旋转的. 所有的行星都在不同的天壳上面,
所以不会掉下来. 天壳会绕地球旋转而其他的星辰则在一个最大的天壳上面. (这是某个阶段的说法, 还有更复杂的天壳理论)

後来因为对於天上星辰的观测更加透彻, 发现行星有逆行的现象 (有在观星就会知道, 行星会在星座之间穿梭,有时候行星会往回走)

这时候球壳理论就出现了问题, 於是就有人提出地球以及其他行星都绕着太阳运行的理论. 哥白尼的日心说就是以太阳为中心成功的解释了行星逆行的问题。

由於当时人类的狂妄自大以及宗教因素, 无法相信地球为中心的说法会被推翻, 造成了许多莫名的杀戮. 甚至还提出更复杂的球壳理论来继续坚持。但因为太过复杂且困难重重, 并不成功.

在科学家前仆後继的努力下, 日心说的理论终於受到了世人的接受, 克卜勒的行星叁大定律, 牛顿的重力理论, 牛顿叁大定律微积分, 造就了物理的新局面.

 

看看牛顿力学公式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

牛顿力学公式, 是个我们很早就学到的物理. 牛顿力学公式中有什麽其他的秘密呢? 让我们来看看.

在国中高中时, 我们所学到的牛顿力学公式, 大部分是以F = Ma 的方式出现, 公式中的M代表质量, 而F是所谓的力, 以及加速度a

1.利用这个公式, 我们可以很方便的解决许多简单的力学问题, 比如说自由落体问题:

F = Mg (我们知道自由落体的加速度为g)

而得到物体受重力的大小 = Mg

2. 接下来我们仔细看这个公式: a(加速度)代表速度随时间的变化率. 我们可以解出:

F/M = a = (速度的变化)/(时间的变化)

如果我们把左边的的质量与速度相乘, 我们可以得到:

F = Ma = 质量*(速度的变化)/(时间的变化)

可以得到 F = (质量 * 速度变化 ) / (时间的变化)
一个质量乘以速度的变化代表什麽意思呢?

牛顿将这个量定义为"物体运动程度的变化" , 简称动量变化 dP
(相信大家都有学过动量的符号为P, 我们利用符号 dP来表示动量的变化.)

而时间的变化我们可以用 dT来表示
(这里的d为delta, 表示"差")

我们重新将公式用我们的符号改写, 可以得到下面的结果:

F= dp/dt

得到了一个满有趣的结果, 那就是力的大小跟"物体运动程度的变化"成正比!
如果有学过微积分的话, 我们也可以直接写出来这个公式.

3. 以前我们学过动量= P = Mv , 其中 v代表物体的速度. 由微积分中我们知道

a = dv / dt

因此将 a 带入原本的 F = Ma公式中, 我们可以得到:

F = M dv/dt = d(Mv)/dt = dp/dt

可以得到相同的结果. 其实这个公式才是牛顿当初所提出来的力学公式. 有什麽好处呢? 让我们仔细看看! 由微积分的运算我们可以得到:

F = dp / dt = d(Mv)/dt =v dM/dt + M dv/dt

由牛顿原本的定义: 力为动量对时间的变化
我们可以得到上面的公式, 我们发现 F不再只等於Ma , 而跟质量的变化也有关系! 为什麽我们可以写出 F = Ma呢? 那是因为我们平常所讨论的问题都没有牵涉到质量的变化.

看完这些, 对於牛顿力学公式有没有比较多的了解呢?

要让地球停止转动要多少能量呢?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

地球日夜不停的转着, 也许你会觉得很烦, 想让地球停止转动. 要让地球停止转动, 需要多少能量呢? 让我们一起来算算看吧!

首先我们要知道地球的转动惯量(I), 
由高中的课程我们学到, 实心球体的转动惯量为 
(
假设地球是个均匀的球, 当然这不完全正确, 因为我们知道, 地球有个很重的铁核, 一堆合金), 所以我们只要查到地球的质量与半径, 就可以来算了. 经过我们的调查发现, 地球的密度是5.52g/cm3, 半径约为6400km, 因此我们可以算出地球的质量:

 MEarth = d*V

= d*4/3πr3 = 5.52g/cm3*4/3*3.14159*(640000000cm)3

=6*1027g=6*1024kg

接下来我们可以算地球的转动惯量

I = 2/5*6*1024*(6400000m)2=9.83*1037kg-m2

因此要使地球停止转动的能量, 等於地球的转动动能:

E=1/2 Iω2     ω为地球的角速度.

地球24小时才绕一周, 因此角速度= 2π/(24*60*60s) = 7.3*10-5  1/s

代入上面的式子中, 可以算出

 E=1/2*9.83*1037*(7.3*10-5 )2~ 2.6*1029 J 

在生活物理中我们算过

饮料的热量 = 50000 * 4.18 = 209000 J

 

因此我们知道, 要使地球停止转动的能量, 大约是1.3*1024饮料的能量

虽然这样的数量对我们来说已经难以理解了, 不过我们总算是算完了.

 

要让地球停止公转, 需要多少能量呢?

 

解决完之前的问题之後, 我们可以问一个比较简单的问题. 那就是使地球停止所需要的能量大小. 在之前的资料中我们查阅过地球的重量, 大约为6*1024kg, 接下来我们只需要知道地球的运动速度就可以算出地球的动能了。

我们知道地球与太阳之间的距离为一亿五千万公里,因此我们可以算出地球公转一周所行走的距离约为9亿公里,并且也知道地球需要历经一年的时间才能够完成一次公转。利用这两项资讯我们可以算出地球的速度约为每秒30公里.

 利用公式 E = 1/2 m v2我们可以算出:

 E = 0.5 * 6 * 1024 * ( 3 * 104)2

  = 2.7 * 1033  J

 跟阻止地球自转所需要的能量相比, 大约大了104.

 

公斤和公斤重有什麽差别?

 

国中课程中, 有介绍过公斤以及公斤重两个名词, 这两个名词的意义有什麽差别呢? 我想应该是许多同学共同的疑问.

其实, "公斤", 是质量的单位, 描述的是物质的多寡, 如果物质的质量越大, 表示物质越多. 越不容易被推动或者改变运动方式.

而"公斤重", 是个力的单位, 大家应该都记得公斤重必须将公斤成以9.8m/s2, 才会变成公斤重. 而9.8这个数字其实就是地球表面的重力加速度大小. 1公斤重的意思, 就是说, 如果我们将1公斤的物体悬吊在绳子上面, 那麽他对绳子所施的力, 就是1公斤重.

或许你不是很赞同, 想知道公斤重为什麽会变成力呢? 其实我们可以由 F = ma 看出来, 左边的单位是力(牛顿, 或其他力的单位), 右边是质量乘以加速度. 因此只要我们将质量成以加速度, 就会成为力了(至少单位是对的), 可以看出公斤重是个力的单位.

什麽是单摆?

 

单摆是由一个质量大的重物系上一条绳子,做小角度的来回运动。

单摆最重要的应用之一,是用於时间的记量。早期的时钟都有一个钟摆,即是利用单摆的原理。

单摆周期的推导:

因为重物的质量远大於绳子的质量,所以绳子的质量可以忽略,绳子和铅垂线的夹角为θ,则所受外力可以表示为:

                      F = -Mg sinθ

因为角度很小的时候,sinθ大约等於θ,所以我们可以得到:

利用可导出其周期:

由公式中可以看出来单摆的周期与角度θ无关,这代表不管单摆幅较大(当然太高的话sinθ~θ的假设就不对了)或者摆幅较小,其周期都大约为

另外一件有趣的事情,那就是我们可以利用单摆来测量重力常数g ! 只需要测量出T与L就可以求得了,而且只需要利用手边的材料就可以做出来喔。

 

 回光与物质小站首页